2010解三角形高考题

1.(2010²天津高考理科²T7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c

,若

a2b2

,sinCB,则A= ( )

(A)30 (B)60 (C)120 (D)150

【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。 【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。

【规范解答】选A

,根据正弦定理及sinC

B得:c

b2c2a2c2(a2c2), cosA

2bc2bc00A1800,A300。

【方法技巧】根据所给边角关系,选择使用正弦定理或余弦定理,将三角形的边转化为角。 2.(2010²北京高考文科²T7)某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1, 顶角为的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成, 该八边形的面积为

(A)2sin2cos2; (B

)sin3

(C

)3sin1 (D)2sincos1

【命题立意】本题考查解三角形的相关知识,用到了面积公式、余弦定理等知识。 【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边,从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方形的面积之和。

【规范解答】选A

班徽的面积为4

1

11sin22sin22cos。 2

3.(2010²湖南高考理科²T4)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120

°,c

,则( )

A、a>b B、a

【命题立意】以三角形为依托,以余弦定理为明线,以方程的解为暗线考查学生的运用知识和等价转化的能力。

【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系,然后从方程的角度消元求解. 【规范解答】选A.∵∠C=120

°,c

b2

+a-1=0,

b1∴=

b

,∴2a2=a2+b2-2abcos120°,∴a2=b2+ab,∴()

a

【方法技巧】三角形是最简单的平面图形,是中学数学所学知识最多的图形,在高考中是重点.常常考查边角关系,余弦定理和正弦定理,常常结合不等式和方程来解.尤其是均值不等式的考查.

C4.(2010²北京高考理科²T10)在△ABC中,若b = 1,c

【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。

【思路点拨】对C利用余弦定理,通过解方程可解出a。

22

【规范解答】由余弦定理得,a12a1cos

2,则a 。 3

2

3,即a2a20,解得a13

或2(舍)。

B

【答案】1

A

【方法技巧】已知两边及一角求另一边时,用余弦定理比较好。

5.(2010²广东高考理科²T11)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若

则sinC= .

【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.

【思路点拨】由已知条件求出B、A的大小,求出C,从而求出sinC. 【规范解答】

由A+C=2B及ABC180得B60,由正弦定理得

11sinA得,由

2sinAab知AB60,所以A30,C180AB

90,所以sinCsin901.

【答案】1

6.(2010²山东高考理科²T15)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

若a

b

2,sinBcosB,则角A的大小为

【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】先根据sinBcosB求出B,再利用正弦定理求出sinA,最后求出A.

,因为0

由sinBcosB12sinBcosB2,即sin2B1

所以B=45,又因为a解得sinA

b2,所以在

ABC中,由正弦定理得:

2

,=

sinAsin45

1,又a

【答案】30°或

6

7.(2010²江苏高考²T13)在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若

batanCtanC6cosC,则的值是。 abtanAtanB

batanCtanC

6cosC采用角化边,对采用弦化切并结合正弦abtanAtanB

【命题立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函数知识的应用,等价转化思想。 【思路点拨】对条件定理解决. 【规范解答】

baa2b2c23c2222222

6cosC6abcosCab,6abab,ab ab2ab2

tanCtanCsinCcosBsinAsinBcosAsinCsin(AB)1sin2C

tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB1c2c2c2

4 由正弦定理,得:上式

cosCab1(a2b2)13c2

662

【方法技巧】上述解法采用了解决三角形问题的通性通法,即利用正弦定理和余弦定理灵活实现边角互化。本题若考虑到已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性,可采用以下方法解决:当A=B或a=b时满足题意,此时有:cosC

11cosC12C,,tan

321cosC2

tan

C,

22

tanAtanB

1tan2

,

tanCtanC

= 4。 tanAtanB

【答案】4

8.(2010²辽宁高考文科²T17)

在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (Ⅰ)求A的大小;

(Ⅱ)若sinB +sinC=1,试判断△ABC的形状.

【命题立意】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理和运算求解能力。

【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定理求角

(II)利用(I)的结论,求出角B (或角C),判断三角形的形状

【规范解答】

解:

(I)由已知,根据正弦定理得:2a2(2bc)(2cb)c即a2b2c2bc,

由余弦定理 a2b2c22bccosA

1

故 cosA,又A(0,)

2

2

 A=

3

(II)由(I)中a2b2c2bc及正弦定理可得:sin2Asin2Bsin2CsinBsinC2=sin2Bsin2CsinBsinC1

又sinB+sinC=1 得sinB=sinC=

2

 0

33

△ABC是等腰的钝角三角形。

,0

,BC

【方法技巧】利用正弦定理,实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA,用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分。

(2) 以三角形为背景的题目,要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C=60° 9.(2010²浙江高考文科²T18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC

的面积,满足S(Ⅰ)求角C的大小;

(Ⅱ)求sinAsinB的最大值。

【命题立意】解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识,同时考查三角运算求解能力。

【思路点拨】利用面积公式求角C,然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简求最值。 【规范解答】 (Ⅰ)由题意可知

2

ab2c2)。 4

1πabsinC

=2abcosC. 所以tanC

因为0

-A) 3

(Ⅱ)由已知sinA+sinB = sinA+sin(π-C-A)=sinA+sin(

=sinA

+

21πcosA+sinA

A+)

(0A)

3262

,即△ABC为正三角形时取等号,所以sinA+sinB

3

2

n时利用AB【方法技巧】求sinAsiB转化为关于角A的三角函数

3

y

sinA(的最值问题。)

6

当A=

10.(2010²辽宁高考理科²T17)在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且

2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.

(Ⅰ)求A的大小;

(Ⅱ)求sinBsinC的最大值.

【命题立意】考查了正弦定理,余弦定理,考查了三角函数的恒等变换,三角函数的最值。 【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定

理求角

(II)由(I)知角C=60°-B代入sinB+sinC中,看作关于角B的函数,进而

求出最值

【规范解答】(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c

即 abcbc

由余弦定理得 abc2bccosA 故 cosA

2

2

2

2

2

2

1

,A=120° 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sinBsinCsinBsin(60B)

1

cosBsinB

22

sin(60B)

故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。 【方法技巧】

(1)利用正弦定理,实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA,用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分。

(2)以三角形为背景的题目,要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C=60° 11.(2010²浙江高考理科²T18)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知

1

cos2C

4

(I)求sinC的值;

(Ⅱ)当a=2, 2sinA=sinC时,求b及c的长.

【命题立意】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。

【思路点拨】利用二倍角余弦公式求sinC的值。再利用正弦定理求c,利用余弦定理求

b。

【规范解答】

(Ⅰ)因为cos2C=1-2sinC=

2

1,及0<C<π所以

4(Ⅱ)当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理

ac

,得c=4 sinAsinC

由cos2C=2cosC-1=

2

1,及0<C<π得cosC=

±44

2

由余弦定理c=a+b-2abcosC,b,解得

2

2

2

bb

所以。

c4c4

1.(2010²陕西高考理科²T17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距

53海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°

的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B

点相距海里的C点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?

【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理,考查了解

决三角形问题的能力,属于中档题。

2

】

2

解三角形

A

BD2

B2DDcCo sB

6D

0BC

)

由题意知,

DBA90 D6

sin1050sin450cos600sin600cos4501

2

BDAB

sinDABsinADB

ABsinDABBD

sinADB5(3



在ABD中,由正弦定理得:

又DBC1800600600600,BC在DBC中,由余弦定理得

CD2BD2BC22BDBCcos600

1

900.2

30

CD30(海里),则需要的时间t1(小时).

30

答;救援船到达D点需要1小时.30012002

注:如果证出DBC为直角三角形,根据勾股定理求出CD,同样给分.

2.(2010²陕西高考文科²T17)在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.

【命题立意】本题考查了已知三角函数值求角、正弦定理、余弦定理,考查了解三角形问题

的能力,

属于中档题。

【思路点拨】解三角形△ADC cosADCADCADB解三角形△ABD  AB 【规范解答】在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,

AD2DC2AC2100361961

, 由余弦定理得cosADC=

210622ADDCADC=120°, ADB=60°

在△ABD中,AD=10, B=45°, ADB=60°, 由正弦定理得

ABAD

,

sinADBsinB

AB

=

ADsinADB10sin60



sinBsin45

102

3.(2010²江苏高考²T17)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=,∠ADE=。

(1)该小组已测得一组、的值,算出了tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使与之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,-最大?

【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及

不等式的应用。

【思路点拨】(1)分别利用H,,

表示AB、AD、BD,然后利用AD—AB=DB求解;

(2)利用基本不等式求解.

【规范解答】(1)HtanADH,同理:ABH,BDh。

tantanADtan AD—AB=DB,故得

HHhhtan41.24

,解得:H124。

tantantantantan1.241.20

因此,算出的电视塔的高度H是124m。 (2)由题设知dAB,得tan

HHhHh

, ,tan

dADDBd

HHh

tantanhdh tan()2

1tantan1HHhdH(Hh)d

H(Hh)

ddd

d

H(Hh)(

当且仅当d,

d

取等号)

故当dtan()最大。 因为0最大。

故所求的d

是m。

4.(2010²安徽高考理科²T16)设ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sinAsin( (1)求角A的值;

2

2

,则0

2

nt,由yax的单调性可知:

当d-

B) sin(B)  sin2B。

33



(2)

若ABAC12,ab,c(其中bc)。

【命题立意】本题主要考查三角函数,向量的数量积,余弦定理等知识的综合应用,考查考

生化简、运算、求解能力。

【思路点拨】先对sinAsin(

2

B)sin(B)sin2B化简,求出角A;再根据(2)的

33

条件和余弦定理,构造方程组求解b,c。

【规范解答】(1)sinAsin(

2

B)sin(B)

sin2B

33

33111

BsinBBsinB)sin2Bcos2Bsin2Bsin2B

44422

sinA

, 2

由题意0A

2

,所以sinA

,A

32



(2)ABACABACcosAbccos12,bc24①,

3a2b2c22bccosAb2c22bccos

又bc,由①、②解得b4,c6。

5.(2010²福建高考文科²T21)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。

(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?

(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (Ⅲ)是否存在,使得小艇以海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定的取值范围;若不存在,请说明理由。

【命题立意】本题考查解三角形、二次函数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、

运算求解能力、应用意识,考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想。

【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为S,利用余弦定理

把S表示为关于t的函数,利用二次函数的方法求解S的最小值,并求解此时的速度;第二步利用余弦定理解三角形表示出v,t的关系式,并利用函数知识

求解速度的范围;第三步把问题转化为二次函数根分布问题。

【规范解答】

(Ⅰ)设相遇时小艇航行距离为s海里,则

3

28,b2c2bc28②,

s

1故当t

sminv

即小艇以每小时海里3,,

的速度航行,相遇时距离最小。

(Ⅱ)若轮船与小艇在B处相遇,由题意可得:vt220230t22030tcos900300化简得v22400600900,2tt

11113 400675,由于0t,即2,所以当2时,

v取得最小值

2ttt4

即小艇航行速度的最小值为

(Ⅲ)由(Ⅱ)知v[1**********]900uu0400u600u900v0,,于是有2ttt

小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根,

226001600900v0,解得:所以

的取值范围为。 v30,2900v0



【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中,有广泛的应用,在物理学中,有关向量的计算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特别是新课程的高考)我们发现以解三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点了,可以说这是还原三角学的本质了。解斜三角形应用题的一般步骤是:

一.“建模”:

1.准确理解题意,分清已知和未知,准确理解应用题中的有关名称、术语,如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等;

2.根据题意画出图形;

3.把要求解的问题归结到一个或几个三角形中,合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型;

二.“解模”:正确求解。注意:算法要简练,运算要准确。

三.“还原说明”:作出应用题的答案。

6.(2010²天津高考文科²T17)在ABC中,

(Ⅰ)证明B=C: ACcosB。 ABcosC

(Ⅱ)若cosA=-1,求sin4B的值。 33

【命题立意】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二

倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力。

【思路点拨】(1)只需证明sin(B-C)=0即可;

(2)利用倍角公式及和角公式求解。

【规范解答】(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理及已知得sinBcosB=.于是sinCcosC

sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0.因为BC,从而B-C=0. 所以B=C. (Ⅱ)由A+B+C=和(Ⅰ)得A=-2B,故cos2B=-cos(-2B)=-cosA=1. 3

又0

从而

sin4B=2sin2Bcos2B=722,cos4B=cos2Bsin2B. 99

所以sin(4B

3)sin4Bcos

3cos4Bsin

3 18

【方法技巧】解题的关键是合理利用三角函数公式对关系式进行恒等变形,要注意根据角的

范围来确定三角函数的符号的确定。

7.(2010²福建高考理科²T19)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。

(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?

(Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。

【命题立意】本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概

括能力、运算求解能力、应用意识,考查函数与方程思想、数形结合思想、

化归与转化思想、分类与整合思想。

【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为S,把S表示为关于t的函数,利用二次函

数的方法求解S的最小值,并求解此时的速度;第二步利用余弦定理解三角

形表示出v,t的关系式,并利用函数知识求解速度的范围。

【规范解答】 (Ⅰ)为使小艇航行距离最短,理想化的航行路线为OT,小艇到达T位置时轮船的航行位移s0AT,即30t10,t1103,vt,从而v; (海里/时)3t

(Ⅱ)若轮船与小艇在H处相遇时,在直角三角形OHT

中运用勾股定理有:(900v2)t2600t4000,等价于v900

从而

4006002469 2tt

399327v4(2)94()2216444所以当v30时,32,t 23

也就是说,当小艇以30海里每小时的速度,沿北偏东30方向行走能以最短的时间遇到轮

船。

【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中,有广泛的应用,在物理学中,有关向量的计算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特别是新课程的高考)我们发现以解三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点了,可以说这是还原三角学的本质了。解斜三角形应用题的一般步骤是:

一.“建模”:

1.准确理解题意,分清已知和未知,准确理解应用题中的有关名称、术语,如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等;

2.根据题意画出图形;

3.把要求解的问题归结到一个或几个三角形中,合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型;

二.“解模”:正确求解。注意:算法要简练,运算要准确。

三.“还原说明”:作出应用题的答案。

8.(2010²安徽高考文科²T16)ABC的面积是30,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,

12。 13

 (1)求ABAC; cosA

(2)若cb1,求a的值。

【命题立意】本题主要考查三角函数,向量的数量积,余弦定理等知识的综合应用,考查考

生化简、运算、求解能力。 【思路点拨】由cosA12得sinA的值,再根据ABC面积公式得bc的值,从而求数量13

222积ABAC的值;由余弦定理abc2bccosA,代入已知条件

cb1及bc可求a的值。 【规范解答】由cosA

又SABC=125且A

为三角形内角,得sinA. 13131bcsinA30,∴bc156, 212144; (1)ABACbccosA15613

222(2)abc2bccosA(cb)2bc(1cosA)12156(1212)25, 13

∴a5。

1.(2010²天津高考理科²T7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c

,若

a2b2

,sinCB,则A= ( )

(A)30 (B)60 (C)120 (D)150

【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。 【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。

【规范解答】选A

,根据正弦定理及sinC

B得:c

b2c2a2c2(a2c2), cosA

2bc2bc00A1800,A300。

【方法技巧】根据所给边角关系,选择使用正弦定理或余弦定理,将三角形的边转化为角。 2.(2010²北京高考文科²T7)某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1, 顶角为的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成, 该八边形的面积为

(A)2sin2cos2; (B

)sin3

(C

)3sin1 (D)2sincos1

【命题立意】本题考查解三角形的相关知识,用到了面积公式、余弦定理等知识。 【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边,从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方形的面积之和。

【规范解答】选A

班徽的面积为4

1

11sin22sin22cos。 2

3.(2010²湖南高考理科²T4)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120

°,c

,则( )

A、a>b B、a

【命题立意】以三角形为依托,以余弦定理为明线,以方程的解为暗线考查学生的运用知识和等价转化的能力。

【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系,然后从方程的角度消元求解. 【规范解答】选A.∵∠C=120

°,c

b2

+a-1=0,

b1∴=

b

,∴2a2=a2+b2-2abcos120°,∴a2=b2+ab,∴()

a

【方法技巧】三角形是最简单的平面图形,是中学数学所学知识最多的图形,在高考中是重点.常常考查边角关系,余弦定理和正弦定理,常常结合不等式和方程来解.尤其是均值不等式的考查.

C4.(2010²北京高考理科²T10)在△ABC中,若b = 1,c

【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。

【思路点拨】对C利用余弦定理,通过解方程可解出a。

22

【规范解答】由余弦定理得,a12a1cos

2,则a 。 3

2

3,即a2a20,解得a13

或2(舍)。

B

【答案】1

A

【方法技巧】已知两边及一角求另一边时,用余弦定理比较好。

5.(2010²广东高考理科²T11)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若

则sinC= .

【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.

【思路点拨】由已知条件求出B、A的大小,求出C,从而求出sinC. 【规范解答】

由A+C=2B及ABC180得B60,由正弦定理得

11sinA得,由

2sinAab知AB60,所以A30,C180AB

90,所以sinCsin901.

【答案】1

6.(2010²山东高考理科²T15)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

若a

b

2,sinBcosB,则角A的大小为

【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】先根据sinBcosB求出B,再利用正弦定理求出sinA,最后求出A.

,因为0

由sinBcosB12sinBcosB2,即sin2B1

所以B=45,又因为a解得sinA

b2,所以在

ABC中,由正弦定理得:

2

,=

sinAsin45

1,又a

【答案】30°或

6

7.(2010²江苏高考²T13)在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若

batanCtanC6cosC,则的值是。 abtanAtanB

batanCtanC

6cosC采用角化边,对采用弦化切并结合正弦abtanAtanB

【命题立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函数知识的应用,等价转化思想。 【思路点拨】对条件定理解决. 【规范解答】

baa2b2c23c2222222

6cosC6abcosCab,6abab,ab ab2ab2

tanCtanCsinCcosBsinAsinBcosAsinCsin(AB)1sin2C

tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB1c2c2c2

4 由正弦定理,得:上式

cosCab1(a2b2)13c2

662

【方法技巧】上述解法采用了解决三角形问题的通性通法,即利用正弦定理和余弦定理灵活实现边角互化。本题若考虑到已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性,可采用以下方法解决:当A=B或a=b时满足题意,此时有:cosC

11cosC12C,,tan

321cosC2

tan

C,

22

tanAtanB

1tan2

,

tanCtanC

= 4。 tanAtanB

【答案】4

8.(2010²辽宁高考文科²T17)

在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (Ⅰ)求A的大小;

(Ⅱ)若sinB +sinC=1,试判断△ABC的形状.

【命题立意】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理和运算求解能力。

【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定理求角

(II)利用(I)的结论,求出角B (或角C),判断三角形的形状

【规范解答】

解:

(I)由已知,根据正弦定理得:2a2(2bc)(2cb)c即a2b2c2bc,

由余弦定理 a2b2c22bccosA

1

故 cosA,又A(0,)

2

2

 A=

3

(II)由(I)中a2b2c2bc及正弦定理可得:sin2Asin2Bsin2CsinBsinC2=sin2Bsin2CsinBsinC1

又sinB+sinC=1 得sinB=sinC=

2

 0

33

△ABC是等腰的钝角三角形。

,0

,BC

【方法技巧】利用正弦定理,实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA,用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分。

(2) 以三角形为背景的题目,要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C=60° 9.(2010²浙江高考文科²T18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC

的面积,满足S(Ⅰ)求角C的大小;

(Ⅱ)求sinAsinB的最大值。

【命题立意】解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识,同时考查三角运算求解能力。

【思路点拨】利用面积公式求角C,然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简求最值。 【规范解答】 (Ⅰ)由题意可知

2

ab2c2)。 4

1πabsinC

=2abcosC. 所以tanC

因为0

-A) 3

(Ⅱ)由已知sinA+sinB = sinA+sin(π-C-A)=sinA+sin(

=sinA

+

21πcosA+sinA

A+)

(0A)

3262

,即△ABC为正三角形时取等号,所以sinA+sinB

3

2

n时利用AB【方法技巧】求sinAsiB转化为关于角A的三角函数

3

y

sinA(的最值问题。)

6

当A=

10.(2010²辽宁高考理科²T17)在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且

2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.

(Ⅰ)求A的大小;

(Ⅱ)求sinBsinC的最大值.

【命题立意】考查了正弦定理,余弦定理,考查了三角函数的恒等变换,三角函数的最值。 【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定

理求角

(II)由(I)知角C=60°-B代入sinB+sinC中,看作关于角B的函数,进而

求出最值

【规范解答】(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c

即 abcbc

由余弦定理得 abc2bccosA 故 cosA

2

2

2

2

2

2

1

,A=120° 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sinBsinCsinBsin(60B)

1

cosBsinB

22

sin(60B)

故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。 【方法技巧】

(1)利用正弦定理,实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA,用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分。

(2)以三角形为背景的题目,要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C=60° 11.(2010²浙江高考理科²T18)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知

1

cos2C

4

(I)求sinC的值;

(Ⅱ)当a=2, 2sinA=sinC时,求b及c的长.

【命题立意】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。

【思路点拨】利用二倍角余弦公式求sinC的值。再利用正弦定理求c,利用余弦定理求

b。

【规范解答】

(Ⅰ)因为cos2C=1-2sinC=

2

1,及0<C<π所以

4(Ⅱ)当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理

ac

,得c=4 sinAsinC

由cos2C=2cosC-1=

2

1,及0<C<π得cosC=

±44

2

由余弦定理c=a+b-2abcosC,b,解得

2

2

2

bb

所以。

c4c4

1.(2010²陕西高考理科²T17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距

53海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°

的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B

点相距海里的C点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?

【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理,考查了解

决三角形问题的能力,属于中档题。

2

】

2

解三角形

A

BD2

B2DDcCo sB

6D

0BC

)

由题意知,

DBA90 D6

sin1050sin450cos600sin600cos4501

2

BDAB

sinDABsinADB

ABsinDABBD

sinADB5(3



在ABD中,由正弦定理得:

又DBC1800600600600,BC在DBC中,由余弦定理得

CD2BD2BC22BDBCcos600

1

900.2

30

CD30(海里),则需要的时间t1(小时).

30

答;救援船到达D点需要1小时.30012002

注:如果证出DBC为直角三角形,根据勾股定理求出CD,同样给分.

2.(2010²陕西高考文科²T17)在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.

【命题立意】本题考查了已知三角函数值求角、正弦定理、余弦定理,考查了解三角形问题

的能力,

属于中档题。

【思路点拨】解三角形△ADC cosADCADCADB解三角形△ABD  AB 【规范解答】在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,

AD2DC2AC2100361961

, 由余弦定理得cosADC=

210622ADDCADC=120°, ADB=60°

在△ABD中,AD=10, B=45°, ADB=60°, 由正弦定理得

ABAD

,

sinADBsinB

AB

=

ADsinADB10sin60



sinBsin45

102

3.(2010²江苏高考²T17)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=,∠ADE=。

(1)该小组已测得一组、的值,算出了tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使与之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,-最大?

【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及

不等式的应用。

【思路点拨】(1)分别利用H,,

表示AB、AD、BD,然后利用AD—AB=DB求解;

(2)利用基本不等式求解.

【规范解答】(1)HtanADH,同理:ABH,BDh。

tantanADtan AD—AB=DB,故得

HHhhtan41.24

,解得:H124。

tantantantantan1.241.20

因此,算出的电视塔的高度H是124m。 (2)由题设知dAB,得tan

HHhHh

, ,tan

dADDBd

HHh

tantanhdh tan()2

1tantan1HHhdH(Hh)d

H(Hh)

ddd

d

H(Hh)(

当且仅当d,

d

取等号)

故当dtan()最大。 因为0最大。

故所求的d

是m。

4.(2010²安徽高考理科²T16)设ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sinAsin( (1)求角A的值;

2

2

,则0

2

nt,由yax的单调性可知:

当d-

B) sin(B)  sin2B。

33



(2)

若ABAC12,ab,c(其中bc)。

【命题立意】本题主要考查三角函数,向量的数量积,余弦定理等知识的综合应用,考查考

生化简、运算、求解能力。

【思路点拨】先对sinAsin(

2

B)sin(B)sin2B化简,求出角A;再根据(2)的

33

条件和余弦定理,构造方程组求解b,c。

【规范解答】(1)sinAsin(

2

B)sin(B)

sin2B

33

33111

BsinBBsinB)sin2Bcos2Bsin2Bsin2B

44422

sinA

, 2

由题意0A

2

,所以sinA

,A

32



(2)ABACABACcosAbccos12,bc24①,

3a2b2c22bccosAb2c22bccos

又bc,由①、②解得b4,c6。

5.(2010²福建高考文科²T21)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。

(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?

(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (Ⅲ)是否存在,使得小艇以海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定的取值范围;若不存在,请说明理由。

【命题立意】本题考查解三角形、二次函数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、

运算求解能力、应用意识,考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想。

【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为S,利用余弦定理

把S表示为关于t的函数,利用二次函数的方法求解S的最小值,并求解此时的速度;第二步利用余弦定理解三角形表示出v,t的关系式,并利用函数知识

求解速度的范围;第三步把问题转化为二次函数根分布问题。

【规范解答】

(Ⅰ)设相遇时小艇航行距离为s海里,则

3

28,b2c2bc28②,

s

1故当t

sminv

即小艇以每小时海里3,,

的速度航行,相遇时距离最小。

(Ⅱ)若轮船与小艇在B处相遇,由题意可得:vt220230t22030tcos900300化简得v22400600900,2tt

11113 400675,由于0t,即2,所以当2时,

v取得最小值

2ttt4

即小艇航行速度的最小值为

(Ⅲ)由(Ⅱ)知v[1**********]900uu0400u600u900v0,,于是有2ttt

小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根,

226001600900v0,解得:所以

的取值范围为。 v30,2900v0



【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中,有广泛的应用,在物理学中,有关向量的计算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特别是新课程的高考)我们发现以解三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点了,可以说这是还原三角学的本质了。解斜三角形应用题的一般步骤是:

一.“建模”:

1.准确理解题意,分清已知和未知,准确理解应用题中的有关名称、术语,如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等;

2.根据题意画出图形;

3.把要求解的问题归结到一个或几个三角形中,合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型;

二.“解模”:正确求解。注意:算法要简练,运算要准确。

三.“还原说明”:作出应用题的答案。

6.(2010²天津高考文科²T17)在ABC中,

(Ⅰ)证明B=C: ACcosB。 ABcosC

(Ⅱ)若cosA=-1,求sin4B的值。 33

【命题立意】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二

倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力。

【思路点拨】(1)只需证明sin(B-C)=0即可;

(2)利用倍角公式及和角公式求解。

【规范解答】(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理及已知得sinBcosB=.于是sinCcosC

sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0.因为BC,从而B-C=0. 所以B=C. (Ⅱ)由A+B+C=和(Ⅰ)得A=-2B,故cos2B=-cos(-2B)=-cosA=1. 3

又0

从而

sin4B=2sin2Bcos2B=722,cos4B=cos2Bsin2B. 99

所以sin(4B

3)sin4Bcos

3cos4Bsin

3 18

【方法技巧】解题的关键是合理利用三角函数公式对关系式进行恒等变形,要注意根据角的

范围来确定三角函数的符号的确定。

7.(2010²福建高考理科²T19)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。

(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?

(Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。

【命题立意】本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概

括能力、运算求解能力、应用意识,考查函数与方程思想、数形结合思想、

化归与转化思想、分类与整合思想。

【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为S,把S表示为关于t的函数,利用二次函

数的方法求解S的最小值,并求解此时的速度;第二步利用余弦定理解三角

形表示出v,t的关系式,并利用函数知识求解速度的范围。

【规范解答】 (Ⅰ)为使小艇航行距离最短,理想化的航行路线为OT,小艇到达T位置时轮船的航行位移s0AT,即30t10,t1103,vt,从而v; (海里/时)3t

(Ⅱ)若轮船与小艇在H处相遇时,在直角三角形OHT

中运用勾股定理有:(900v2)t2600t4000,等价于v900

从而

4006002469 2tt

399327v4(2)94()2216444所以当v30时,32,t 23

也就是说,当小艇以30海里每小时的速度,沿北偏东30方向行走能以最短的时间遇到轮

船。

【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中,有广泛的应用,在物理学中,有关向量的计算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特别是新课程的高考)我们发现以解三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点了,可以说这是还原三角学的本质了。解斜三角形应用题的一般步骤是:

一.“建模”:

1.准确理解题意,分清已知和未知,准确理解应用题中的有关名称、术语,如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等;

2.根据题意画出图形;

3.把要求解的问题归结到一个或几个三角形中,合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型;

二.“解模”:正确求解。注意:算法要简练,运算要准确。

三.“还原说明”:作出应用题的答案。

8.(2010²安徽高考文科²T16)ABC的面积是30,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,

12。 13

 (1)求ABAC; cosA

(2)若cb1,求a的值。

【命题立意】本题主要考查三角函数,向量的数量积,余弦定理等知识的综合应用,考查考

生化简、运算、求解能力。 【思路点拨】由cosA12得sinA的值,再根据ABC面积公式得bc的值,从而求数量13

222积ABAC的值;由余弦定理abc2bccosA,代入已知条件

cb1及bc可求a的值。 【规范解答】由cosA

又SABC=125且A

为三角形内角,得sinA. 13131bcsinA30,∴bc156, 212144; (1)ABACbccosA15613

222(2)abc2bccosA(cb)2bc(1cosA)12156(1212)25, 13

∴a5。


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