2013年河北省数学（理科）高考题答案
一、选择题
1—5 ADCAD 6—10 CDCBB 11. C 12. B
二、填空题
13. -20 14. A 15. π
16. 2
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n ≠0，a n a n +1=λS n -1，其中λ为常数. （Ⅰ）证明：a n +2-a n =λ；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由。
解：
（Ⅰ）由题设，a n a n +1=λS n -1，a n +1a n +2=λS n +1-1
两式相减得a n +1(a n +2-a n ) =λa n +1，而a n +1≠0， ∴ a n +2-a n =λ
（Ⅱ）a 1a 2=λS 1-1=λa 1-1，而a 1=1，解得a 2=λ-1 ，又 a 3=λ+a 1=λ+1 令2a 2=a 1+a 3，解得λ=4。此时a 1=1，a 2=3，a 3=5，a n +2-a n =4 ∴ {a n }是首项为1，公差为2的等差数列。 即存在λ=4，使得{a n }为等差数列。
18. (本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ) 求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2（同一组中的数据用该组区
间的中点值作代表）；
（Ⅱ） 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ, σ2) ，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.
（ⅰ）利用该正态分布，求P (187.8
（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位
于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求EX .
12.2.
若Z ～N (μ, σ2) ，则P (μ-σ
(Ⅰ) x =170⨯0.02+180⨯0.09+190⨯0.22+200⨯0.33+210⨯0.24+220⨯0.08+230⨯0.02
=200
s 2=(-30) 2⨯0.02+(-20) 2⨯0.09+(-10) 2⨯0.22+0⨯0.33+102⨯0.24+202⨯0.08+302⨯0.02
=150
（Ⅱ）（ⅰ）Z ~N
(200,150), σ==12.2
P (187.8
（ⅱ）X ~B (100,0.6826), ∴ EX =100⨯0.6826=68.26
19. (本小题满分12分)
如图三棱柱ABC -A 侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C . 1B 1C 1中，
(Ⅰ) 证明：AC =AB 1；
（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60o ，AB=BC，
求二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值
.
解：
(Ⅰ) 连接BC 1, 交B 1C 于点O, 连接AO 。
侧面BB 1C 1C 为菱形
∴ BC 1⊥B 1C ，O 为BC 1、B 1C 的中点
而AB ⊥B 1C ，
∴ B 1C ⊥平面ABO , 而AO ⊂平面ABO
∴ B 1C ⊥AO , 又O 为B 1C 的中点 ∴AC =AB 1
（Ⅱ）以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
AC ⊥AB 1 ∴ AO =OC =
OB 1
∠CBB 1=60o , ∴ ∆CBB 1为等边三角形，
A , B
(1,0,0), B 1,
A 1B 1=
AB =(1,0,, C (0,
, AB 1=
3, B 1C 1=BC =(-1, -
y =0⎧⎪n ⋅AB 1=0设n =(x , y , z ) 为平面AA 1B 1的法向量，则⎨
即⎨，
取
⎪⎪x -z =0⎩n ⋅A 1B 1=0
⎪
3⎩
n =(1
⎧-x y =0⎪⎧⎪n ⋅B 1C 1=0⎪设m =(x , y , z ) 为平面A 1B 1C 1的法向量，则⎨
即⎨，
取⎪⎪x -z =0⎩
n ⋅A 1B 1=0
⎪
⎩
m =(1,
cos =
20. (本小题满分12分) m ⋅n 11= ∴二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值为。
7|m ||n |7
x 2y 2已知点A （0，-2），椭圆E ：2+2=1(a >b >
0) 的离心率为，F 是椭圆E 的右焦a b 2
点，直线AF
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P , Q 两点，当∆OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 解：
O 为坐标原点. ⎧0-(-2) 2k AF ===⎪⎪c -0c ，解得a =
2，c = b =1， E 的方程为：（Ⅰ）⎨⎪c =⎪2⎩a
x 2
+y 2=1 4
21. (本小题满分12分
)
be x -1
设函数f (x 0=ae ln x +，曲线y =f (x ) 在点（1，f (1)处的切线为y =e (x -1) +2. x x
(Ⅰ) 求a , b ； （Ⅱ）证明：f (x ) >1.
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线
交于点E ，且CB=CE
.(Ⅰ) 证明：∠D=∠E ；学科网
（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC，
证明：△ADE 为等边三角形
.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
⎧x =2+t x 2y 2
+=1，直线l ：⎨已知曲线C ：（t 为参数）. 49⎩y =2-2t
(Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30o 的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.
解：(Ⅰ) C: ⎨⎧x =2cos θ l ：2x +y -6=0 y =3sin θ⎩
|4cos θ+3sin θ-6|， （Ⅱ）P 到直线l 的距离为
d =
|PA |
=d ，
=|4cos θ+3sin θ-6|，从而，|PA
|sin 30最小值为
5
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
若a >0, b >
0，且11+=. a b
33（Ⅰ） 求a +b 的最小值；
（Ⅱ）是否存在a , b ，使得2a +3b =6？并说明理由.
解：
=113333+≥，得ab ≥
2，a +b ≥≥a +
b 最小值为a b
（Ⅱ）2a +3b ≥≥>6，故不存在a , b ，使得2a +3b =6。
2013年河北省数学（理科）高考题答案
一、选择题
1—5 ADCAD 6—10 CDCBB 11. C 12. B
二、填空题
13. -20 14. A 15. π
16. 2
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n ≠0，a n a n +1=λS n -1，其中λ为常数. （Ⅰ）证明：a n +2-a n =λ；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由。
解：
（Ⅰ）由题设，a n a n +1=λS n -1，a n +1a n +2=λS n +1-1
两式相减得a n +1(a n +2-a n ) =λa n +1，而a n +1≠0， ∴ a n +2-a n =λ
（Ⅱ）a 1a 2=λS 1-1=λa 1-1，而a 1=1，解得a 2=λ-1 ，又 a 3=λ+a 1=λ+1 令2a 2=a 1+a 3，解得λ=4。此时a 1=1，a 2=3，a 3=5，a n +2-a n =4 ∴ {a n }是首项为1，公差为2的等差数列。 即存在λ=4，使得{a n }为等差数列。
18. (本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ) 求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2（同一组中的数据用该组区
间的中点值作代表）；
（Ⅱ） 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ, σ2) ，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.
（ⅰ）利用该正态分布，求P (187.8
（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位
于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求EX .
12.2.
若Z ～N (μ, σ2) ，则P (μ-σ
(Ⅰ) x =170⨯0.02+180⨯0.09+190⨯0.22+200⨯0.33+210⨯0.24+220⨯0.08+230⨯0.02
=200
s 2=(-30) 2⨯0.02+(-20) 2⨯0.09+(-10) 2⨯0.22+0⨯0.33+102⨯0.24+202⨯0.08+302⨯0.02
=150
（Ⅱ）（ⅰ）Z ~N
(200,150), σ==12.2
P (187.8
（ⅱ）X ~B (100,0.6826), ∴ EX =100⨯0.6826=68.26
19. (本小题满分12分)
如图三棱柱ABC -A 侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C . 1B 1C 1中，
(Ⅰ) 证明：AC =AB 1；
（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60o ，AB=BC，
求二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值
.
解：
(Ⅰ) 连接BC 1, 交B 1C 于点O, 连接AO 。
侧面BB 1C 1C 为菱形
∴ BC 1⊥B 1C ，O 为BC 1、B 1C 的中点
而AB ⊥B 1C ，
∴ B 1C ⊥平面ABO , 而AO ⊂平面ABO
∴ B 1C ⊥AO , 又O 为B 1C 的中点 ∴AC =AB 1
（Ⅱ）以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
AC ⊥AB 1 ∴ AO =OC =
OB 1
∠CBB 1=60o , ∴ ∆CBB 1为等边三角形，
A , B
(1,0,0), B 1,
A 1B 1=
AB =(1,0,, C (0,
, AB 1=
3, B 1C 1=BC =(-1, -
y =0⎧⎪n ⋅AB 1=0设n =(x , y , z ) 为平面AA 1B 1的法向量，则⎨
即⎨，
取
⎪⎪x -z =0⎩n ⋅A 1B 1=0
⎪
3⎩
n =(1
⎧-x y =0⎪⎧⎪n ⋅B 1C 1=0⎪设m =(x , y , z ) 为平面A 1B 1C 1的法向量，则⎨
即⎨，
取⎪⎪x -z =0⎩
n ⋅A 1B 1=0
⎪
⎩
m =(1,
cos =
20. (本小题满分12分) m ⋅n 11= ∴二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值为。
7|m ||n |7
x 2y 2已知点A （0，-2），椭圆E ：2+2=1(a >b >
0) 的离心率为，F 是椭圆E 的右焦a b 2
点，直线AF
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P , Q 两点，当∆OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 解：
O 为坐标原点. ⎧0-(-2) 2k AF ===⎪⎪c -0c ，解得a =
2，c = b =1， E 的方程为：（Ⅰ）⎨⎪c =⎪2⎩a
x 2
+y 2=1 4
21. (本小题满分12分
)
be x -1
设函数f (x 0=ae ln x +，曲线y =f (x ) 在点（1，f (1)处的切线为y =e (x -1) +2. x x
(Ⅰ) 求a , b ； （Ⅱ）证明：f (x ) >1.
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线
交于点E ，且CB=CE
.(Ⅰ) 证明：∠D=∠E ；学科网
（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC，
证明：△ADE 为等边三角形
.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
⎧x =2+t x 2y 2
+=1，直线l ：⎨已知曲线C ：（t 为参数）. 49⎩y =2-2t
(Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30o 的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.
解：(Ⅰ) C: ⎨⎧x =2cos θ l ：2x +y -6=0 y =3sin θ⎩
|4cos θ+3sin θ-6|， （Ⅱ）P 到直线l 的距离为
d =
|PA |
=d ，
=|4cos θ+3sin θ-6|，从而，|PA
|sin 30最小值为
5
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
若a >0, b >
0，且11+=. a b
33（Ⅰ） 求a +b 的最小值；
（Ⅱ）是否存在a , b ，使得2a +3b =6？并说明理由.
解：
=113333+≥，得ab ≥
2，a +b ≥≥a +
b 最小值为a b
（Ⅱ）2a +3b ≥≥>6，故不存在a , b ，使得2a +3b =6。