抛物线的焦点弦问题
作者:王野
来源:《课程教育研究·中》2014年第06期
【摘要】抛物线中有关焦点弦有一些常见、常用的结论,了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题,在做解答题时也可迅速打开思路,而且能够节省很多时间。例如:若AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点F的弦),且A(x1,y1),B(x2,y2),则: 结论一:x1x2=■,y1y2=-p2。
结论二:■+■=■。
结论三:若AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,且直线AB的倾斜角为α,则AB=■ 结论四:焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。
结论五:以抛物线焦点弦AB为直径的圆与准线相切。
结论六:过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足A1B1为直径端点的圆与焦点弦相切。
结论七:以AF,BF为直径的圆与y轴相切。
我在做13年高考题中,发现了一个新的结论:以焦点弦为直径的圆与准线相切,切点与焦点连线垂直于焦点弦。
【关键词】焦点弦抛物线问题高考
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2014)06-0148-01 全国大纲卷(11)
已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若■·■=0,则k=()
(A)■ (B)■ (C)■ (D)2
标准答案:【解析】设直线AB方程为y=k(x-2),代入y2=8x得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=■,x1x2=4(?鄢)
∵■·■=0∴(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0即
(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0
即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0①
∵y1=k(x1-2)y2=k(x2-2)∴y1+y2=k(x1+x2-4)②
y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]③
由(?鄢)及①②③得k=2,故选D
标准答案的计算量非常的大,主要考察学生的计算能力。
我觉得的用抛物线的性质可以非常快的解决这个问题。我的做法,利用抛物线的焦点弦的性质,以AB为直径的圆与准线相切,M点在准线上,满足MA⊥MB,M为与准线的切点。取AB中点E,则ME⊥y轴。所以y1+y2=4。
设直线方程为y=k(x-2),由y=k(x-2)y2=8x得■y2-y-2k=0,所以y1+y2=■。
所以k=2。
同时我发现MF⊥AB,这是一个必然事件,还是一个偶然事件?由此,我做了以下的证明。
例:已知抛物线y2=2px(p>0),直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A、B两点,AB中点在准线上的射影为M,求证:MF⊥AB。
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则M(-■,■)
当x1≠x2时,kAB=■=■=■,kMF=■=■
所以,kAB·kMF=-1,所以MF⊥AB。
当x1=x2时,y1+y2=0,AB⊥x轴,MF与x轴重合。所以, MF⊥AB。
所以,我们得到了,焦点弦的一个性质,
那就是:以焦点弦为直径的圆与准线相切,切点与焦点连线垂直于焦点弦。 参考文献:
[1]苏福增;例谈抛物线的最值问题[J];福建中学数学;2008年06期
[2]姚立宏;刘兴培;关于抛物线焦点弦的若干结论[J];高中数学教与学;2003年07期
[3]杨丽;抛物线焦点弦的性质及其应用[J];科技信息;2009年30期
[4]裴金楼;抛物线焦点弦的几条性质[J];数理天地(高中版);2007年10期
抛物线的焦点弦问题
作者:王野
来源:《课程教育研究·中》2014年第06期
【摘要】抛物线中有关焦点弦有一些常见、常用的结论,了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题,在做解答题时也可迅速打开思路,而且能够节省很多时间。例如:若AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点F的弦),且A(x1,y1),B(x2,y2),则: 结论一:x1x2=■,y1y2=-p2。
结论二:■+■=■。
结论三:若AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,且直线AB的倾斜角为α,则AB=■ 结论四:焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。
结论五:以抛物线焦点弦AB为直径的圆与准线相切。
结论六:过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足A1B1为直径端点的圆与焦点弦相切。
结论七:以AF,BF为直径的圆与y轴相切。
我在做13年高考题中,发现了一个新的结论:以焦点弦为直径的圆与准线相切,切点与焦点连线垂直于焦点弦。
【关键词】焦点弦抛物线问题高考
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2014)06-0148-01 全国大纲卷(11)
已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若■·■=0,则k=()
(A)■ (B)■ (C)■ (D)2
标准答案:【解析】设直线AB方程为y=k(x-2),代入y2=8x得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=■,x1x2=4(?鄢)
∵■·■=0∴(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0即
(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0
即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0①
∵y1=k(x1-2)y2=k(x2-2)∴y1+y2=k(x1+x2-4)②
y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]③
由(?鄢)及①②③得k=2,故选D
标准答案的计算量非常的大,主要考察学生的计算能力。
我觉得的用抛物线的性质可以非常快的解决这个问题。我的做法,利用抛物线的焦点弦的性质,以AB为直径的圆与准线相切,M点在准线上,满足MA⊥MB,M为与准线的切点。取AB中点E,则ME⊥y轴。所以y1+y2=4。
设直线方程为y=k(x-2),由y=k(x-2)y2=8x得■y2-y-2k=0,所以y1+y2=■。
所以k=2。
同时我发现MF⊥AB,这是一个必然事件,还是一个偶然事件?由此,我做了以下的证明。
例:已知抛物线y2=2px(p>0),直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A、B两点,AB中点在准线上的射影为M,求证:MF⊥AB。
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则M(-■,■)
当x1≠x2时,kAB=■=■=■,kMF=■=■
所以,kAB·kMF=-1,所以MF⊥AB。
当x1=x2时,y1+y2=0,AB⊥x轴,MF与x轴重合。所以, MF⊥AB。
所以,我们得到了,焦点弦的一个性质,
那就是:以焦点弦为直径的圆与准线相切,切点与焦点连线垂直于焦点弦。 参考文献:
[1]苏福增;例谈抛物线的最值问题[J];福建中学数学;2008年06期
[2]姚立宏;刘兴培;关于抛物线焦点弦的若干结论[J];高中数学教与学;2003年07期
[3]杨丽;抛物线焦点弦的性质及其应用[J];科技信息;2009年30期
[4]裴金楼;抛物线焦点弦的几条性质[J];数理天地(高中版);2007年10期