1．1．3解三角形的应用
●教学重点
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 ●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
例1．在∆ABC 中，已知a =7，b =5，c =3，判断∆ABC 的类型。
求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。
分析：由余弦定理可知
a =b +c ⇔A 是直角⇔∆ABC 是直角三角形222
a >b +c ⇔A 是钝角⇔∆ABC 是钝角三角形 222
a
2
2
2
解：由
S =bc sin A =
2
12
得c =2，
则a 2=b 2+c 2-2bc cos A =3，即a = 从而
a +b +c
a
==2
sin A +sin B +sin C sin A
[随堂练习2]
（1）在∆ABC 中，若a =55，b =16，且此三角形的面积S =，求角C （2）在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积S =角C
（答案：（1）600或1200；（2）450） 课时小结
（1）三角形各种类型的判定方法； （2）三角形面积定理的应用。
1、已知在△ABC 中，b=8,c=3,A=600, 则a=( )
A 2 B 4 C 7 D 9
2、在△ABC 中，若a=3+1,b=3-1,c=, 则△ABC 的最大角的度数为（ ） A 1200 B 900 C 600 D 1500 3、在不等边△ABC 中，a 是最大的边，若a 2
2
4
2
3
2
a +b -c
4
2
2
2
，求
（注意：A 是锐角∆ABC 是锐角三角形）
解： 72>52+32，即a 2>b 2+c 2， ∴∆ABC 是钝角三角形。
变式引申：在△ABC 中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC 的形状。 [随堂练习1]
（1）在∆ABC 中，已知sin A :sinB :sinC =1:2:3，判断∆ABC 的类型。 （2）已知∆ABC 满足条件a cos A =b cos B ，判断∆
ABC 的类型。
（答案：（1）∆ABC 是钝角三角形；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形） 例2．在∆ABC 中，A =600，b =11
2
，求
1
a +b +c
的值
sin A +sin B +sin C
12
2
1
分析：可利用三角形面积定理S =ab sin C =ac sin B =bc sin A 以及正
2
2
弦定理
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
=
a +b +c
sin A +sin B +sin C
检测
1、在∆ABC 中，a 2+b 2
3:2，则其所对角之比为 （ ）
2:
3 D.
2:
3:2
10、在∆ABC 中，已知a -b =4, a +c =2b ，且最大角为120 ，则该三角形的周长为 。
11、在∆ABC 中，若A =120
S = 。
，c =5, a =7，则∆ABC 的面积
12、在∆ABC 中，已知a =2, b =22, C =15 ，解此三角形。
8、-
17
1534
9、23 10、30 11、
12、解：由余弦定理： c
2
3:2 C. 1:
=a +b -2ab cos C =4+8-82⋅=
22
6+4
2
=8-43
6、在∆ABC 中，a :b :c =3:5:7，则∆ABC 的最大角是 （ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 7、在∆
A B C 中，AB =3, BC =A.
AC =4，则边A C 上的高为（ ）
(6)+(2)
2
2
-43=
(
6-2
)
2
∴c =6-2
B.
C.
1314
32
D. 由正弦定理
a sin A
=
c sin C
，可得sin A =
a sin C c
2⨯=
6-6-
2
2=12
8、在∆ABC 中，若a =7, b =8, cos C =，则最大角的余弦值
又 c
2
9、在∆ABC 中，边a , b 的长是方程x -5x +2=0的两根，C =120，则
2
c =。
1．1．3解三角形的应用
●教学重点
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 ●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
例1．在∆ABC 中，已知a =7，b =5，c =3，判断∆ABC 的类型。
求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。
分析：由余弦定理可知
a =b +c ⇔A 是直角⇔∆ABC 是直角三角形222
a >b +c ⇔A 是钝角⇔∆ABC 是钝角三角形 222
a
2
2
2
解：由
S =bc sin A =
2
12
得c =2，
则a 2=b 2+c 2-2bc cos A =3，即a = 从而
a +b +c
a
==2
sin A +sin B +sin C sin A
[随堂练习2]
（1）在∆ABC 中，若a =55，b =16，且此三角形的面积S =，求角C （2）在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积S =角C
（答案：（1）600或1200；（2）450） 课时小结
（1）三角形各种类型的判定方法； （2）三角形面积定理的应用。
1、已知在△ABC 中，b=8,c=3,A=600, 则a=( )
A 2 B 4 C 7 D 9
2、在△ABC 中，若a=3+1,b=3-1,c=, 则△ABC 的最大角的度数为（ ） A 1200 B 900 C 600 D 1500 3、在不等边△ABC 中，a 是最大的边，若a 2
2
4
2
3
2
a +b -c
4
2
2
2
，求
（注意：A 是锐角∆ABC 是锐角三角形）
解： 72>52+32，即a 2>b 2+c 2， ∴∆ABC 是钝角三角形。
变式引申：在△ABC 中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC 的形状。 [随堂练习1]
（1）在∆ABC 中，已知sin A :sinB :sinC =1:2:3，判断∆ABC 的类型。 （2）已知∆ABC 满足条件a cos A =b cos B ，判断∆
ABC 的类型。
（答案：（1）∆ABC 是钝角三角形；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形） 例2．在∆ABC 中，A =600，b =11
2
，求
1
a +b +c
的值
sin A +sin B +sin C
12
2
1
分析：可利用三角形面积定理S =ab sin C =ac sin B =bc sin A 以及正
2
2
弦定理
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
=
a +b +c
sin A +sin B +sin C
检测
1、在∆ABC 中，a 2+b 2
3:2，则其所对角之比为 （ ）
2:
3 D.
2:
3:2
10、在∆ABC 中，已知a -b =4, a +c =2b ，且最大角为120 ，则该三角形的周长为 。
11、在∆ABC 中，若A =120
S = 。
，c =5, a =7，则∆ABC 的面积
12、在∆ABC 中，已知a =2, b =22, C =15 ，解此三角形。
8、-
17
1534
9、23 10、30 11、
12、解：由余弦定理： c
2
3:2 C. 1:
=a +b -2ab cos C =4+8-82⋅=
22
6+4
2
=8-43
6、在∆ABC 中，a :b :c =3:5:7，则∆ABC 的最大角是 （ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 7、在∆
A B C 中，AB =3, BC =A.
AC =4，则边A C 上的高为（ ）
(6)+(2)
2
2
-43=
(
6-2
)
2
∴c =6-2
B.
C.
1314
32
D. 由正弦定理
a sin A
=
c sin C
，可得sin A =
a sin C c
2⨯=
6-6-
2
2=12
8、在∆ABC 中，若a =7, b =8, cos C =，则最大角的余弦值
又 c
2
9、在∆ABC 中，边a , b 的长是方程x -5x +2=0的两根，C =120，则
2
c =。