海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用

2005年12月

第6期(总第18期) 安阳工学院学报Journal of Anyang I nstitute of Techno l o gy Dec . 2005N o . 6(Gen . No . 18)

海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用

张丽丽 王军民 耿向平

(河南财经学院河南郑州450002)

摘 要:本文提出了利用海塞矩阵计算多元函数条件极值的一种新方法, 并结合几个例子分类讨论这种方法在实际问题中的应用, 同时针对一篇已经发表的文章, 我们指出了它的问题, 并运用本文所列方法, 给出了正确的解法。

关键词:海塞矩阵; 多元函数; 条件极值; 稳定点

中图分类号:O 175. 27 文献标识码:A 文章编号:1673-2928(2005) 06-0079-03

数学分析 是大多数高校的必开课程, 有着十分重要的基础作用, 多元函数的极值问题又是这门课程里面非常重要的部分, 而且在实践中应用非常广泛, 对它的研究就显得十分必要。本文首先介绍多元函数极值问题的一些理论, 然后分类讨论不同约束条件下的求解方法, 这些方法具有一定的普遍性, 同时针对一篇已经发表的文章, 我们指出了其中一个例子解法中的错误, 并采用本文的方法, 给出正确的解题方法。

[1]在 数学分析 教材中, 多元函数有如下定义:

000设n 元函数y =f (x) =f(x 1, x 2, , x n ) 定义于区域D 中, 且点P 0(x 1, x 2, , x n ) 是这区域内的一点。若在

点P 0的某邻域内, 恒有

f (x ) f (P0) )

则称函数f (x) 在点P 0处有极大值(或极小值) 。

000本文若无特殊说明, 均假定函数f (x ) 在点P 0(x 1, x 2, , x n ) 的某邻域内连续, 且二阶偏导数也连续。下

面我们给出稳定点和海塞矩阵的定义。

定义1 记n 元函数y =f (x) =f (x1, x 2, , x n f f f , (1) f (' x ) =2n 1 f f f , , 若点P 0使得f (' P 0) =∣p 0为零向量, 则称点P 0为函数f (x ) 的稳定点。 x 1 x 2 x n

定义2 称f (' x ) f (x) 的海塞esse) 矩阵, 若

222 y y y 2 x 21 x n x 11

2 x n f" (x) =2 x 1 (2) x 2

222 2n x 1n x 2 x 易见, 在本文的假设条件下, 海塞矩阵是一个对称矩阵。

下面的两个定理是我们在计算多元函数的极值问题时经常用到的。

定理1 设函数f (x ) 在点P 0具有偏导数, 且在点P 0处有极值, 则点P 0必为函数f (x) 的稳定点。定理2 设函数f (x ) 在点P 0的某邻域内连续, 且一阶及二阶偏导数也连续, 则

(1) 稳定点P 0是极小值点的充分条件是海塞矩阵f " (P0) 为正定矩阵;

(2) 稳定点P 0是极大值点的充分条件是海塞矩阵f " (P0) 为负定矩阵;

(3) 稳定点P 0不是极值点的充分条件是海塞矩阵f " (P0) 为不定矩阵。接下来, 我们根据约束条件的不同, 分两种情况来计算多元函数的极值。

1 无约束情况

*收稿日期:2005-12-20

作者简介:张丽丽(1978-), 女, 河南偃师人, 河南财经学院讲师, 主要从事数值计算方向的研究。222

!

例1 求f (x,y , z ) =x -2xy +2y +z -yz +x +3y -z 的极值。

解 直接计算得到它的稳定点为(-, ) 。633

1772经计算知道函数在稳定点(-, ) 处的海塞矩阵为633222

x

2222 -2 0 f f f =-2 4 - y 0 -1 2222 z x z y z 2

这是一个正定矩阵, 根据定理2, 稳定点(-, ) 是函数的极小值点, 相应的极小值为f (-, , 63363) =-312

2 约束条件为等式的条件极值

求多元函数的条件极值时, 通过构造拉格朗日函数可求得稳定点, 但如何判断稳定点是否为极值点, 在参考文献[1]中没有给出具体的方法, 往往是根据问题的实际情况直接推断稳定点即为极值点。本文通过目标函数和约束条件构成的复合函数求得海塞矩阵, 根据海塞矩阵的正负定性应用定理2来判断稳定点是否为极值点。这种方法适用于三元及三元以上函数的条件极值。

4例2 求u =x +y +z +t 在条件xyz t =a (x,y , z , t , a >0) 下的极值。

解 构造拉格朗日函数

4f(x, y, z , t) =x +y +z +t + (xyzt -a )

经计算知道它的稳定点为(a, a, a, a ), 且 =-a

4为了判断稳定点是否为极值点, 把条件xyz t =a 看作隐函数t =t(x,y, z), 且把目标函数u =x +y +z +t ∀222

(x , y , z ) =F (x, y, z) 看作u =x +y +z +t 与t =t(x, y, z ) 的复合函数。4将xyzt(x,y, z ) =a 两边同时对x 求导, 得

t t yz t +xyz =0, 即=-。x

t t t t 同理可求得=-, =-。y z 222故=1+=1-=-! =, =-! ==-! =x x x x x x xy x xz 同理可求得其余的二阶偏导数。从而在稳定点(a, a, a, a) 处, 海塞矩阵为

222121 x a a a 222121 = y a a a

222 F F F a a z

这是一个正定矩阵, 所以稳定点(a, a, a, a ) 是函数的极小值点, 相应的极小值为u (a, a, a, a) =4a 。

[2]23例3 求曲线y -x =0(x>0, y >0) 与直线x -y -=0之间距离最短的两点位置。27

在参考文献[2]中, 作者直接对拉格朗日函数应用定理2来判断稳定点是否是极值点, 我们发现这样做是错误的, 应该对目标函数和约束条件构成的复合函数应用定理2来判断稳定点是否为极值点。下面是我们提供的正确解法:

2319解 设曲线y -x =0上的点为(x , y ), 直线x -y -=0上的点为(u, v ), 则两点间的距离为d =27

(x -u ) +(y -v ) , 即求d =(x-u ) +(y -v) (d >0) 的最小值。

构造拉格朗日函数

f(x, y, u, v ) =(x -u) +(y -v ) + (y -x ) +! (x -y -

2223222) 27

) , 且 =-, ! =-927185416

2319为了判断稳定点是否为极值点, 把条件y -x =0和x -y -=27容易计算出它的稳定点为:(

222∀290分别看作隐函数y =y (x ) 和v =v (u), 22且把目标函数d =(x -u) +(y (x ) -v(u ) ) =F (x,u ) 看作d =(x -u ) +(y (x ) -v (u ) ) 与y =y (x ) 、v

=v (u) 的复合函数。23将y -x =0两边同时对x 求导, 得

222y -3x =0, 即==1。dx dx 2y

dy 2将2y -3x =0两边同时对x 求导, 得dx 2dy 6X -22222() +2y -6x =0, 即==。dx 2y 8dx dx 19将u -v -=0两边同时对u 求导, 得2721-=0, 即=1, 从而2=0。du du du dy F dy F =-2(x -u) -2(y -v) 故=2(x -u) +2(y -v) dx du 2222) +2(y -v) ==-2-2! =-4, =2+2(dx 8du dx x dx 2222) -2(y-v) 2=4, =-2-2! =-4。2=2+2(du dx du u du 48131从而在稳定点(, , ) 处, 海塞矩阵为927185422 2 x u x -=822 -4 4 u x u 这是一个正定矩阵, 根据定理2, 稳定点(, , ) 是函数的极小值点。又因为极小值点唯一, 故此9271854

极小值点就是所求的最小值点, 从而曲线上的点() 和直线上的点() 即为所求。9271854

多元函数的极值的计算, 由于约束条件的不同, 呈现的结果比较丰富, 本文只是研究了其中的一部分, 而对于约束条件为不等式或者为方程组的情形, 限于篇幅, 另文祥述。

参考文献:

[1]华东师范大学数学系. 数学分析(第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]杨文杰, 孙静. 多元函数的极值问题[J].辽宁工学院学报V 24(1), 2004, 27-30.

Applicati on ofH esseM atrices i n Cond iti on Extre m e Val ue

f orM u lti variate Functi on

Z HANG L i-li WANG Jun-m i n GENG X iang-pi ng

(H enan Institute of F i n ance and Econom ics , Zhengz hou 450002, Ch ina)

Abstrac t :In t h is article , a new m ethod o f so l v i ng condition extremu m f o r mu lti var i a te functi on based on H esse M atr i ces is presented , and so m e ex a m ples are g i ven to probe app licati on of t he m ethod t o practica l proble m s . M eanwh ile , against t he proble m i n a publi shed arti c l e , a correct so l u tion is s howed by emp l oy i ng the m ethods listed i n the arti c le .

K ey W ords :H esse m atrices ; m ulti v ariate f unc tion ; condition extreme va l ue ; stable po int

(责任编辑 郝安林) !

2005年12月

第6期(总第18期) 安阳工学院学报Journal of Anyang I nstitute of Techno l o gy Dec . 2005N o . 6(Gen . No . 18)

海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用

张丽丽 王军民 耿向平

(河南财经学院河南郑州450002)

摘 要:本文提出了利用海塞矩阵计算多元函数条件极值的一种新方法, 并结合几个例子分类讨论这种方法在实际问题中的应用, 同时针对一篇已经发表的文章, 我们指出了它的问题, 并运用本文所列方法, 给出了正确的解法。

关键词:海塞矩阵; 多元函数; 条件极值; 稳定点

中图分类号:O 175. 27 文献标识码:A 文章编号:1673-2928(2005) 06-0079-03

数学分析 是大多数高校的必开课程, 有着十分重要的基础作用, 多元函数的极值问题又是这门课程里面非常重要的部分, 而且在实践中应用非常广泛, 对它的研究就显得十分必要。本文首先介绍多元函数极值问题的一些理论, 然后分类讨论不同约束条件下的求解方法, 这些方法具有一定的普遍性, 同时针对一篇已经发表的文章, 我们指出了其中一个例子解法中的错误, 并采用本文的方法, 给出正确的解题方法。

[1]在 数学分析 教材中, 多元函数有如下定义:

000设n 元函数y =f (x) =f(x 1, x 2, , x n ) 定义于区域D 中, 且点P 0(x 1, x 2, , x n ) 是这区域内的一点。若在

点P 0的某邻域内, 恒有

f (x ) f (P0) )

则称函数f (x) 在点P 0处有极大值(或极小值) 。

000本文若无特殊说明, 均假定函数f (x ) 在点P 0(x 1, x 2, , x n ) 的某邻域内连续, 且二阶偏导数也连续。下

面我们给出稳定点和海塞矩阵的定义。

定义1 记n 元函数y =f (x) =f (x1, x 2, , x n f f f , (1) f (' x ) =2n 1 f f f , , 若点P 0使得f (' P 0) =∣p 0为零向量, 则称点P 0为函数f (x ) 的稳定点。 x 1 x 2 x n

定义2 称f (' x ) f (x) 的海塞esse) 矩阵, 若

222 y y y 2 x 21 x n x 11

2 x n f" (x) =2 x 1 (2) x 2

222 2n x 1n x 2 x 易见, 在本文的假设条件下, 海塞矩阵是一个对称矩阵。

下面的两个定理是我们在计算多元函数的极值问题时经常用到的。

定理1 设函数f (x ) 在点P 0具有偏导数, 且在点P 0处有极值, 则点P 0必为函数f (x) 的稳定点。定理2 设函数f (x ) 在点P 0的某邻域内连续, 且一阶及二阶偏导数也连续, 则

(1) 稳定点P 0是极小值点的充分条件是海塞矩阵f " (P0) 为正定矩阵;

(2) 稳定点P 0是极大值点的充分条件是海塞矩阵f " (P0) 为负定矩阵;

(3) 稳定点P 0不是极值点的充分条件是海塞矩阵f " (P0) 为不定矩阵。接下来, 我们根据约束条件的不同, 分两种情况来计算多元函数的极值。

1 无约束情况

*收稿日期:2005-12-20

作者简介:张丽丽(1978-), 女, 河南偃师人, 河南财经学院讲师, 主要从事数值计算方向的研究。222

!

例1 求f (x,y , z ) =x -2xy +2y +z -yz +x +3y -z 的极值。

解 直接计算得到它的稳定点为(-, ) 。633

1772经计算知道函数在稳定点(-, ) 处的海塞矩阵为633222

x

2222 -2 0 f f f =-2 4 - y 0 -1 2222 z x z y z 2

这是一个正定矩阵, 根据定理2, 稳定点(-, ) 是函数的极小值点, 相应的极小值为f (-, , 63363) =-312

2 约束条件为等式的条件极值

求多元函数的条件极值时, 通过构造拉格朗日函数可求得稳定点, 但如何判断稳定点是否为极值点, 在参考文献[1]中没有给出具体的方法, 往往是根据问题的实际情况直接推断稳定点即为极值点。本文通过目标函数和约束条件构成的复合函数求得海塞矩阵, 根据海塞矩阵的正负定性应用定理2来判断稳定点是否为极值点。这种方法适用于三元及三元以上函数的条件极值。

4例2 求u =x +y +z +t 在条件xyz t =a (x,y , z , t , a >0) 下的极值。

解 构造拉格朗日函数

4f(x, y, z , t) =x +y +z +t + (xyzt -a )

经计算知道它的稳定点为(a, a, a, a ), 且 =-a

4为了判断稳定点是否为极值点, 把条件xyz t =a 看作隐函数t =t(x,y, z), 且把目标函数u =x +y +z +t ∀222

(x , y , z ) =F (x, y, z) 看作u =x +y +z +t 与t =t(x, y, z ) 的复合函数。4将xyzt(x,y, z ) =a 两边同时对x 求导, 得

t t yz t +xyz =0, 即=-。x

t t t t 同理可求得=-, =-。y z 222故=1+=1-=-! =, =-! ==-! =x x x x x x xy x xz 同理可求得其余的二阶偏导数。从而在稳定点(a, a, a, a) 处, 海塞矩阵为

222121 x a a a 222121 = y a a a

222 F F F a a z

这是一个正定矩阵, 所以稳定点(a, a, a, a ) 是函数的极小值点, 相应的极小值为u (a, a, a, a) =4a 。

[2]23例3 求曲线y -x =0(x>0, y >0) 与直线x -y -=0之间距离最短的两点位置。27

在参考文献[2]中, 作者直接对拉格朗日函数应用定理2来判断稳定点是否是极值点, 我们发现这样做是错误的, 应该对目标函数和约束条件构成的复合函数应用定理2来判断稳定点是否为极值点。下面是我们提供的正确解法:

2319解 设曲线y -x =0上的点为(x , y ), 直线x -y -=0上的点为(u, v ), 则两点间的距离为d =27

(x -u ) +(y -v ) , 即求d =(x-u ) +(y -v) (d >0) 的最小值。

构造拉格朗日函数

f(x, y, u, v ) =(x -u) +(y -v ) + (y -x ) +! (x -y -

2223222) 27

) , 且 =-, ! =-927185416

2319为了判断稳定点是否为极值点, 把条件y -x =0和x -y -=27容易计算出它的稳定点为:(

222∀290分别看作隐函数y =y (x ) 和v =v (u), 22且把目标函数d =(x -u) +(y (x ) -v(u ) ) =F (x,u ) 看作d =(x -u ) +(y (x ) -v (u ) ) 与y =y (x ) 、v

=v (u) 的复合函数。23将y -x =0两边同时对x 求导, 得

222y -3x =0, 即==1。dx dx 2y

dy 2将2y -3x =0两边同时对x 求导, 得dx 2dy 6X -22222() +2y -6x =0, 即==。dx 2y 8dx dx 19将u -v -=0两边同时对u 求导, 得2721-=0, 即=1, 从而2=0。du du du dy F dy F =-2(x -u) -2(y -v) 故=2(x -u) +2(y -v) dx du 2222) +2(y -v) ==-2-2! =-4, =2+2(dx 8du dx x dx 2222) -2(y-v) 2=4, =-2-2! =-4。2=2+2(du dx du u du 48131从而在稳定点(, , ) 处, 海塞矩阵为927185422 2 x u x -=822 -4 4 u x u 这是一个正定矩阵, 根据定理2, 稳定点(, , ) 是函数的极小值点。又因为极小值点唯一, 故此9271854

极小值点就是所求的最小值点, 从而曲线上的点() 和直线上的点() 即为所求。9271854

多元函数的极值的计算, 由于约束条件的不同, 呈现的结果比较丰富, 本文只是研究了其中的一部分, 而对于约束条件为不等式或者为方程组的情形, 限于篇幅, 另文祥述。

参考文献:

[1]华东师范大学数学系. 数学分析(第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]杨文杰, 孙静. 多元函数的极值问题[J].辽宁工学院学报V 24(1), 2004, 27-30.

Applicati on ofH esseM atrices i n Cond iti on Extre m e Val ue

f orM u lti variate Functi on

Z HANG L i-li WANG Jun-m i n GENG X iang-pi ng

(H enan Institute of F i n ance and Econom ics , Zhengz hou 450002, Ch ina)

Abstrac t :In t h is article , a new m ethod o f so l v i ng condition extremu m f o r mu lti var i a te functi on based on H esse M atr i ces is presented , and so m e ex a m ples are g i ven to probe app licati on of t he m ethod t o practica l proble m s . M eanwh ile , against t he proble m i n a publi shed arti c l e , a correct so l u tion is s howed by emp l oy i ng the m ethods listed i n the arti c le .

K ey W ords :H esse m atrices ; m ulti v ariate f unc tion ; condition extreme va l ue ; stable po int

(责任编辑 郝安林) !


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