关于类比法的研究
摘要
类比是一种特殊的数学思维方法，通过例题来说明类比法的应用，可以拓宽数学的解题思路. 所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的思考和处理问题的方法，它常称为类比法，也称类比推理，它是一种从特殊到特殊的推理方法，是一种或然性推埋，其结论是否正确，还需要经过严格的证明. 类比属于合情推理，在科学的发明，数学命题的发现，乃至数学习题的解答中发挥了重要的作用. 在数学上根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同, 从而推出他们在其他方面也可能相似或相同的一种逻辑推理的方法。拉普拉斯曾指出“甚至在数学里，发现问题的主要工具也是归纳和类比”. 今天，我们就来讨论一下有关于类比法的问题。
关键字：数学思维； 解题思路； 类比法；应用、
正文
学习数学有两根强力的支柱，一是数学知识，二是数学思想和方法。由于知识的记忆是暂时的，思想方法的掌握是永久的，只是只能让学生受益于一时，思想与方法将使学生受益终生。所以我们在教学过程中总要注意授予学生思想与方法，而非仅仅是知识。数学思想方法作为数学教育的重要内容, 它在学生学习数学和其它学科过程中的重要性, 已日益引起人们的注意。
数学中许多定理，公式和法则都是用类比推理出的. 解题中为寻找问题的线索，往往借助于类比的方法. 在类比的应用过程中，不可避免地要与分析综合、一般化、特殊化等思维方法一起运用，在数学解题中的思维方法往往与解题者原有知识，经验中的类似形式或结构，类似方法或模式有千丝万缕的联系.
所以在中学数学的解题教学中，通过介绍类似的思维方法，有助于培养学生思维的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性.
下面我们来探讨一下如何用类比法来进行教学，使得学生受益终生。
一、 平面与空间的类比
有一些立体几何的问题往往可以联系平面几何的问题来解决，甚至可以把 立体几何的问题简单的转化成平面几何问题就可以把问题轻松地解答出来。 例１：证明：正四面体内任一点Ｐ 到各面距离之和为定值.
分析：平面几何中有一结论“正三角中任一点Ｐ 到各边距离之和为定值”. 其证明方法是将Ｐ 点与三角形各顶点连接起来，利用三个小三角形面积之和为定值（原三角形的面积），求出Ｐ 点到三边距离之和为其原三角形的高（定值），仿此在正四面体中，将Ｐ 点与正面四体各顶点连接起来，则原正四面体分为四个小面体，通过体积关系，求得Ｐ 点到各面距离之和等于正四面体的高（定值）.
二、数与式类比
利用归纳的思想，可以实现数到式转换（类比）至于是“有害的类比”（正确的类比），还是“有益类比”，有待于进一步证明.
例2：观察二列数1=1 ,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10
联系起来考察得，1+2=3，
同样的有
一般地可以猜想到，，1+2+3=6， 成立，数学归纳法可以证明这一结论的正确性。
类似的，一元与多元的类比、低次与高次的类比、数与形的类比、分式的运算与分数类比、相似三角形与全等三角形的类比、一元一次不等式与一元一次方程的解法类比、等差数列与等比数列的类比学习。同时通过运用类比法，可以培养学生的创新意识。
类比是由特殊揭示一般的推理方法, 通过借用一类问题的性质来研究另一类问题的思考方法, 是由于问题的某种需要所采用的一种方法———类比法. 是从寻找解决问题思路上作为切入点, 抓住了思维创造活动的特点, 加强了知识间的横向联系, 起到灵活应用知识的作用, 在寻求问题的合理解决中培养了创造性思维, 使学生在自已固有知识的发展区域内, 全面而完整地思考解决问题的办法, 加强解题的预见性, 做到解决问题时思维敏捷, 达到思考缜密, 促使学生必须具备未来世界对他们生存和发展要求的基本素质. 因此, 它不仅是发现数学真理的创造性思维方法, 还是开拓思路的有力武器. 。在数学课堂教学中恰当地运用类比能有效地突破知识难点，完成知识建构，培养学生的创新意识和创新能力。 教育学家瓦赫捷罗夫说得好：“类比像闪电一样， 可以照亮学生所学学科的黑暗角落。”因此在教学中要积极运用类比法进行教学。类比是一个重要的数学创造思想，也是一个重要的数学教学思想。它与数学课程改革相配合，必能在数学教育的课程目标和内容、数学观念和方法等方面生成一定的理论成果，进而更好地指导数学教学。从实践上说，在数学教学过程中培养学生的迁移类比能力， 可以改变落后的学习方式和课堂教学模式，可以提高学生的学习兴趣和学习质量，通过展开知识的形成过程，使学生知道知识的来龙去脉，知其然，更知其所以然。从教育目标的观点着眼，通过对前面知识的学习方法的传授，达到对后续知识的学习产生影响，使学生达到举一反三、触类旁通的目的，让学生顺利地由“学会”到“会学”，真正实现“教是为了不教”的目的。
一、在学习概念中运用类比法以探究新知
数学概念是整个数学知识结构的基础。数学概念的教学是进行能力训练，实施素质教育的重要渠道。将类比法引入新概念的教学，可使学生更好地理解新概念的内涵与外延。例如，在学习等比数列概念时，教师可明确地告诉学生等比数列与等差数列有着密切的联系，同学们完全可以根据已学过的等差数列来研究等比数列。接着提出下列问题：1. 什么样的数列是等差数列？2. 你能由此类比猜想什么是等比数列吗？3. 请举例子来说明等比数列的定义。这样的概念引入过程，学生参与程度很强，在几乎没有任解释的情况下，让学生自己动脑、动手去研究。这种方法不仅在于训练和培养学生的类比思想，也可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。
数学概念是数学推理和论证的基础, 数学思维实际上就是要求学生对数学概念能够予以确切的定义, 能使定义得到正确的运用, 也能对概念进行正确的
分类。数学公式定理和方法反映了数学对象和概念之间的关系。若没有学好数学概念, 那么对于数学公式定理和方法就不能够理解, 也就无法应用其解决问题。数学概念是数学基础知识的基础, 深人理解数学概念的过程也能够使抽象逻辑思维得到锻炼, 对提高思维能力有促进作用, 进而使人们更具有理性思维。因此, 抽象的数学概念的教学是教学中的重点和难点, 数学概念的教学也是培养学生创新能力的重要途径。
二、 类比法在建构知识网络中的运用
将类比法用于定理法则的教学，可加深对定理法则的理解和记忆，使所学知识系统化。例如：在学习复数的四则运算加减法时，可这样设问，“类比以前学过的合并同类项，你认为两个复数a+bi 与c+di 的和或差应该是什么？”学生通过讨论很容易得出复数的加减法法则：“两个复数相加（减），把实部和虚部分别相加（减），虚部保留虚数单位即可。
三、 运用类比法激发思维创新
具体教学中，适时将后续知识、扩展知识提前与正在学习的知识进行类比，能激发学生进行探索与创新。类比在解题教学中不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有限的方法，为学生提供一个发现，创新的环境和机会。
同学们在学习过程中, 往往使用“类比”一法解决同类问题。的确, 类比法在实际应用中是极其广泛的。但应该强调的是, 类比是在两个系统中相应部分的某种关系明显一致的情况下才会得到充分的应用, 否则会出现错误的结果。 例1: 若函数f ( x ) = ㏒aX( a> 0 且a ≠ 1)
在x ∈ [ 2,∞] ) 上恒有| f ( x ) | > 1 成立, 求a 的取值范围。
解: ∵ x I [ 2+ ] )
① 当a> 1 时, f ( x ) > 0, 由已知f ( x ) = log ax > 1=log aa
∴ x> a 恒成立, 即a 小于x 的最小值2, 也即a
∴当0
∴x>1／a 即a>1／x 恒成立, 即a 大于1／x 的最大值。
∴ x ≥2 ∴ 01／2
∴此时1／2
综合以上两种情况可得1／2
类比于本题解法, 很多同学如法炮制下面一道题:
例2: 当x I ( 1+ 2) , 不等式( x - 1) 2
由已知: ( x- 1) 2
① 当a> 1 时, lo gax ≥log aa ∴a ≤x 恒成立∴a ≤ 1, 这与a> 1 矛盾
② 当0
综合以上两种情况, 满足条件a 的值不存在, 这样就解错了。事实上, 用数形结合的方法不难得到a 的取值范围为( 1, 2) 。认真分析一下便可发现其错误原因在于: 例1 中的不等式| f ( x ) | > 1 右侧是常数1与x 无关, 而例2 中的不等式( x- 1) 2
因此, 我们在使用类比方法解题时要小心谨慎, 尤其是有限与无限的简单类比, 往往会导致错误, 如我们可以用加法交换律对有限个数相加作以简便运算。
类比思维在解决数学问题时有着巨大的作用，类比方法的表现形式也是丰富多样的. 类比思维在数学知识延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导， 以寻求思维的变异和发散；在归纳知识系统时又可用来串联不同层次的类似内 容，以帮助理解和记忆. 在解决数学问题时，无论是对于命题本身或解题思路、方法，类比思维都是产生猜测、获得命题推广和引申的原动力. 因此类比方法既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法.
参考文献：[1] 王彦军-于数学思想方法教学的几点看法 西北师范大学数信学院 J an. 2008
[2] 王金澄_类比法_数学发现的重要方法
[3] 霍建峰_类比法融入数学课堂教学 河北张家界市高新区姚家房中学 04,2010
[4] 彭严_类比法也会出问题 淮北煤炭师范学院, 安徽淮北 Feb 2008
[5] 李建民_类比法在数学概念教学中的应用 平顶山学院, 河南平顶山
[6] 张艾侠_类比法在数学教学中的创新思维培养浅析 09，2011
[7] 纪洽宽_类比思维在高中数学教学和解题中的运用 苏州工业园区第二高级中学
[8] 毛冲_类比推理_数学思维的引路者 浙江嵊州第一中学
[9] 滕莹 _例析高考中的类比问题 浙江省慈溪市杨贤江中学
[10] 朱月珍_一种特殊的数学思维方法_类比法 兰州城市学院 培黎职业技术学院
[11]常秀芳_掌握数学思想方法培育学生创新意识_以类比法为例山西大同大学工学院 Feb,2008
[12] 涂朦_高中生数学类比推理能力的调查分析及培养
[13]杨宇_高中数学教学中运用化归思想的案例分析
[14] 马川生_扩展的类比法及其应用
[15]苏柏山_类比_大学文科数学教育中应特别珍视的方法
[16] 李峰_类比法的功能
[17] 贾庆兰_类比法在高等数学教学中的应用
[18]司梦林_类比法的数学研究价值
[19] 惠志昊_类比法在高等数学解题教学中的应用
[20] 王俊青_类比法在数学研究中的作用
[21] 余敏_类比思维在高等数学中的应用
[22]李艳萍_类比思想在数学解题中的应用
[23]虞黎明_利用类比法解决有关线段和角的计算
[24]徐弘_浅论类比法及其应用
[25]谭佩贞_浅谈类比法猜想数学命题
The study on method of analogue
Anstract : Analogy is a special mathematical thinking method, through the example to illustrate the application of analogy, can broaden the solution ways. method of analogue,is a property of a class of things, Can speculate that similar things should also think and deal with such attributes, It is a kind of special to special reasoning
method, The conclusion is correct or not, Also need to undergo a rigorous proof.
Key words: l thinking of Mathematica; ideas of Problem-solving ; method of analogue; Application
关于类比法的研究
摘要
类比是一种特殊的数学思维方法，通过例题来说明类比法的应用，可以拓宽数学的解题思路. 所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的思考和处理问题的方法，它常称为类比法，也称类比推理，它是一种从特殊到特殊的推理方法，是一种或然性推埋，其结论是否正确，还需要经过严格的证明. 类比属于合情推理，在科学的发明，数学命题的发现，乃至数学习题的解答中发挥了重要的作用. 在数学上根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同, 从而推出他们在其他方面也可能相似或相同的一种逻辑推理的方法。拉普拉斯曾指出“甚至在数学里，发现问题的主要工具也是归纳和类比”. 今天，我们就来讨论一下有关于类比法的问题。
关键字：数学思维； 解题思路； 类比法；应用、
正文
学习数学有两根强力的支柱，一是数学知识，二是数学思想和方法。由于知识的记忆是暂时的，思想方法的掌握是永久的，只是只能让学生受益于一时，思想与方法将使学生受益终生。所以我们在教学过程中总要注意授予学生思想与方法，而非仅仅是知识。数学思想方法作为数学教育的重要内容, 它在学生学习数学和其它学科过程中的重要性, 已日益引起人们的注意。
数学中许多定理，公式和法则都是用类比推理出的. 解题中为寻找问题的线索，往往借助于类比的方法. 在类比的应用过程中，不可避免地要与分析综合、一般化、特殊化等思维方法一起运用，在数学解题中的思维方法往往与解题者原有知识，经验中的类似形式或结构，类似方法或模式有千丝万缕的联系.
所以在中学数学的解题教学中，通过介绍类似的思维方法，有助于培养学生思维的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性.
下面我们来探讨一下如何用类比法来进行教学，使得学生受益终生。
一、 平面与空间的类比
有一些立体几何的问题往往可以联系平面几何的问题来解决，甚至可以把 立体几何的问题简单的转化成平面几何问题就可以把问题轻松地解答出来。 例１：证明：正四面体内任一点Ｐ 到各面距离之和为定值.
分析：平面几何中有一结论“正三角中任一点Ｐ 到各边距离之和为定值”. 其证明方法是将Ｐ 点与三角形各顶点连接起来，利用三个小三角形面积之和为定值（原三角形的面积），求出Ｐ 点到三边距离之和为其原三角形的高（定值），仿此在正四面体中，将Ｐ 点与正面四体各顶点连接起来，则原正四面体分为四个小面体，通过体积关系，求得Ｐ 点到各面距离之和等于正四面体的高（定值）.
二、数与式类比
利用归纳的思想，可以实现数到式转换（类比）至于是“有害的类比”（正确的类比），还是“有益类比”，有待于进一步证明.
例2：观察二列数1=1 ,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10
联系起来考察得，1+2=3，
同样的有
一般地可以猜想到，，1+2+3=6， 成立，数学归纳法可以证明这一结论的正确性。
类似的，一元与多元的类比、低次与高次的类比、数与形的类比、分式的运算与分数类比、相似三角形与全等三角形的类比、一元一次不等式与一元一次方程的解法类比、等差数列与等比数列的类比学习。同时通过运用类比法，可以培养学生的创新意识。
类比是由特殊揭示一般的推理方法, 通过借用一类问题的性质来研究另一类问题的思考方法, 是由于问题的某种需要所采用的一种方法———类比法. 是从寻找解决问题思路上作为切入点, 抓住了思维创造活动的特点, 加强了知识间的横向联系, 起到灵活应用知识的作用, 在寻求问题的合理解决中培养了创造性思维, 使学生在自已固有知识的发展区域内, 全面而完整地思考解决问题的办法, 加强解题的预见性, 做到解决问题时思维敏捷, 达到思考缜密, 促使学生必须具备未来世界对他们生存和发展要求的基本素质. 因此, 它不仅是发现数学真理的创造性思维方法, 还是开拓思路的有力武器. 。在数学课堂教学中恰当地运用类比能有效地突破知识难点，完成知识建构，培养学生的创新意识和创新能力。 教育学家瓦赫捷罗夫说得好：“类比像闪电一样， 可以照亮学生所学学科的黑暗角落。”因此在教学中要积极运用类比法进行教学。类比是一个重要的数学创造思想，也是一个重要的数学教学思想。它与数学课程改革相配合，必能在数学教育的课程目标和内容、数学观念和方法等方面生成一定的理论成果，进而更好地指导数学教学。从实践上说，在数学教学过程中培养学生的迁移类比能力， 可以改变落后的学习方式和课堂教学模式，可以提高学生的学习兴趣和学习质量，通过展开知识的形成过程，使学生知道知识的来龙去脉，知其然，更知其所以然。从教育目标的观点着眼，通过对前面知识的学习方法的传授，达到对后续知识的学习产生影响，使学生达到举一反三、触类旁通的目的，让学生顺利地由“学会”到“会学”，真正实现“教是为了不教”的目的。
一、在学习概念中运用类比法以探究新知
数学概念是整个数学知识结构的基础。数学概念的教学是进行能力训练，实施素质教育的重要渠道。将类比法引入新概念的教学，可使学生更好地理解新概念的内涵与外延。例如，在学习等比数列概念时，教师可明确地告诉学生等比数列与等差数列有着密切的联系，同学们完全可以根据已学过的等差数列来研究等比数列。接着提出下列问题：1. 什么样的数列是等差数列？2. 你能由此类比猜想什么是等比数列吗？3. 请举例子来说明等比数列的定义。这样的概念引入过程，学生参与程度很强，在几乎没有任解释的情况下，让学生自己动脑、动手去研究。这种方法不仅在于训练和培养学生的类比思想，也可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。
数学概念是数学推理和论证的基础, 数学思维实际上就是要求学生对数学概念能够予以确切的定义, 能使定义得到正确的运用, 也能对概念进行正确的
分类。数学公式定理和方法反映了数学对象和概念之间的关系。若没有学好数学概念, 那么对于数学公式定理和方法就不能够理解, 也就无法应用其解决问题。数学概念是数学基础知识的基础, 深人理解数学概念的过程也能够使抽象逻辑思维得到锻炼, 对提高思维能力有促进作用, 进而使人们更具有理性思维。因此, 抽象的数学概念的教学是教学中的重点和难点, 数学概念的教学也是培养学生创新能力的重要途径。
二、 类比法在建构知识网络中的运用
将类比法用于定理法则的教学，可加深对定理法则的理解和记忆，使所学知识系统化。例如：在学习复数的四则运算加减法时，可这样设问，“类比以前学过的合并同类项，你认为两个复数a+bi 与c+di 的和或差应该是什么？”学生通过讨论很容易得出复数的加减法法则：“两个复数相加（减），把实部和虚部分别相加（减），虚部保留虚数单位即可。
三、 运用类比法激发思维创新
具体教学中，适时将后续知识、扩展知识提前与正在学习的知识进行类比，能激发学生进行探索与创新。类比在解题教学中不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有限的方法，为学生提供一个发现，创新的环境和机会。
同学们在学习过程中, 往往使用“类比”一法解决同类问题。的确, 类比法在实际应用中是极其广泛的。但应该强调的是, 类比是在两个系统中相应部分的某种关系明显一致的情况下才会得到充分的应用, 否则会出现错误的结果。 例1: 若函数f ( x ) = ㏒aX( a> 0 且a ≠ 1)
在x ∈ [ 2,∞] ) 上恒有| f ( x ) | > 1 成立, 求a 的取值范围。
解: ∵ x I [ 2+ ] )
① 当a> 1 时, f ( x ) > 0, 由已知f ( x ) = log ax > 1=log aa
∴ x> a 恒成立, 即a 小于x 的最小值2, 也即a
∴当0
∴x>1／a 即a>1／x 恒成立, 即a 大于1／x 的最大值。
∴ x ≥2 ∴ 01／2
∴此时1／2
综合以上两种情况可得1／2
类比于本题解法, 很多同学如法炮制下面一道题:
例2: 当x I ( 1+ 2) , 不等式( x - 1) 2
由已知: ( x- 1) 2
① 当a> 1 时, lo gax ≥log aa ∴a ≤x 恒成立∴a ≤ 1, 这与a> 1 矛盾
② 当0
综合以上两种情况, 满足条件a 的值不存在, 这样就解错了。事实上, 用数形结合的方法不难得到a 的取值范围为( 1, 2) 。认真分析一下便可发现其错误原因在于: 例1 中的不等式| f ( x ) | > 1 右侧是常数1与x 无关, 而例2 中的不等式( x- 1) 2
因此, 我们在使用类比方法解题时要小心谨慎, 尤其是有限与无限的简单类比, 往往会导致错误, 如我们可以用加法交换律对有限个数相加作以简便运算。
类比思维在解决数学问题时有着巨大的作用，类比方法的表现形式也是丰富多样的. 类比思维在数学知识延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导， 以寻求思维的变异和发散；在归纳知识系统时又可用来串联不同层次的类似内 容，以帮助理解和记忆. 在解决数学问题时，无论是对于命题本身或解题思路、方法，类比思维都是产生猜测、获得命题推广和引申的原动力. 因此类比方法既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法.
参考文献：[1] 王彦军-于数学思想方法教学的几点看法 西北师范大学数信学院 J an. 2008
[2] 王金澄_类比法_数学发现的重要方法
[3] 霍建峰_类比法融入数学课堂教学 河北张家界市高新区姚家房中学 04,2010
[4] 彭严_类比法也会出问题 淮北煤炭师范学院, 安徽淮北 Feb 2008
[5] 李建民_类比法在数学概念教学中的应用 平顶山学院, 河南平顶山
[6] 张艾侠_类比法在数学教学中的创新思维培养浅析 09，2011
[7] 纪洽宽_类比思维在高中数学教学和解题中的运用 苏州工业园区第二高级中学
[8] 毛冲_类比推理_数学思维的引路者 浙江嵊州第一中学
[9] 滕莹 _例析高考中的类比问题 浙江省慈溪市杨贤江中学
[10] 朱月珍_一种特殊的数学思维方法_类比法 兰州城市学院 培黎职业技术学院
[11]常秀芳_掌握数学思想方法培育学生创新意识_以类比法为例山西大同大学工学院 Feb,2008
[12] 涂朦_高中生数学类比推理能力的调查分析及培养
[13]杨宇_高中数学教学中运用化归思想的案例分析
[14] 马川生_扩展的类比法及其应用
[15]苏柏山_类比_大学文科数学教育中应特别珍视的方法
[16] 李峰_类比法的功能
[17] 贾庆兰_类比法在高等数学教学中的应用
[18]司梦林_类比法的数学研究价值
[19] 惠志昊_类比法在高等数学解题教学中的应用
[20] 王俊青_类比法在数学研究中的作用
[21] 余敏_类比思维在高等数学中的应用
[22]李艳萍_类比思想在数学解题中的应用
[23]虞黎明_利用类比法解决有关线段和角的计算
[24]徐弘_浅论类比法及其应用
[25]谭佩贞_浅谈类比法猜想数学命题
The study on method of analogue
Anstract : Analogy is a special mathematical thinking method, through the example to illustrate the application of analogy, can broaden the solution ways. method of analogue,is a property of a class of things, Can speculate that similar things should also think and deal with such attributes, It is a kind of special to special reasoning
method, The conclusion is correct or not, Also need to undergo a rigorous proof.
Key words: l thinking of Mathematica; ideas of Problem-solving ; method of analogue; Application