2.2 函数的连续性
2.2.1. 复变函数 连续的概念定义： 如果 lim f (z ) =f (z 0), 那末我们就说 f (z ) 在 z 0 处连续. 如果
z →z 0
f (z ) 在区域 D 内处处连续, 我们说 f (z ) 在 D 内连续.
函数 f (z ) 在曲线 C 上 z 0 处连续的意义是 lim f (z ) =f (z 0) , z ∈C .
z →z 0
lim cos z =cos z 0.
在z 0处连续例1： 由上节我们知道z →z 0所以 cosz cosz
例2： 证明函数 sinz 在整个复平面连续
证明：设 z =x +yi , z 0=x 0+y 0i 为复平面上的任一定点
因为 sin z =sin(x +yi ) =sin xchy +i cos xshy
(x , y ) →(x 0, y 0)
lim
sin xchy =sin x 0chy 0,
(x , y ) →(x 0, y 0)
lim
cos xshy =cos x 0shy 0,
所以 lim sin z =sin x 0chy 0−i cos x 0shy 0=sin(x 0+iy 0) =sin z 0.
z →z 0
由于z 0是复平面上的任一定点，故 sinz 在整个复平面上连续
8
2.4 解析函数
2.4.1 解析函数的概念
定义： 如果函数f (z ) 不仅在z 0处可导，而且在z 0的某个领域内任一点可导，则称f (z ) 在z 0解析，如果函数f (z ）在区域D 内任一点解析，则称f (z ) 在区域D 内解析。
如果函数f (z ) 在 z 0 不解析, 那末称 z 0 为f (z ) 的奇点.
根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.
函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.例1：讨论下列函数的解析性(1) f (z )=z 2 (2) f (z )=|z |2
20
2.4.2 初等函数的解析性
有导数的运算法则可知，在某区域上解析的函数经过加、减、乘、除（分母不为零）运算得到的函数在该区域上仍解析。两个及两个以上的解析函数经过有限次复合运算后得到的函数仍未解析函数。単值解析函数的単值反函数仍为解析函数。
指数e z 函数在整个复平面上解析
, cosz , tanz , cotz , secz , cscz 在其定义与内解析；反三三角函数 sinz sinz, , coszcosz, , tanztanz, , cotzcotz, , seczsecz, , csczcscz
角函数的解析性要紧对各反函数具体讨论。
, chz , thz 在整个复平面上解析；反双曲函数的解析双曲函数 shz shz, , chzchz, , thzthz
性要紧对各反函数具体讨论。
对数函L nz 数在原点和负实轴上不解析，除原点和负实轴以外，
处处解析nz L nz
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2.2 函数的连续性
2.2.1. 复变函数 连续的概念定义： 如果 lim f (z ) =f (z 0), 那末我们就说 f (z ) 在 z 0 处连续. 如果
z →z 0
f (z ) 在区域 D 内处处连续, 我们说 f (z ) 在 D 内连续.
函数 f (z ) 在曲线 C 上 z 0 处连续的意义是 lim f (z ) =f (z 0) , z ∈C .
z →z 0
lim cos z =cos z 0.
在z 0处连续例1： 由上节我们知道z →z 0所以 cosz cosz
例2： 证明函数 sinz 在整个复平面连续
证明：设 z =x +yi , z 0=x 0+y 0i 为复平面上的任一定点
因为 sin z =sin(x +yi ) =sin xchy +i cos xshy
(x , y ) →(x 0, y 0)
lim
sin xchy =sin x 0chy 0,
(x , y ) →(x 0, y 0)
lim
cos xshy =cos x 0shy 0,
所以 lim sin z =sin x 0chy 0−i cos x 0shy 0=sin(x 0+iy 0) =sin z 0.
z →z 0
由于z 0是复平面上的任一定点，故 sinz 在整个复平面上连续
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2.4 解析函数
2.4.1 解析函数的概念
定义： 如果函数f (z ) 不仅在z 0处可导，而且在z 0的某个领域内任一点可导，则称f (z ) 在z 0解析，如果函数f (z ）在区域D 内任一点解析，则称f (z ) 在区域D 内解析。
如果函数f (z ) 在 z 0 不解析, 那末称 z 0 为f (z ) 的奇点.
根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.
函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.例1：讨论下列函数的解析性(1) f (z )=z 2 (2) f (z )=|z |2
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2.4.2 初等函数的解析性
有导数的运算法则可知，在某区域上解析的函数经过加、减、乘、除（分母不为零）运算得到的函数在该区域上仍解析。两个及两个以上的解析函数经过有限次复合运算后得到的函数仍未解析函数。単值解析函数的単值反函数仍为解析函数。
指数e z 函数在整个复平面上解析
, cosz , tanz , cotz , secz , cscz 在其定义与内解析；反三三角函数 sinz sinz, , coszcosz, , tanztanz, , cotzcotz, , seczsecz, , csczcscz
角函数的解析性要紧对各反函数具体讨论。
, chz , thz 在整个复平面上解析；反双曲函数的解析双曲函数 shz shz, , chzchz, , thzthz
性要紧对各反函数具体讨论。
对数函L nz 数在原点和负实轴上不解析，除原点和负实轴以外，
处处解析nz L nz
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