8．9 曲线与方程
一、选择题
1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( ) A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
解析：设圆心C(x，y)，由题意得x－0＋y－3＝y＋1(y＞0)，化简得x2＝8y－8. 答案：A
2．方程(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0表示的曲线的形状是( ) A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线与一条射线
2x＋3y－5＝0
解析：由方程可得或x－3－1＝0，
x－3≥0
即2x＋3y－5＝0(x≥3)或x＝4.因此，曲线是一条直线与一条射线． 答案：D
1
3．已知F是抛物线y＝2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方
4
程是( )
1
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y16
1
C．x2＝y－．x2＝2y－2
2
1
解析：把抛物线方程y＝2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0,1)，
4
设P(x0，y0)，PF的中点M(x，y)．
xx＝2x0＝2x，
由中点坐标公式得∴
y0＋1y0＝2y－1.y＝，
21
又∵P(x0，y0)在抛物线y＝x2上，
4
1
∴2y－1＝(2x)2，即x2＝2y－1.
4
答案：A
→→→→
4．已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x
→→→→
解析：设P(x，y)，由题意得：MN＝(4,0)，NP＝(x－2，y)，|MN|＝4，|MP|＝
→→→→
x＋2＋y，故由|MN|·|MP|＋MN·NP＝0可得：4x＋2＋y＋4(x－2)＝0，整理得y2＝－8x.
答案：B
5．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( )
A．y＝2x2 B．y2＝2x C．x2＝2y D．y2＝－2x
2y1＝2px1，2
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y＝2px，则2两式相减可得
y2＝2px2，
y1－y2
2p＝(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，
x1－x2
∴抛物线C的方程为y2＝2x. 答案：B
→
6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足|CA＋→→→
CB|＝|CA－CB|，则C点的轨迹方程是( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x－y＝0
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．3x－2y－11＝0
→→→→→→
解析：由|CA＋CB|＝|CA－CB|知CA⊥CB，所以C点的轨迹是以两个端点A、B为直径的圆，圆心坐标为线段AB的中点(1,2)5，所以C点的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5.
答案：C 二、填空题
→→
7．已知线段AB的长度为3，端点A，B分别在x轴、y轴上移动，若AC＝2CB，则C点的轨迹方程为__________．
解析：设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①
→→
又因为AC＝2CB，
所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
a＝3x，即3②
b＝，2
22y代入①式整理可得x＋1. 4
2y
答案：x2＋＝1
4
8．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是__________．
解析：由切线长相等得|PO|2－2＝|PO′|2－6，即|PO′|2－|PO|2＝4设P(x，y)．
3
则(x－4)2＋y2－(x2＋y2)＝4解得x.
2
3
答案：x＝
2
9．曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
1
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
2
其中，所有正确结论的序号是__________．
解析：因为原点O到两个定点F1(－1, 0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的
111
轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，
222
1
即面积不大于a2，所以③正确．
2
答案：②③ 三、解答题
x22
10．设A、B为椭圆y＝1长轴的两端点，P为椭圆上一动点(不同于A、B)，作AQ
4
⊥PA，PB⊥BQ，求直线AQ与BQ的交点Q的轨迹方程．
x2解析：如图，设点Q(x，y)、P(x1，y1)，椭圆长轴两端点A(－2,0)、B(2,0)，则＋y21＝4x2yy11－421⇒＝－y1，即
44x1－2x1＋2
1
∴kPB·kPA＝－.
4
∵PA⊥AQ、PB⊥BQ，
11
∴kPA＝－kPB＝－kAQkBQ111－·－于是kAQ·kBQ＝－4， kAQkBQ4yyx2y2∴4，即＝1.
416x＋2x－2
∵点P不与A、B重合，∴y≠0.
x2y2
故Q点的轨迹方程是1(y≠0)．
416
11．设圆C与两圆(x2＋y2＝4，(x2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切． (1)求C的圆心轨迹L的方程；
3545
(2)已知点M(，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时
55
点P的坐标．
解析：(1)依题意得两圆的圆心分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，
所以||CF2|－|CF1||＝4＝2a＜|F1F2|＝5＝2c，
所以圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为4，焦距为25的双曲线，
因此a＝2，c5，b2＝c2－a2＝1，
x22
故C的圆心轨迹L的方程为y＝1.
4
x22
(2)过点M，F的直线l的方程为y＝－2(x5)，将其代入y＝1中，解得：x1＝
4
651452525
，x2l与L的交点为T1)，T2()， 515551515
因为T1在线段MF外，T2在线段MF上，故||MT1|－|FT1||＝|MF|＝2，||MT2|－|FT2||＜|MF|＝2，若点P不在MF上，则||MP|－|FP||＜|MF|＝2，
综上所述，||MP|－|FP||只在点T1处取得最大值．即||MP|－|FP||的最大值为2，此时点
6525
P的坐标为，－．
55
x2y2
12．在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a＞b＞0)为动点，F1、F2分别为椭圆ab
＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
→→
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM·BM＝－2，求点M的轨迹方程．
解析：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即a－c＋b＝2c，
cccc1
整理得2()2＋－1＝0，得＝－1(舍)或＝.
aaaa2
1
所以e＝.
2
(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．
2223x＋4y＝12c，
A，B两点的坐标满足方程组
yx－c.
消去y并整理，得5x2－8cx＝0，
8
解得x1＝0，x2＝c.得方程组的解
5
8x2＝c，
5x1＝0
，
3y3c
y2＝.
5
83
不妨设A(c，c)，B(0，－c)．
55
83→→
设点M的坐标为(x，y)，则AM＝(x－c，y－)，BM＝(x，y＋3c)．
55
3
由y3(x－c)，得c＝x－.
3
833833→
于是AM＝(－x，yx)，
15555
83833→→→
BM＝(x3x)．由AM·BM＝－2，即(－)·x＋－3x＝－2，
15555
化简得18x2－3xy－15＝0.
18x2－1510x2＋53将y＝代入c＝x－，得c＝0.所以x＞0.
316x163x因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x＞0)．
8．9 曲线与方程
一、选择题
1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( ) A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
解析：设圆心C(x，y)，由题意得x－0＋y－3＝y＋1(y＞0)，化简得x2＝8y－8. 答案：A
2．方程(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0表示的曲线的形状是( ) A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线与一条射线
2x＋3y－5＝0
解析：由方程可得或x－3－1＝0，
x－3≥0
即2x＋3y－5＝0(x≥3)或x＝4.因此，曲线是一条直线与一条射线． 答案：D
1
3．已知F是抛物线y＝2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方
4
程是( )
1
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y16
1
C．x2＝y－．x2＝2y－2
2
1
解析：把抛物线方程y＝2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0,1)，
4
设P(x0，y0)，PF的中点M(x，y)．
xx＝2x0＝2x，
由中点坐标公式得∴
y0＋1y0＝2y－1.y＝，
21
又∵P(x0，y0)在抛物线y＝x2上，
4
1
∴2y－1＝(2x)2，即x2＝2y－1.
4
答案：A
→→→→
4．已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x
→→→→
解析：设P(x，y)，由题意得：MN＝(4,0)，NP＝(x－2，y)，|MN|＝4，|MP|＝
→→→→
x＋2＋y，故由|MN|·|MP|＋MN·NP＝0可得：4x＋2＋y＋4(x－2)＝0，整理得y2＝－8x.
答案：B
5．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( )
A．y＝2x2 B．y2＝2x C．x2＝2y D．y2＝－2x
2y1＝2px1，2
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y＝2px，则2两式相减可得
y2＝2px2，
y1－y2
2p＝(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，
x1－x2
∴抛物线C的方程为y2＝2x. 答案：B
→
6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足|CA＋→→→
CB|＝|CA－CB|，则C点的轨迹方程是( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x－y＝0
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．3x－2y－11＝0
→→→→→→
解析：由|CA＋CB|＝|CA－CB|知CA⊥CB，所以C点的轨迹是以两个端点A、B为直径的圆，圆心坐标为线段AB的中点(1,2)5，所以C点的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5.
答案：C 二、填空题
→→
7．已知线段AB的长度为3，端点A，B分别在x轴、y轴上移动，若AC＝2CB，则C点的轨迹方程为__________．
解析：设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①
→→
又因为AC＝2CB，
所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
a＝3x，即3②
b＝，2
22y代入①式整理可得x＋1. 4
2y
答案：x2＋＝1
4
8．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是__________．
解析：由切线长相等得|PO|2－2＝|PO′|2－6，即|PO′|2－|PO|2＝4设P(x，y)．
3
则(x－4)2＋y2－(x2＋y2)＝4解得x.
2
3
答案：x＝
2
9．曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
1
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
2
其中，所有正确结论的序号是__________．
解析：因为原点O到两个定点F1(－1, 0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的
111
轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，
222
1
即面积不大于a2，所以③正确．
2
答案：②③ 三、解答题
x22
10．设A、B为椭圆y＝1长轴的两端点，P为椭圆上一动点(不同于A、B)，作AQ
4
⊥PA，PB⊥BQ，求直线AQ与BQ的交点Q的轨迹方程．
x2解析：如图，设点Q(x，y)、P(x1，y1)，椭圆长轴两端点A(－2,0)、B(2,0)，则＋y21＝4x2yy11－421⇒＝－y1，即
44x1－2x1＋2
1
∴kPB·kPA＝－.
4
∵PA⊥AQ、PB⊥BQ，
11
∴kPA＝－kPB＝－kAQkBQ111－·－于是kAQ·kBQ＝－4， kAQkBQ4yyx2y2∴4，即＝1.
416x＋2x－2
∵点P不与A、B重合，∴y≠0.
x2y2
故Q点的轨迹方程是1(y≠0)．
416
11．设圆C与两圆(x2＋y2＝4，(x2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切． (1)求C的圆心轨迹L的方程；
3545
(2)已知点M(，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时
55
点P的坐标．
解析：(1)依题意得两圆的圆心分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，
所以||CF2|－|CF1||＝4＝2a＜|F1F2|＝5＝2c，
所以圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为4，焦距为25的双曲线，
因此a＝2，c5，b2＝c2－a2＝1，
x22
故C的圆心轨迹L的方程为y＝1.
4
x22
(2)过点M，F的直线l的方程为y＝－2(x5)，将其代入y＝1中，解得：x1＝
4
651452525
，x2l与L的交点为T1)，T2()， 515551515
因为T1在线段MF外，T2在线段MF上，故||MT1|－|FT1||＝|MF|＝2，||MT2|－|FT2||＜|MF|＝2，若点P不在MF上，则||MP|－|FP||＜|MF|＝2，
综上所述，||MP|－|FP||只在点T1处取得最大值．即||MP|－|FP||的最大值为2，此时点
6525
P的坐标为，－．
55
x2y2
12．在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a＞b＞0)为动点，F1、F2分别为椭圆ab
＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
→→
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM·BM＝－2，求点M的轨迹方程．
解析：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即a－c＋b＝2c，
cccc1
整理得2()2＋－1＝0，得＝－1(舍)或＝.
aaaa2
1
所以e＝.
2
(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．
2223x＋4y＝12c，
A，B两点的坐标满足方程组
yx－c.
消去y并整理，得5x2－8cx＝0，
8
解得x1＝0，x2＝c.得方程组的解
5
8x2＝c，
5x1＝0
，
3y3c
y2＝.
5
83
不妨设A(c，c)，B(0，－c)．
55
83→→
设点M的坐标为(x，y)，则AM＝(x－c，y－)，BM＝(x，y＋3c)．
55
3
由y3(x－c)，得c＝x－.
3
833833→
于是AM＝(－x，yx)，
15555
83833→→→
BM＝(x3x)．由AM·BM＝－2，即(－)·x＋－3x＝－2，
15555
化简得18x2－3xy－15＝0.
18x2－1510x2＋53将y＝代入c＝x－，得c＝0.所以x＞0.
316x163x因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x＞0)．