2.2用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s ，2s ，5s 的正弦信号，问幅值误差将是多少？
解：τ=0.35s ,
11
A (ω) ===
把T =1代入上式，得A (ω) =0.41误差为1-A (ω) =0.59=59%同理，T =2s 时，误差为33%T =5s 时，误差为8%
1
2.3求周期信号
()(
)
x t =0. 5cos 10t +0. 2cos 100t -45
通过传递函数为
H (s )=
1
0. 005s +1
的装置后所得到的稳态响应。
解： 利用叠加原理及频率保持性解题
，
x 1(t ) =0.5cos10t , 对于x 1(t ) =0.5cos10t , A (ω) =
1=
x 2(t ) =0.2cos (
100t -45 )
由H (s ) =1/(0.005s +1),
τ=0.005ω=10
1
=0.99875
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.005⨯10）=-2.86ο
输出信号的幅值为输出信号的相位为输出的稳态响应为y 1(t ) =0.5cos(10t -2.86)
ο
0.5⨯0.99875=0.50-2.86=-2.86︒
同理
对于x 2(t ) =0.2cos (
100t -45),
ω=100
A (ω) =
1=
1=0.89
ο
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.005⨯100) =-26.57
输出信号的幅值为输出信号的相位为输出的稳态响应为
y 2(t ) =0.18cos(100t -71.57︒) 故原信号对应的输出稳态响应为
y (t ) =0.5cos(10t -2.86︒) +0.18cos(100t -71.57︒)
0.2⨯0.89=0.18-45︒-26.57︒=-71.57︒
2.5 想用一个一阶系统作100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间常数应取多少？若用该系统测试50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？
解： 由振幅误差
|A 0-A I |A 0
E ==1-=1-A (ω)≤5%
A I A I
∴
A (ω)≥95%
A (ω)=
1+(τω)
2
即
=95%
，
1+(2π⨯100t )
2
=0. 95
，
τ=5. 23⨯10s
-4
-4
ω=2πf =2π⨯50=100π当，且τ=5. 23⨯10s 时
A (ω)=
1
+5. 23⨯10
-4
⨯100π
2
≈98. 7%
∴ 此时振幅误差
=1-98.7%=1.3%
-4
φ(ω)=-arctg (5. 23⨯10⨯100π)≈-9. 3
3-7 一个电容测微仪，其传感器的圆形极板的半径 r = 4mm，工作初始间隙δ=0.3mm， 空气介质。问： 1） 2）
工作时，如果传感器与工件的间隙变化量∆δ=±1μm 时，电容变化量是多少？
如果测量电路的灵敏度S 1=100mV /pF ，读数仪表的灵敏度S 2=5格/mV ，在∆δ=±1μm 时，读数仪表的指示
值变化多少格？ 解： 1） 因为
εεA dC
=-02 d δδ
所以
ε0εA 8.85⨯10-12⨯1⨯π⨯(4⨯10-3) 2-6∆C =-2∆δ=-⨯(±1⨯10) -32
δ(0.3⨯10)
= 10-14F = 0.005pF
2) 如果测量电路的灵敏度S 1=100mV /pF ，读数仪表的灵敏度S 2=5格/mV ，在∆δ=±2μm 时，读数仪表的指示值
变化
∆C ⨯S 1⨯S 2
=(0.005pF ) ⨯(100mV /pF ) ⨯(5格/mV ) =2.5格
3-11 一压电式压力传感器的灵敏度S =90pC/MPa，把它和一台灵敏度调到0.005V/pC的电荷放大器连接，放大器的输出又接到一灵敏度已调到20mm/V的光线示波器上记录，试绘出这个测试系统的框图，并计算其总的灵敏度。 解：框图如下
各装置串联，如果忽略负载效应，则总灵敏度S 等于各装置灵敏度相乘，即 S =∆x /∆P=90⨯0.005⨯20=9mm/MPa。
3-13 何谓霍尔效应？其物理本质是什么？用霍尔元件可测哪些物理量？ 解答：
霍尔（Hall ）效应：金属或半导体薄片置于磁场中，当有电流流过薄片时，则在垂直于电流和磁场方向的两侧面上将产生电位差，这种现象称为霍尔效应，产生的电位差称为霍尔电势。
霍尔效应产生的机理（物理本质）：在磁场中运动的电荷受到磁场力F L （称为洛仑兹力）作用，而向垂直于磁场和运动方向的方向移动，在两侧面产生正、负电荷积累。
应用举例：电流的测量，位移测量，磁感应强度测量，力测量；计数装置，转速测量（如计程表等），流量测量，位置检测与控制，电子点火器，制做霍尔电机—无刷电机等。
3-21 选用传感器的基本原则是什么？试举一例说明。
解答：灵敏度、响应特性、线性范围、可靠性、精确度、测量方法、体积、重量、价格等各方面综合考虑。
4-1 以阻值R ＝120Ω、灵敏度S g =2的电阻丝应变片与阻值为120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为3V ，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为2με和2000με时，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。 解 ： 由S g =
∆R /R 0
ε
ε=2μ时，
单臂， 双臂，
ε=2000μ时，
单臂，
∆R 12⨯2000⨯10-6
U 0=U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=3⨯10-3(V )
4R 044∆R 12⨯2⨯10-6
U 0=U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=3⨯10-6(V )
4R 044
∆R 12⨯2⨯10-6
U 0=U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=6⨯10-6(V )
2R 022
∆R 12⨯2000⨯10-6
U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=6⨯10-3(V ) 双臂，U 0=2R 022
根据电桥的灵敏度S =
U 0，双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。 ∆R /R
4-10 已知某RC 低通滤波器，R=1000Ω, C=1μF,
1) 确定各函数式H(s), H(ω), A(ω), φ(ω)
2) 当输入信号u i =10sin1000t时，求输出信号u o 。
解：
1）
τ=RC =1000⨯1⨯10-6=0.001s
11=1+τs 1+0.001s
11H (ω) ==1+j τω1+j 0.001ω
A (ω) ==H (s ) =
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.001ω)
11
2）当输入信号u i =10sin1000t时，ω
=1000
A (ω) ===0.707
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.001ω) =-arctan1=-45︒
输出信号的幅值为 0.707⨯10=7.07
输出信号u o =7.07sin(1000t-45︒)
4-11 已知低通滤波器的频率响应函数
H (ω) =1
1+j τω
式中 τ=0.05s, 当输入信号x(t)=0.5cos(10t)+0.2cos(100t-45o ) 时，求输出有何区别。
解： 利用叠加原理及频率保持性解题
12 y(t),并比较y(t)与x(t)的幅值与相位
x 1(t ) =0.5cos10t , x 2(t ) =0.2cos (
100t -45 )由题意, τ=0.05
对于x 1(t ) =0.5cos10t , ω=10
A (ω) ===0.8944
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.05⨯10）=-26.56ο输出信号的幅值为0.8944⨯0.5=0.45输出信号的相位为0-26.56=-26.56︒输出的稳态响应为
y 1(t ) =0.45cos(10t -26.56ο)
同理对于x 2(t ) =0.2cos (
100t -45 ), ω=100A (ω) ===0.196ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.05⨯100) =-78.69ο输出信号的幅值为0.2⨯0.196=0.04输出信号的相位为-45︒-78.69︒=-123.69︒输出的稳态响应为y 2(t ) =0.04cos(100t -123.69︒) 故原信号对应的输出稳态响应为y (t ) =0.45cos(10t -26.56ο) +0.04cos(100t -123.69︒) 13
2.2用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s ，2s ，5s 的正弦信号，问幅值误差将是多少？
解：τ=0.35s ,
11
A (ω) ===
把T =1代入上式，得A (ω) =0.41误差为1-A (ω) =0.59=59%同理，T =2s 时，误差为33%T =5s 时，误差为8%
1
2.3求周期信号
()(
)
x t =0. 5cos 10t +0. 2cos 100t -45
通过传递函数为
H (s )=
1
0. 005s +1
的装置后所得到的稳态响应。
解： 利用叠加原理及频率保持性解题
，
x 1(t ) =0.5cos10t , 对于x 1(t ) =0.5cos10t , A (ω) =
1=
x 2(t ) =0.2cos (
100t -45 )
由H (s ) =1/(0.005s +1),
τ=0.005ω=10
1
=0.99875
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.005⨯10）=-2.86ο
输出信号的幅值为输出信号的相位为输出的稳态响应为y 1(t ) =0.5cos(10t -2.86)
ο
0.5⨯0.99875=0.50-2.86=-2.86︒
同理
对于x 2(t ) =0.2cos (
100t -45),
ω=100
A (ω) =
1=
1=0.89
ο
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.005⨯100) =-26.57
输出信号的幅值为输出信号的相位为输出的稳态响应为
y 2(t ) =0.18cos(100t -71.57︒) 故原信号对应的输出稳态响应为
y (t ) =0.5cos(10t -2.86︒) +0.18cos(100t -71.57︒)
0.2⨯0.89=0.18-45︒-26.57︒=-71.57︒
2.5 想用一个一阶系统作100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间常数应取多少？若用该系统测试50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？
解： 由振幅误差
|A 0-A I |A 0
E ==1-=1-A (ω)≤5%
A I A I
∴
A (ω)≥95%
A (ω)=
1+(τω)
2
即
=95%
，
1+(2π⨯100t )
2
=0. 95
，
τ=5. 23⨯10s
-4
-4
ω=2πf =2π⨯50=100π当，且τ=5. 23⨯10s 时
A (ω)=
1
+5. 23⨯10
-4
⨯100π
2
≈98. 7%
∴ 此时振幅误差
=1-98.7%=1.3%
-4
φ(ω)=-arctg (5. 23⨯10⨯100π)≈-9. 3
3-7 一个电容测微仪，其传感器的圆形极板的半径 r = 4mm，工作初始间隙δ=0.3mm， 空气介质。问： 1） 2）
工作时，如果传感器与工件的间隙变化量∆δ=±1μm 时，电容变化量是多少？
如果测量电路的灵敏度S 1=100mV /pF ，读数仪表的灵敏度S 2=5格/mV ，在∆δ=±1μm 时，读数仪表的指示
值变化多少格？ 解： 1） 因为
εεA dC
=-02 d δδ
所以
ε0εA 8.85⨯10-12⨯1⨯π⨯(4⨯10-3) 2-6∆C =-2∆δ=-⨯(±1⨯10) -32
δ(0.3⨯10)
= 10-14F = 0.005pF
2) 如果测量电路的灵敏度S 1=100mV /pF ，读数仪表的灵敏度S 2=5格/mV ，在∆δ=±2μm 时，读数仪表的指示值
变化
∆C ⨯S 1⨯S 2
=(0.005pF ) ⨯(100mV /pF ) ⨯(5格/mV ) =2.5格
3-11 一压电式压力传感器的灵敏度S =90pC/MPa，把它和一台灵敏度调到0.005V/pC的电荷放大器连接，放大器的输出又接到一灵敏度已调到20mm/V的光线示波器上记录，试绘出这个测试系统的框图，并计算其总的灵敏度。 解：框图如下
各装置串联，如果忽略负载效应，则总灵敏度S 等于各装置灵敏度相乘，即 S =∆x /∆P=90⨯0.005⨯20=9mm/MPa。
3-13 何谓霍尔效应？其物理本质是什么？用霍尔元件可测哪些物理量？ 解答：
霍尔（Hall ）效应：金属或半导体薄片置于磁场中，当有电流流过薄片时，则在垂直于电流和磁场方向的两侧面上将产生电位差，这种现象称为霍尔效应，产生的电位差称为霍尔电势。
霍尔效应产生的机理（物理本质）：在磁场中运动的电荷受到磁场力F L （称为洛仑兹力）作用，而向垂直于磁场和运动方向的方向移动，在两侧面产生正、负电荷积累。
应用举例：电流的测量，位移测量，磁感应强度测量，力测量；计数装置，转速测量（如计程表等），流量测量，位置检测与控制，电子点火器，制做霍尔电机—无刷电机等。
3-21 选用传感器的基本原则是什么？试举一例说明。
解答：灵敏度、响应特性、线性范围、可靠性、精确度、测量方法、体积、重量、价格等各方面综合考虑。
4-1 以阻值R ＝120Ω、灵敏度S g =2的电阻丝应变片与阻值为120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为3V ，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为2με和2000με时，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。 解 ： 由S g =
∆R /R 0
ε
ε=2μ时，
单臂， 双臂，
ε=2000μ时，
单臂，
∆R 12⨯2000⨯10-6
U 0=U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=3⨯10-3(V )
4R 044∆R 12⨯2⨯10-6
U 0=U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=3⨯10-6(V )
4R 044
∆R 12⨯2⨯10-6
U 0=U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=6⨯10-6(V )
2R 022
∆R 12⨯2000⨯10-6
U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=6⨯10-3(V ) 双臂，U 0=2R 022
根据电桥的灵敏度S =
U 0，双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。 ∆R /R
4-10 已知某RC 低通滤波器，R=1000Ω, C=1μF,
1) 确定各函数式H(s), H(ω), A(ω), φ(ω)
2) 当输入信号u i =10sin1000t时，求输出信号u o 。
解：
1）
τ=RC =1000⨯1⨯10-6=0.001s
11=1+τs 1+0.001s
11H (ω) ==1+j τω1+j 0.001ω
A (ω) ==H (s ) =
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.001ω)
11
2）当输入信号u i =10sin1000t时，ω
=1000
A (ω) ===0.707
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.001ω) =-arctan1=-45︒
输出信号的幅值为 0.707⨯10=7.07
输出信号u o =7.07sin(1000t-45︒)
4-11 已知低通滤波器的频率响应函数
H (ω) =1
1+j τω
式中 τ=0.05s, 当输入信号x(t)=0.5cos(10t)+0.2cos(100t-45o ) 时，求输出有何区别。
解： 利用叠加原理及频率保持性解题
12 y(t),并比较y(t)与x(t)的幅值与相位
x 1(t ) =0.5cos10t , x 2(t ) =0.2cos (
100t -45 )由题意, τ=0.05
对于x 1(t ) =0.5cos10t , ω=10
A (ω) ===0.8944
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.05⨯10）=-26.56ο输出信号的幅值为0.8944⨯0.5=0.45输出信号的相位为0-26.56=-26.56︒输出的稳态响应为
y 1(t ) =0.45cos(10t -26.56ο)
同理对于x 2(t ) =0.2cos (
100t -45 ), ω=100A (ω) ===0.196ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.05⨯100) =-78.69ο输出信号的幅值为0.2⨯0.196=0.04输出信号的相位为-45︒-78.69︒=-123.69︒输出的稳态响应为y 2(t ) =0.04cos(100t -123.69︒) 故原信号对应的输出稳态响应为y (t ) =0.45cos(10t -26.56ο) +0.04cos(100t -123.69︒) 13