一、判定下列命题正确与否，简明理由（25分）（共25分, 每小题5分）
1． 非可数的无限集为c 势集
2． 开集的余集为闭集。
3． 若m *E=0，则E 为可数集
4． 若 |f(x)| 在E 上可测，则f(x) 在E 上可测
5． 若f(x) 在E 上有界可测，则f(x) 在E 上可积
二、将正确答案填在空格内（共16分, 每小题4分）
1． 可数集之并是可数集。
A.任意多个 B. c势个 C.无穷多个 D.至多可数个 2. 闭集之并是闭集。
A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个
3． 可数个开集之交是
A. 开集 B.闭集 C. Fσ型集 D. Gδ型集
4． 若 |f| 在E 上可积，则
A.f 在E 上可积 B. f 在E 上可测 C. f 在E 上有界 D. f在E 上几乎处处有限
三、述有界变差函数定义、Fatou 引理、叶果落夫定理（共9分, 每小题3分）
四、证明下列集合等式（共10分, 每小题5分）：
_
(1)lim
S-n →∞S n =n →∞(S-Sn )
∞
1
(2) E[f≥a]=n =1E[f>a-n ]
五、证明：至多可数个可测之并是可测集。举例说明无限个可测集之并不一定是可测集。（
六、（12分）证明：设f(x)在E 上可积，且f n (x)（n=1，2，3，……）在E 上可测， 12分）
f n (x)=⎧f (x ) x ∈E [|f |>n ]⎨⎩0 x ∈E [|f |≤n ]
n →+∞−→⎰E fd x 则⎰E f n d x −−
七、计算下列各题：（共18分, 每小题6分）
lim 1．n →∞⎰[0, 1]1+n 2x 2sin(nx)dx =? nx
⎧x
2．设f(x)=⎨⎩sin πx x
n
3．设f(x)=2n
x 为[0, 1]中有理数为[0,1]中无理数 求[0⎰f (x ) , 1]d x =? x ∈(11f (x ) 2n , n ] n=1,2,…, 求[0⎰, 1]d x =?
一、判定下列命题正确与否，简明理由（25分）（共25分, 每小题5分）
1． 非可数的无限集为c 势集
2． 开集的余集为闭集。
3． 若m *E=0，则E 为可数集
4． 若 |f(x)| 在E 上可测，则f(x) 在E 上可测
5． 若f(x) 在E 上有界可测，则f(x) 在E 上可积
二、将正确答案填在空格内（共16分, 每小题4分）
1． 可数集之并是可数集。
A.任意多个 B. c势个 C.无穷多个 D.至多可数个 2. 闭集之并是闭集。
A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个
3． 可数个开集之交是
A. 开集 B.闭集 C. Fσ型集 D. Gδ型集
4． 若 |f| 在E 上可积，则
A.f 在E 上可积 B. f 在E 上可测 C. f 在E 上有界 D. f在E 上几乎处处有限
三、述有界变差函数定义、Fatou 引理、叶果落夫定理（共9分, 每小题3分）
四、证明下列集合等式（共10分, 每小题5分）：
_
(1)lim
S-n →∞S n =n →∞(S-Sn )
∞
1
(2) E[f≥a]=n =1E[f>a-n ]
五、证明：至多可数个可测之并是可测集。举例说明无限个可测集之并不一定是可测集。（
六、（12分）证明：设f(x)在E 上可积，且f n (x)（n=1，2，3，……）在E 上可测， 12分）
f n (x)=⎧f (x ) x ∈E [|f |>n ]⎨⎩0 x ∈E [|f |≤n ]
n →+∞−→⎰E fd x 则⎰E f n d x −−
七、计算下列各题：（共18分, 每小题6分）
lim 1．n →∞⎰[0, 1]1+n 2x 2sin(nx)dx =? nx
⎧x
2．设f(x)=⎨⎩sin πx x
n
3．设f(x)=2n
x 为[0, 1]中有理数为[0,1]中无理数 求[0⎰f (x ) , 1]d x =? x ∈(11f (x ) 2n , n ] n=1,2,…, 求[0⎰, 1]d x =?