第! ! 卷第" 期宝鸡文理学院学报#自然科学版$
#$, &-. /0’&120&345&’’676&18. 9:0/;
(! ! ) &(" %&’
(! **! >0.
! **! 年+月
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
常系数非齐次线性微分方程组
初值问题的求解公式
@
杨继明A 蔡炯辉
玉溪师范学院数学系A 云南玉溪B #C +" **$
摘
要D 分别给出了常系数非齐次线性微分方程组和常系数非齐次线性差分方程组在给定的初始
条件下的求解公式(
关键词D 常系数E 非齐次线性微分方程E 非齐次线性差分方程E 方程解E 初始条件中图分类号D G C F "
文献标识码D 8
文章编号D " **G H " ! B " #! **! $*" H **+*H *+
IJ K L MN O PQ KR K O S T U V U Q U P O S P O N T W L K X O T M K J V K V Y K MK Z T V T K N R
O U V T P L [U J J T L T V Q U P O T \N P Q U K V R ]U Q Y^K V R Q P V Q ^K T J J U ^U T V Q R
H A H _8) ‘, 4a 4/758b , &/7c -4
#((A A B C h " **A A $d 6e 9>09c _-f 4g 60=c 6. :5&’’676_-f 4_-//0/5c 4/0
D (I X R Q L P ^Q 81&. a -’04:e . &i 4; 6; g c 61&. a -’074i 6:9c 6:&’-94&/9c 09:094:146:9c 64/4940’=&/; 494&/4/:&’i 4/79c 6:j :96a &1/&/c &a &76/6&-:’4/60. ; 4116. 6/940’6k -094&/:l49c=&/:90/9=&6114=46/9:0/; (9c 6:j :96a &14/c &a &76/6&-:’4/60. ; 4116. 6/=66k -094&/:l 49c=&/:90/9=&6114=46/9:
D E E m T n]K L [R =&/:90/9=&6114=46/94/c &a &76/6&-:’4/60. ; 4116. 6/940’6k -094&/4/c &a &76/6&-:’4/60. E E ; 4116. 6/=66k -094&/:&’-94&/&16k -094&/4/4940’=&/; 494&/
! ***D +h *E +r C op q 8+8*
对于常系数线性微分方程组初值问题; s t ; u v w s x y #z $A s #*$v s #" $*
其中s 是未知的{维向量函数A w 为{阶实矩阵A 其一y #u $为{维实向量函数A s *为{维实向量A
h ~
般解法可参阅文|近年来A 黄永念|杨继" }+~(A
C }G ~明|分别就齐次情形给出了该问题的几种新解
" ~
情形给出了几种解法A 杨继明等|就非齐次情形r ~给出了一种解法(此外A 贾利新等|给出了一种" *~求差分方程组#黄永年等|和! $的特解的方法A " " ~
就齐次情形分别给出了求差分方程组杨继明|
对一类重要的非齐次情形A 本#! $的通解的方法(
文将给出一个解求初值问题#! $A #+$的简便方法(引用文|并定义数零的#B ~与文|" " ~的符号A
#次幂为*v
法A 当向量函数y #u $的各分量均为拟多项式时A
我们将给出一个解决该问题的简便方法(
对于常系数线性差分方程组初值问题
s #! x " $v w s #! $x y #! $
#! $
s #*$v s #+$*
其中s #! $是未知的非负整变量! 的{维向量函数A 为{维实向量函数A 矩阵w 和向量s y #! $*同
C }G ~
初值问题#除一般解法外A 杨继明|就齐次" $A
*A #%*
#*$##’" $
设#为正整数A 为#个实向量A s &A s A *A *
++’"
(#) $v *) x *) x &x **" +为复系数多项式A
#*$#+$
以(*, +,#’" A #-$s s *表示向量***x
#+’" $#*$
*s x &x *s " *+*(
用文|并注意运用莱布尼兹公式A B ~的方法A
$
" A #v *
@收稿日期D ! **" H *B H ! "
作者简介D 杨继明#男A 云南玉溪人A 副教授A 现应邀到北京大学作访问研究(研究方向D 常微分方程与数论(" r B +H $A
第#期
杨继明等常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式
J #
%L ’
易证如下! 个定理"
定理#设$其%&’为(次实系数的多项式) 互不相同的实根为&互不相同的虚根为) *)&) #+#
--&) *)&) &) *)&) &%&’的+, #+,++, #+,+. 为多项式$##! ##! (. /#) *)+) %(%(. 重根) #, +! #, *(+, ! +, #, #
多项式*, (’/(’) +,+#!
$%&’/$%&’1%&2&’) . 0.
+#
$%&’. (. .
K K . 0/2. ) 02L ; $%&’L A . (. L /#.
. /#) *)+) 0/! ) *)(F #, +! .
定理8在定理#的条件下) 差分方程组%H ’满足初始条件%I ’的解为3%G ’/
(.
(20, #. . 0
G 2(,0,C 2#.
%G ’&(202C , #. . %4’
$%B ’34, . C
%(2C , #’A . 20
G 2(,0,C 2#
%G ’&(202C , #. . %4’
$%B ’3) . C 4@
%(2C , #’A . 20
02#
; ; K ;
. /#0/#
+,+
#!
(.
C /#
. /#) *)+) 0/#) *)() #, +! .
%4’%(2#’
又设3为(个5维实向量) 则微分方*)34) 4(20, #
. . 0
! >
. /+, #0/#
#
; K ;
C /#
程组
$%6’3/7%8’%其中6为微分算子) 3/3%9’为未知的5维向量函数’满足初始条件
3%. ’%4’/3%4. ’
)
. /4) *)(2#%:’
+.
(. 的解为3/
;
9; 9
(.
20=. 0,
. /#
0/#+#,+! (.
! >
9. 0
. /+;
20=@) #
, #0/#
其中向量=. #/%(. 2#’A $. ($. #%B ’3%44’
)
.
%&. ’=. 0/
$. (.
%&. ’%(. 20’A $. 0%B ’3%44’2(.
2#C
$%. (C 2(.
,0’. . . ) (.
2C C /(;
.
20, #D (%&’=@) . 20
E
. /#) *)+#, +! ) 0/! ) *(.
F 定理! 在定理#的条件下) 差分方程组$%B ’3%G ’/7%H ’%
其中B 为平移算子’满足初始条件3%. ’/3%4. ’
)
. /4) *)(2#%I ’
+#
(.
的解为3%G ’/
; ; %
G ’(&G 2(.
,0.
20. =. 0, . /#0/#
+#,+!
(.
! >
(.
20&G . 2(.
,0=. 0)
. /+;
, #; G ’#
0/#其中%G ’. /G %G 2#’*%G 2. , #’) %G ’4/#
) 向量=. 0同定理#
F 用文? I @的方法) 并注意运用莱布尼兹公式) 易证如下! 个定理"
定理J 在定理#的条件下) 微分方程组%8’满足初始条件%:’的解为3/
+#
(.
(. 20, #; (
202C , #.
9. /#
; K . 0
0/#;
%(. 20
2C , #’A $. C %B ’3%44’
,
C /#
+#,+
!
(
.
(.
20, #! >
; K
. 0; (. 202C , ##
, #
0/#
C /#
%(. 20
2C , #’A $. C %B ’3%44’
@
) 其中系数
K . #/#1$. (.
%&. ’) 其中K . 0同定理J
F 顺便说明) 运用莱布尼兹公式) 可改进文? H @和文? I @的结果F
定理:设$%&’为矩阵M 的特征多项式) 向量函数N %9’的各分量均为拟多项式) O 次多项式P %&’使得
P %6’N %9’/7
%Q ’
向量
3%44’/34) 3%4. , #’/M 3%4. ’, N %. ’
%
4’) . /4) *)5, O 2! )
则初值问题%#’的解即为微分方程组
$%6’P %6’3/7
满足初始条件
3%. ’%4’/3%4. ’
)
. /4) *)5, O 2#的解F
证明
设N %9’/%R #%9’) *)R 5%
9’’S
) 3/3%9’为初始值问题%#’的解)
则5
$%6’3/%; T .
#%6’R #%9’) . /#
5
*); T .
5%6’R 5%9’S
) %U ’
. /#
其中T . 0
%6’是行列式V 6W 2M V %W 为5阶单位矩阵’位于. 行0列的元素的代数余子式) 且
3%. ’%4’/3%4. ’
)
. /4) *)5, O 2#在%U ’式两边用算子P %6’作用) 则由%Q ’式得
$%6’P %6’3/7
故定理结论正确F
定理H 设$%&’为矩阵M 的特征多项式) O
次多项式P %&’使得P %B ’N %G ’/7) 3%44’
/34
) 3%4. , #’/M 3%4. ’, N %. ’) . /4) *)5, O 2! ) 则初值问题%! ’) %J ’的解为差分方程组
$%B ’P %B ’3%G ’/7
满足初始条件
3%. ’/3%4. ’
)
. /4) *)5, O 2#的解F 当用以上定理解决具体问题时) 以下! 个引
@%理是有用的!
#" $%&
引理"
宝鸡文理学院学报-自然科学版/
育出版社$" S T %!
%**%年
设’$(均为非负整数$) *为复
李承治! 常微分方程教程#北京Q 高等教#%&丁同仁! ! R &
育出版社$" S S " !
周之铭$朱思铭$等! 常微分方程#北京Q #@&王高雄$! R &
高等教育出版社$" S T @!
常系数线性常微分方程组的显示解#应#I &黄永念! &! U
用数学和力学$" S S %$" @-" %/Q "*G SV "*W @! 常系数齐次线性微分方程组初值问题的求#A &杨继明!
解公式及其应用#烟台师范学院学报-自然科学&! U 版/$%***$" G -" /Q T V " %!
常系数线性微分方程组的一种解法#宝#G &杨继明! &! U
鸡文理学院学报-自然科学版/$%**" $%" -" /Q " @V " A ! 常系数线性微分方程组的一种简便解法#W &杨继明!
(
’) , (2’*数$则, . /0(/) , 1*1-’*(-+,
引理%设’$(均为非负整数$3$4均为实数$则
(
’3, (2’
, 5/6784, /0:#-(/-3; 47/&$, 1*19’(-+,
(
’3, (2’
, 5/’(-+,
引理%易由引理" 证明!
例求微分方程组
@1+, 2A 满足初始条件
B
A
@
C B C
D ;
*
2, 5
-" */
四川师范学院学报$#&! %**" $%%-" /Q @G V @S ! U
张宝华$曹军! 常系数线性微分方程组的求#T &杨继明$
解公式及其应用#工科数学$&! %**" $" W -@/Q A W V G " ! U 王爱兰! 常系数非齐次线性差分方程的算#S &贾利新$
子解法#数学的实践与认识$&! %***$@*-I /Q I T A V U I S *!
昔秀峰! 常系数线性差分方程组的一种解#" *&黄永年$
法#应用数学学报$&! " S S A $" T -I /Q I T " V I T G ! U
常系数齐次线性微分方程组与其相应的#" " &杨继明!
差分方程组之间的联系#烟台师范学院学报&! U 自然科学版/-$" S S T $" I -" /Q W V " " !
关于限量分配问题#抚州师专学报-自#" %&杨继明! &! U
然科学版/$" S T A $-" $%/Q " " V " @!
E
D -*/1-*$" /-" " /
的解!
由定理A 易得$微分方程组-" */满足初始条
件-即为初值问题" " /的解$-F %2G H; @I /-F ; " /D 1J
E E
D -*/1-*$" /$D K -*/1-G $@/$
E D L -*/1-@%$2%" /的解$用定理" 或定理@解初值问题-" %/得
-" %/
D 1
2, @,
5-I
5-I G
参考文献Q
常微分方程讲义#第%版! 北京Q 高等教#" &叶彦谦! ! R &
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
上接第%c 7=8]8+5%‘=858c 7]^‘58]^c e :5c d =+6h =_^785]_‘_=V -G 页/
#W &
! >Y Z [9>\]8+=:^785]_‘_=a _]:6b 7c d :]8e f ]_7]g ^56]8+h 5b
! ij , k
l m n o m j ((p q o$"S T G $@I -" /QG %V W " !
#T &Rr ! s >t E >[u t 8c d 57:‘^5:58c ]c 7=8=h ]‘_7V
V #&! w x y i z n {m q j |:]^+v ]^78c 5_7=_‘=78c :5c d =+U n q}~, p (p ! j , p n q $"S S %$%QA W A V G *" !
#S &" $! [#$u\E u [t s u t 8c d 558c _=‘7
#&! z ! }~, p (&k . n m ’(y ~~|$"S S G $T S a _]::78a U -%/Q I G " V I G G !
非线性规划及其理论#北京Q #" *&应玫茜$魏权龄! ! R &
中国人民大学出版社$"S S I !
北京Q 高等教育出版#" " &李金宗! 模式识别导论#! R &
社$" S S I !
校对Q 周云波-诸平/
常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
杨继明， 蔡炯辉
玉溪师范学院,数学系,云南,玉溪,653100
宝鸡文理学院学报(自然科学版)
JOURNAL OF BAOJI COLLEGE OF ARTS AND SCIENCE（NATURAL SCIENCE EDITION）2002，22(1)1次
参考文献(12条)
1. 叶彦谦 常微分方程讲义 19822. 丁同仁. 李承治 常微分方程教程 19913. 王高雄. 周之铭. 朱思铭 常微分方程 1983
4. 黄永念 常系数线性常微分方程组的显示解 1992(12)
5. 杨继明 常系数齐次线性微分方程组初值问题的求解公式及其应用[期刊论文]-烟台师范学院学报(自然科学版) 2000(01)
6. 杨继明 常系数线性微分方程组的一种解法[期刊论文]-宝鸡文理学院学报(自然科学版) 2001(01)7. 杨继明 常系数线性微分方程组的一种简便解法[期刊论文]-四川师范学院学报(自然科学版) 2001(01)8. 杨继明. 张宝华. 曹军 常系数线性微分方程组的求解公式及其应用[期刊论文]-工科数学 2001(03)9. 贾利新. 王爱兰 常系数非齐次线性差分方程的算子解法[期刊论文]-数学的实践与认识 2000(04)10. 黄永年. 昔秀峰 常系数线性差分方程组的一种解法 1995(04)
11. 杨继明 常系数齐次线性微分方程组与其相应的差分方程组之间的联系[期刊论文]-烟台师范学院学报(自然科学版) 1998(01)
12. 杨继明 关于限量分配问题 1985(1,2)
相似文献(10条)
1.期刊论文 唐生强. 唐清干 n阶常系数非齐次线性微分方程的通解 -湖南农业大学学报（自然科学版）2004,30(5)
为研究n阶常系数非齐次线性常微分方程解的问题,求证了n阶常系数非齐次线性常微分方程的通解和特解的积分表达式.利用韦达定理和一个变量替换,对n阶常系数非齐次线性微分方程进行降阶,导出该方程的一个用积分表示的通解公式,并根据特征根的不同情形给出了通解的各种形式及相应的通解和特解公式.
2.期刊论文 杨芳. 吴小欢 n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法 -广西师范学院学报（自然科学版）2009,26(4)
归纳介绍了求n阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种方法,通过具体例子分析比较各种方法的优缺点,并小结各种方法的适用条件,供教学中参考.
3.期刊论文 求常系数非齐次线性微分方程特解的一种简捷方法 -网络财富2009,""(21)
对于自由项为两种常见形式的常系数非齐次线性微分方程,本文给出求其特解的一个简捷方法.
4.期刊论文 张菁 一类二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法 -高等数学研究2008,11(3)
根据一类二阶常系数非齐次线性微分方程系数的特点,利用降阶法,给出了求其通解的一种简便方法.当方程的系数满足新方法的要求时,非齐次项的选择范围较大,不局限于通常的两类型.
5.期刊论文 赵奎奇 常系数非齐次线性微分方程的特解又一分析 -高等数学研究2007,10(3)
讨论常系数非齐次线性微分方程L[y]=Pm(x)eαx特解的一种新的分析方法.
6.期刊论文 王焕 求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式 -高等数学研究2006,9(3)
基于微分算子分裂的思想,受到一阶线性方程求解公式的启发,运用多重积分交换积分顺序的技巧,得到求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一般性公式.
7.期刊论文 刘贵和 二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=pm(x)eλx型特解的又一求法 -中国民航飞行学院学报2006,17(2)
通过本文介绍了求形如y''+py'+qy=pm(x)eλx的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的又一方法,该方法与现行使用的方法比较,能起到删繁就简的作用.
8.期刊论文 郭世贞. 张继红. GUO Shi-zhen. ZHANG Ji-hong 常系数非齐次线性微分方程特解的一种公式化解法--高等数学中微分方程教学方法的一种新尝试 -大学数学2005,21(5)
给出了常系数非齐次线性微分方程特解的一种新的公式化求解方法.它有助于学生全面了解方程的解法,便于记忆和应用,并且扩大了可求解方程的范围.
9.期刊论文 张云艳 常系数非齐次线性微分方程的几个解法 -黄山学院学报2004,6(3)
给出了常系数非齐次线性微分方程的几个解法,并举例说明了它们的应用.
10.期刊论文 蒋惠芬. 张伟贤 用待定系数法求两类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 -江苏广播电视大学学报2001,12(3)
介绍用待定系数法求解两类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.
引证文献(1条)
1. 杨继明. 蔡炯辉 零化多项式的一个应用[期刊论文]-数学的实践与认识 2004(11)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_bjwlxyxb200201012.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：a71cad0e-8d50-48ae-bd16-9dcc0114ec21
下载时间：2010年8月8日
第! ! 卷第" 期宝鸡文理学院学报#自然科学版$
#$, &-. /0’&120&345&’’676&18. 9:0/;
(! ! ) &(" %&’
(! **! >0.
! **! 年+月
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
常系数非齐次线性微分方程组
初值问题的求解公式
@
杨继明A 蔡炯辉
玉溪师范学院数学系A 云南玉溪B #C +" **$
摘
要D 分别给出了常系数非齐次线性微分方程组和常系数非齐次线性差分方程组在给定的初始
条件下的求解公式(
关键词D 常系数E 非齐次线性微分方程E 非齐次线性差分方程E 方程解E 初始条件中图分类号D G C F "
文献标识码D 8
文章编号D " **G H " ! B " #! **! $*" H **+*H *+
IJ K L MN O PQ KR K O S T U V U Q U P O S P O N T W L K X O T M K J V K V Y K MK Z T V T K N R
O U V T P L [U J J T L T V Q U P O T \N P Q U K V R ]U Q Y^K V R Q P V Q ^K T J J U ^U T V Q R
H A H _8) ‘, 4a 4/758b , &/7c -4
#((A A B C h " **A A $d 6e 9>09c _-f 4g 60=c 6. :5&’’676_-f 4_-//0/5c 4/0
D (I X R Q L P ^Q 81&. a -’04:e . &i 4; 6; g c 61&. a -’074i 6:9c 6:&’-94&/9c 09:094:146:9c 64/4940’=&/; 494&/4/:&’i 4/79c 6:j :96a &1/&/c &a &76/6&-:’4/60. ; 4116. 6/940’6k -094&/:l49c=&/:90/9=&6114=46/9:0/; (9c 6:j :96a &14/c &a &76/6&-:’4/60. ; 4116. 6/=66k -094&/:l 49c=&/:90/9=&6114=46/9:
D E E m T n]K L [R =&/:90/9=&6114=46/94/c &a &76/6&-:’4/60. ; 4116. 6/940’6k -094&/4/c &a &76/6&-:’4/60. E E ; 4116. 6/=66k -094&/:&’-94&/&16k -094&/4/4940’=&/; 494&/
! ***D +h *E +r C op q 8+8*
对于常系数线性微分方程组初值问题; s t ; u v w s x y #z $A s #*$v s #" $*
其中s 是未知的{维向量函数A w 为{阶实矩阵A 其一y #u $为{维实向量函数A s *为{维实向量A
h ~
般解法可参阅文|近年来A 黄永念|杨继" }+~(A
C }G ~明|分别就齐次情形给出了该问题的几种新解
" ~
情形给出了几种解法A 杨继明等|就非齐次情形r ~给出了一种解法(此外A 贾利新等|给出了一种" *~求差分方程组#黄永年等|和! $的特解的方法A " " ~
就齐次情形分别给出了求差分方程组杨继明|
对一类重要的非齐次情形A 本#! $的通解的方法(
文将给出一个解求初值问题#! $A #+$的简便方法(引用文|并定义数零的#B ~与文|" " ~的符号A
#次幂为*v
法A 当向量函数y #u $的各分量均为拟多项式时A
我们将给出一个解决该问题的简便方法(
对于常系数线性差分方程组初值问题
s #! x " $v w s #! $x y #! $
#! $
s #*$v s #+$*
其中s #! $是未知的非负整变量! 的{维向量函数A 为{维实向量函数A 矩阵w 和向量s y #! $*同
C }G ~
初值问题#除一般解法外A 杨继明|就齐次" $A
*A #%*
#*$##’" $
设#为正整数A 为#个实向量A s &A s A *A *
++’"
(#) $v *) x *) x &x **" +为复系数多项式A
#*$#+$
以(*, +,#’" A #-$s s *表示向量***x
#+’" $#*$
*s x &x *s " *+*(
用文|并注意运用莱布尼兹公式A B ~的方法A
$
" A #v *
@收稿日期D ! **" H *B H ! "
作者简介D 杨继明#男A 云南玉溪人A 副教授A 现应邀到北京大学作访问研究(研究方向D 常微分方程与数论(" r B +H $A
第#期
杨继明等常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式
J #
%L ’
易证如下! 个定理"
定理#设$其%&’为(次实系数的多项式) 互不相同的实根为&互不相同的虚根为) *)&) #+#
--&) *)&) &) *)&) &%&’的+, #+,++, #+,+. 为多项式$##! ##! (. /#) *)+) %(%(. 重根) #, +! #, *(+, ! +, #, #
多项式*, (’/(’) +,+#!
$%&’/$%&’1%&2&’) . 0.
+#
$%&’. (. .
K K . 0/2. ) 02L ; $%&’L A . (. L /#.
. /#) *)+) 0/! ) *)(F #, +! .
定理8在定理#的条件下) 差分方程组%H ’满足初始条件%I ’的解为3%G ’/
(.
(20, #. . 0
G 2(,0,C 2#.
%G ’&(202C , #. . %4’
$%B ’34, . C
%(2C , #’A . 20
G 2(,0,C 2#
%G ’&(202C , #. . %4’
$%B ’3) . C 4@
%(2C , #’A . 20
02#
; ; K ;
. /#0/#
+,+
#!
(.
C /#
. /#) *)+) 0/#) *)() #, +! .
%4’%(2#’
又设3为(个5维实向量) 则微分方*)34) 4(20, #
. . 0
! >
. /+, #0/#
#
; K ;
C /#
程组
$%6’3/7%8’%其中6为微分算子) 3/3%9’为未知的5维向量函数’满足初始条件
3%. ’%4’/3%4. ’
)
. /4) *)(2#%:’
+.
(. 的解为3/
;
9; 9
(.
20=. 0,
. /#
0/#+#,+! (.
! >
9. 0
. /+;
20=@) #
, #0/#
其中向量=. #/%(. 2#’A $. ($. #%B ’3%44’
)
.
%&. ’=. 0/
$. (.
%&. ’%(. 20’A $. 0%B ’3%44’2(.
2#C
$%. (C 2(.
,0’. . . ) (.
2C C /(;
.
20, #D (%&’=@) . 20
E
. /#) *)+#, +! ) 0/! ) *(.
F 定理! 在定理#的条件下) 差分方程组$%B ’3%G ’/7%H ’%
其中B 为平移算子’满足初始条件3%. ’/3%4. ’
)
. /4) *)(2#%I ’
+#
(.
的解为3%G ’/
; ; %
G ’(&G 2(.
,0.
20. =. 0, . /#0/#
+#,+!
(.
! >
(.
20&G . 2(.
,0=. 0)
. /+;
, #; G ’#
0/#其中%G ’. /G %G 2#’*%G 2. , #’) %G ’4/#
) 向量=. 0同定理#
F 用文? I @的方法) 并注意运用莱布尼兹公式) 易证如下! 个定理"
定理J 在定理#的条件下) 微分方程组%8’满足初始条件%:’的解为3/
+#
(.
(. 20, #; (
202C , #.
9. /#
; K . 0
0/#;
%(. 20
2C , #’A $. C %B ’3%44’
,
C /#
+#,+
!
(
.
(.
20, #! >
; K
. 0; (. 202C , ##
, #
0/#
C /#
%(. 20
2C , #’A $. C %B ’3%44’
@
) 其中系数
K . #/#1$. (.
%&. ’) 其中K . 0同定理J
F 顺便说明) 运用莱布尼兹公式) 可改进文? H @和文? I @的结果F
定理:设$%&’为矩阵M 的特征多项式) 向量函数N %9’的各分量均为拟多项式) O 次多项式P %&’使得
P %6’N %9’/7
%Q ’
向量
3%44’/34) 3%4. , #’/M 3%4. ’, N %. ’
%
4’) . /4) *)5, O 2! )
则初值问题%#’的解即为微分方程组
$%6’P %6’3/7
满足初始条件
3%. ’%4’/3%4. ’
)
. /4) *)5, O 2#的解F
证明
设N %9’/%R #%9’) *)R 5%
9’’S
) 3/3%9’为初始值问题%#’的解)
则5
$%6’3/%; T .
#%6’R #%9’) . /#
5
*); T .
5%6’R 5%9’S
) %U ’
. /#
其中T . 0
%6’是行列式V 6W 2M V %W 为5阶单位矩阵’位于. 行0列的元素的代数余子式) 且
3%. ’%4’/3%4. ’
)
. /4) *)5, O 2#在%U ’式两边用算子P %6’作用) 则由%Q ’式得
$%6’P %6’3/7
故定理结论正确F
定理H 设$%&’为矩阵M 的特征多项式) O
次多项式P %&’使得P %B ’N %G ’/7) 3%44’
/34
) 3%4. , #’/M 3%4. ’, N %. ’) . /4) *)5, O 2! ) 则初值问题%! ’) %J ’的解为差分方程组
$%B ’P %B ’3%G ’/7
满足初始条件
3%. ’/3%4. ’
)
. /4) *)5, O 2#的解F 当用以上定理解决具体问题时) 以下! 个引
@%理是有用的!
#" $%&
引理"
宝鸡文理学院学报-自然科学版/
育出版社$" S T %!
%**%年
设’$(均为非负整数$) *为复
李承治! 常微分方程教程#北京Q 高等教#%&丁同仁! ! R &
育出版社$" S S " !
周之铭$朱思铭$等! 常微分方程#北京Q #@&王高雄$! R &
高等教育出版社$" S T @!
常系数线性常微分方程组的显示解#应#I &黄永念! &! U
用数学和力学$" S S %$" @-" %/Q "*G SV "*W @! 常系数齐次线性微分方程组初值问题的求#A &杨继明!
解公式及其应用#烟台师范学院学报-自然科学&! U 版/$%***$" G -" /Q T V " %!
常系数线性微分方程组的一种解法#宝#G &杨继明! &! U
鸡文理学院学报-自然科学版/$%**" $%" -" /Q " @V " A ! 常系数线性微分方程组的一种简便解法#W &杨继明!
(
’) , (2’*数$则, . /0(/) , 1*1-’*(-+,
引理%设’$(均为非负整数$3$4均为实数$则
(
’3, (2’
, 5/6784, /0:#-(/-3; 47/&$, 1*19’(-+,
(
’3, (2’
, 5/’(-+,
引理%易由引理" 证明!
例求微分方程组
@1+, 2A 满足初始条件
B
A
@
C B C
D ;
*
2, 5
-" */
四川师范学院学报$#&! %**" $%%-" /Q @G V @S ! U
张宝华$曹军! 常系数线性微分方程组的求#T &杨继明$
解公式及其应用#工科数学$&! %**" $" W -@/Q A W V G " ! U 王爱兰! 常系数非齐次线性差分方程的算#S &贾利新$
子解法#数学的实践与认识$&! %***$@*-I /Q I T A V U I S *!
昔秀峰! 常系数线性差分方程组的一种解#" *&黄永年$
法#应用数学学报$&! " S S A $" T -I /Q I T " V I T G ! U
常系数齐次线性微分方程组与其相应的#" " &杨继明!
差分方程组之间的联系#烟台师范学院学报&! U 自然科学版/-$" S S T $" I -" /Q W V " " !
关于限量分配问题#抚州师专学报-自#" %&杨继明! &! U
然科学版/$" S T A $-" $%/Q " " V " @!
E
D -*/1-*$" /-" " /
的解!
由定理A 易得$微分方程组-" */满足初始条
件-即为初值问题" " /的解$-F %2G H; @I /-F ; " /D 1J
E E
D -*/1-*$" /$D K -*/1-G $@/$
E D L -*/1-@%$2%" /的解$用定理" 或定理@解初值问题-" %/得
-" %/
D 1
2, @,
5-I
5-I G
参考文献Q
常微分方程讲义#第%版! 北京Q 高等教#" &叶彦谦! ! R &
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
上接第%c 7=8]8+5%‘=858c 7]^‘58]^c e :5c d =+6h =_^785]_‘_=V -G 页/
#W &
! >Y Z [9>\]8+=:^785]_‘_=a _]:6b 7c d :]8e f ]_7]g ^56]8+h 5b
! ij , k
l m n o m j ((p q o$"S T G $@I -" /QG %V W " !
#T &Rr ! s >t E >[u t 8c d 57:‘^5:58c ]c 7=8=h ]‘_7V
V #&! w x y i z n {m q j |:]^+v ]^78c 5_7=_‘=78c :5c d =+U n q}~, p (p ! j , p n q $"S S %$%QA W A V G *" !
#S &" $! [#$u\E u [t s u t 8c d 558c _=‘7
#&! z ! }~, p (&k . n m ’(y ~~|$"S S G $T S a _]::78a U -%/Q I G " V I G G !
非线性规划及其理论#北京Q #" *&应玫茜$魏权龄! ! R &
中国人民大学出版社$"S S I !
北京Q 高等教育出版#" " &李金宗! 模式识别导论#! R &
社$" S S I !
校对Q 周云波-诸平/
常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
杨继明， 蔡炯辉
玉溪师范学院,数学系,云南,玉溪,653100
宝鸡文理学院学报(自然科学版)
JOURNAL OF BAOJI COLLEGE OF ARTS AND SCIENCE（NATURAL SCIENCE EDITION）2002，22(1)1次
参考文献(12条)
1. 叶彦谦 常微分方程讲义 19822. 丁同仁. 李承治 常微分方程教程 19913. 王高雄. 周之铭. 朱思铭 常微分方程 1983
4. 黄永念 常系数线性常微分方程组的显示解 1992(12)
5. 杨继明 常系数齐次线性微分方程组初值问题的求解公式及其应用[期刊论文]-烟台师范学院学报(自然科学版) 2000(01)
6. 杨继明 常系数线性微分方程组的一种解法[期刊论文]-宝鸡文理学院学报(自然科学版) 2001(01)7. 杨继明 常系数线性微分方程组的一种简便解法[期刊论文]-四川师范学院学报(自然科学版) 2001(01)8. 杨继明. 张宝华. 曹军 常系数线性微分方程组的求解公式及其应用[期刊论文]-工科数学 2001(03)9. 贾利新. 王爱兰 常系数非齐次线性差分方程的算子解法[期刊论文]-数学的实践与认识 2000(04)10. 黄永年. 昔秀峰 常系数线性差分方程组的一种解法 1995(04)
11. 杨继明 常系数齐次线性微分方程组与其相应的差分方程组之间的联系[期刊论文]-烟台师范学院学报(自然科学版) 1998(01)
12. 杨继明 关于限量分配问题 1985(1,2)
相似文献(10条)
1.期刊论文 唐生强. 唐清干 n阶常系数非齐次线性微分方程的通解 -湖南农业大学学报（自然科学版）2004,30(5)
为研究n阶常系数非齐次线性常微分方程解的问题,求证了n阶常系数非齐次线性常微分方程的通解和特解的积分表达式.利用韦达定理和一个变量替换,对n阶常系数非齐次线性微分方程进行降阶,导出该方程的一个用积分表示的通解公式,并根据特征根的不同情形给出了通解的各种形式及相应的通解和特解公式.
2.期刊论文 杨芳. 吴小欢 n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法 -广西师范学院学报（自然科学版）2009,26(4)
归纳介绍了求n阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种方法,通过具体例子分析比较各种方法的优缺点,并小结各种方法的适用条件,供教学中参考.
3.期刊论文 求常系数非齐次线性微分方程特解的一种简捷方法 -网络财富2009,""(21)
对于自由项为两种常见形式的常系数非齐次线性微分方程,本文给出求其特解的一个简捷方法.
4.期刊论文 张菁 一类二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法 -高等数学研究2008,11(3)
根据一类二阶常系数非齐次线性微分方程系数的特点,利用降阶法,给出了求其通解的一种简便方法.当方程的系数满足新方法的要求时,非齐次项的选择范围较大,不局限于通常的两类型.
5.期刊论文 赵奎奇 常系数非齐次线性微分方程的特解又一分析 -高等数学研究2007,10(3)
讨论常系数非齐次线性微分方程L[y]=Pm(x)eαx特解的一种新的分析方法.
6.期刊论文 王焕 求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式 -高等数学研究2006,9(3)
基于微分算子分裂的思想,受到一阶线性方程求解公式的启发,运用多重积分交换积分顺序的技巧,得到求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一般性公式.
7.期刊论文 刘贵和 二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=pm(x)eλx型特解的又一求法 -中国民航飞行学院学报2006,17(2)
通过本文介绍了求形如y''+py'+qy=pm(x)eλx的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的又一方法,该方法与现行使用的方法比较,能起到删繁就简的作用.
8.期刊论文 郭世贞. 张继红. GUO Shi-zhen. ZHANG Ji-hong 常系数非齐次线性微分方程特解的一种公式化解法--高等数学中微分方程教学方法的一种新尝试 -大学数学2005,21(5)
给出了常系数非齐次线性微分方程特解的一种新的公式化求解方法.它有助于学生全面了解方程的解法,便于记忆和应用,并且扩大了可求解方程的范围.
9.期刊论文 张云艳 常系数非齐次线性微分方程的几个解法 -黄山学院学报2004,6(3)
给出了常系数非齐次线性微分方程的几个解法,并举例说明了它们的应用.
10.期刊论文 蒋惠芬. 张伟贤 用待定系数法求两类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 -江苏广播电视大学学报2001,12(3)
介绍用待定系数法求解两类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.
引证文献(1条)
1. 杨继明. 蔡炯辉 零化多项式的一个应用[期刊论文]-数学的实践与认识 2004(11)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_bjwlxyxb200201012.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：a71cad0e-8d50-48ae-bd16-9dcc0114ec21
下载时间：2010年8月8日