绝密★启用前 解密时间：2010年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15：00—17：
00】
2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）
数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B 擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5
）
D 、8
）
D 、8
D 、1
）
D 、8
4x +1
（5）函数f (x ) =的图象（ ） x
2
A 、关于原点对称
B 、关于直线y =x 对称
为
，则该队员每次罚球的命中率为_____________. 25
2
（14）已知以F 为焦点的抛物线y =4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB ，则弦AB 的中
点到准线的距离为___________. （15）已知函数f (x ) 满足：f (x ) =
1
, 4f (x ) f (y ) =f (x +y ) +f (x -y )(x , y ∈R ) ，则4
f (2010) =__________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分. ）
设函数f (x ) =cos(x +
2x
π) +2cos 2, x ∈R . 32
（Ⅰ）求f (x ) 的值域；
（Ⅱ）记∆A B C 的内角A 、B 、C 的对边长分别、，若
f (B ) =1, b =1, c =，求a 的值.
（17）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分. ）
6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在
1，2，„，6），求：
（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分. ） 已知函数f (x ) =
x -1
+ln(x +1) ，其中实数a ≠-1. x +a
（Ⅰ）若a =2，求曲线y =f (x ) 在点(0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）若f (x ) 在x =1处取得极值，试讨论f (x ) 的单调性.
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ） 已知以原点O 为中心，F (, 0) 为右焦点的双曲线C （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）
在数列{a n }中，a 1=1, a n +1=ca n +c n +1(2n +1)(n ∈N *) ，其中实数c ≠0. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若对一切k ∈N 有a 2k >a 2k -1，求c 的取值范围.
*
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
一．选择题：每小题5分，满分 50分. （1）A （7）B
（2）B （8）C
（3）C （9）C
（4）C （10）D
（5）D
二．填空题：每小题5分，满分25分. （11）-2i
（12）-3
（13）
3 5
（14）
8 3
三．解答题：满分75分. （16）（本题13分）
=0，又因0
π2π
或. 33
2πππ当C =时，A =，又B =，从而a =b =1.
366
故a 的值为1或2.
；
（17）（本题13分）
解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.
（Ⅰ）设A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则A
数”，由等可能性事件的概率计算公式得
C 3214
P (A ) =1-P (A ) =1-2=1-=.
55C 6
（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
P (ξ=0) =
5144=, P (ξ=1) ==, P (ξ=2) =62C 23C 6152211
a +12
x -1
+ln(x +1) ，其定义域为(-1, 3) (3, +∞) ，且 此时f (x ) =
x -3
f /(x ) =
-21(x -1)(x -7) /
，由+=f (x ) =0得x 1=1, x 2=7. 当 22
x +1(x -3) (x +1) (x -3)
//
DF 2+FG 2-DG 2=所以cos DFG =.
2⋅DF ⋅FG 3
解法二：
（20）（本题12分）
x 2y 2
解：（Ⅰ）设C 的标准方程为-=1(a >0, b >0) ，则由题意
c =, e =
c ， =
a 2
因此a =2, b =
c 2-a 2=1，
x
-y 2=1. 4
12
2
C 的标准方程为
C 的渐近线方程为y =±x ，即
x -2y =0和x +2y =0.
（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点
2y E =4，
E x +4y E y =4.
4
（易知x E
0得x Q =
2|x E |4
|=⋅=2
|x E ||x E 2-4y E 2|
解法二：设E (x E , y E ) ，由方程组
⎧x 1x +4y 1y =4, 4(y 2-y 1) x 1-x 2
解得， x =, y =⎨E E
x 1y 2-x 2y 1x 1y 2-x 2y 1⎩x 2x +4y 2y =4,
因x 2≠x 1，则直线MN 的斜率k =
y 2-y 1x
=-E .
x 2-x 14y E
故直线MN 的方程为y -y 1=-
x E
(x -x 1) ， 4y E
注意到x 1x E +4y 1y E =4，因此直线MN 的方程为x E x +4y E y =4. 下同解法一. （21）（本题12分） （Ⅰ）解法一：由a 1=1, a 2=ca 1+c 2⋅3=3c 2+c =(22-1) c 2+c ，
a 3=ca 2+c 3⋅5=8c 3+c 3=(32-1) c 3+c 2，
443243n =k +1时，
)
=n -1+
， c
因此a n =(n 2-1) c n +c n -1，n ≥2.
又当n =1时上式成立.
因此a n =(n 2-1) c n +c n -1, n ∈N *. （Ⅱ）解法一：由a 2k >a 2k -1，得
[(2k ) 2-1]c 2k +c 2k -1>[(2k -1) 2-1]c 2k -1+c 2k -2，
因c
2k -2
>0，所以(4k 2-1) c 2-(4k 2-4k -1) c -1>0.
*
解此不等式得：对一切k ∈N ，有c >c k 或c
/
c k =
(4k 2-4k -1) +(4k 2-4k -1) 2+4(4k 2-1)
2(4k -1)
(4k 2-4k -1) -(4k 2-4k -1) 2+4(4k 2-1)
2
，
/
=4k 2+1，
k 单调递增，
/
N *成立得
解法二：由a 2k >a 2k -1，得
[(2k ) 2-1]c 2k +c 2k -1>[(2k -1) 2-1]c 2k -1+c 2k -2，
因c
2k -2
>0，所以4(c 2-c ) k 2+4ck -c 2+c -1>0对k ∈N *恒成立.
记f (x ) =4(c 2-c ) x 2+4cx -c 2+c -1，下分三种情况讨论.
2
（ⅰ）当c -c =0即c =0或c =1时，代入验证可知只有c =1满足要求.
2
（ⅱ）当c -c
f (x )
不符合题意，此时无解.
2
（ⅲ）当c -c >0即c 1时，抛物线y =f (x )
x =
1
必在直线x =1的左边. 因此，f (x ) 在[1, +∞)
2(1-c )
. .
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00】
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数学试题卷（理工农医类）
数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B 擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5
）
D 、8
）
D 、8
D 、1
）
D 、8
4x +1
（5）函数f (x ) =的图象（ ） x
2
A 、关于原点对称
B 、关于直线y =x 对称
为
，则该队员每次罚球的命中率为_____________. 25
2
（14）已知以F 为焦点的抛物线y =4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB ，则弦AB 的中
点到准线的距离为___________. （15）已知函数f (x ) 满足：f (x ) =
1
, 4f (x ) f (y ) =f (x +y ) +f (x -y )(x , y ∈R ) ，则4
f (2010) =__________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分. ）
设函数f (x ) =cos(x +
2x
π) +2cos 2, x ∈R . 32
（Ⅰ）求f (x ) 的值域；
（Ⅱ）记∆A B C 的内角A 、B 、C 的对边长分别、，若
f (B ) =1, b =1, c =，求a 的值.
（17）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分. ）
6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在
1，2，„，6），求：
（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分. ） 已知函数f (x ) =
x -1
+ln(x +1) ，其中实数a ≠-1. x +a
（Ⅰ）若a =2，求曲线y =f (x ) 在点(0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）若f (x ) 在x =1处取得极值，试讨论f (x ) 的单调性.
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ） 已知以原点O 为中心，F (, 0) 为右焦点的双曲线C （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）
在数列{a n }中，a 1=1, a n +1=ca n +c n +1(2n +1)(n ∈N *) ，其中实数c ≠0. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若对一切k ∈N 有a 2k >a 2k -1，求c 的取值范围.
*
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
一．选择题：每小题5分，满分 50分. （1）A （7）B
（2）B （8）C
（3）C （9）C
（4）C （10）D
（5）D
二．填空题：每小题5分，满分25分. （11）-2i
（12）-3
（13）
3 5
（14）
8 3
三．解答题：满分75分. （16）（本题13分）
=0，又因0
π2π
或. 33
2πππ当C =时，A =，又B =，从而a =b =1.
366
故a 的值为1或2.
；
（17）（本题13分）
解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.
（Ⅰ）设A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则A
数”，由等可能性事件的概率计算公式得
C 3214
P (A ) =1-P (A ) =1-2=1-=.
55C 6
（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
P (ξ=0) =
5144=, P (ξ=1) ==, P (ξ=2) =62C 23C 6152211
a +12
x -1
+ln(x +1) ，其定义域为(-1, 3) (3, +∞) ，且 此时f (x ) =
x -3
f /(x ) =
-21(x -1)(x -7) /
，由+=f (x ) =0得x 1=1, x 2=7. 当 22
x +1(x -3) (x +1) (x -3)
//
DF 2+FG 2-DG 2=所以cos DFG =.
2⋅DF ⋅FG 3
解法二：
（20）（本题12分）
x 2y 2
解：（Ⅰ）设C 的标准方程为-=1(a >0, b >0) ，则由题意
c =, e =
c ， =
a 2
因此a =2, b =
c 2-a 2=1，
x
-y 2=1. 4
12
2
C 的标准方程为
C 的渐近线方程为y =±x ，即
x -2y =0和x +2y =0.
（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点
2y E =4，
E x +4y E y =4.
4
（易知x E
0得x Q =
2|x E |4
|=⋅=2
|x E ||x E 2-4y E 2|
解法二：设E (x E , y E ) ，由方程组
⎧x 1x +4y 1y =4, 4(y 2-y 1) x 1-x 2
解得， x =, y =⎨E E
x 1y 2-x 2y 1x 1y 2-x 2y 1⎩x 2x +4y 2y =4,
因x 2≠x 1，则直线MN 的斜率k =
y 2-y 1x
=-E .
x 2-x 14y E
故直线MN 的方程为y -y 1=-
x E
(x -x 1) ， 4y E
注意到x 1x E +4y 1y E =4，因此直线MN 的方程为x E x +4y E y =4. 下同解法一. （21）（本题12分） （Ⅰ）解法一：由a 1=1, a 2=ca 1+c 2⋅3=3c 2+c =(22-1) c 2+c ，
a 3=ca 2+c 3⋅5=8c 3+c 3=(32-1) c 3+c 2，
443243n =k +1时，
)
=n -1+
， c
因此a n =(n 2-1) c n +c n -1，n ≥2.
又当n =1时上式成立.
因此a n =(n 2-1) c n +c n -1, n ∈N *. （Ⅱ）解法一：由a 2k >a 2k -1，得
[(2k ) 2-1]c 2k +c 2k -1>[(2k -1) 2-1]c 2k -1+c 2k -2，
因c
2k -2
>0，所以(4k 2-1) c 2-(4k 2-4k -1) c -1>0.
*
解此不等式得：对一切k ∈N ，有c >c k 或c
/
c k =
(4k 2-4k -1) +(4k 2-4k -1) 2+4(4k 2-1)
2(4k -1)
(4k 2-4k -1) -(4k 2-4k -1) 2+4(4k 2-1)
2
，
/
=4k 2+1，
k 单调递增，
/
N *成立得
解法二：由a 2k >a 2k -1，得
[(2k ) 2-1]c 2k +c 2k -1>[(2k -1) 2-1]c 2k -1+c 2k -2，
因c
2k -2
>0，所以4(c 2-c ) k 2+4ck -c 2+c -1>0对k ∈N *恒成立.
记f (x ) =4(c 2-c ) x 2+4cx -c 2+c -1，下分三种情况讨论.
2
（ⅰ）当c -c =0即c =0或c =1时，代入验证可知只有c =1满足要求.
2
（ⅱ）当c -c
f (x )
不符合题意，此时无解.
2
（ⅲ）当c -c >0即c 1时，抛物线y =f (x )
x =
1
必在直线x =1的左边. 因此，f (x ) 在[1, +∞)
2(1-c )
. .