第五版高等数学下册模拟题

高等数学下学期模拟试题(一)

一、填空(每小题3分,共9分) 1. 设z=1n(1+xy),则 dz= . 2. 极限

= .

3. 设f (x )是以4周期的周期函数,它在

定义为f (x )

=

则傅里叶级数在x=2处收敛于 ,在x=1处收敛于 .

二、选择题(每小题3分,共9分,每小题给出四种选择,其

中有且仅有一个是正确的,将你认为正确的代号填入括号内)

1. 设L 是一光滑曲线,为了使曲线积分

(x,y)dx+xF(x,

y)dy 与积分路径无关,则可微函数F(x,y )应满足条件( ).

A. ; B. ;

C. ; D.

.

2. 微分方程

的特解形式是( ).

A. ; B.

; C. ; D. .

3. 如果幂级数

处条件收敛,那么该级数的收敛

半径( ).A .一定为2;B. 一定大于2; C.一定小于2;D. 不能确定.

三、求解下列各题(每题6分,共24分) 1.设函数z=z(x ,y )由方程

所决定. 求

.

2.求经过两相交直线

的平面方

程 .

3. 将二重积分

化为二次积分,其中区域D 为

所围成的第一象限的部分.

4. 设函数

, 点(1,2,3)点A(1,2,-1),点B (2,4,1,),方向

,①求函数f 在点P 处的梯度;②求函数f 在点P

处沿的方向导数.

四、 设

z= 求

. (8分)

五、 求

其中

为平面

在第一卦限中

的部分. (8分) 六、计算

,其中曲面

)的下侧. (8分)

七、求

,其中

为x+y+z=1在第一卦限部分的三

角形边界,从y 轴正方向看去,方向顺时针. (8分)

八、求幂级数

的收敛半径,并求和函数. (8分)

九、设正项数列{an}单调减少,且

发散,证明级数

收敛. (8分)

十、现有每公升含0.3千克食盐的水溶液,以每分钟2公升的速度将其连续注入盛有10公升纯水的容量里,溶液到容器里经

过稀释后又以同样的速度自容器中流出. 用y (t)表示t 时刻容

器中的含盐量. (1)列出在[t, t+Δt]这段时间内含盐量改变

量的关系式;(2)求y (t).(或直接做第(2)问). (5分) 十一、如左下图,已知球的半径为R ,P 是z 轴上一定点,P 与球心的距离为a (a

P 点作切平面的垂线,球垂足M 的轨迹所围成的主体的体积. (提

示:选点P 为坐标原点)(5分)

高等数学下学期模拟试题(二)

一、填空(每小题3分,共9分) 1. 过点(1,2,-1)且垂直于平面

的直线方程

是 . 2. 函数

在点P (1,1)处的梯度

grad

;矢量场

在点Q (1,1,0)处散度

= .

3. 设

为某一阶常系数齐次微分方

程的通解,则该方程为: .

二、选择题(每小题3分,共9分,每小题给出四种选择,有且仅有一个是正确的,将你认为正确的代号填入括号内) 1. 函数

在点(

)处偏导数

存在是它在该点存在全微分的( ).

A. 充要条件;B. 充分但非必要条件;C. 必要但非充分条件;

D. 既非充分又非必要条件 2. 设空间区域

,z ≥0;

,x ≥0,y ≥0,z ≥0. 则( ).

A. ; B. C.

; D.

3. 设

的以

为周期的傅立叶正弦

级数的和函数,则

等于( ).

A.1+ ; B.1; C.

; D.-1.

三、求解下列各题(每题6分,共36分) 1. 求平行于平面

,且与三坐标面所成四面体体

积为1的平面方程. 2. 设函数

,其中

二阶可导,

具有

二阶连续导数,求

.

3. 计算二重积分

4. 计算曲面积分

,∑为锥面

,外侧

在0≤z ≤1的部分. 5. 将

展成x 幂级数,并指出收敛区间.

6. 求微分方程

满足

的特解.

四、求内接于半径为R 的半球且有最大体积的长方体. (8分)

五、设

连续,

,而

,求

. (8分)

六、求由球面

与锥面

所围均匀物体(体

密度为 )对z 轴的转动惯量. (8分) 七、计算曲线积分

,式中L 是由

在第一象限所围区域D

的正向边界. (8分) 八、设

的全微分

其中

有二阶连续导数,

并且

,试求

. (8)

九、设级数

,其中

≥0,若存在正数b ,使得

(n=1,2,…). 试证明级数

收敛. (6分)

高等数学下学期模拟试题(三)

一、填空(每小题3分,总12分)

1.已知D 是由直线x +y=1,x-y=1及x=0所围, 则

= 2.设 正方形闭路

,则

= 3.曲面

与平面

在点(1,-2,-3)

处的夹角为 . 4.函数项级数

的收敛域为 .

二、选择题(每小题3分,总12分。每小题给出四种选择,有且仅有一个是正确的,将你认为正确的代号填入括号内)。

1.

在第一象限部分的区域且

,则使

成立的条件是( )。

(A )

及区域

均关于原点对称;

(B )

关于 轴、

轴对称,

关于原点对称。

(C )

关于原点对称,

关于 、

轴对称;

(D )

均关于 、

轴对称。 2.二元函数

在点

处可导(指偏导数存在)与

可微的关系为( )。A 可导必可微;B 可导一定不可微;C 可

微必可导;D 可微不一定可导。. 3.设

是方程

的一个解,若

,则函数

在点

( )。A 取得极大值;B

取得极小值;C 某个邻域内单调增加; D某个邻域内单调减少。 4.函数

在点

处具有两个偏导数

是函数存在全微分的( )。A 充分条件;B 充要条件;

C 必要条件;D 既不充分也不必要。 三、计算下列各题(每小题6分,总30分) 1.求

, 其中D 是

2.设两非零矢量阿a 与b 不共线,确定k ,使两个矢量ka+b

与a+kb共线. 3

, 其中Γ是

4.计算

,其中∑为球面

5.求方程

的通解。

四、(8分)设一平面垂直于

,且通过从点

到直

线

的垂线,求该平面的方程。

五、(8分)设函数

, 其中

具有二阶连续

导数, 、

皆可微, 求

.

六、(8分)设有一均匀物体( =1), 它占有的空间区域是由曲面

与平面z=ln4及z=ln9围成的区域,求该物体

对z 轴的转动惯量. 七、(8分)求二元函数

在由直线x+y=6,x

轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值,最大值与最小值.

八、(8分)试计算曲面积分

,其中

是曲面

与平面

所围立体表面的内侧..

九、(6分)设正项数列

单调减少,且

发散,证明

收敛。

高等数学下学期模拟试题(一)

一、填空(每小题3分,共9分) 1. 设z=1n(1+xy),则 dz= . 2. 极限

= .

3. 设f (x )是以4周期的周期函数,它在

定义为f (x )

=

则傅里叶级数在x=2处收敛于 ,在x=1处收敛于 .

二、选择题(每小题3分,共9分,每小题给出四种选择,其

中有且仅有一个是正确的,将你认为正确的代号填入括号内)

1. 设L 是一光滑曲线,为了使曲线积分

(x,y)dx+xF(x,

y)dy 与积分路径无关,则可微函数F(x,y )应满足条件( ).

A. ; B. ;

C. ; D.

.

2. 微分方程

的特解形式是( ).

A. ; B.

; C. ; D. .

3. 如果幂级数

处条件收敛,那么该级数的收敛

半径( ).A .一定为2;B. 一定大于2; C.一定小于2;D. 不能确定.

三、求解下列各题(每题6分,共24分) 1.设函数z=z(x ,y )由方程

所决定. 求

.

2.求经过两相交直线

的平面方

程 .

3. 将二重积分

化为二次积分,其中区域D 为

所围成的第一象限的部分.

4. 设函数

, 点(1,2,3)点A(1,2,-1),点B (2,4,1,),方向

,①求函数f 在点P 处的梯度;②求函数f 在点P

处沿的方向导数.

四、 设

z= 求

. (8分)

五、 求

其中

为平面

在第一卦限中

的部分. (8分) 六、计算

,其中曲面

)的下侧. (8分)

七、求

,其中

为x+y+z=1在第一卦限部分的三

角形边界,从y 轴正方向看去,方向顺时针. (8分)

八、求幂级数

的收敛半径,并求和函数. (8分)

九、设正项数列{an}单调减少,且

发散,证明级数

收敛. (8分)

十、现有每公升含0.3千克食盐的水溶液,以每分钟2公升的速度将其连续注入盛有10公升纯水的容量里,溶液到容器里经

过稀释后又以同样的速度自容器中流出. 用y (t)表示t 时刻容

器中的含盐量. (1)列出在[t, t+Δt]这段时间内含盐量改变

量的关系式;(2)求y (t).(或直接做第(2)问). (5分) 十一、如左下图,已知球的半径为R ,P 是z 轴上一定点,P 与球心的距离为a (a

P 点作切平面的垂线,球垂足M 的轨迹所围成的主体的体积. (提

示:选点P 为坐标原点)(5分)

高等数学下学期模拟试题(二)

一、填空(每小题3分,共9分) 1. 过点(1,2,-1)且垂直于平面

的直线方程

是 . 2. 函数

在点P (1,1)处的梯度

grad

;矢量场

在点Q (1,1,0)处散度

= .

3. 设

为某一阶常系数齐次微分方

程的通解,则该方程为: .

二、选择题(每小题3分,共9分,每小题给出四种选择,有且仅有一个是正确的,将你认为正确的代号填入括号内) 1. 函数

在点(

)处偏导数

存在是它在该点存在全微分的( ).

A. 充要条件;B. 充分但非必要条件;C. 必要但非充分条件;

D. 既非充分又非必要条件 2. 设空间区域

,z ≥0;

,x ≥0,y ≥0,z ≥0. 则( ).

A. ; B. C.

; D.

3. 设

的以

为周期的傅立叶正弦

级数的和函数,则

等于( ).

A.1+ ; B.1; C.

; D.-1.

三、求解下列各题(每题6分,共36分) 1. 求平行于平面

,且与三坐标面所成四面体体

积为1的平面方程. 2. 设函数

,其中

二阶可导,

具有

二阶连续导数,求

.

3. 计算二重积分

4. 计算曲面积分

,∑为锥面

,外侧

在0≤z ≤1的部分. 5. 将

展成x 幂级数,并指出收敛区间.

6. 求微分方程

满足

的特解.

四、求内接于半径为R 的半球且有最大体积的长方体. (8分)

五、设

连续,

,而

,求

. (8分)

六、求由球面

与锥面

所围均匀物体(体

密度为 )对z 轴的转动惯量. (8分) 七、计算曲线积分

,式中L 是由

在第一象限所围区域D

的正向边界. (8分) 八、设

的全微分

其中

有二阶连续导数,

并且

,试求

. (8)

九、设级数

,其中

≥0,若存在正数b ,使得

(n=1,2,…). 试证明级数

收敛. (6分)

高等数学下学期模拟试题(三)

一、填空(每小题3分,总12分)

1.已知D 是由直线x +y=1,x-y=1及x=0所围, 则

= 2.设 正方形闭路

,则

= 3.曲面

与平面

在点(1,-2,-3)

处的夹角为 . 4.函数项级数

的收敛域为 .

二、选择题(每小题3分,总12分。每小题给出四种选择,有且仅有一个是正确的,将你认为正确的代号填入括号内)。

1.

在第一象限部分的区域且

,则使

成立的条件是( )。

(A )

及区域

均关于原点对称;

(B )

关于 轴、

轴对称,

关于原点对称。

(C )

关于原点对称,

关于 、

轴对称;

(D )

均关于 、

轴对称。 2.二元函数

在点

处可导(指偏导数存在)与

可微的关系为( )。A 可导必可微;B 可导一定不可微;C 可

微必可导;D 可微不一定可导。. 3.设

是方程

的一个解,若

,则函数

在点

( )。A 取得极大值;B

取得极小值;C 某个邻域内单调增加; D某个邻域内单调减少。 4.函数

在点

处具有两个偏导数

是函数存在全微分的( )。A 充分条件;B 充要条件;

C 必要条件;D 既不充分也不必要。 三、计算下列各题(每小题6分,总30分) 1.求

, 其中D 是

2.设两非零矢量阿a 与b 不共线,确定k ,使两个矢量ka+b

与a+kb共线. 3

, 其中Γ是

4.计算

,其中∑为球面

5.求方程

的通解。

四、(8分)设一平面垂直于

,且通过从点

到直

线

的垂线,求该平面的方程。

五、(8分)设函数

, 其中

具有二阶连续

导数, 、

皆可微, 求

.

六、(8分)设有一均匀物体( =1), 它占有的空间区域是由曲面

与平面z=ln4及z=ln9围成的区域,求该物体

对z 轴的转动惯量. 七、(8分)求二元函数

在由直线x+y=6,x

轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值,最大值与最小值.

八、(8分)试计算曲面积分

,其中

是曲面

与平面

所围立体表面的内侧..

九、(6分)设正项数列

单调减少,且

发散,证明

收敛。


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