第三章流体静力学

•静止（平衡）状态：流体相对于惯性参考坐标系（地球）没有运动。

•

静止或相对静止状态下的流体呈现粘性吗？

dvx

0

dy

作用在流体上的表面力只有负的法向应力（静压强）。

dFn

pnnpn即

dA

第一节 流体静压强及其特性

•特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。

pdFn

nndA



pn

n—— 受力表面的外法线方向。

• 特性二：静止流体中任一点流体静压强的大小与其作

pxpypzpn 用面在空间的方位无关，即

x方向平衡方程：

1

pxyzpnBCDcospn,x21

fxxyz0

6



BCDcospn,xBAD

简化条件 

x，y，z0



 注意：

1、静止流体中不同点的压强一般是不等的，p=f(x,y,z)。 2、实际流体运动时，由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向应力不再相等。 3、理想流体运动时，没有切应力，所以呈静压强分布

特性，p xpypzp

第二节 流体平衡方程式

一、平衡方程式

pxp-x2yz

表面力

x向受力p+pxyz

x2

质量力fxxyz

• 物理意义：

在静止的流体中，当微小六面体以a点为极限时，作用在该点单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。 • 适用性：

对不可压缩和可压缩流体的静止及相对静止状态都适用。

二、压强差公式 等压面

pppp=fx,y,zdpdxdy+dzxyz1p1p1pfx0，fy0，fz0xyz

• 压强差公式 dp(fxdxfydyfzdz)

或 • 等压面微分方程 dpfdsfds0

1、等压面：流体中压强相等的各点所组成的面。

2、只有重力作用下的等压面应满足的条件：

（1）静止；

（2）连通；

（3）连通的介质为同一均质流体；

（4）质量力仅有重力；

（5）同一水平面。

3、性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于

等压面。

三、平衡条件（*）

dpfxdxfydyfzdz右侧必是某函数-x,y,z的全微分

 因此， fx,fy,fzxyz 或fgrad

（设a是向量场，若存在纯函数u，使a=gradu，则称u为a的势函数。）

等势面：势函数相等的诸点组成的面。

有势力：有势函数存在的质量力。

证明：重力是有势的质量力吗？

第三节 重力场中流体的 平衡帕斯卡原理

一、绝对压强 计示压强

（1）绝对压强p：以完全真空(p=0)为基准计量的压强。

（2）计示压强pe：以当地大气压(pa)为基准计量的压强。

（3）真空pv：绝对压强小于当地大气压强的负计示压强。

绝对压强 p=pa+ρgh

计示压强 pe=p-pa= ρgh

真空值 pv=pa-p

真空高度 pvpaphvgg

二、流体静力学基本方程式

流体静力学基本方程： *适用于均质不可压缩流体

结论：

1、静水压强随深度线性增加。

2、自由表面下深度相等的各点压强均相等。

3、在均质、连通的液体中，水平面必然是等压面。

p2p1gh（Δh=z1-z2） 4、

1、物理意义

（压强势能）（位势能）

pzcg

（总势能）

物理意义：在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，各点单位重量流体的总势能保持不变。

2、几何意义

水头：用液柱高度来表示单位重量流体所具有的能量。 （压强水头）（位置水头 ）

pzcg

（静水头 ）

几何意义：在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，静水头线和计示静水头线均为水平线。

几何

z

p/ρg

z+ p/ρg 能量 位置水头：基准面到单位重量流体的位势点所在位置的高度。 能 压强水头：压强作用下在完全真空的测压管中测得的高度。 静水头 单位重量流体的压强势能 总势能

3、帕斯卡原理

p2p1gh

帕斯卡原理：施于在重力作用下不可压缩流体表面上的压强，将以同一数值沿各个方向传递到流体中的所有流体质点。

原理应用：水压机，增压油缸等

指出盛液容器内A、 B和C三点的位置水头、压强水头和静水头。以图示O-O为基准面。

zA zB zC

pAg

pzA

gpB

zB

gpC

zC

g

pBg

pCg

试问图中A、B、C、D点的压强水头，静水头。（D点闸门关闭，以D点所在的水平面为基准面）

A:， B:， C:， D:，

hv=2m时，求封闭容器A中的真空值。

设封闭容器内的绝对压强为p，真空值为pv 。

ppa-ghv

pv=pa-p=pa-(pa-ghv)=ghv

=98002=19.6kPa

第四节 液柱式测压计

一、测压管

测压管：以液柱高度为表征，测量点压强的连通管。 适用范围：用于测量较小的压强。

A点处压强：

1.

pegh

2.

pvpappa(pagh)gh

1. 测计示压强 2.测真空

二、U形管测压计

适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常

被测点压强较大。

a点处压强：

1.2.

pe2gh21gh1pv2gh21gh1

1. 测计示压强 2.测真空

三、U形管压差计

适用范围：测定液体中两点的压强差。 分类：油压差计—测很小的压差； 空气压差计—测中、低压差； 水银压差计—测高压差。

pApB1gh22gh1gh1

21gh

四、倾斜微压计

适用范围：用于测定微小的流体压强。

h1lsinh2lA1/A2

hh1h2lsinA1/A2pp2p1

gh

gsinA1/A2lkl

k——微压计系数，由仪器几何条件决定。

五、补偿式微压计

适用范围：用于精确测量微小压强或压强差，亦用来校 准普通的倾斜微压计。

ppagh或

pegh

思考题

1、传统实验中，为什么常用水银作U型测压管的工作流体？ （1）压缩性小；（2）汽化压强低；（3）密度大。

2、水深相差h的A、B两点均位于箱内静水中，连接两点的U形汞压差计的液面高差hm，试问下述三个值hm哪个正确？

pp（1）

gmpp（2）

gmg（3） 0

g1

g2，在容器3、两种液体盛在同一容器中，且

侧壁装了两根测压管，试问图中所标明的测压管中水位对否？

例3-1 有一直径为d的圆柱体，其重力为W，在力F的作用下，当淹深为h时，处于静止状态，求测压管中水柱的高度H。 圆柱体底面上各点所受到的计

示压强为：

Fmgpe2d4peHhg

pegHh

例3-2 假设容器A中水面上的计示压强为pe，已知h，h1，h2，h3，水的密度ρ1，酒精的密度ρ3，试求容器B中气体的计示压强。

p1epe1ghh1

p2ep1e3gh1

pe1ghh13gh1

p3ep2e2gh2

pe1ghh13gh12gh2

pBep4ep3e3gh3

pe1ghh13gh1

2gh23gh3

例3-3 两圆筒用管子连接，内充水银，第一个圆筒的直径d1，其活塞上受力F1，密封气体的计示压强pe，第二个圆筒的直径d2，其活塞上受力F2，开口通大气。若不计活塞质量，求平衡时两活塞的高度差h，水银的密度为ρ。 F1p14d14

F2p24d34

pep1ghp2

第五节 液体的相对平衡

相对平衡：各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相 对运动的相对静止或相对平衡状态。  注意：

①流体内部或流体与边壁之间都不存在切应力。

②相对平衡流体中，质量力除重力外，还受到惯性力的作用。

EXIT

一、水平等加速运动容器中液体的相对平衡

装着液体的车以等加速度a向右行驶，液面上气体压强为p0，达到相对平衡后，液面与水平面间的夹角α。 • 液体静压强分布规律 paxgzC

axgzC1

axgzs0（压力）pp01=-tanagpp0gzszp0gh

EXIT

例3-4 油轮的前后舱装有相同的油，液位分别为h1和h2，前舱长l1，后舱长l2，前后舱的长度均为b。试问在前、后舱隔板上的总压力等于零，即隔板前、后油的深度相同时，油轮的等加速度a应该是多少？ ahh1h2htangl1l2l1bh1h1l1bhh1

h1?

l2bh2hl2bh2h

h2?22

二、等角速度旋转容器中液体的相对平衡 • 流体静压强分布规律

122p(rgz2

• 等压面方程

r

fxrcosx

fyrsiny

fzg2222222gzC1• 自由面方程 zsr22

2g

pp0g(zsz)p0gh

EXIT

实例1：封闭容器装满液体，顶盖中心开口通大气

122p(rgz)C2

条件：r 0，z0，ppa

因此： Cpa

ppag(r22

2gz)

实例2：封闭容器装满液体， 顶盖边缘开口通大气

122p(rgz)C2

条件：r R，z0，ppa

因此： CpaR

222

2R2r2ppagz2g

例3-5 液体转速计由直径为d1的中

心圆筒和重力为W的活塞及与其

连通的两根直径为d2的细管组成，

内装水银。细管中心线距圆筒中

心轴的距离为R。当转速计的转速

变化时，活塞带动指针上、下移

动。试推导活塞位移h与转速n之

间的关系式。

EXIT

思考题

1、相对平衡的流体的等压面是否为水平面？为什么？什么条件下的等压面是水平面？

不一定，因为相对平衡的流体存在惯性力，质量力只有重力作用下平衡流体的等压面是水平面。

2、若人所能承受的最大压力为 1.274MPa（相对压强），则潜水员的极限潜水深度为多少？

3、盛有液体的敞口容器作自由落体时，

容器壁面AB上的压强如何分布？

EXIT

例：为测定运动物体的加速度，在运动物体上装直径为d的U形管。现测得管中液面差h=0.05m，两管的水平距离L=0.3m，求加速度a。 解： fxdx+fydy+fzdz=dp

fx=-a，fy=0，fz=-g

-adxgdz=dp

积分得 (ax+gz)+C=p

对于自由面，在x=0，z=0处，由p＝0

可确定C=0；

在x=l，z=－h处，为自由表面，p＝0，则有

h0.052a=g9.8=1.63m/sl0.3

设有一圆柱形敞口容器，绕其铅锤中心轴做等角速度旋转。已知直径D=30cm，高度H=50cm，水深h=30cm，试求当水面恰好到达容器的上边缘时的转速n。 1DD=h-h0H-h024422

2g

在r=R,z=H-h0zs=r22RRn30

178.34r/min

设有一圆柱形容器，已知直径D=600mm，高度H=500mm，

3盛水至h=400mm，剩余部分盛满密度ρ0=800kg/m的油。容

器顶盖中心有一小孔与大气相通。试求当油面开始接触到容器底板时，此容器绕其铅锤中心轴旋转的转速n，和此时顶板、底板上的最大、最小压强值。

设顶盖上水与油的交界处半径为r1，由油的体积关系 12Dr1H24

r10.1897m2H-h由 zs=r22

2g，且r=r1处，

z=H，得ω=16.5rad/s，即

n=157.64r/min

(1) 油内部压力分布

122p油rgzc2

因为，r=0，z=H处，p=0，代入上式得 c油gH

p 在r=0，z=0处，出现底板p油min，油min油gH3918Pa

在r=0，z=H处，出现顶盖p油min，即p油min=0

在r=r1，z=H处，出现顶盖p油max，即 p油max122油r12

（2）水内部压力分布

122p水rgzc2

122由r=r1，z=H处，p水=p油max，c (油-水)r1+水gH2

在r=D/2，z=0处，出现底板p水max，即p水max=16142Pa 在r=D/2，z=H处，出现顶盖p水max，即p水max=11242Pa

第六节 静止液体作用在平面上 的总压力

•静止（平衡）状态：流体相对于惯性参考坐标系（地球）没有运动。

•

静止或相对静止状态下的流体呈现粘性吗？

dvx

0

dy

作用在流体上的表面力只有负的法向应力（静压强）。

dFn

pnnpn即

dA

第一节 流体静压强及其特性

•特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。

pdFn

nndA



pn

n—— 受力表面的外法线方向。

• 特性二：静止流体中任一点流体静压强的大小与其作

pxpypzpn 用面在空间的方位无关，即

x方向平衡方程：

1

pxyzpnBCDcospn,x21

fxxyz0

6



BCDcospn,xBAD

简化条件 

x，y，z0



 注意：

1、静止流体中不同点的压强一般是不等的，p=f(x,y,z)。 2、实际流体运动时，由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向应力不再相等。 3、理想流体运动时，没有切应力，所以呈静压强分布

特性，p xpypzp

第二节 流体平衡方程式

一、平衡方程式

pxp-x2yz

表面力

x向受力p+pxyz

x2

质量力fxxyz

• 物理意义：

在静止的流体中，当微小六面体以a点为极限时，作用在该点单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。 • 适用性：

对不可压缩和可压缩流体的静止及相对静止状态都适用。

二、压强差公式 等压面

pppp=fx,y,zdpdxdy+dzxyz1p1p1pfx0，fy0，fz0xyz

• 压强差公式 dp(fxdxfydyfzdz)

或 • 等压面微分方程 dpfdsfds0

1、等压面：流体中压强相等的各点所组成的面。

2、只有重力作用下的等压面应满足的条件：

（1）静止；

（2）连通；

（3）连通的介质为同一均质流体；

（4）质量力仅有重力；

（5）同一水平面。

3、性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于

等压面。

三、平衡条件（*）

dpfxdxfydyfzdz右侧必是某函数-x,y,z的全微分

 因此， fx,fy,fzxyz 或fgrad

（设a是向量场，若存在纯函数u，使a=gradu，则称u为a的势函数。）

等势面：势函数相等的诸点组成的面。

有势力：有势函数存在的质量力。

证明：重力是有势的质量力吗？

第三节 重力场中流体的 平衡帕斯卡原理

一、绝对压强 计示压强

（1）绝对压强p：以完全真空(p=0)为基准计量的压强。

（2）计示压强pe：以当地大气压(pa)为基准计量的压强。

（3）真空pv：绝对压强小于当地大气压强的负计示压强。

绝对压强 p=pa+ρgh

计示压强 pe=p-pa= ρgh

真空值 pv=pa-p

真空高度 pvpaphvgg

二、流体静力学基本方程式

流体静力学基本方程： *适用于均质不可压缩流体

结论：

1、静水压强随深度线性增加。

2、自由表面下深度相等的各点压强均相等。

3、在均质、连通的液体中，水平面必然是等压面。

p2p1gh（Δh=z1-z2） 4、

1、物理意义

（压强势能）（位势能）

pzcg

（总势能）

物理意义：在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，各点单位重量流体的总势能保持不变。

2、几何意义

水头：用液柱高度来表示单位重量流体所具有的能量。 （压强水头）（位置水头 ）

pzcg

（静水头 ）

几何意义：在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，静水头线和计示静水头线均为水平线。

几何

z

p/ρg

z+ p/ρg 能量 位置水头：基准面到单位重量流体的位势点所在位置的高度。 能 压强水头：压强作用下在完全真空的测压管中测得的高度。 静水头 单位重量流体的压强势能 总势能

3、帕斯卡原理

p2p1gh

帕斯卡原理：施于在重力作用下不可压缩流体表面上的压强，将以同一数值沿各个方向传递到流体中的所有流体质点。

原理应用：水压机，增压油缸等

指出盛液容器内A、 B和C三点的位置水头、压强水头和静水头。以图示O-O为基准面。

zA zB zC

pAg

pzA

gpB

zB

gpC

zC

g

pBg

pCg

试问图中A、B、C、D点的压强水头，静水头。（D点闸门关闭，以D点所在的水平面为基准面）

A:， B:， C:， D:，

hv=2m时，求封闭容器A中的真空值。

设封闭容器内的绝对压强为p，真空值为pv 。

ppa-ghv

pv=pa-p=pa-(pa-ghv)=ghv

=98002=19.6kPa

第四节 液柱式测压计

一、测压管

测压管：以液柱高度为表征，测量点压强的连通管。 适用范围：用于测量较小的压强。

A点处压强：

1.

pegh

2.

pvpappa(pagh)gh

1. 测计示压强 2.测真空

二、U形管测压计

适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常

被测点压强较大。

a点处压强：

1.2.

pe2gh21gh1pv2gh21gh1

1. 测计示压强 2.测真空

三、U形管压差计

适用范围：测定液体中两点的压强差。 分类：油压差计—测很小的压差； 空气压差计—测中、低压差； 水银压差计—测高压差。

pApB1gh22gh1gh1

21gh

四、倾斜微压计

适用范围：用于测定微小的流体压强。

h1lsinh2lA1/A2

hh1h2lsinA1/A2pp2p1

gh

gsinA1/A2lkl

k——微压计系数，由仪器几何条件决定。

五、补偿式微压计

适用范围：用于精确测量微小压强或压强差，亦用来校 准普通的倾斜微压计。

ppagh或

pegh

思考题

1、传统实验中，为什么常用水银作U型测压管的工作流体？ （1）压缩性小；（2）汽化压强低；（3）密度大。

2、水深相差h的A、B两点均位于箱内静水中，连接两点的U形汞压差计的液面高差hm，试问下述三个值hm哪个正确？

pp（1）

gmpp（2）

gmg（3） 0

g1

g2，在容器3、两种液体盛在同一容器中，且

侧壁装了两根测压管，试问图中所标明的测压管中水位对否？

例3-1 有一直径为d的圆柱体，其重力为W，在力F的作用下，当淹深为h时，处于静止状态，求测压管中水柱的高度H。 圆柱体底面上各点所受到的计

示压强为：

Fmgpe2d4peHhg

pegHh

例3-2 假设容器A中水面上的计示压强为pe，已知h，h1，h2，h3，水的密度ρ1，酒精的密度ρ3，试求容器B中气体的计示压强。

p1epe1ghh1

p2ep1e3gh1

pe1ghh13gh1

p3ep2e2gh2

pe1ghh13gh12gh2

pBep4ep3e3gh3

pe1ghh13gh1

2gh23gh3

例3-3 两圆筒用管子连接，内充水银，第一个圆筒的直径d1，其活塞上受力F1，密封气体的计示压强pe，第二个圆筒的直径d2，其活塞上受力F2，开口通大气。若不计活塞质量，求平衡时两活塞的高度差h，水银的密度为ρ。 F1p14d14

F2p24d34

pep1ghp2

第五节 液体的相对平衡

相对平衡：各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相 对运动的相对静止或相对平衡状态。  注意：

①流体内部或流体与边壁之间都不存在切应力。

②相对平衡流体中，质量力除重力外，还受到惯性力的作用。

EXIT

一、水平等加速运动容器中液体的相对平衡

装着液体的车以等加速度a向右行驶，液面上气体压强为p0，达到相对平衡后，液面与水平面间的夹角α。 • 液体静压强分布规律 paxgzC

axgzC1

axgzs0（压力）pp01=-tanagpp0gzszp0gh

EXIT

例3-4 油轮的前后舱装有相同的油，液位分别为h1和h2，前舱长l1，后舱长l2，前后舱的长度均为b。试问在前、后舱隔板上的总压力等于零，即隔板前、后油的深度相同时，油轮的等加速度a应该是多少？ ahh1h2htangl1l2l1bh1h1l1bhh1

h1?

l2bh2hl2bh2h

h2?22

二、等角速度旋转容器中液体的相对平衡 • 流体静压强分布规律

122p(rgz2

• 等压面方程

r

fxrcosx

fyrsiny

fzg2222222gzC1• 自由面方程 zsr22

2g

pp0g(zsz)p0gh

EXIT

实例1：封闭容器装满液体，顶盖中心开口通大气

122p(rgz)C2

条件：r 0，z0，ppa

因此： Cpa

ppag(r22

2gz)

实例2：封闭容器装满液体， 顶盖边缘开口通大气

122p(rgz)C2

条件：r R，z0，ppa

因此： CpaR

222

2R2r2ppagz2g

例3-5 液体转速计由直径为d1的中

心圆筒和重力为W的活塞及与其

连通的两根直径为d2的细管组成，

内装水银。细管中心线距圆筒中

心轴的距离为R。当转速计的转速

变化时，活塞带动指针上、下移

动。试推导活塞位移h与转速n之

间的关系式。

EXIT

思考题

1、相对平衡的流体的等压面是否为水平面？为什么？什么条件下的等压面是水平面？

不一定，因为相对平衡的流体存在惯性力，质量力只有重力作用下平衡流体的等压面是水平面。

2、若人所能承受的最大压力为 1.274MPa（相对压强），则潜水员的极限潜水深度为多少？

3、盛有液体的敞口容器作自由落体时，

容器壁面AB上的压强如何分布？

EXIT

例：为测定运动物体的加速度，在运动物体上装直径为d的U形管。现测得管中液面差h=0.05m，两管的水平距离L=0.3m，求加速度a。 解： fxdx+fydy+fzdz=dp

fx=-a，fy=0，fz=-g

-adxgdz=dp

积分得 (ax+gz)+C=p

对于自由面，在x=0，z=0处，由p＝0

可确定C=0；

在x=l，z=－h处，为自由表面，p＝0，则有

h0.052a=g9.8=1.63m/sl0.3

设有一圆柱形敞口容器，绕其铅锤中心轴做等角速度旋转。已知直径D=30cm，高度H=50cm，水深h=30cm，试求当水面恰好到达容器的上边缘时的转速n。 1DD=h-h0H-h024422

2g

在r=R,z=H-h0zs=r22RRn30

178.34r/min

设有一圆柱形容器，已知直径D=600mm，高度H=500mm，

3盛水至h=400mm，剩余部分盛满密度ρ0=800kg/m的油。容

器顶盖中心有一小孔与大气相通。试求当油面开始接触到容器底板时，此容器绕其铅锤中心轴旋转的转速n，和此时顶板、底板上的最大、最小压强值。

设顶盖上水与油的交界处半径为r1，由油的体积关系 12Dr1H24

r10.1897m2H-h由 zs=r22

2g，且r=r1处，

z=H，得ω=16.5rad/s，即

n=157.64r/min

(1) 油内部压力分布

122p油rgzc2

因为，r=0，z=H处，p=0，代入上式得 c油gH

p 在r=0，z=0处，出现底板p油min，油min油gH3918Pa

在r=0，z=H处，出现顶盖p油min，即p油min=0

在r=r1，z=H处，出现顶盖p油max，即 p油max122油r12

（2）水内部压力分布

122p水rgzc2

122由r=r1，z=H处，p水=p油max，c (油-水)r1+水gH2

在r=D/2，z=0处，出现底板p水max，即p水max=16142Pa 在r=D/2，z=H处，出现顶盖p水max，即p水max=11242Pa

第六节 静止液体作用在平面上 的总压力