摘 要
函数极值问题是微积分产生和推动发展的重要动力之一，在生产实践，科学实验和社会生活的各个领域中经常遇到解决“最大”“最省”“最短”“最好”等问题，而这些问题的解决就转化到了数学中极值问题，在数学分析中函数极值占有很重要的地位，而函数的极值问题技巧性强、难度大、解法灵活，所以函数极值求法的探讨也具有了其重要意义。
本文将极值问题划分为一元函数极值问题和多元函数极值问题，给出了一元函数极值判定的充分条件及证明过程，探讨了多元函数无条件极值和条件极值的判别方法，结合一些具体案例，较系统的解决了函数极值问题。当然本文还应用数学软件Matlab简要阐述了的求法。
关键字：极值，多元函数，条件极值，Matlab
Abstract
Extremum problem of function is the generation of calculus and promote the development of one of the important driving force, in the production
practice,scientific research and social life each domain is often encountered in solving the "maximum" "short" and "best" wait for a problem, and the solution to these problems is transformed into the extreme value problems in mathematics, to mathematical analysis in the extreme value of functionoccupies a very important position, and the extremum problem of function ofthe skills of
strong, difficulty, solution of flexible, so the function extremum seeking method also has its important significance.
The extreme value problem into a binary function extreme value problemand the extreme value of multivariate function, sufficient conditions are given for the unary function extremum and the process of proving, and discusses the method of multivariate discriminant function of the unconditional extreme
value and conditional extremum, with some specific cases, a systemsolution to the extremum problem of function. Of course, the method for theapplication of mathematical software Matlab briefly expounds the.
Keywords: extreme value ,of multivariate function ,extreme conditions,Matlab
目录
第1章 引言 ............................................................................................................................. 1 第2章 求一元函数极值的方法 ............................................................................................. 2 2.1一元函数极值的定义 .................................................................................................... 2 2.2极值的第一充分条件 .................................................................................................... 3 2.3极值的第二充分条件 .................................................................................................... 4 2.4极值的第三充分条件 .................................................................................................... 5 2.5求一元函数极值的小结 ................................................................................................ 6 第3章 求多元函数极值的方法 ............................................................................................. 7 3.1多元函数极值的定义 .................................................................................................... 7 3.2利用二次型求多元函数的极值 .................................................................................... 7 3.3利用方向导数判断多元函数的极值 ............................................................................ 9 3.4利用梯度和内积计算多元函数极值 .......................................................................... 10 第4章 条件极值 ................................................................................................................... 12 4.1条件极值的定义 .......................................................................................................... 12 4.2拉格朗日乘数法 .......................................................................................................... 12 4.3利用不等式求解极值 .................................................................................................. 13 4.4转化为无条件极值 ...................................................................................................... 15 4.5求多元函数极值的小结 .............................................................................................. 15 第5章 利用MATLAB求解函数极值 ................................................................................... 16 第6章结论 ............................................................................................................................. 17 参考文献 ................................................................................................................................. 18 致谢 ......................................................................................................................................... 19
第1章 引言
微积分从20世纪初开始进入中学，它作为人类文化的宝贵财富，正在武装着一代又一代的新人，终将成为世人皆知的常识。它闪耀着智慧光芒的深刻思想，一定会哺育人类走向更高的历史阶段。
而函数的极值是微积分产生和推动发展的重要因素，在导数应用中起着桥梁的作用，是研究函数的性态的一个重要特征，同时对一些最优化问题也有着重要应用，尤其是“最少”“最好”“最短”这些问题。总之它是解决问题不可或缺的工具。
在各类考试中，极值也是重要的考点，同时也是难点。对于许多学生来说，都是一条难以逾越的鸿沟。并且函数的极值问题技巧性强、难度大、解法灵活，所以函数极值求法的探讨也具有了其重要意义。同时它也是培养学生的发散性思维和创新思维的重要手段之一。
下面我将对函数极值问题的求解方法，做一个系统全面的总结，希望对大家今后的学习产生积极影响。同时也能更加快速有效的应用到现实生活中的最优化问题中去。
第2章 求一元函数极值的方法
2.1一元函数极值的定义
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。设函数f在点x0附近有定义，若函数f在点x0的某邻域U(x0)内，对一切x∈U(x0)有
f(x0)≥f(x) (f(x0)≤f(x))
则称函数f在点x0取得极大（小）值，称点x0为极大（小）值点。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。
定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数，由闭区间上连续函数的基本性质，最大值、最小值定理知，这一函数在闭区间必定会达到最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果不是边界点就一定是内点，那么这个内点就一定是极值点。这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
也就是费马定理，设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若f在点x0取得极值，则必有f'(x0)=0我们称满足f'(x0)=0的点为稳定点。
极值必要条件的证明：
证明：假定f(x0)是f的极大值，根据极大值的定义知，在x0的某个去心邻域U(x0;δ)内，对于任何点x，f(x0)>f(x)均成立，于是
因此得到f'(x0)=0，极小值的情形可类似证明。
2.2极值的第一充分条件
（极值的第一充分条件）设f在点x0连续，在某邻域U(x0;δ)内可导。 （i）若当x0∈(x0-δ,x0)时f'(x0)≤0，当x0∈(x0,x0+δ)时f'(x0)≥0，则f在点
x0取得极小值。
（ii）若当x0∈(x0-δ,x0)时f'(x0)≥0，当x0∈(x0,x0+δ)时f'(x0)≤0，则f在点x0取得极大值。
证明：
（i）的证明：由函数单调性的充要条件知f在(x0-δ,x0)内递减，在
(x0,x0+δ)内递增，又由f在点x0处连续，故对于任意的x∈U(x0;δ)，恒有 f(x)≥f(x0)即f在点x0取得极小值。
（ii）的证明：由单调函数的充要条件知f在(x0-δ,x0)内递增，在
(x0,x0+δ)内递减，又由f在点x0处连续，故对于任意的x∈U(x0;δ)，恒有 f(x)≤f(x0)即f在点x0取得极大值。
例1：求f(x)=(2x-5)
的极值。
解：易得到f的定义域(-∞,+∞)f(x)=(2x-5)
23
x-5x
1-3
5323
25
f的定义域(
-∞,+∞)，且当x≠0时有f'(x)=x+(x-1) x=33
x-
2
令f'(x)=0 得x
=1 ；
当x=0时，f'(x)不存在。点x=1为f的稳定点，x=0为
f的不可导点。
先列表如下（表中 表示递增，
表示递减）：
由上表可见：点x=0为f的极大值点，极大值为f(0)=0 ；点x=1为f的极小值点，极小值为f(1)=-3。
2.3极值的第二充分条件
（极值的第二充分条件）设f在点x0某邻域U(x0;δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)≠0。 （i）若f"(x0)0时，f在点x0取得极小值。
证明：由条件可得f在点x0处的二阶泰勒公式
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+
1
f"(x0)(x-x0)2+ο((x-x0)2) （1） 2!
由于f'(x0)=0，因此
f"(x0)
+ο(1)](x-x0)2 2
11
（1）又因f"(x0)≠0，故存在正数δ'≤δ，当x∈Ux(0;δ)' 时f"(x0)与f"(x0)+ο
22
f(x)-f(x0)=[
同号。所以，当f"(x0)
f(x)-f(x0)
即f在点x0取得极大值。同样对f''(x0)>0时，可得f在点x0取得极小值。
例2：求f(x)=
2x
的极值 1+x2
2(1+x2)-2x2x2(1+x)(1-x)
解： f'(x)= =2222
(1+x)(1+x)
-4x(1+x2)2-4(1-x2)(1+x2)2x4x(x2-3)
f"(x)== 2223
(1+x)(1+x)
令f'(x)=0得稳定点为x=±1.由极值的第二充分条件得 因f"(1)=-10，故x=-1是f的极小值点，极大值为f(-1)=-1
2.4极值的第三充分条件
（极值的第三充分条件）设f在点x0的某邻域存在n-1阶导函数，在x0处n阶梯可导，且f(k)(x0)=0 (k=1,2,
,n-1)，f(n)(x0)≠0，则
（i）当n为偶数时，f在点x0取得极值，且当f(n)(x0)
f(n)(x0)>0取得极小值。
（ii）当n为奇数时，f在点x0不取极值。
证明：由题设可知f(x)在x=x0处有f'(x0)=f"(x0)=
=f(n-1)(x0)=0但
f(n)(x0)≠0
若考虑把函数的一阶导数f'(x)在x=x0处展开成(n-1)阶的带皮亚诺型余项的泰勒公式
f'(x)=f'(x0)+f"(x0)(x-x0)+
f(n-1)(x0)f(n)(x0)(n-2)+(x-x0)+(x-x0)(n-1)+o((x-x0)(n-1))(n-2)!(n-1)!
f(n)(x0)
容易得到f'(x)=(x-x0)(n-1)+o((x-x0)(n-1)) （1）
(n-1)!
f(n)(x0)
令∆x=x-x0当x→x0时，则∆x→0设f'(x)=f'(x+∆x)=g(∆x) A=≠0
(n-1)!（1）式可记为g(∆x)=A(∆x)n-1+（ （2） o(∆x)n-1）
g(∆x)（o(∆x)n-1）由（2）式可得 =1+n-1n-1
A(∆x)A(∆x)g(∆x)（o(∆x)n-1）
则lim=1 (lim=0) ∆x→0A(∆x)n-1∆x→0(∆x)n-1所以当∆x充分小但∆x≠0时有
g(∆x)
>0成立
A(∆x)n-1
故g(∆x)与A(∆x)的符号.
n-1
f(n)(x0)
+o((x-x0)n-1)具有相同 具有相同的符号，即f'(x)与
(n-1)!
（1）若n为偶数时，即(n-1)为奇数时，当x的数值由小于x0变成大于x0时，则因式(x-x0)
(n-1)
f(n)(x0)
就要改变符号，但因式符号固定，所以在x0左右两侧导
(n-1)!
数f'(x)也要改变符号，即在x0左右两侧导数f'(x)异号。此时，由函数极值的定义可知，函数f在x0处达到极值，x0为极值点。 由函数极值的第一充分条件知
当f(n)(x0)0取得极小值。
（2）若n为奇数时，即(n-1)为偶数时，当x的数值由小于x0变成大于x0时，则因式(x-x0)
(n-1)
f(n)(x0)
就要不改变符号，因式符号固定，所以在x0左右两侧导
(n-1)!
数f'(x)也不改变符号，即f在点x0不取极值。
例3：求f(x)=2x3-x4的极值
解：f'(x)=6x2-4x3 ， f"(x)=12x-12x2 ，f"'(x)=12-24x 由f'(x)=0得f的稳定点为x=0和x=
3 2
因为f'(x)=f"(x)=0，f"'(x)=12由极值的第三充分条件知，f在x=0处不取得极值。
333
因为f'()=0 ，f"()=-9
222327
取得极大值f()=.
216
2.5求一元函数极值的小结
我们给出了求函数极值的三个充分条件，其实求一元函数极值，此类问题同出一辙。
第一步，求可能的极值点，包括稳定点，导数不存在的点，区间端点。 第二步，对上述各点进行判断，可以直接应用定义，或者三种充分条件。 第三步，求解极值。
这就要求做到具体问题具体分析，选择合适的判断方法。
第3章 求多元函数极值的方法
3.1多元函数极值的定义
多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但由于自变量由一个增加到多个，产生了某些新的内容。一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域是坐标平面上的点集。 设n元函数f(x1,x2,x3,
000
,xn-1,xn) 在点P0(x1,x2,x3,
00
,xn0)内-1,xn)的某领域U(P
有定义。若对于任何点P(x1,x2,x3,,xn-1,xn)∈U(P0)，有f(P)≤f(P0) （或
则称函数f在点P0 取得极大（或极小）值，点P0为f的极大（或f(P)≥f(P0) ）
极小）值点。极大值、极小值统称为极值。极大值点、极小值点统称极值点。 若函数f在点P0存在偏导数，且在点P0取得极值，则有
fx1(P0)=0 ，fx2(P0)=0 ，„，fxn(P0)=0
即grad f(P0)=0则称点P0为f的稳定点。
3.2利用二次型求多元函数的极值
设函数f(P)=f(x1,x2,x3,的二阶偏导数，并记
000
,xn-1,xn) 在点P0=(x1,x2,x3,
00
,xn-1,xn) 有连续
⎡fx1x1(P0)
⎢
⎢fx2x1(P0)
Hf(P0)=⎢
…⎢⎢⎣fxnx1(P0)
为函数f(P)=f(x1,x2,x3,设函数f(P)=f(x1,x2,x3,
fx1x2(P0)…fx2x2(P0)………
fxnx2(P0)…
fx1xn(P0)⎤
⎥
fx2xn(P0)⎥
⎥…⎥
fxnxn(P0)⎥⎦
,xn-1,xn)在点P0的黑塞（Hesse）矩阵。
,xn-1,xn) 在点P0有连续的一阶和二阶偏导数，并且
grad f(P0)=0 ，即点P0为函数f的稳定点。如果
（i）若矩阵Hf(P0取得极小值。 0)是正定矩阵，函数f在点P（ii）若矩阵Hf(P0取得极大值。 0)是负定矩阵，函数f在点P（iii）若矩阵Hf(P0不取得极值。 0)是不定矩阵，函数f在点P
证明：考虑函数f(P)=f(x1,x2,x3,的泰勒展开式。
000
,xn-1,xn) 在点P0=(x1,x2,x3,00
,xn-1,xn)
1n
f(P)=f(P0)+∑fxi(P0)(xi-xi0)+fxixj(P0)(xi-xi0)(xj-xj0)+o(P-P0) ∑2!i=1i=1,j=1
⎡x1-x10⎤
⎢⎥
+fxn(P0)]⎢⎥
0⎥⎢xn-xn
⎣⎦
n
=f(P0)+[ fx1(P0)+fx2(P0)+
10
+⎡x-x,112!⎣
⎡fx1x1(P0)⎢
f(P0)0⎢x2x1
,xn-xn⎤⎦⎢…
⎢⎢⎣fxnx1(P0)
fx1x2(P0)…fx2x2(P0)………
fxnx2(P0)…
fx1xn(P0)⎤
⎥⎡x1-x10⎤
fx2xn(P0)⎥⎢2⎥
+o(P-P0) ⎢⎥⎥…0⎥⎥⎢xn-xn
⎣⎦fxnxn(P0)⎥⎦
=f(P0)+grad f(P0)∆P'+
1
∆PHf(P0)∆P' 2!
12
∆PHf(P0)∆P'+ο(∆P)2!
因为grad f(P0)=0，所以f(P)-f(P0)=f(P0)+
因此函数f(P)在点P0是否取得极值完全取决于二次型∆PHf(P0)∆P'的符号。
如果二次型∆PHf(P0)∆P'为正定二次型，即矩阵Hf(P0)是正定矩阵，也就是∆PHf(P则在∆P足够小时，f(P)-f(P函数f在点P0取得0)>0，0)∆P'>0，极小值。
如果二次型∆PHf(P0)∆P'为负定二次型，即矩阵Hf(P0)是负定矩阵，也就是∆PHf(P则在∆P足够小时，f(P)-f(P函数f在点P0取得0)
如果二次型∆PHf(P0)∆P'为不定二次型，即矩阵Hf(P0)是不定矩阵，函数
f在点P0不能取得极值。
对于特殊的函数，二元函数f(x,y)来说，若点P0为函数f的稳定点，则有
2（i）fxx(P0)>0，(fxxfyy-fyy)(P0取得极小值。 0)>0时，函数f在点P2（ii）fxx(P0)0时，函数f在点P2（iii）(fxxfyy-fyy)(P0不取极值。 0)
2
（iv）(fxxfyy-fyy)(P0不能肯定是否取得极值。 0)=0，函数f在点P
例4：求z=3axy-x3-y3(a>0)的极值。 解 由方程组
2
⎧⎪zx=3ay-3x=0
⎨2
z=3ax-3y=0⎪⎩y
得z的稳定点PP2(0,0) 由于zxx(Pzxy(P1)=-6a
zyy(P0)=-6a
22
由于(zxxzyy-zyy因此z在点P)(P1(a,a)取得极小1)=27a>0 此为负定矩阵，
值z(a,a)=3a3-3a3-3a3=-3a3.
zxx(P2)=0，zxy(P2)=zyx(P2)=3a，zyy(P1)=0
22由于(zxxzyy-zyy)(P2(0,0)取得极小值. 2)=-9a
3.3利用方向导数判断多元函数的极值
方向导数的定义：设n元函数f(x) 在点x0的某领域U(x0)内有定义，对于
il+以ρ表示x与x0两点间的距离即ρ=x-x0，若m=∀x∈U(x0) ，
ρ→0
f(x)-f(x)
ρ
存
在，则此极限为f在点x0沿方向
l=xx0的方向导数，记作fl(x0)
引理：设二元函数f(x,y)在点P在U(P0)内0(x0,y0)的某领域U(P0)内连续，
l可微，对于∀P(x,y)∈U(P0)，用表示方向PP0
（i）若fl'(P)>0，函数f在点P0取得极大值 （ii）若fl'(P)
与二元函数相似，多元函数也可以利用方向导数来判断极值。
定理：设n元函数f(x1,x2,x3,
000
,xn-1,xn)在点P(x,x,x0123,
00
,xn,x-1n)的某领域
lU(P0)内连续，在U(P0)内可微，对于∀P∈U0(P0)，用表示方向PP0
（i）若fl'(P)>0，函数f在点P0取得极大值 （ii）若fl'(P)
推理：设n元函数f(x1,x2,x3,
000
,xn-1,xn) 在点P0(x1,x2,x3,
00
,xn-1,xn)的某领
域U(P0)内连续，在U(P0)内可微，对于∀P∈U(P0)，
0（i）若fx'1(x1-x1)+0（ii）若fx'1(x1-x1)+
+fx'1(xn-xn)
例5：求三元函数f=x2+y2+z2+2x+4y-6z的极值 有方程组
⎧fx=2x+2=0
⎪
⎨fy=2y+4=0 ⎪
⎩fz=2z-6=0
得函数的稳定点为P0(-1,-2,3) 由于
(x+1)(2x+2)+(y+2)(2y+4)+(z-3)(2z-6)=2[(x+1)+(y+2)+(z-3)]>0
得f在P0(-1,-2,3)取得极小值
2
2
2
f|P0=(-1)2+(-2)2+32+2⨯(-1)+4⨯(-2)-6⨯3=14
3.4利用梯度和内积计算多元函数极值
定义：设函数f=f(x1,x2,x3,
000
,xn-1,xn) 在点P0=(x1,x2,x3,
00
,xn-1,xn)存在
对所有自变量的偏导，则称向量(fx1(P0),fx2(P0),fx3(P0),,fxn(P0)) 为函数f在点
P0的梯度，记作grad f=(fx1(P0),fx2(P0),fx3(P0),,fxn(P0))
引理：f在点x0连续，在某邻域U(x0;δ)内可微，则
（i）对于∀x∈U(x0;δ)，有(x-x0)f'(x)>0，f在点x0取得极小值 （ii）对于∀x∈U(x0;δ)，有(x-x0)f'(x)
推广到多元函数的极值问题： 设函数f=f(x1,x2,x3,
000
,xn-1,xn) 在点P0=(x1,x2,x3,
00
,xn-1,xn) 连续，在
U(P0)内可微，则
（i）若∀P(x1,x2,x3,
,xn-1,xn)∈U(P0)时，有
(x000
1-x1,x2-x2,x3-x3,
,x0
n-xn)grad f>0，f在点x0取得极小值
（ii）若∀P(x1,x2,x3,
,xn-1,xn)∈U(P0)时，有
(xx0x00
1-1,x2-2,x3-x3,
,xx0
n-n)grad f
⎧
x=4⎧⎪fx-3y+2=0⎪x=2⎪
5⎨f-3x=0
⎪
6⎪y=2y 解得⎨y= 2z=05⎩f⎪
z=⎪⎪z=0
⎩得到稳定点(46
5,5
,0)
对点(x,y,z)有
(x-45,y-6
5,z-0)grad f
=(x-45,y-6
5
,z-0)(2x-3y+2,2y-3x,2z)
=(x-4
)(2x-3y+2)+(y-6
5)(2y-3x)+2z2
5=2[(x-46
5)2+(y-5
)2+z2]>0
f在点(46465,5,0)取得极小值f(5,5,0)=4
5
第4章 条件极值
4.1条件极值的定义
在以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各种条件的限制。 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值。 条件极值问题的一般是在条件组
ϕk(x1,x2,…,xn)=0,k=1,2,…,m (m
的限制下，求目标函数
y=f(x1,x2,…,xn)
的极值。
4.2拉格朗日乘数法
对于条件极值的一般情形，求函数y=f(x1,x2,
,xn)在约束条件
⎧⎪
ϕ1(x1,x2,,xn)=0⎨…………………… ⎪⎩ϕm(x1,x2
,,xn)=0
⎡⎢∂ϕ1
（其中f,ϕ1,ϕ2,
ϕ⎢∂x1
,m 均具有一阶连续偏导数，且雅克比矩阵⎢
⎢⎢∂ϕm⎢⎣∂x1的秩为m）下的极值。
步骤如下：
（1） 做拉格朗日函数
L=f+λϕ11+λ2ϕ2+
+λmϕm
（2） 求解方程组
∂ϕ1⎤
∂xn⎥
⎥⎥ ∂ϕ⎥m∂x⎥n⎥⎦
（3）解上述方程组可能的条件极值点，在对这些点进行判定。
例7：求函数f=x2+y2+z2在ax+by+cz=1下的最小值。 解：做拉格朗日函数
m
∂ϕk∂f⎧
L=+λ⎪x1∂x∑k∂x=0
k=111⎪
⎪…………………………⎪m
⎪L=∂f+λ∂ϕk=0⎨xn∂x∑k∂x
k=1nn
⎪
⎪Lλ1=ϕ1(x1,x2,xn)=0⎪
⎪…………………………⎪L=ϕ(x,x,x)=0
m12n⎩λ1
L(x,y,z,λ)=x2+y2+z2+λ(ax+by+cz-1) 令L'x=L'y=L'z=L'λ=0，即
⎧2x+λa=0⎪2y+λb=0⎪
⎨
2z+λc=0⎪⎪⎩ax+by+cz=1
解得唯一稳定点
a⎧x=⎪a2+b2+c2⎪
b⎪y=
⎪a2+b2+c2 ⎨
c⎪z=
⎪a2+b2+c2⎪-2⎪λ=2
a+b2+c2⎩
将它们带入f=x2+y2+z2得最小值为fmin=
1
a2+b2+c2
4.3利用不等式求解极值
不等式与数，函数，方程都有密切联系，在求解多元函数极值问题也应用广泛。对目标函数进行适当变形，“拼”“凑”，选择合适的不等式求得极值。 利用均值不等式求极值：
a+a++an
(ak≥0,k=1,2,3,,n)且等号成立≤12
n的条件为a1=a2=
=an
例8：设x,y∈R且xy≠0，则f(x,y)=(x2+解：
112)(+4y)的极小值 22yx
112)(+4y)22yx
1
=1+4x2y2+22+4
xy1
=5+4x2y2+22
xy
≥5+2⨯2=9f(x,y)=(x2+
当且仅当4x2y2=
1，即时，取得极小值9 xy=±x2y22
柯西不等式：如果对于任意实数a1,a2,
2
(a12+a2+
22
+an)(b12+b2+
2
+bn)≥(a1b1,a2b2,
,an和b1,b2,,bn总有
,an和
,anbn)2当且仅当a1,a2,
b1,b2,,bn对应成比例时，等号成立。
例9：已知(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2=9，求f(x,y,z)=2x-2y+z的极值 解：f(x,y,z)=2x-2y+z=2(x-2)-2(y+1)+(z-4)+10
令g(x,y,z)=2(x-2)-2(y+1)+(z-4) 由柯西不等式得：
2(x-2)-2(y+1)+(z-4)≤[22+(-2)2+12][(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2]=81 得-9≤2(x-2)-2(y+1)+(z-4)≤9 当且仅当
⎧x-2y+1z-4
===k⎪
2-21⎨
222⎪⎩(x-2)+(y+1)+(z-4)=9
当k=1,x=4,y=-3,z=5时g(x,y,z)取得极大值9，此时f(x,y,z)取得极大值19
当k=-1,x=0,y=1,z=3时g(x,y,z)取得极小值-9，此时f(x,y,z)取得极大值1
4.4转化为无条件极值
对于一些特殊的极值问题，我们可以采用转化为无条件极值，尤其对于一些二元函数的极值问题，大大减少了计算量。
例10：若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1)，则(a+1)(b+2)的最小值为
−−
解：
ab-4a-b+1=0(a>1)
∴b=
4a-1
a-1
a>1 ∴b>0
∴(a+1)(b+2)
=ab+2a+b+2
1=6[+a-1]+15
a-
1
≥6⨯15=27
当且仅当(a-1)2=1由于a>1即a=2时等号成立 得(a+1)(b+2)的最小值为27
4.5求多元函数极值的小结
首先要考虑目标函数是否为条件极值； 其次，若为无条件极值多元函数，一般考虑采用二次型求多元函数极值的方法。当然也可以考虑定义，方向导数，梯度内积计算的方法。
对于条件极值，一般考虑采用拉格朗日乘数法，对于一些特殊的多元函数，也可以考虑转化为无条件极值，利用不等式，这些简易方法。
这也要求我们具体问题具体分析，选择合适的方法。
第5章 利用MATLAB求解函数极值
Matlab是一款很强大数学应用软件，同样我们可以利用此软件直接求解函数极值，利用此软件求函数极值形象直观。这里我提供一种求极值的方法，当然方法不限这一种，在今后的学习中要注重总结。思路如下： （1） 先用diff命令求得目标函数的导数 （2） 再用solve命令求导函数为0的点，即稳定点 （3） 最后用fplot命令绘制图像，判断极值点。
例11：求函数y=x3+2x2-5x+1 的极值。 解：输入下列命令
y=’x^3+2*x^2-5*x+1,; dy=diff(y) x=solve(dy) x=double(x)
y1=x.^3+2*x.^2-5*x+1 运行结果 dy=
3*x^2+4*x-5 x=
[-2/3+1/3*19^(1/2)] [-2/3-1/3*19^(1/2)] X= 0.7863 -2.1196 y=
-1.2088 11.0607
做函数曲线fplot(y,[-4,-2]) 如下图：
由图像分析可得到函数y=x3+2x2-5x+1的极小值为-1.2088，极大值为
11.0607
第6章结论
本文较全面的总结了函数极值问题求解的几种重要方法，但对于一些实际问题，我们还得做到具体问题具体分析，不能拘泥于方法，还要懂得创新，关键是从函数极值定义入手解决此类问题。
本文中还存在许多不足，对于一些复杂的问题没有做到分析，这就要求我们在今后的学习中更加注重这方面的学习，做到真正明了。
同时，我还希望将此类极值问题，引用到数学模型的构建中去，尤其是一些最优化问题，这也不失为一种方法。
参考文献
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[2] 张天德，韩振等.数学分析同步辅导及习题精解[M].天津:天津科学出版社，2009.6.
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[4] 曲一线主编.5年高考3年模拟[M].北京:首都师范大学出版社,2005.6.
[5] 萧明达.泰勒公式与函数极值[J].杭州教育学院学报,1994,第2期:1-2.
[6] 李兰舫.函数极值的判定[J].上海冶金高等专科学校学报，2000，第21卷第4期: 1-3.
[7] 陈惠汝. 多元函数极值求法探讨[J]. 巢湖学院学报,2010,第12卷第6期: 1-3.
[8] 周广发. 函数的极值与MATLAB的应用[J]. 湖北工程学院学报:1
致谢 行文至此，我的这篇论文已接近尾声；岁月如梭，我四年的大学时光也即将敲响结束的钟声。离别在即，站在人生的又一个转折点上，心中难免思绪万千，一种感恩之情油然而生。
生我者父母。感谢生我养我，含辛茹苦的父母。是你们，为我的学习创造了条件；是你们，一如既往的站在我的身后默默的支持着我。没有你们就不会有我的今天。谢谢你们，我的父亲母亲！
本论文是在张老师的悉心指导下完成的。在课题研究和学习过程中，得到了张老师的关怀和指导，帮助我开拓思路，指点迷津。这段时间的宝贵经验，必将使我未来的工作和学习生活中受益匪浅，总之，再次感谢张老师。
我还要感谢大学四年来的室友和同学们。在毕业设计这段时间里，得到了他们许多帮助，为我解答了许多疑惑，使我少走了许多弯路。我们在一起共同生活的日子将永远铭记。如今毕业在即，祝愿我们每一个人有一个美好的前程。
当然我还要感谢***学院所有教导过我当然也包括没有教导我的老师们，感谢你们培育了又一大批社会新型大学生。
最后，值离校之际，祝愿北方学院所有师生工作顺利，健康平安。
摘 要
函数极值问题是微积分产生和推动发展的重要动力之一，在生产实践，科学实验和社会生活的各个领域中经常遇到解决“最大”“最省”“最短”“最好”等问题，而这些问题的解决就转化到了数学中极值问题，在数学分析中函数极值占有很重要的地位，而函数的极值问题技巧性强、难度大、解法灵活，所以函数极值求法的探讨也具有了其重要意义。
本文将极值问题划分为一元函数极值问题和多元函数极值问题，给出了一元函数极值判定的充分条件及证明过程，探讨了多元函数无条件极值和条件极值的判别方法，结合一些具体案例，较系统的解决了函数极值问题。当然本文还应用数学软件Matlab简要阐述了的求法。
关键字：极值，多元函数，条件极值，Matlab
Abstract
Extremum problem of function is the generation of calculus and promote the development of one of the important driving force, in the production
practice,scientific research and social life each domain is often encountered in solving the "maximum" "short" and "best" wait for a problem, and the solution to these problems is transformed into the extreme value problems in mathematics, to mathematical analysis in the extreme value of functionoccupies a very important position, and the extremum problem of function ofthe skills of
strong, difficulty, solution of flexible, so the function extremum seeking method also has its important significance.
The extreme value problem into a binary function extreme value problemand the extreme value of multivariate function, sufficient conditions are given for the unary function extremum and the process of proving, and discusses the method of multivariate discriminant function of the unconditional extreme
value and conditional extremum, with some specific cases, a systemsolution to the extremum problem of function. Of course, the method for theapplication of mathematical software Matlab briefly expounds the.
Keywords: extreme value ,of multivariate function ,extreme conditions,Matlab
目录
第1章 引言 ............................................................................................................................. 1 第2章 求一元函数极值的方法 ............................................................................................. 2 2.1一元函数极值的定义 .................................................................................................... 2 2.2极值的第一充分条件 .................................................................................................... 3 2.3极值的第二充分条件 .................................................................................................... 4 2.4极值的第三充分条件 .................................................................................................... 5 2.5求一元函数极值的小结 ................................................................................................ 6 第3章 求多元函数极值的方法 ............................................................................................. 7 3.1多元函数极值的定义 .................................................................................................... 7 3.2利用二次型求多元函数的极值 .................................................................................... 7 3.3利用方向导数判断多元函数的极值 ............................................................................ 9 3.4利用梯度和内积计算多元函数极值 .......................................................................... 10 第4章 条件极值 ................................................................................................................... 12 4.1条件极值的定义 .......................................................................................................... 12 4.2拉格朗日乘数法 .......................................................................................................... 12 4.3利用不等式求解极值 .................................................................................................. 13 4.4转化为无条件极值 ...................................................................................................... 15 4.5求多元函数极值的小结 .............................................................................................. 15 第5章 利用MATLAB求解函数极值 ................................................................................... 16 第6章结论 ............................................................................................................................. 17 参考文献 ................................................................................................................................. 18 致谢 ......................................................................................................................................... 19
第1章 引言
微积分从20世纪初开始进入中学，它作为人类文化的宝贵财富，正在武装着一代又一代的新人，终将成为世人皆知的常识。它闪耀着智慧光芒的深刻思想，一定会哺育人类走向更高的历史阶段。
而函数的极值是微积分产生和推动发展的重要因素，在导数应用中起着桥梁的作用，是研究函数的性态的一个重要特征，同时对一些最优化问题也有着重要应用，尤其是“最少”“最好”“最短”这些问题。总之它是解决问题不可或缺的工具。
在各类考试中，极值也是重要的考点，同时也是难点。对于许多学生来说，都是一条难以逾越的鸿沟。并且函数的极值问题技巧性强、难度大、解法灵活，所以函数极值求法的探讨也具有了其重要意义。同时它也是培养学生的发散性思维和创新思维的重要手段之一。
下面我将对函数极值问题的求解方法，做一个系统全面的总结，希望对大家今后的学习产生积极影响。同时也能更加快速有效的应用到现实生活中的最优化问题中去。
第2章 求一元函数极值的方法
2.1一元函数极值的定义
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。设函数f在点x0附近有定义，若函数f在点x0的某邻域U(x0)内，对一切x∈U(x0)有
f(x0)≥f(x) (f(x0)≤f(x))
则称函数f在点x0取得极大（小）值，称点x0为极大（小）值点。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。
定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数，由闭区间上连续函数的基本性质，最大值、最小值定理知，这一函数在闭区间必定会达到最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果不是边界点就一定是内点，那么这个内点就一定是极值点。这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
也就是费马定理，设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若f在点x0取得极值，则必有f'(x0)=0我们称满足f'(x0)=0的点为稳定点。
极值必要条件的证明：
证明：假定f(x0)是f的极大值，根据极大值的定义知，在x0的某个去心邻域U(x0;δ)内，对于任何点x，f(x0)>f(x)均成立，于是
因此得到f'(x0)=0，极小值的情形可类似证明。
2.2极值的第一充分条件
（极值的第一充分条件）设f在点x0连续，在某邻域U(x0;δ)内可导。 （i）若当x0∈(x0-δ,x0)时f'(x0)≤0，当x0∈(x0,x0+δ)时f'(x0)≥0，则f在点
x0取得极小值。
（ii）若当x0∈(x0-δ,x0)时f'(x0)≥0，当x0∈(x0,x0+δ)时f'(x0)≤0，则f在点x0取得极大值。
证明：
（i）的证明：由函数单调性的充要条件知f在(x0-δ,x0)内递减，在
(x0,x0+δ)内递增，又由f在点x0处连续，故对于任意的x∈U(x0;δ)，恒有 f(x)≥f(x0)即f在点x0取得极小值。
（ii）的证明：由单调函数的充要条件知f在(x0-δ,x0)内递增，在
(x0,x0+δ)内递减，又由f在点x0处连续，故对于任意的x∈U(x0;δ)，恒有 f(x)≤f(x0)即f在点x0取得极大值。
例1：求f(x)=(2x-5)
的极值。
解：易得到f的定义域(-∞,+∞)f(x)=(2x-5)
23
x-5x
1-3
5323
25
f的定义域(
-∞,+∞)，且当x≠0时有f'(x)=x+(x-1) x=33
x-
2
令f'(x)=0 得x
=1 ；
当x=0时，f'(x)不存在。点x=1为f的稳定点，x=0为
f的不可导点。
先列表如下（表中 表示递增，
表示递减）：
由上表可见：点x=0为f的极大值点，极大值为f(0)=0 ；点x=1为f的极小值点，极小值为f(1)=-3。
2.3极值的第二充分条件
（极值的第二充分条件）设f在点x0某邻域U(x0;δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)≠0。 （i）若f"(x0)0时，f在点x0取得极小值。
证明：由条件可得f在点x0处的二阶泰勒公式
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+
1
f"(x0)(x-x0)2+ο((x-x0)2) （1） 2!
由于f'(x0)=0，因此
f"(x0)
+ο(1)](x-x0)2 2
11
（1）又因f"(x0)≠0，故存在正数δ'≤δ，当x∈Ux(0;δ)' 时f"(x0)与f"(x0)+ο
22
f(x)-f(x0)=[
同号。所以，当f"(x0)
f(x)-f(x0)
即f在点x0取得极大值。同样对f''(x0)>0时，可得f在点x0取得极小值。
例2：求f(x)=
2x
的极值 1+x2
2(1+x2)-2x2x2(1+x)(1-x)
解： f'(x)= =2222
(1+x)(1+x)
-4x(1+x2)2-4(1-x2)(1+x2)2x4x(x2-3)
f"(x)== 2223
(1+x)(1+x)
令f'(x)=0得稳定点为x=±1.由极值的第二充分条件得 因f"(1)=-10，故x=-1是f的极小值点，极大值为f(-1)=-1
2.4极值的第三充分条件
（极值的第三充分条件）设f在点x0的某邻域存在n-1阶导函数，在x0处n阶梯可导，且f(k)(x0)=0 (k=1,2,
,n-1)，f(n)(x0)≠0，则
（i）当n为偶数时，f在点x0取得极值，且当f(n)(x0)
f(n)(x0)>0取得极小值。
（ii）当n为奇数时，f在点x0不取极值。
证明：由题设可知f(x)在x=x0处有f'(x0)=f"(x0)=
=f(n-1)(x0)=0但
f(n)(x0)≠0
若考虑把函数的一阶导数f'(x)在x=x0处展开成(n-1)阶的带皮亚诺型余项的泰勒公式
f'(x)=f'(x0)+f"(x0)(x-x0)+
f(n-1)(x0)f(n)(x0)(n-2)+(x-x0)+(x-x0)(n-1)+o((x-x0)(n-1))(n-2)!(n-1)!
f(n)(x0)
容易得到f'(x)=(x-x0)(n-1)+o((x-x0)(n-1)) （1）
(n-1)!
f(n)(x0)
令∆x=x-x0当x→x0时，则∆x→0设f'(x)=f'(x+∆x)=g(∆x) A=≠0
(n-1)!（1）式可记为g(∆x)=A(∆x)n-1+（ （2） o(∆x)n-1）
g(∆x)（o(∆x)n-1）由（2）式可得 =1+n-1n-1
A(∆x)A(∆x)g(∆x)（o(∆x)n-1）
则lim=1 (lim=0) ∆x→0A(∆x)n-1∆x→0(∆x)n-1所以当∆x充分小但∆x≠0时有
g(∆x)
>0成立
A(∆x)n-1
故g(∆x)与A(∆x)的符号.
n-1
f(n)(x0)
+o((x-x0)n-1)具有相同 具有相同的符号，即f'(x)与
(n-1)!
（1）若n为偶数时，即(n-1)为奇数时，当x的数值由小于x0变成大于x0时，则因式(x-x0)
(n-1)
f(n)(x0)
就要改变符号，但因式符号固定，所以在x0左右两侧导
(n-1)!
数f'(x)也要改变符号，即在x0左右两侧导数f'(x)异号。此时，由函数极值的定义可知，函数f在x0处达到极值，x0为极值点。 由函数极值的第一充分条件知
当f(n)(x0)0取得极小值。
（2）若n为奇数时，即(n-1)为偶数时，当x的数值由小于x0变成大于x0时，则因式(x-x0)
(n-1)
f(n)(x0)
就要不改变符号，因式符号固定，所以在x0左右两侧导
(n-1)!
数f'(x)也不改变符号，即f在点x0不取极值。
例3：求f(x)=2x3-x4的极值
解：f'(x)=6x2-4x3 ， f"(x)=12x-12x2 ，f"'(x)=12-24x 由f'(x)=0得f的稳定点为x=0和x=
3 2
因为f'(x)=f"(x)=0，f"'(x)=12由极值的第三充分条件知，f在x=0处不取得极值。
333
因为f'()=0 ，f"()=-9
222327
取得极大值f()=.
216
2.5求一元函数极值的小结
我们给出了求函数极值的三个充分条件，其实求一元函数极值，此类问题同出一辙。
第一步，求可能的极值点，包括稳定点，导数不存在的点，区间端点。 第二步，对上述各点进行判断，可以直接应用定义，或者三种充分条件。 第三步，求解极值。
这就要求做到具体问题具体分析，选择合适的判断方法。
第3章 求多元函数极值的方法
3.1多元函数极值的定义
多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但由于自变量由一个增加到多个，产生了某些新的内容。一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域是坐标平面上的点集。 设n元函数f(x1,x2,x3,
000
,xn-1,xn) 在点P0(x1,x2,x3,
00
,xn0)内-1,xn)的某领域U(P
有定义。若对于任何点P(x1,x2,x3,,xn-1,xn)∈U(P0)，有f(P)≤f(P0) （或
则称函数f在点P0 取得极大（或极小）值，点P0为f的极大（或f(P)≥f(P0) ）
极小）值点。极大值、极小值统称为极值。极大值点、极小值点统称极值点。 若函数f在点P0存在偏导数，且在点P0取得极值，则有
fx1(P0)=0 ，fx2(P0)=0 ，„，fxn(P0)=0
即grad f(P0)=0则称点P0为f的稳定点。
3.2利用二次型求多元函数的极值
设函数f(P)=f(x1,x2,x3,的二阶偏导数，并记
000
,xn-1,xn) 在点P0=(x1,x2,x3,
00
,xn-1,xn) 有连续
⎡fx1x1(P0)
⎢
⎢fx2x1(P0)
Hf(P0)=⎢
…⎢⎢⎣fxnx1(P0)
为函数f(P)=f(x1,x2,x3,设函数f(P)=f(x1,x2,x3,
fx1x2(P0)…fx2x2(P0)………
fxnx2(P0)…
fx1xn(P0)⎤
⎥
fx2xn(P0)⎥
⎥…⎥
fxnxn(P0)⎥⎦
,xn-1,xn)在点P0的黑塞（Hesse）矩阵。
,xn-1,xn) 在点P0有连续的一阶和二阶偏导数，并且
grad f(P0)=0 ，即点P0为函数f的稳定点。如果
（i）若矩阵Hf(P0取得极小值。 0)是正定矩阵，函数f在点P（ii）若矩阵Hf(P0取得极大值。 0)是负定矩阵，函数f在点P（iii）若矩阵Hf(P0不取得极值。 0)是不定矩阵，函数f在点P
证明：考虑函数f(P)=f(x1,x2,x3,的泰勒展开式。
000
,xn-1,xn) 在点P0=(x1,x2,x3,00
,xn-1,xn)
1n
f(P)=f(P0)+∑fxi(P0)(xi-xi0)+fxixj(P0)(xi-xi0)(xj-xj0)+o(P-P0) ∑2!i=1i=1,j=1
⎡x1-x10⎤
⎢⎥
+fxn(P0)]⎢⎥
0⎥⎢xn-xn
⎣⎦
n
=f(P0)+[ fx1(P0)+fx2(P0)+
10
+⎡x-x,112!⎣
⎡fx1x1(P0)⎢
f(P0)0⎢x2x1
,xn-xn⎤⎦⎢…
⎢⎢⎣fxnx1(P0)
fx1x2(P0)…fx2x2(P0)………
fxnx2(P0)…
fx1xn(P0)⎤
⎥⎡x1-x10⎤
fx2xn(P0)⎥⎢2⎥
+o(P-P0) ⎢⎥⎥…0⎥⎥⎢xn-xn
⎣⎦fxnxn(P0)⎥⎦
=f(P0)+grad f(P0)∆P'+
1
∆PHf(P0)∆P' 2!
12
∆PHf(P0)∆P'+ο(∆P)2!
因为grad f(P0)=0，所以f(P)-f(P0)=f(P0)+
因此函数f(P)在点P0是否取得极值完全取决于二次型∆PHf(P0)∆P'的符号。
如果二次型∆PHf(P0)∆P'为正定二次型，即矩阵Hf(P0)是正定矩阵，也就是∆PHf(P则在∆P足够小时，f(P)-f(P函数f在点P0取得0)>0，0)∆P'>0，极小值。
如果二次型∆PHf(P0)∆P'为负定二次型，即矩阵Hf(P0)是负定矩阵，也就是∆PHf(P则在∆P足够小时，f(P)-f(P函数f在点P0取得0)
如果二次型∆PHf(P0)∆P'为不定二次型，即矩阵Hf(P0)是不定矩阵，函数
f在点P0不能取得极值。
对于特殊的函数，二元函数f(x,y)来说，若点P0为函数f的稳定点，则有
2（i）fxx(P0)>0，(fxxfyy-fyy)(P0取得极小值。 0)>0时，函数f在点P2（ii）fxx(P0)0时，函数f在点P2（iii）(fxxfyy-fyy)(P0不取极值。 0)
2
（iv）(fxxfyy-fyy)(P0不能肯定是否取得极值。 0)=0，函数f在点P
例4：求z=3axy-x3-y3(a>0)的极值。 解 由方程组
2
⎧⎪zx=3ay-3x=0
⎨2
z=3ax-3y=0⎪⎩y
得z的稳定点PP2(0,0) 由于zxx(Pzxy(P1)=-6a
zyy(P0)=-6a
22
由于(zxxzyy-zyy因此z在点P)(P1(a,a)取得极小1)=27a>0 此为负定矩阵，
值z(a,a)=3a3-3a3-3a3=-3a3.
zxx(P2)=0，zxy(P2)=zyx(P2)=3a，zyy(P1)=0
22由于(zxxzyy-zyy)(P2(0,0)取得极小值. 2)=-9a
3.3利用方向导数判断多元函数的极值
方向导数的定义：设n元函数f(x) 在点x0的某领域U(x0)内有定义，对于
il+以ρ表示x与x0两点间的距离即ρ=x-x0，若m=∀x∈U(x0) ，
ρ→0
f(x)-f(x)
ρ
存
在，则此极限为f在点x0沿方向
l=xx0的方向导数，记作fl(x0)
引理：设二元函数f(x,y)在点P在U(P0)内0(x0,y0)的某领域U(P0)内连续，
l可微，对于∀P(x,y)∈U(P0)，用表示方向PP0
（i）若fl'(P)>0，函数f在点P0取得极大值 （ii）若fl'(P)
与二元函数相似，多元函数也可以利用方向导数来判断极值。
定理：设n元函数f(x1,x2,x3,
000
,xn-1,xn)在点P(x,x,x0123,
00
,xn,x-1n)的某领域
lU(P0)内连续，在U(P0)内可微，对于∀P∈U0(P0)，用表示方向PP0
（i）若fl'(P)>0，函数f在点P0取得极大值 （ii）若fl'(P)
推理：设n元函数f(x1,x2,x3,
000
,xn-1,xn) 在点P0(x1,x2,x3,
00
,xn-1,xn)的某领
域U(P0)内连续，在U(P0)内可微，对于∀P∈U(P0)，
0（i）若fx'1(x1-x1)+0（ii）若fx'1(x1-x1)+
+fx'1(xn-xn)
例5：求三元函数f=x2+y2+z2+2x+4y-6z的极值 有方程组
⎧fx=2x+2=0
⎪
⎨fy=2y+4=0 ⎪
⎩fz=2z-6=0
得函数的稳定点为P0(-1,-2,3) 由于
(x+1)(2x+2)+(y+2)(2y+4)+(z-3)(2z-6)=2[(x+1)+(y+2)+(z-3)]>0
得f在P0(-1,-2,3)取得极小值
2
2
2
f|P0=(-1)2+(-2)2+32+2⨯(-1)+4⨯(-2)-6⨯3=14
3.4利用梯度和内积计算多元函数极值
定义：设函数f=f(x1,x2,x3,
000
,xn-1,xn) 在点P0=(x1,x2,x3,
00
,xn-1,xn)存在
对所有自变量的偏导，则称向量(fx1(P0),fx2(P0),fx3(P0),,fxn(P0)) 为函数f在点
P0的梯度，记作grad f=(fx1(P0),fx2(P0),fx3(P0),,fxn(P0))
引理：f在点x0连续，在某邻域U(x0;δ)内可微，则
（i）对于∀x∈U(x0;δ)，有(x-x0)f'(x)>0，f在点x0取得极小值 （ii）对于∀x∈U(x0;δ)，有(x-x0)f'(x)
推广到多元函数的极值问题： 设函数f=f(x1,x2,x3,
000
,xn-1,xn) 在点P0=(x1,x2,x3,
00
,xn-1,xn) 连续，在
U(P0)内可微，则
（i）若∀P(x1,x2,x3,
,xn-1,xn)∈U(P0)时，有
(x000
1-x1,x2-x2,x3-x3,
,x0
n-xn)grad f>0，f在点x0取得极小值
（ii）若∀P(x1,x2,x3,
,xn-1,xn)∈U(P0)时，有
(xx0x00
1-1,x2-2,x3-x3,
,xx0
n-n)grad f
⎧
x=4⎧⎪fx-3y+2=0⎪x=2⎪
5⎨f-3x=0
⎪
6⎪y=2y 解得⎨y= 2z=05⎩f⎪
z=⎪⎪z=0
⎩得到稳定点(46
5,5
,0)
对点(x,y,z)有
(x-45,y-6
5,z-0)grad f
=(x-45,y-6
5
,z-0)(2x-3y+2,2y-3x,2z)
=(x-4
)(2x-3y+2)+(y-6
5)(2y-3x)+2z2
5=2[(x-46
5)2+(y-5
)2+z2]>0
f在点(46465,5,0)取得极小值f(5,5,0)=4
5
第4章 条件极值
4.1条件极值的定义
在以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各种条件的限制。 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值。 条件极值问题的一般是在条件组
ϕk(x1,x2,…,xn)=0,k=1,2,…,m (m
的限制下，求目标函数
y=f(x1,x2,…,xn)
的极值。
4.2拉格朗日乘数法
对于条件极值的一般情形，求函数y=f(x1,x2,
,xn)在约束条件
⎧⎪
ϕ1(x1,x2,,xn)=0⎨…………………… ⎪⎩ϕm(x1,x2
,,xn)=0
⎡⎢∂ϕ1
（其中f,ϕ1,ϕ2,
ϕ⎢∂x1
,m 均具有一阶连续偏导数，且雅克比矩阵⎢
⎢⎢∂ϕm⎢⎣∂x1的秩为m）下的极值。
步骤如下：
（1） 做拉格朗日函数
L=f+λϕ11+λ2ϕ2+
+λmϕm
（2） 求解方程组
∂ϕ1⎤
∂xn⎥
⎥⎥ ∂ϕ⎥m∂x⎥n⎥⎦
（3）解上述方程组可能的条件极值点，在对这些点进行判定。
例7：求函数f=x2+y2+z2在ax+by+cz=1下的最小值。 解：做拉格朗日函数
m
∂ϕk∂f⎧
L=+λ⎪x1∂x∑k∂x=0
k=111⎪
⎪…………………………⎪m
⎪L=∂f+λ∂ϕk=0⎨xn∂x∑k∂x
k=1nn
⎪
⎪Lλ1=ϕ1(x1,x2,xn)=0⎪
⎪…………………………⎪L=ϕ(x,x,x)=0
m12n⎩λ1
L(x,y,z,λ)=x2+y2+z2+λ(ax+by+cz-1) 令L'x=L'y=L'z=L'λ=0，即
⎧2x+λa=0⎪2y+λb=0⎪
⎨
2z+λc=0⎪⎪⎩ax+by+cz=1
解得唯一稳定点
a⎧x=⎪a2+b2+c2⎪
b⎪y=
⎪a2+b2+c2 ⎨
c⎪z=
⎪a2+b2+c2⎪-2⎪λ=2
a+b2+c2⎩
将它们带入f=x2+y2+z2得最小值为fmin=
1
a2+b2+c2
4.3利用不等式求解极值
不等式与数，函数，方程都有密切联系，在求解多元函数极值问题也应用广泛。对目标函数进行适当变形，“拼”“凑”，选择合适的不等式求得极值。 利用均值不等式求极值：
a+a++an
(ak≥0,k=1,2,3,,n)且等号成立≤12
n的条件为a1=a2=
=an
例8：设x,y∈R且xy≠0，则f(x,y)=(x2+解：
112)(+4y)的极小值 22yx
112)(+4y)22yx
1
=1+4x2y2+22+4
xy1
=5+4x2y2+22
xy
≥5+2⨯2=9f(x,y)=(x2+
当且仅当4x2y2=
1，即时，取得极小值9 xy=±x2y22
柯西不等式：如果对于任意实数a1,a2,
2
(a12+a2+
22
+an)(b12+b2+
2
+bn)≥(a1b1,a2b2,
,an和b1,b2,,bn总有
,an和
,anbn)2当且仅当a1,a2,
b1,b2,,bn对应成比例时，等号成立。
例9：已知(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2=9，求f(x,y,z)=2x-2y+z的极值 解：f(x,y,z)=2x-2y+z=2(x-2)-2(y+1)+(z-4)+10
令g(x,y,z)=2(x-2)-2(y+1)+(z-4) 由柯西不等式得：
2(x-2)-2(y+1)+(z-4)≤[22+(-2)2+12][(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2]=81 得-9≤2(x-2)-2(y+1)+(z-4)≤9 当且仅当
⎧x-2y+1z-4
===k⎪
2-21⎨
222⎪⎩(x-2)+(y+1)+(z-4)=9
当k=1,x=4,y=-3,z=5时g(x,y,z)取得极大值9，此时f(x,y,z)取得极大值19
当k=-1,x=0,y=1,z=3时g(x,y,z)取得极小值-9，此时f(x,y,z)取得极大值1
4.4转化为无条件极值
对于一些特殊的极值问题，我们可以采用转化为无条件极值，尤其对于一些二元函数的极值问题，大大减少了计算量。
例10：若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1)，则(a+1)(b+2)的最小值为
−−
解：
ab-4a-b+1=0(a>1)
∴b=
4a-1
a-1
a>1 ∴b>0
∴(a+1)(b+2)
=ab+2a+b+2
1=6[+a-1]+15
a-
1
≥6⨯15=27
当且仅当(a-1)2=1由于a>1即a=2时等号成立 得(a+1)(b+2)的最小值为27
4.5求多元函数极值的小结
首先要考虑目标函数是否为条件极值； 其次，若为无条件极值多元函数，一般考虑采用二次型求多元函数极值的方法。当然也可以考虑定义，方向导数，梯度内积计算的方法。
对于条件极值，一般考虑采用拉格朗日乘数法，对于一些特殊的多元函数，也可以考虑转化为无条件极值，利用不等式，这些简易方法。
这也要求我们具体问题具体分析，选择合适的方法。
第5章 利用MATLAB求解函数极值
Matlab是一款很强大数学应用软件，同样我们可以利用此软件直接求解函数极值，利用此软件求函数极值形象直观。这里我提供一种求极值的方法，当然方法不限这一种，在今后的学习中要注重总结。思路如下： （1） 先用diff命令求得目标函数的导数 （2） 再用solve命令求导函数为0的点，即稳定点 （3） 最后用fplot命令绘制图像，判断极值点。
例11：求函数y=x3+2x2-5x+1 的极值。 解：输入下列命令
y=’x^3+2*x^2-5*x+1,; dy=diff(y) x=solve(dy) x=double(x)
y1=x.^3+2*x.^2-5*x+1 运行结果 dy=
3*x^2+4*x-5 x=
[-2/3+1/3*19^(1/2)] [-2/3-1/3*19^(1/2)] X= 0.7863 -2.1196 y=
-1.2088 11.0607
做函数曲线fplot(y,[-4,-2]) 如下图：
由图像分析可得到函数y=x3+2x2-5x+1的极小值为-1.2088，极大值为
11.0607
第6章结论
本文较全面的总结了函数极值问题求解的几种重要方法，但对于一些实际问题，我们还得做到具体问题具体分析，不能拘泥于方法，还要懂得创新，关键是从函数极值定义入手解决此类问题。
本文中还存在许多不足，对于一些复杂的问题没有做到分析，这就要求我们在今后的学习中更加注重这方面的学习，做到真正明了。
同时，我还希望将此类极值问题，引用到数学模型的构建中去，尤其是一些最优化问题，这也不失为一种方法。
参考文献
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[2] 张天德，韩振等.数学分析同步辅导及习题精解[M].天津:天津科学出版社，2009.6.
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[8] 周广发. 函数的极值与MATLAB的应用[J]. 湖北工程学院学报:1
致谢 行文至此，我的这篇论文已接近尾声；岁月如梭，我四年的大学时光也即将敲响结束的钟声。离别在即，站在人生的又一个转折点上，心中难免思绪万千，一种感恩之情油然而生。
生我者父母。感谢生我养我，含辛茹苦的父母。是你们，为我的学习创造了条件；是你们，一如既往的站在我的身后默默的支持着我。没有你们就不会有我的今天。谢谢你们，我的父亲母亲！
本论文是在张老师的悉心指导下完成的。在课题研究和学习过程中，得到了张老师的关怀和指导，帮助我开拓思路，指点迷津。这段时间的宝贵经验，必将使我未来的工作和学习生活中受益匪浅，总之，再次感谢张老师。
我还要感谢大学四年来的室友和同学们。在毕业设计这段时间里，得到了他们许多帮助，为我解答了许多疑惑，使我少走了许多弯路。我们在一起共同生活的日子将永远铭记。如今毕业在即，祝愿我们每一个人有一个美好的前程。
当然我还要感谢***学院所有教导过我当然也包括没有教导我的老师们，感谢你们培育了又一大批社会新型大学生。
最后，值离校之际，祝愿北方学院所有师生工作顺利，健康平安。