1-3 正弦、餘弦與面積公式
Notation ：為了方便起見，右圖所示，在∆ABC 中，我們以符號
a 、b 、c 分別表∠A 、∠B 、∠C 的邊長
Notation ：已知∆ABC ，則試證：∆ABC 的面積=
1
ac sin B 2
解：自A 做一垂線AD 垂直BC 於D 點∴AD =c sin B ∴∆ABC 的面積=
1 1 ⨯底⨯高=ac sin B 2 2
Notation ：這個面積公式，不僅於銳角三角形，是所有的三角形都適用。
Notation ：(三角形的面積公式) 已知∆ABC ，a 、b 、c 分別為∠A 、∠B 、∠C 的對邊長，則：
∆ABC 的面積=
111
b ⋅c ⋅sin A = a ⋅c ⋅sin B = a ⋅b ⋅sin C 2 2 2
Ex ：(一-例6) 在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝7，且∠A ＝30°，求△ABC 的面積 11
解：△ABC 的面積S ＝ 2 sinA ＝ 2 × 7 × 12 × sin 30°＝21
Ex ：(一-例6-類) 求下列△ABC 的面積：
(1)AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°。 (2)AC ＝3，BC ＝5，∠C ＝90°
1115解：(1) △ABC 面積＝ 2 ×6×8×sin 120°＝ 3 (2) △ABC 面積＝ 2 ×3×5×sin 90°＝ 2
Ex ：(一-習-1) 設△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝6，AC ＝8，∠BAC 之角
平分線交BC 於D 點，如右圖，試求AD 之長
解：△ABD 面積＋△ACD 面積＝△ABC 面積
111246×AD ×sin 60°＋ 2 ×8×AD ×sin 60°＝ 2 ×6×8×sin 120°AD ＝ 7 ⇒ 2 ×
Ex ：如右圖，△ABC 是以∠B 為直角的直角三角形，四邊形
ACDE 是長方形。若AB =4，AC =5，AE =10，求△ABE 解：由∆ABC 可得BC =3
∴∆ABE =
1 1
⨯AB ⨯AE ⨯sin (∠BAE ) =⨯4⨯10⨯sin (90 +∠BAC ) 2 2
4
=16 5
=20⨯cos (∠BAC ) =20⨯
Ex ：四邊形ABCD ，設θ為對角線AC 與BD 的一個交角，求證：此四邊形的面積為
1
AC ⋅BD ⋅sin θ 2
A
P θ180︒-θ
D
解：四邊形的面積= ABP + APD + CDP + BPC
111=AP ⋅BP ⋅sin θ+AP ⋅PD ⋅sin(180 -θ) +CP ⋅PD ⋅sin θ 2 2 2 +===
1
BP ⋅CP ⋅sin(180 -θ) 2
1111AP ⋅BP ⋅sin θ+AP ⋅PD ⋅sin θ+CP ⋅PD ⋅sin θ+BP ⋅CP ⋅sin θ 2 2 2 2 11
AP ⋅BP +BP ⋅CP +CP ⋅PD +PD ⋅AP sin θ=(AP +CP )(BP +DP )sin θ 2 2
B
C
()
1
AC ⋅BD sin θ 2
Ex ：已知一四邊形兩對角線分別為4、6，兩對角線夾角為60 ，求此四邊形的面積
1
解：根據四邊形的面積可得⨯4⨯5⨯sin 60 =
2
a b c
===2R ，Theorem ：已知∆ABC ，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的對邊長，則 sin A sin B sin C
其中R 是∆ABC 外接圓的半徑，這個結果稱為正弦定理
Notation ：正弦定理不僅於銳角三角形，是所有的三角形都適用。
Notation ：已知 ABC ，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的對邊長，R 是 ABC 外接圓的半徑，
則：
1.
a b c
===2R sin A sin B sin C
a b c ，sin B =，sin C = 2R 2R 2R
2. a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C 3. sin A =
4. a :b :c =sin A :sin B :sin C
Ex ：(一-例1) 已知△ABC 的三內角之角度比為∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，求其對邊長之
比a ：b ：c 123
解：∠A ＝× 180°＝30° ∠B ＝ × 180°＝60° ∠C ＝ × 180°＝90°
1＋2＋3 1＋2＋3 1＋2＋3
於是a ：b ：c ＝sin 30°：sin 60°：sin 90°＝1： 3 ：2
Ex ：(一-例1-類) 已知△ABC 的三內角之角度比為∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：4，求其對邊長之
比a ：b ：c 114
解：∠A ＝180°＝30° ∠B ＝180°＝30° ∠C ＝180°120°
1＋1＋4 1＋1＋4 1＋1＋4
故a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ＝sin 30°：sin 30°：sin 120°＝1：1： 3
Ex ：在△ABC 中，已知(b +c ):(c +a ):(a +b )=5:6:7，求sin A :sin B :sin C 解：由題意可設{b +c =5k
(1) c +a =6k (2) a +b =7k (3)得2(a +b +c )=18k ﹐即
a +b +c =9k (4)得a =4k 得b =3k 得c =2k ﹒
利用正弦定理
a b c
==得sin A :sin B :sin C =a :b :c =4k :3k :2k =4:3:2 sin A sin B sin C
Ex ：(一-例2) 設△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝75°，BC ＝2 2 ，試求：
6 2
(1)AB 與AC 之長。（已知sin 75°＝ (2) △ABC 外接圓的半徑
4
AB
AC
BC
解：(1) ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理知 sin 75°
sin 60° ＝ sin 45°
AC 2 2 2 2
即＝AB ＝ 6 ＋ 2 ，又AC ＝ 6 2 2 3 2
2 2 2 4 2 2
2 3 (2)設△ABC 外接圓的半徑為R 則 sin A 2R ＝2R ，整理得R ＝2
2 2
Ex ：(一-例2-類) 設△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝120°，AC ＝6，試求：
(1)AB 與BC 之長。 (2) △ABC 外接圓的半徑
6解：(1) ∠A ＝180°－30°－120°＝30° 因∠A ＝∠B ，故BC ＝AC ＝6， sin 120°＝ sin 30°
sin 120°6
AB ＝ sin 30°×6＝6 3 (2)
sin 30° ＝2R
類題：
AB
BC
AB
R ＝6，故外接圓半徑是6
1.(一-習2) 如右圖，△ABC 的三邊長為AB ＝24，AC ＝9，BC ＝21，
求：(1) sin A ：sin B ：sin C （化成最簡整數比） (2) ∠A (3)△ABC 外接圓的半徑 (4)△ABC 的面積Ans ：(1) 7：3：8 (2) 60° (3) 7 3 (4) 54 3
2.(一-習3) 在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝75°，AB ＝4，求：(1)BC 之長 (2) △ABC 外接圓的半徑 Ans ：
(1)
(2) 3.(一-習4) 在△ABC 中，已知BC ＝1，sin A ＜sin B ，且sin A 與sin B 為方程式8x 2－ 3 x ＋1＝0的兩根，求△ABC 外接圓的半徑Ans
：14.(一-習-5) 如右圖，大小兩圓相交於A ，B 兩點，過B 點有一直線交大圓 於C 點，交小圓於D 點。若∠ACD ＝30°，∠ADC ＝45°，求大圓與小圓 的面積比Ans ：2：1
5.(95學測) 如右圖所示，ABCD 為圓內接四邊形：若∠DBC ＝30°，∠ABD ＝45° ，CD ＝6，則線段AD ＝？Ans
6.(98學測) 假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為20公里。兩條筆直 的公路交於丁鎮，其中之一通過甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比 例精準的地圖上量得兩公路的夾角為45°，則丙、丁兩鎮間的距離約為 (1) 24.5公里 (2) 25公里 (3) 25.5公里 (4) 26公里 (5) 26.5公里Ans ：(1)
Ex ：試證：∆ABC 中，sin A +sin B >sin C
解：由正弦定理可知a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C
由三角形的邊角關係可知a +b >c ⇒ 2R sin A +2R sin B >2R sin C ∴sin A + sin B > sin C
Ex ：一長10 公尺的電線桿受颱風影響而傾斜﹐位於傾斜方向20 公尺處測出頂端的仰角是
30°﹐求電線桿傾斜的角度
解：如圖2－66 所示﹐A 是電線桿的底部﹐B 是測量位置﹐C 是電線桿的頂端﹐設傾斜角度
是θ ﹐利用正弦定律得出
1020
＝﹐ sin 30︒sin C
得sin C ＝1﹐故∠C ＝90°﹐所以∠A ＝60°﹐
因此θ＝30°
Notation ：∆ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 之對邊長分別為a 、b 、c ，試證：
a 2=b 2+c 2-2bc cos A
解：設∆ABC 是一個任意的三角形以A 為原點建立平面坐標系
，使得B 點落在x 軸的正向∴C ( b cos A , b sin A )
∴a =BC =(b cos A -c ) 2+(b sin A ) 2=b 2cos 2A -2bc cos A +c 2+b 2sin 2A
2
2
=b 2(cos2A +sin 2A ) +c 2-2bc cos A =b 2+c 2-2bc cos A
Theorem ：已知 ABC ，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的對邊長，則：
b 2+c 2-a 2
1. a =b +c -2⋅b ⋅c ⋅cos A ，也就是說cos A =
2⋅b ⋅c
2
2
2
a 2+c 2-b 2
2. b =a +c -2⋅a ⋅c ⋅cos B ，也就是說cos B =
2⋅a ⋅c
2
2
2
a 2+b 2-c 2
3. c =a +b -2⋅a ⋅b ⋅cos C ，也就是說cos C =
2⋅a ⋅b
這個定理可知三角形的任一內角的餘弦函數值和三邊長是有固定關係，這個定理稱
2
2
2
為餘弦定理
Ex ：(一-例3) 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝8，∠A ＝60°，求BC 之長 解：利用餘弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ．AC ．cos A ，得
1
BC 2＝52＋82－2．5．8．cos 60° ＝25＋64－80 × 2 ＝49，故BC ＝7
Ex ：(一-例3-類) 在△ABC 中，若AC ＝8，BC ＝7，∠C ＝120°，求AB 之長
1解：AB 2＝AC 2＋BC 2－2×AC ×BC ×cos 120° ＝82＋72－2×8×7×(－ 2 ＝169故AB ＝13 類題：
1.(一-習5) 在△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，求：(1)BC 之長 (2) △ABC 的面積 Ans ：
(1)
(2) 3
2.(一-習-3) 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝9，cos A ＝ 5 P ，Q 兩點分別在 AB ，AC 上，使得△APQ 之面積為△ABC 之面積的一半，求PQ 的最
小值〔提示：求AP × AQ ，並考慮AP 2＋AQ 2與AP × AQ 的關係。〕Ans ：6 3.(97指乙) 設三角形ABC 的AB ＝8、AC ＝ 5 及c os ∠BAC ＝Ans ：
4
5
1
，則sin ∠ACB ＝？ 5
3
4.(98學測) 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝9，c os ∠BAC ＝ 8 P 、Q 分別在邊AB 、AC 上，使得△APQ 之面積為△ABC 面積之一半。則PQ 之最小可能值為？(化成最簡分數 ) Ans ：
15
2
5.(101學測) 在邊長為13的正三角形ABC 上各邊分別取一點P 、Q 、R ，使 得APQR 形成一平行四邊形，如右圖所示：若平行四邊形APQR 的面 積為203 ，則線段PR 的長度為Ans ：7
Ex ：(一-例3-類) 設三角形三邊長為4，5，7，那麼此三角形為何種三角形？
42＋52－721
解：設最大邊所對的角為θ，則cosθ＝ 2×＝－
4×5 5 ＜0，故θ是鈍角，所以此三角形為
鈍角三角形
Ex ：(一-例4) 在△ABC 中，若AB ＝1 3 ，BC ＝2，CA ＝ 2 ，試求∠A ，∠B 與∠C
解：a ＝BC ＝2，b ＝CA ＝ 2 ，c ＝AB ＝1＋ 3 ，利用餘弦定理得
b 2＋c 2－a 2 ( 2 )2＋( 1＋ 3 )2－22 1cos A ＝ 2bc A ＝45°。
2． 2 ．( 1 3 ) 2 c 2＋a 2－b 2 ( 1＋ 3 )2＋22－( 2 )2 3
又cos B ＝ 2ca ＝＝ 2 故∠B ＝30°
2．( 1＋ 3 )．2 於是∠C ＝180°－45°－30°＝105°
Ex ：(一-例4-類) 在△ABC 中，若AB ＝3，BC ＝5，CA ＝7，求∠B 32＋52－721
解：cos B ＝ 2×＝－
3×5 2 ，故∠B ＝120°
類題：
1.(一-習1) 設a ，b ，c 分別表△ABC 中三內角∠A ，∠B ，∠C 的對邊長，請選出正確的選項。 （多選)(A) 在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：4，則a ：b ：c ＝2：3：4 (B) sin A ：sin B ：sin C ＝a ：b ：c
(C) 若a 2＜b 2＋c 2，則△ABC 為銳角三角形 (D) 若a 2＞b 2＋c 2，則△ABC 為鈍角三角形
(E) 若sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，則△ABC 最大內角是80° Ans ：(B)(D) 2.(一-習6) 已知△ABC 三邊長為AB ＝13，BC ＝8，AC ＝7，如右圖
所示，求：(1)∠ACB (2)BC 邊上的高AD 之長Ans ：(1) 120 ︒ 3.(97指甲) 設△ABC 的三高分別為AD ＝6、BE ＝4、
CF ＝3。(1)試證：△ABC 是一鈍角三
角形(2)試求△ABC 的面積Ans ：(1)略
Ex ：(一-例5) 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，若D 點在BC 上，且
BD ＝2，CD ＝3，試求AD 之長
42＋22－AD 2 20－AD 2
解：在△ABD 中，由餘弦定理得cos B ＝△ABC 中
16 2．4．2
2
42＋( 2＋3 )2－62 1 20－AD 1
由餘弦定理得cos B ＝＝ 8 ∴ 8 AD ＝ 2
16 2．4．( 2＋3 )
Ex ：(一-例5-類) 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，BC ＝ 10 ，
若AD 為BC 邊上的中線，求AD 之長
42＋( 10 )2－AD
解：在△ABD 中，由餘弦定理得cos B ＝
2× 10
26－AD 8 10
2
。
42＋( 2 10 )2－625
在△ABC 中，由餘弦定理得cos B ＝＝
2× 10 4 10 26－AD 25
所以AD 2＝16，故AD ＝4
8 10 4 10
類題：
1.(一-例5-類) 在△ABC 中，已知AB ＝4 3 ，∠B ＝30°，試就下列條件分別討論BC 的長。 (1) AC ＝4； (2) AC ＝2 3 ； (3) AC ＝3 Ans ：(1) 4或8 (2) 6 (3) 不存在 2.(92指乙) 如右圖所示，△ABC 中，D 為邊BC 上一點，且AB ＝AC ＝5， AD ＝4，BD ＝2，DC ＝a 。則a ＝？Ans ：
3.(94學測) 如右圖所示，在△ABC 中，∠BAC 的平分線AD 交對邊BC 於D ；已知BD ＝3，
9
2
DC ＝6，且AB ＝AD ，則cos ∠BAD 之值為何？ ( 化成最簡分數 ) Ans ：
3 4
4.(95學測) 在三角形ABC 中，若D 點在BC 邊上，且AB ＝7，AC ＝13，BD ＝7，CD ＝8，則AD ＝？Ans ：7
Ex ：設ABCD 為圓內接四邊形，已知AB =4，BC =5，CD =4，DA =4。
求對角線AC 的長度
2
2
2
2
AB +BC -AC 41-AC
解：在△ABC 中，cos B ==(1)
402⨯AB ⨯BC
32-AC AD +DC -AC
在△ACD 中﹐得cos D == (2)
322⨯AD ⨯DC 因為圓內接四邊形對角互補﹐所以cos B =cos (180︒-D )=-cos D ﹒
241-AC 32-AC
綜合上述(1)及(2)整理可得=-⇒AC =36
4032
2
2
2222
Ex ：設ABCD 為圓內接四邊形，已知AB =4，BC =6，CD =6，∠B =120︒。求AD 的長度 解：因為圓內接四邊形對角互補﹐所以∠D =180︒-∠B =60︒﹒
在△ABC 中﹐利用餘弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ﹐得AC =62+42-2⨯6⨯4⨯cos120︒
2
2
2
2
AC =76在△ACD 中﹐AC =AD +62-2⨯6⨯AD ⨯cos D ﹐ 得AD =10或-4（-4不合）﹐故AD 長為10﹒
類題：
1.(一-習-2) 設△ABC 中，a ，b ，c 分別表示BC ，CA ，AB 之長。(1)若（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝bc ，求∠A (2)若（b ＋c ）：（c ＋a ）：（a ＋b ）＝4：5：6，求△ABC 的最大內角是多 少度 Ans ：(1) 120 ︒ (2) 120 ︒
2.(一-習-4) 如右圖，已知圓內接四邊形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，CD ＝3
，DA ＝5，試求：(1)∠B (2)AC 之長 (3)四邊形ABCD 的面積
Ans ：(1) 120 ︒
(2)
(3) 3.(95指乙) 嘌呤是構成人體基因的重要物質，它的化學結構式主
要是由一個正五邊形與一個正六邊形構成 ( 令它們的邊長均為
1 ) 的平面圖形，如右圖所示：試問以下哪些選項是正確的？
(1) ∠BAC ＝54° (2) O 是△ABC 的外接圓圓心
(3) AB 3 (4)BC ＝2 sin 66° Ans ：(2)(3)(4)
4.(100學測) 四邊形ABCD 中，AB =1, BC =5, CD =5, DA =7，且∠DAB =∠BCD =90 ，則對角線AC 長為何？ Ans
Theorem ：1.(海龍公式) ∆ABC 中，已知三邊長分別為a 、b 、c ，則：
a +b +c 2
2. ∆ABC 中，已知三邊長上的中線長分別為m a 、m b 、m c ，則： ∆
ABC 的面積s =
∆
ABC 的面積=m +m b +m c s =a 2
Ex ：(一-例6-類) 有一天傍晚，阿榮在住家附近的三角形公園散步，他繞著公園走一圈，以
步長估計三邊長大約是18公尺、20公尺、34公尺，試估算這座公園的面積大約是多少平方公尺？
18＋20＋34解：s ＝＝36，所以這座公園的面積大約是 2
36 ( 36－18 ) ( 36－20 ) ( 36－34 ) ＝ 36．18．16．2 ＝144 ( 平方公尺 )
11
1-3 正弦、餘弦與面積公式
Notation ：為了方便起見，右圖所示，在∆ABC 中，我們以符號
a 、b 、c 分別表∠A 、∠B 、∠C 的邊長
Notation ：已知∆ABC ，則試證：∆ABC 的面積=
1
ac sin B 2
解：自A 做一垂線AD 垂直BC 於D 點∴AD =c sin B ∴∆ABC 的面積=
1 1 ⨯底⨯高=ac sin B 2 2
Notation ：這個面積公式，不僅於銳角三角形，是所有的三角形都適用。
Notation ：(三角形的面積公式) 已知∆ABC ，a 、b 、c 分別為∠A 、∠B 、∠C 的對邊長，則：
∆ABC 的面積=
111
b ⋅c ⋅sin A = a ⋅c ⋅sin B = a ⋅b ⋅sin C 2 2 2
Ex ：(一-例6) 在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝7，且∠A ＝30°，求△ABC 的面積 11
解：△ABC 的面積S ＝ 2 sinA ＝ 2 × 7 × 12 × sin 30°＝21
Ex ：(一-例6-類) 求下列△ABC 的面積：
(1)AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°。 (2)AC ＝3，BC ＝5，∠C ＝90°
1115解：(1) △ABC 面積＝ 2 ×6×8×sin 120°＝ 3 (2) △ABC 面積＝ 2 ×3×5×sin 90°＝ 2
Ex ：(一-習-1) 設△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝6，AC ＝8，∠BAC 之角
平分線交BC 於D 點，如右圖，試求AD 之長
解：△ABD 面積＋△ACD 面積＝△ABC 面積
111246×AD ×sin 60°＋ 2 ×8×AD ×sin 60°＝ 2 ×6×8×sin 120°AD ＝ 7 ⇒ 2 ×
Ex ：如右圖，△ABC 是以∠B 為直角的直角三角形，四邊形
ACDE 是長方形。若AB =4，AC =5，AE =10，求△ABE 解：由∆ABC 可得BC =3
∴∆ABE =
1 1
⨯AB ⨯AE ⨯sin (∠BAE ) =⨯4⨯10⨯sin (90 +∠BAC ) 2 2
4
=16 5
=20⨯cos (∠BAC ) =20⨯
Ex ：四邊形ABCD ，設θ為對角線AC 與BD 的一個交角，求證：此四邊形的面積為
1
AC ⋅BD ⋅sin θ 2
A
P θ180︒-θ
D
解：四邊形的面積= ABP + APD + CDP + BPC
111=AP ⋅BP ⋅sin θ+AP ⋅PD ⋅sin(180 -θ) +CP ⋅PD ⋅sin θ 2 2 2 +===
1
BP ⋅CP ⋅sin(180 -θ) 2
1111AP ⋅BP ⋅sin θ+AP ⋅PD ⋅sin θ+CP ⋅PD ⋅sin θ+BP ⋅CP ⋅sin θ 2 2 2 2 11
AP ⋅BP +BP ⋅CP +CP ⋅PD +PD ⋅AP sin θ=(AP +CP )(BP +DP )sin θ 2 2
B
C
()
1
AC ⋅BD sin θ 2
Ex ：已知一四邊形兩對角線分別為4、6，兩對角線夾角為60 ，求此四邊形的面積
1
解：根據四邊形的面積可得⨯4⨯5⨯sin 60 =
2
a b c
===2R ，Theorem ：已知∆ABC ，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的對邊長，則 sin A sin B sin C
其中R 是∆ABC 外接圓的半徑，這個結果稱為正弦定理
Notation ：正弦定理不僅於銳角三角形，是所有的三角形都適用。
Notation ：已知 ABC ，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的對邊長，R 是 ABC 外接圓的半徑，
則：
1.
a b c
===2R sin A sin B sin C
a b c ，sin B =，sin C = 2R 2R 2R
2. a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C 3. sin A =
4. a :b :c =sin A :sin B :sin C
Ex ：(一-例1) 已知△ABC 的三內角之角度比為∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，求其對邊長之
比a ：b ：c 123
解：∠A ＝× 180°＝30° ∠B ＝ × 180°＝60° ∠C ＝ × 180°＝90°
1＋2＋3 1＋2＋3 1＋2＋3
於是a ：b ：c ＝sin 30°：sin 60°：sin 90°＝1： 3 ：2
Ex ：(一-例1-類) 已知△ABC 的三內角之角度比為∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：4，求其對邊長之
比a ：b ：c 114
解：∠A ＝180°＝30° ∠B ＝180°＝30° ∠C ＝180°120°
1＋1＋4 1＋1＋4 1＋1＋4
故a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ＝sin 30°：sin 30°：sin 120°＝1：1： 3
Ex ：在△ABC 中，已知(b +c ):(c +a ):(a +b )=5:6:7，求sin A :sin B :sin C 解：由題意可設{b +c =5k
(1) c +a =6k (2) a +b =7k (3)得2(a +b +c )=18k ﹐即
a +b +c =9k (4)得a =4k 得b =3k 得c =2k ﹒
利用正弦定理
a b c
==得sin A :sin B :sin C =a :b :c =4k :3k :2k =4:3:2 sin A sin B sin C
Ex ：(一-例2) 設△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝75°，BC ＝2 2 ，試求：
6 2
(1)AB 與AC 之長。（已知sin 75°＝ (2) △ABC 外接圓的半徑
4
AB
AC
BC
解：(1) ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理知 sin 75°
sin 60° ＝ sin 45°
AC 2 2 2 2
即＝AB ＝ 6 ＋ 2 ，又AC ＝ 6 2 2 3 2
2 2 2 4 2 2
2 3 (2)設△ABC 外接圓的半徑為R 則 sin A 2R ＝2R ，整理得R ＝2
2 2
Ex ：(一-例2-類) 設△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝120°，AC ＝6，試求：
(1)AB 與BC 之長。 (2) △ABC 外接圓的半徑
6解：(1) ∠A ＝180°－30°－120°＝30° 因∠A ＝∠B ，故BC ＝AC ＝6， sin 120°＝ sin 30°
sin 120°6
AB ＝ sin 30°×6＝6 3 (2)
sin 30° ＝2R
類題：
AB
BC
AB
R ＝6，故外接圓半徑是6
1.(一-習2) 如右圖，△ABC 的三邊長為AB ＝24，AC ＝9，BC ＝21，
求：(1) sin A ：sin B ：sin C （化成最簡整數比） (2) ∠A (3)△ABC 外接圓的半徑 (4)△ABC 的面積Ans ：(1) 7：3：8 (2) 60° (3) 7 3 (4) 54 3
2.(一-習3) 在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝75°，AB ＝4，求：(1)BC 之長 (2) △ABC 外接圓的半徑 Ans ：
(1)
(2) 3.(一-習4) 在△ABC 中，已知BC ＝1，sin A ＜sin B ，且sin A 與sin B 為方程式8x 2－ 3 x ＋1＝0的兩根，求△ABC 外接圓的半徑Ans
：14.(一-習-5) 如右圖，大小兩圓相交於A ，B 兩點，過B 點有一直線交大圓 於C 點，交小圓於D 點。若∠ACD ＝30°，∠ADC ＝45°，求大圓與小圓 的面積比Ans ：2：1
5.(95學測) 如右圖所示，ABCD 為圓內接四邊形：若∠DBC ＝30°，∠ABD ＝45° ，CD ＝6，則線段AD ＝？Ans
6.(98學測) 假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為20公里。兩條筆直 的公路交於丁鎮，其中之一通過甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比 例精準的地圖上量得兩公路的夾角為45°，則丙、丁兩鎮間的距離約為 (1) 24.5公里 (2) 25公里 (3) 25.5公里 (4) 26公里 (5) 26.5公里Ans ：(1)
Ex ：試證：∆ABC 中，sin A +sin B >sin C
解：由正弦定理可知a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C
由三角形的邊角關係可知a +b >c ⇒ 2R sin A +2R sin B >2R sin C ∴sin A + sin B > sin C
Ex ：一長10 公尺的電線桿受颱風影響而傾斜﹐位於傾斜方向20 公尺處測出頂端的仰角是
30°﹐求電線桿傾斜的角度
解：如圖2－66 所示﹐A 是電線桿的底部﹐B 是測量位置﹐C 是電線桿的頂端﹐設傾斜角度
是θ ﹐利用正弦定律得出
1020
＝﹐ sin 30︒sin C
得sin C ＝1﹐故∠C ＝90°﹐所以∠A ＝60°﹐
因此θ＝30°
Notation ：∆ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 之對邊長分別為a 、b 、c ，試證：
a 2=b 2+c 2-2bc cos A
解：設∆ABC 是一個任意的三角形以A 為原點建立平面坐標系
，使得B 點落在x 軸的正向∴C ( b cos A , b sin A )
∴a =BC =(b cos A -c ) 2+(b sin A ) 2=b 2cos 2A -2bc cos A +c 2+b 2sin 2A
2
2
=b 2(cos2A +sin 2A ) +c 2-2bc cos A =b 2+c 2-2bc cos A
Theorem ：已知 ABC ，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的對邊長，則：
b 2+c 2-a 2
1. a =b +c -2⋅b ⋅c ⋅cos A ，也就是說cos A =
2⋅b ⋅c
2
2
2
a 2+c 2-b 2
2. b =a +c -2⋅a ⋅c ⋅cos B ，也就是說cos B =
2⋅a ⋅c
2
2
2
a 2+b 2-c 2
3. c =a +b -2⋅a ⋅b ⋅cos C ，也就是說cos C =
2⋅a ⋅b
這個定理可知三角形的任一內角的餘弦函數值和三邊長是有固定關係，這個定理稱
2
2
2
為餘弦定理
Ex ：(一-例3) 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝8，∠A ＝60°，求BC 之長 解：利用餘弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ．AC ．cos A ，得
1
BC 2＝52＋82－2．5．8．cos 60° ＝25＋64－80 × 2 ＝49，故BC ＝7
Ex ：(一-例3-類) 在△ABC 中，若AC ＝8，BC ＝7，∠C ＝120°，求AB 之長
1解：AB 2＝AC 2＋BC 2－2×AC ×BC ×cos 120° ＝82＋72－2×8×7×(－ 2 ＝169故AB ＝13 類題：
1.(一-習5) 在△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，求：(1)BC 之長 (2) △ABC 的面積 Ans ：
(1)
(2) 3
2.(一-習-3) 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝9，cos A ＝ 5 P ，Q 兩點分別在 AB ，AC 上，使得△APQ 之面積為△ABC 之面積的一半，求PQ 的最
小值〔提示：求AP × AQ ，並考慮AP 2＋AQ 2與AP × AQ 的關係。〕Ans ：6 3.(97指乙) 設三角形ABC 的AB ＝8、AC ＝ 5 及c os ∠BAC ＝Ans ：
4
5
1
，則sin ∠ACB ＝？ 5
3
4.(98學測) 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝9，c os ∠BAC ＝ 8 P 、Q 分別在邊AB 、AC 上，使得△APQ 之面積為△ABC 面積之一半。則PQ 之最小可能值為？(化成最簡分數 ) Ans ：
15
2
5.(101學測) 在邊長為13的正三角形ABC 上各邊分別取一點P 、Q 、R ，使 得APQR 形成一平行四邊形，如右圖所示：若平行四邊形APQR 的面 積為203 ，則線段PR 的長度為Ans ：7
Ex ：(一-例3-類) 設三角形三邊長為4，5，7，那麼此三角形為何種三角形？
42＋52－721
解：設最大邊所對的角為θ，則cosθ＝ 2×＝－
4×5 5 ＜0，故θ是鈍角，所以此三角形為
鈍角三角形
Ex ：(一-例4) 在△ABC 中，若AB ＝1 3 ，BC ＝2，CA ＝ 2 ，試求∠A ，∠B 與∠C
解：a ＝BC ＝2，b ＝CA ＝ 2 ，c ＝AB ＝1＋ 3 ，利用餘弦定理得
b 2＋c 2－a 2 ( 2 )2＋( 1＋ 3 )2－22 1cos A ＝ 2bc A ＝45°。
2． 2 ．( 1 3 ) 2 c 2＋a 2－b 2 ( 1＋ 3 )2＋22－( 2 )2 3
又cos B ＝ 2ca ＝＝ 2 故∠B ＝30°
2．( 1＋ 3 )．2 於是∠C ＝180°－45°－30°＝105°
Ex ：(一-例4-類) 在△ABC 中，若AB ＝3，BC ＝5，CA ＝7，求∠B 32＋52－721
解：cos B ＝ 2×＝－
3×5 2 ，故∠B ＝120°
類題：
1.(一-習1) 設a ，b ，c 分別表△ABC 中三內角∠A ，∠B ，∠C 的對邊長，請選出正確的選項。 （多選)(A) 在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：4，則a ：b ：c ＝2：3：4 (B) sin A ：sin B ：sin C ＝a ：b ：c
(C) 若a 2＜b 2＋c 2，則△ABC 為銳角三角形 (D) 若a 2＞b 2＋c 2，則△ABC 為鈍角三角形
(E) 若sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，則△ABC 最大內角是80° Ans ：(B)(D) 2.(一-習6) 已知△ABC 三邊長為AB ＝13，BC ＝8，AC ＝7，如右圖
所示，求：(1)∠ACB (2)BC 邊上的高AD 之長Ans ：(1) 120 ︒ 3.(97指甲) 設△ABC 的三高分別為AD ＝6、BE ＝4、
CF ＝3。(1)試證：△ABC 是一鈍角三
角形(2)試求△ABC 的面積Ans ：(1)略
Ex ：(一-例5) 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，若D 點在BC 上，且
BD ＝2，CD ＝3，試求AD 之長
42＋22－AD 2 20－AD 2
解：在△ABD 中，由餘弦定理得cos B ＝△ABC 中
16 2．4．2
2
42＋( 2＋3 )2－62 1 20－AD 1
由餘弦定理得cos B ＝＝ 8 ∴ 8 AD ＝ 2
16 2．4．( 2＋3 )
Ex ：(一-例5-類) 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，BC ＝ 10 ，
若AD 為BC 邊上的中線，求AD 之長
42＋( 10 )2－AD
解：在△ABD 中，由餘弦定理得cos B ＝
2× 10
26－AD 8 10
2
。
42＋( 2 10 )2－625
在△ABC 中，由餘弦定理得cos B ＝＝
2× 10 4 10 26－AD 25
所以AD 2＝16，故AD ＝4
8 10 4 10
類題：
1.(一-例5-類) 在△ABC 中，已知AB ＝4 3 ，∠B ＝30°，試就下列條件分別討論BC 的長。 (1) AC ＝4； (2) AC ＝2 3 ； (3) AC ＝3 Ans ：(1) 4或8 (2) 6 (3) 不存在 2.(92指乙) 如右圖所示，△ABC 中，D 為邊BC 上一點，且AB ＝AC ＝5， AD ＝4，BD ＝2，DC ＝a 。則a ＝？Ans ：
3.(94學測) 如右圖所示，在△ABC 中，∠BAC 的平分線AD 交對邊BC 於D ；已知BD ＝3，
9
2
DC ＝6，且AB ＝AD ，則cos ∠BAD 之值為何？ ( 化成最簡分數 ) Ans ：
3 4
4.(95學測) 在三角形ABC 中，若D 點在BC 邊上，且AB ＝7，AC ＝13，BD ＝7，CD ＝8，則AD ＝？Ans ：7
Ex ：設ABCD 為圓內接四邊形，已知AB =4，BC =5，CD =4，DA =4。
求對角線AC 的長度
2
2
2
2
AB +BC -AC 41-AC
解：在△ABC 中，cos B ==(1)
402⨯AB ⨯BC
32-AC AD +DC -AC
在△ACD 中﹐得cos D == (2)
322⨯AD ⨯DC 因為圓內接四邊形對角互補﹐所以cos B =cos (180︒-D )=-cos D ﹒
241-AC 32-AC
綜合上述(1)及(2)整理可得=-⇒AC =36
4032
2
2
2222
Ex ：設ABCD 為圓內接四邊形，已知AB =4，BC =6，CD =6，∠B =120︒。求AD 的長度 解：因為圓內接四邊形對角互補﹐所以∠D =180︒-∠B =60︒﹒
在△ABC 中﹐利用餘弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ﹐得AC =62+42-2⨯6⨯4⨯cos120︒
2
2
2
2
AC =76在△ACD 中﹐AC =AD +62-2⨯6⨯AD ⨯cos D ﹐ 得AD =10或-4（-4不合）﹐故AD 長為10﹒
類題：
1.(一-習-2) 設△ABC 中，a ，b ，c 分別表示BC ，CA ，AB 之長。(1)若（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝bc ，求∠A (2)若（b ＋c ）：（c ＋a ）：（a ＋b ）＝4：5：6，求△ABC 的最大內角是多 少度 Ans ：(1) 120 ︒ (2) 120 ︒
2.(一-習-4) 如右圖，已知圓內接四邊形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，CD ＝3
，DA ＝5，試求：(1)∠B (2)AC 之長 (3)四邊形ABCD 的面積
Ans ：(1) 120 ︒
(2)
(3) 3.(95指乙) 嘌呤是構成人體基因的重要物質，它的化學結構式主
要是由一個正五邊形與一個正六邊形構成 ( 令它們的邊長均為
1 ) 的平面圖形，如右圖所示：試問以下哪些選項是正確的？
(1) ∠BAC ＝54° (2) O 是△ABC 的外接圓圓心
(3) AB 3 (4)BC ＝2 sin 66° Ans ：(2)(3)(4)
4.(100學測) 四邊形ABCD 中，AB =1, BC =5, CD =5, DA =7，且∠DAB =∠BCD =90 ，則對角線AC 長為何？ Ans
Theorem ：1.(海龍公式) ∆ABC 中，已知三邊長分別為a 、b 、c ，則：
a +b +c 2
2. ∆ABC 中，已知三邊長上的中線長分別為m a 、m b 、m c ，則： ∆
ABC 的面積s =
∆
ABC 的面積=m +m b +m c s =a 2
Ex ：(一-例6-類) 有一天傍晚，阿榮在住家附近的三角形公園散步，他繞著公園走一圈，以
步長估計三邊長大約是18公尺、20公尺、34公尺，試估算這座公園的面積大約是多少平方公尺？
18＋20＋34解：s ＝＝36，所以這座公園的面積大約是 2
36 ( 36－18 ) ( 36－20 ) ( 36－34 ) ＝ 36．18．16．2 ＝144 ( 平方公尺 )
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