圆周运动专题之竖直

第二课时

（三）圆周运动与其他运动的结合 ☆考点点拨

圆周运动与其他运动相结合，要注意寻找这两种运动的结合点，如位移关系，速度关系，时间关系等，还要注意圆周运动的特点：如具有一定的周期性等。

【例4】如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度。

解析：设圆周的半径为R，则在C点：

v

mg=mC ①

R

离开C点，滑块做平抛运动，则2R＝gt／2 ②

2

2

vCt＝sAB ③

由B到C过程： mvC/2+2mgR＝mvB/2 ④ 由A到B运动过程： vB＝2asAB ⑤ 由①②③④⑤式联立得到： a=5g／4

【例5】如图所示，M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为

2

2

2

R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之

间抽成真空。两筒以相同的角速度 ω绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄缝 s （与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率 v1 和v2 的微粒，从 s 处射出时的初速

度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上。如果R、v1 和v2都不变，而ω取某一合适的值，则（ ）

A．有可能使微粒落在N筒上的位置都在 a 处一条与 s 缝平行的窄条上 B．有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如 b 处一条与 s 缝平行的窄条上 C．有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如 b 处和c 处与 s 缝平行的窄条上 D．只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒

解析：两种粒子从窄缝 s射出后，沿半径方向匀速直线运动，到达N筒的时间分别为

t1

RR

和t2，两种粒子到达N筒的时间差为tt1t2，N筒匀速转动，在t1和t

2时v1v2

间内转过的弧长均为周长的整数倍，则所有微粒均落在a 处一条与 s 缝平行的窄条上，A正确；若N筒在t1和t2时间内转过的弧长不是周长的整数倍，且在t内转过的弧长恰为周长的整数倍，则所有微粒均落在如b处一条与 s 缝平行的窄条上，B正确；若在t1和t2及t内转过的弧长均不是周长的整数倍，则可能落在N筒上某两处如 b 处和c 处与 s 缝平行的窄条上，C正确；对应某一确定的ω值，N筒转过的弧长是一定的，故N筒上微粒到达的位置是一定的，D错误。

答案：ABC ☆考点精炼

3．如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为

m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，

不计空气阻力，求：

（1）小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大? （2）小球落地点C与B点水平距离s是多少?

4．如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑、半径为R，上部侧面A处开有小口，在小口A的正下方h处亦开有与A大小相同的小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球从B口处飞出，小球进入A口的最小速率v0为（ ）

A．RC．R

考点精炼参考答案

1．A（大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v2nr，可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1∶n2=2∶175）

g

2h

2h g

2g hg

D．2R

h

B．R

v2

2．C（要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，最高点最小速度满足 mgm，从

L

1212

A到最高点，由动能定理有mgLmv0mv，解得v03gL）

22

3．解析：（1）小球由A→B过程中，根据机械能守恒定律有： mgR＝

12

mvB ① 2

vB2gR ②

小球在B点时，根据向心力公式有；

v

FNmgmB ③

R2vB

FNmgm3mg

R

根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，为3mg （2）小球由B→C过程， 水平方向有：s=vB·t 竖直方向有：HR

④

⑤

2

12

gt 2

解②④⑤得s2HR)R

4．B

解析：小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，小球的运动可看作水平方向的匀速圆周运动和竖直方向的自由落体运动的叠加。因此从A至B

的时间为：t小球必须转整数周才能从B口处飞出，所以有：tnT

2nR

，当n=1时，v0最小，v0

v0min=R

2g。 h

三、考点落实训练

1．关于向心力的下列说法中正确的是 A．向心力不改变做圆周运动物体速度的大小 B．做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的 C．做圆周运动的物体，所受合力一定等于向心力

D．做匀速圆周运动的物体，一定是所受的合外力充当向心力

2．在竖直平面内有一半径为R的光滑圆环轨道，一质量为m的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，到达最高点C时的速率vc=4gR/5，则下述正确的是

A．此球的最大速率是6 vc B．小球到达C点时对轨道的压力是

4mg

5

C．小球在任一直径两端点上的动能之和相等 D．小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于π5R/g

3．如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一

个冲击使其在瞬间得到一个水平初速v0，若v0

（距离底部）的说法中正确的是

2v0

A．一定可以表示为

2g

（ ）

C．可能为R

R 35R

D．可能为

3

B．可能为

4．如图所示，细轻杆的一端与小球相连，可绕O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，a、b分别表示轨道的最低点和最高点，则小球在这两点对杆的作用力大小之差可能为

A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg

5．小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方

L

处有一钉子P，2

（ ）

把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间，设线没有断裂，则下列说法错误的是 （ ） ．．

A．小球的角速度突然增大 B．小球的瞬时速度突然增大 C．小球的向心加速度突然增大 D．小球对悬线的拉力突然增大

量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为，则杆的上端受到球对其作用力的大小为（ ）

A．mR

242

B．mgR 242

C．mgR

6．如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质

2

D．不能确定

7．用轻质尼龙线系一个质量为 0.25 kg 的钢球在竖直面内旋转。已知线长为 1.0 m ，若钢球恰能通过最高点，则球转到最低点时线受到的拉力是____N；若将线换成质量可以忽略的轻杆，为了使球恰能通过最高点，此杆的最大承受力至少应为____N。

8．如图所示皮带转动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距离等于小轮半径。转动时皮带不打滑，则A、B、

C

三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC=________，向心加速度大小之比aA∶aB∶aC=________。

9．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离。

考点落实训练参考答案

1．AD 2．ACD 3． BC

解析：小球从最低点沿圆轨道向上运动，若小球到最高点的速度为零，根据机械能守恒，

2

5v01

有小球上升的高度为H=≤R。若小球从最低点沿圆轨道向上运动，且不能过圆周，

42g3

则小球到最高点的速度为零，根据机械能守恒，有小球上升的高度为H＜R。如果能过

1

圆周，4

在上升的过程中小球会脱离轨道，作斜抛运动，到达最高点时的速度不为零，所以达不到的高度。答案BC正确。

4．BCD

5

R3

解析：轻杆约束的小球在竖直平面内做圆周运动，到达最高点的速度最小可以是零，根据向心力公式结合机械能守恒，可得出小球在这两点对杆的作用力大小之差可能为4mg、5mg或6mg，BCD正确。

5．B

解析：当细线碰到钉子时，线速度不变，但小球做圆周运动的半径将减小 由ω=

v

，R减小，ω增大 R

v2

a=，R减小，a增大 R

v2

F－mg=m，得F增大

R

故B错误，本题选B。 6．C

解析：对小球进行受力分析，小球受到两个作用力，即重力和杆对小球的作用力，两个力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律就可得C正确。

三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC=________，向心加速度大小之比aA∶aB∶aC=________。

9．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。

两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高

点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下

部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离。

考点落实训练参考答案

1．AD 2．ACD

3． BC

解析：小球从最低点沿圆轨道向上运动，若小球到最高点的速度为零，根据机械能守恒，

25v01有小球上升的高度为H=≤R。若小球从最低点沿圆轨道向上运动，且不能过圆周，42g3 则小球到最高点的速度为零，根据机械能守恒，有小球上升的高度为H＜R。如果能过1圆周，4在上升的过程中小球会脱离轨道，作斜抛运动，到达最高点时的速度不为零，所以达不到的高度。答案BC正确。

4．BCD 5R3

解析：轻杆约束的小球在竖直平面内做圆周运动，到达最高点的速度最小可以是零，根据向心力公式结合机械能守恒，可得出小球在这两点对杆的作用力大小之差可能为4mg、5mg或6mg，BCD正确。

5．B

解析：当细线碰到钉子时，线速度不变，但小球做圆周运动的半径将减小

由ω=v，R减小，ω增大 R

v2

a=，R减小，a增大 R

v2

F－mg=m，得F增大 R

故B错误，本题选B。

6．C

解析：对小球进行受力分析，小球受到两个作用力，即重力和杆对小球的作用力，两个力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律就可得C正确。

7．15，12.5

8．1∶3∶1 3∶9∶1

9．解析：以a球为对象，设其到达最高点时的速度为va，根据向心力公式有：

2vamgFam R

2va即4mgm R

所以：va2gR

以b球为对象，设其到达最高点时的速度为vb，根据向心力公式有： 2vbmgFbm R

2vb1即mgm 4R1gR 所以：vb2

a、b两球脱离轨道的最高点后均做一平抛运动，所以a、b两球的水平位移分别为： savat2gR

sbvbt4R4R g14RgRR 2g

故a、b两球落地点间的距离△s=sa－sb=3R。

第二课时

（三）圆周运动与其他运动的结合 ☆考点点拨

圆周运动与其他运动相结合，要注意寻找这两种运动的结合点，如位移关系，速度关系，时间关系等，还要注意圆周运动的特点：如具有一定的周期性等。

【例4】如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度。

解析：设圆周的半径为R，则在C点：

v

mg=mC ①

R

离开C点，滑块做平抛运动，则2R＝gt／2 ②

2

2

vCt＝sAB ③

由B到C过程： mvC/2+2mgR＝mvB/2 ④ 由A到B运动过程： vB＝2asAB ⑤ 由①②③④⑤式联立得到： a=5g／4

【例5】如图所示，M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为

2

2

2

R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之

间抽成真空。两筒以相同的角速度 ω绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄缝 s （与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率 v1 和v2 的微粒，从 s 处射出时的初速

度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上。如果R、v1 和v2都不变，而ω取某一合适的值，则（ ）

A．有可能使微粒落在N筒上的位置都在 a 处一条与 s 缝平行的窄条上 B．有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如 b 处一条与 s 缝平行的窄条上 C．有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如 b 处和c 处与 s 缝平行的窄条上 D．只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒

解析：两种粒子从窄缝 s射出后，沿半径方向匀速直线运动，到达N筒的时间分别为

t1

RR

和t2，两种粒子到达N筒的时间差为tt1t2，N筒匀速转动，在t1和t

2时v1v2

间内转过的弧长均为周长的整数倍，则所有微粒均落在a 处一条与 s 缝平行的窄条上，A正确；若N筒在t1和t2时间内转过的弧长不是周长的整数倍，且在t内转过的弧长恰为周长的整数倍，则所有微粒均落在如b处一条与 s 缝平行的窄条上，B正确；若在t1和t2及t内转过的弧长均不是周长的整数倍，则可能落在N筒上某两处如 b 处和c 处与 s 缝平行的窄条上，C正确；对应某一确定的ω值，N筒转过的弧长是一定的，故N筒上微粒到达的位置是一定的，D错误。

答案：ABC ☆考点精炼

3．如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为

m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，

不计空气阻力，求：

（1）小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大? （2）小球落地点C与B点水平距离s是多少?

4．如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑、半径为R，上部侧面A处开有小口，在小口A的正下方h处亦开有与A大小相同的小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球从B口处飞出，小球进入A口的最小速率v0为（ ）

A．RC．R

考点精炼参考答案

1．A（大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v2nr，可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1∶n2=2∶175）

g

2h

2h g

2g hg

D．2R

h

B．R

v2

2．C（要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，最高点最小速度满足 mgm，从

L

1212

A到最高点，由动能定理有mgLmv0mv，解得v03gL）

22

3．解析：（1）小球由A→B过程中，根据机械能守恒定律有： mgR＝

12

mvB ① 2

vB2gR ②

小球在B点时，根据向心力公式有；

v

FNmgmB ③

R2vB

FNmgm3mg

R

根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，为3mg （2）小球由B→C过程， 水平方向有：s=vB·t 竖直方向有：HR

④

⑤

2

12

gt 2

解②④⑤得s2HR)R

4．B

解析：小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，小球的运动可看作水平方向的匀速圆周运动和竖直方向的自由落体运动的叠加。因此从A至B

的时间为：t小球必须转整数周才能从B口处飞出，所以有：tnT

2nR

，当n=1时，v0最小，v0

v0min=R

2g。 h

三、考点落实训练

1．关于向心力的下列说法中正确的是 A．向心力不改变做圆周运动物体速度的大小 B．做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的 C．做圆周运动的物体，所受合力一定等于向心力

D．做匀速圆周运动的物体，一定是所受的合外力充当向心力

2．在竖直平面内有一半径为R的光滑圆环轨道，一质量为m的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，到达最高点C时的速率vc=4gR/5，则下述正确的是

A．此球的最大速率是6 vc B．小球到达C点时对轨道的压力是

4mg

5

C．小球在任一直径两端点上的动能之和相等 D．小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于π5R/g

3．如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一

个冲击使其在瞬间得到一个水平初速v0，若v0

（距离底部）的说法中正确的是

2v0

A．一定可以表示为

2g

（ ）

C．可能为R

R 35R

D．可能为

3

B．可能为

4．如图所示，细轻杆的一端与小球相连，可绕O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，a、b分别表示轨道的最低点和最高点，则小球在这两点对杆的作用力大小之差可能为

A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg

5．小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方

L

处有一钉子P，2

（ ）

把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间，设线没有断裂，则下列说法错误的是 （ ） ．．

A．小球的角速度突然增大 B．小球的瞬时速度突然增大 C．小球的向心加速度突然增大 D．小球对悬线的拉力突然增大

量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为，则杆的上端受到球对其作用力的大小为（ ）

A．mR

242

B．mgR 242

C．mgR

6．如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质

2

D．不能确定

7．用轻质尼龙线系一个质量为 0.25 kg 的钢球在竖直面内旋转。已知线长为 1.0 m ，若钢球恰能通过最高点，则球转到最低点时线受到的拉力是____N；若将线换成质量可以忽略的轻杆，为了使球恰能通过最高点，此杆的最大承受力至少应为____N。

8．如图所示皮带转动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距离等于小轮半径。转动时皮带不打滑，则A、B、

C

三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC=________，向心加速度大小之比aA∶aB∶aC=________。

9．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离。

考点落实训练参考答案

1．AD 2．ACD 3． BC

解析：小球从最低点沿圆轨道向上运动，若小球到最高点的速度为零，根据机械能守恒，

2

5v01

有小球上升的高度为H=≤R。若小球从最低点沿圆轨道向上运动，且不能过圆周，

42g3

则小球到最高点的速度为零，根据机械能守恒，有小球上升的高度为H＜R。如果能过

1

圆周，4

在上升的过程中小球会脱离轨道，作斜抛运动，到达最高点时的速度不为零，所以达不到的高度。答案BC正确。

4．BCD

5

R3

解析：轻杆约束的小球在竖直平面内做圆周运动，到达最高点的速度最小可以是零，根据向心力公式结合机械能守恒，可得出小球在这两点对杆的作用力大小之差可能为4mg、5mg或6mg，BCD正确。

5．B

解析：当细线碰到钉子时，线速度不变，但小球做圆周运动的半径将减小 由ω=

v

，R减小，ω增大 R

v2

a=，R减小，a增大 R

v2

F－mg=m，得F增大

R

故B错误，本题选B。 6．C

解析：对小球进行受力分析，小球受到两个作用力，即重力和杆对小球的作用力，两个力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律就可得C正确。

三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC=________，向心加速度大小之比aA∶aB∶aC=________。

9．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。

两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高

点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下

部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离。

考点落实训练参考答案

1．AD 2．ACD

3． BC

解析：小球从最低点沿圆轨道向上运动，若小球到最高点的速度为零，根据机械能守恒，

25v01有小球上升的高度为H=≤R。若小球从最低点沿圆轨道向上运动，且不能过圆周，42g3 则小球到最高点的速度为零，根据机械能守恒，有小球上升的高度为H＜R。如果能过1圆周，4在上升的过程中小球会脱离轨道，作斜抛运动，到达最高点时的速度不为零，所以达不到的高度。答案BC正确。

4．BCD 5R3

解析：轻杆约束的小球在竖直平面内做圆周运动，到达最高点的速度最小可以是零，根据向心力公式结合机械能守恒，可得出小球在这两点对杆的作用力大小之差可能为4mg、5mg或6mg，BCD正确。

5．B

解析：当细线碰到钉子时，线速度不变，但小球做圆周运动的半径将减小

由ω=v，R减小，ω增大 R

v2

a=，R减小，a增大 R

v2

F－mg=m，得F增大 R

故B错误，本题选B。

6．C

解析：对小球进行受力分析，小球受到两个作用力，即重力和杆对小球的作用力，两个力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律就可得C正确。

7．15，12.5

8．1∶3∶1 3∶9∶1

9．解析：以a球为对象，设其到达最高点时的速度为va，根据向心力公式有：

2vamgFam R

2va即4mgm R

所以：va2gR

以b球为对象，设其到达最高点时的速度为vb，根据向心力公式有： 2vbmgFbm R

2vb1即mgm 4R1gR 所以：vb2

a、b两球脱离轨道的最高点后均做一平抛运动，所以a、b两球的水平位移分别为： savat2gR

sbvbt4R4R g14RgRR 2g

故a、b两球落地点间的距离△s=sa－sb=3R。