文科高中数学主干知识与基础知识归类

一. 集合与简易逻辑

集合表示－集合中的关系－集合运算，命题形式－四种命题关系－充分、必要条件

1. 注意区分集合中元素的形式. 如：{x |y =lg x }—函数的定义域；{y |y =lg x }—函数的值域。 2. 集合的性质：①任何一个集合A 是它本身的子集, 记为A ⊆A . ②空集是任何集合的子集, 记为∅⊆A . ③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A ⊆B , 在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况，如：A ={x |ax 2-2x -1=0}, 如果A R +=∅, 求a 的取值.(答：a ≤0)

（A B ） C =A （B C ）④C U (A B ) =C U A C U B , C U (A B ) =C U A C U B ；；

（A B ） C =A （B C ）.

⑤A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A C U B =∅⇔C U A B =R . ⑥A B 元素的个数：card (A B ) =cardA +cardB -card (A B ) .

⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集) 个数为2n -1；非空真子集个数为2n -2.

3. 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数f (x ) =4x 2-2(p -2) x -2p 2-p +1在区间[-1, 1]上至少存在一个实数c , 使

f (c ) >0, 求实数p 的取值范围.(答：(-3, )

4. 原命题: p ⇒q ；逆命题: q ⇒p ；否命题: ⌝p ⇒⌝q ；逆否命题: ⌝q ⇒⌝p ；互为逆否的两个命题是等价的. 如：“sin α≠sin β”是“α≠β”的条件.(答：充分非必要条件)

5. 若p ⇒q 且q ≠>p , 则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件).

6. 注意命题p ⇒q 的否定形式与它的否命题的区别: 命题p ⇒q 的否定形式是p ⇒⌝q ；否命题是⌝p ⇒⌝q . 命题“p 或q ”的否定是“⌝p 且⌝q ”；“p 且q ”的否定是“⌝p 或⌝q ”. 如：“若a 和b 都是偶数，则a +b 是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数, 则a +b 是奇数”

否定是“若a 和b 都是偶数, 则a +b 是奇数”. 7. 常见结论的否定形式

二. 函数

函数概念－函数图象－函数性态（定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、对称性、周期性）－特殊函数图象与性质－应用（内部应用、应用题）

1. ①映射f :A →B 是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不

同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集⊆B ).

②一一映射f :A →B ： ⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同, B 中元素都有原象.

2. 函数f : A →B 是特殊的映射. 特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点, 但与y 轴垂线的公共点可能没有, 也可能有任意个.

3. 函数的三要素：定义域, 值域, 对应法则. 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4. 求定义域:使函数解析式有意义(如:分母≠0; 偶次根式被开方数非负; 对数真数>0, 底数>0且≠1；零指数幂的底数≠0) ；实际问题有意义；若f (x ) 定义域为[a , b ], 复合函数f [g (x )]定义域由a ≤g (x ) ≤b 解出；若f [g (x )]定义域为[a , b ], 则f (x ) 定义域相当于x ∈[a , b ]时g (x ) 的值域.

5. 求值域常用方法: ①配方法(二次函数类) ；②逆求法(反函数法) ；③换元法(特别注意新元的范围). ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数, 运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义, 利用数形结合的方法来求值域；⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).

6. 求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型) ； ⑵代换(配凑) 法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于f (x ) 及另外一个函数的方程组。 7. 函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的, 确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若f (x ) 是偶函数, 那么f (x ) =f (-x ) =f (|x |)；定义域含零的奇函数必过原点(f (0)=0) ；

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f (x ) ±f (-x ) =0或

f (-x ) f (x )

=±1(f (x ) ≠0) ；

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如f (x ) =0定义域关于原点对称即可).

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题) 等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）如：函数y =log 1(-x 2+2x ) 的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))

8. 函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移----“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对f (x ) 而言). ⑵翻折变换：f (x ) →|f (x ) |；f (x ) →f (|x |).

⑶对称变换：①证明函数图像的对称性, 即证图像上任意点关于对称中心(轴) 的对称点仍在图像上.

②证明图像C 1与C 2的对称性, 即证C 1上任意点关于对称中心(轴) 的对称点仍在C 2上, 反之亦然. ③函数y =f (x ) 与y =f (-x ) 的图像关于直线x =0(y 轴) 对称；函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的

) =f (a -x ) 或图像关于直线y =0(x 轴) 对称；④若函数y =f (x ) 对x ∈R 时，f (a +x

f (x ) =f (2a -x ) 恒成立, 则y =f (x ) 图像关于直线x =a 对称；

⑤若y =f (x ) 对x ∈R 时, f (a +x ) =f (b -x ) 恒成立, 则y =f (x ) 图像关于直线x =⑥函数y =f (a +x ) , y =f (b -x ) 的图像关于直线x =⑦函数y =f (x ) , y =A -f (x ) 的图像关于直线y =

A 2b -a 2

a +b 2

对称；

对称(由a +x =b -x 确定) ；

f (x ) +A -f (x )

对称(由y =确定) ；

⑧函数y =f (x ) 与y =-f (-x ) 的图像关于原点成中心对称；函数

y =f (x ) , y =n -f (m -x ) 的图像关于点(, ) 对称；

m n

⑨函数y =f (x ) 与函数y =f (x ) 的图像关于直线y =x 对称；曲线C 1：f (x , y ) =0, 关于

y =x +a （或y =-x +a ）的对称曲线C 2的方程为f (y -a , x +a ) =0(或f (-y +a , -x +a ) =0；曲线C 1：f (x , y ) =0关于点(a , b ) 的对称曲线C 2方程为：f (2a -x ,2b -y ) =0. 9. 函数的周期性：⑴若y =f (x ) 对x ∈R 时f (x +a ) =f (x -a ) 恒成立, 则 f (x ) 的周期为2|a |； ⑵若y =f (x ) 是偶函数, 其图像又关于直线x =a 对称, 则f (x ) 的周期为2|a |； ⑶若y =f (x ) 奇函数, 其图像又关于直线x =a 对称, 则f (x ) 的周期为4|a |；

-1

⑷若y =f (x ) 关于点(a ,0) , (b ,0) 对称, 则f (x ) 的周期为2|a -b |；

⑸y =f (x ) 的图象关于直线x =a , x =b (a ≠b ) 对称, 则函数y =f (x ) 的周期为2|a -b |； ⑹y =f (x ) 对x ∈R 时, f (x +a ) =-f (x ) 或f (x +a ) =-10. 对数：⑴l o =a b g

a n

1f (x )

, 则y =f (x ) 的周期为2|a |；

b l n o (a >0a , ≠

M N

b 1>, n ∈0；R ⑵对数恒等式

a log a N =N (a >0, a ≠1, N >0) ；

⑶log a (M ⋅N ) =log a M +log a N ;log a

=log a M -log a N ;log a M n =n log a M ；

log b N log b a

log a log a M ；⑷对数换底公式log a N =

(a >0, a ≠1, b >0, b ≠1) ；

推论：log a b ⋅log b c ⋅log c a =1⇒log a 1a 2⋅log a 2a 3⋅ ⋅log a n -1a n =log a 1a n .

(以上M >0, N >0, a >0, a ≠1, b >0, b ≠1, c >0, c ≠1, a 1, a 2, a n >0且a 1, a 2, a n 均不等于1) 11. 方程k =f (x ) 有解⇔k ∈D (D 为f (x ) 的值域) ；a ≥f (x ) 恒成立⇔a ≥[f (x )]最大值,

a ≤f (x ) 恒成立⇔a ≤[f (x )]最小值.

12. 恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法) ； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题； 13. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

14. 二次函数解析式的三种形式： ①一般式：f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ；②顶点式：

f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ； ③零点式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) .

15. 一元二次方程实根分布:先画图再研究∆>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;

16. 复合函数：⑴复合函数定义域求法：若f (x ) 的定义域为[a , b ], 其复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x ) ≤b 解出；若f [g (x )]的定义域为[a , b ], 求f (x ) 的定义域，相当于x ∈[a , b ]时, 求g (x ) 的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.

17. 对于反函数, 应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数； ⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹y =f (x ) 与y =f -1(x ) 互为

反函数, 设f (x ) 的定义域为A , 值域为B , 则有f [f -1(x )]=x (x ∈B ) , f -1[f (x )]=x (x ∈A ) . 18. 依据单调性, 利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：

⎧f (a ) ≤0⎧f (a ) ≥0

f (u ) =g (x ) u +h (x ) ≥0(或≤0) (a ≤u ≤b ) ⇔⎨(或⎨) ；

f (b ) ≤0f (b ) ≥0⎩⎩19. 函数y =ax +b (c ≠0, ad ≠bc ) 的图像是双曲线：①两渐近线分别直线x =-d (由分母为零确

cx +d

定) 和

直线y =a (由分子、分母中x 的系数确定) ；②对称中心是点(-d , a ) ；③反函数为y =b -dx ；

c c

cx -a

20. 函数y =ax +(a >0, b >

0) ：增区间为(-∞, x

b +∞) ,

减区间为[-.

如：已知函数f (x ) =

ax +1x +2

在区间(-2, +∞) 上为增函数, 则实数a 的取值范围是_____(答：

(, +∞) ).

三. 数列

数列概念－数列通项、前n 项和－特殊数列的通项、前n 项和及性质－应用（内部应用、应用题）

⎧⎪S 1(n =1)

1. 由S n 求a n , a n =⎨ 注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中, 若不符合*

S -S (n ≥2, n ∈N ) ⎪n -1⎩n

要单独列出. 如：数列{a n }满足a 1=4, S n +S n +1=a n +1，求a n (答：a n =

{

4(n =1)

3⋅4n -1(n ≥2)

2. 等差数列{a n }⇔a n -a n -1=d (d 为常数) ⇔2a n =a n +1+a n -1(n ≥2, n ∈N *)

⇔a n =an +b (a =d , b =a 1-d ) ⇔S n =An 2+Bn (A =, B =a 1-) ；

3. 等差数列的性质： ①a n =a m +(n -m ) d , d =

2a m -a n m -n

d d

；

②m +n =l +k ⇒a m +a n =a l +a k (反之不一定成立) ；特别地, 当m +n =2p 时, 有

a m +a n =2a p ；

③若{a n }、{b n }是等差数列, 则{ka n +tb n }(k 、t 是非零常数) 是等差数列；

④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m , 仍是等差数列； ⑤等差数列{a n }, 当项数为2n 时, S 偶-S 奇=nd , S 奇=a n ；项数为2n -1时,

S 偶

a n +1

S 偶-S 奇=a 中=a n (n ∈N *), S 2n -1=(2n -1) a n , 且S 奇=n ；A n =f (n ) ⇒a n =f (2n -1) .

S 偶

n -1

B n

b n

⑥首项为正(或为负) 的递减(或递增) 的等差数列前n 项和的最大(或最小) 问题, 转化为解不等式

⎧a n ≥0⎧a n ≤0

(或⎨). 也可用S n =An 2+Bn 的二次函数关系来分析. ⎨

⎩a n +1≤0⎩a n +1≥0

⑦若a n =m , a m =n (m ≠n ) , 则a m +n =0；若S n =m , S m =n (m ≠n ) , 则S m +n =-(m +n ) ；若S m =S n (m ≠n ) , 则S m+n=0；S 3m =3(S2m －S m ) ；S m +n =S m +S n +mnd .

4. 等比数列{a n }⇔5. 等比数列的性质

①a n =

a m q n -m , q =n {a n }、{b n }是等比数列，则{ka n }、{a n b n }等也是等比数列；

a n +1a n

=q (q ≠0) ⇔a n =a n -1a n +1(n ≥2, n ∈N *)⇔a n =a 1q n -1.

⎧na 1(q =1) ⎧na 1(q =1)

⎪⎪③S n =⎨a (1-q n ) a -a q ；④m +n =l +k ⇒a m a n =a l a k (反之不一=⎨a 1n a 11n 1

⎪1-q =1-q (q ≠1) ⎪-1-q q +1-q (q ≠1)

⎩⎩

定成立) ；S m +n =S m +q m S n =S n +q n S m . ⑤等比数列中S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m , (注：各项均不为0) 仍是等比数列. ⑥等比数列{a n }当项数为2n 时,

S 偶S 奇

=q ；项数为2n -1时,

S 奇-a 1S 偶

=q .

6. ①如果数列{a n }是等差数列, 则数列{A a n }(A a n 总有意义) 是等比数列；如果数列{a n }是等比数列, 则数列{loga |a n |}(a >0, a ≠1) 是等差数列；

②若{a n }既是等差数列又是等比数列, 则{a n }是非零常数数列；

③如果两个等差数列有公共项, 那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项, 那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列, 由特殊到一般的方法探求其通项；

④三个数成等差的设法：a -d , a , a +d ；四个数成等差的设法：a -3d , a -d , a +d , a +3d ；

三个数成等比的设法：, a , aq ；四个数成等比的错误设法：

q a

a q

, , aq , aq (为什么？) a

7. 数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式. ⎧S 1,(n =1)

⑵已知S n (即a 1+a 2+ +a n =f (n ) ) 求a n 用作差法：a n =⎨.

S -S ,(n ≥2) n -1⎩n

⎧⎪f (1),(n =1)

⑶已知a 1⋅a 2⋅ ⋅a n =f (n ) 求a n 用作商法：a n =⎨f (n )

,(n ≥2) .

⎪⎩f (n -1)

⑷若a n +1-a n =f (n ) 求a n 用迭加法. ⑸已知

a n +1

a n

=f (n ) , 求a n 用迭乘法.

⑹已知数列递推式求a n , 用构造法(构造等差、等比数列) ：①形如a n =ka n -1+b , a n =ka n -1+b n , a n =ka n -1+a ⋅n +b (k , b 为常数) 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后, 再求a n . ②形如a n =

a n -1ka n -1+b

的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.

8. 数列求和的方法：①公式法：等差数列, 等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法. 公式：

2+ 3+n

n =n (；1+)

12+22+32+ +n 2=n (n +1)(2n +1) ；13+23+33+ +n 3=[

1n (n +1)

]2；1+3+5+ +n =n 2；常

12n (n +1)

见裂项公式

n (n +1)!

1n (n +1)

1n +1

；

1n (n +k )

=(-

k n

111n +k

) ；

n (n -1)(n +1)

1(n +1)(n +2)

]；

1n !

(n +1)!

。常见放缩公式：=

1=.

9. “分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题. 但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”. 对于“森林木材”既增长又砍伐的问题, 则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利) 本利和计算模型：若每期存入本金p 元, 每期利率为r , 则n 期后本利和为：S n =p (1+r ) +p (1+2r ) + p (1+nr ) =p (n +

n (n +1) 2

r ) (等差数列问

题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利) 模型：若贷款(向银行借款) p 元, 采用分期等额还款方式, 从借款日算起, 一期(如一年) 后为第一次还款日, 如此下去, 分n 期还清. 如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还款x 元应满足：

p (1+r ) n =x (1+r ) n -1+x (1+r ) n -2+ +x (1+r ) +x (等比数列问题).

四. 三角函数

1. α终边与θ终边相同⇔α=θ+2k π(k ∈Z ) ；α终边与θ终边共线⇔α=θ+k π(k ∈Z ) ；α终边与θ终边关于x 轴对称⇔α=-θ+k π(k ∈Z ) ；α终边与θ终边关于y 轴对称⇔α=π-θ+2k π(k ∈Z ) ；α终边与θ终边关于原点对称⇔α=π+θ+2k π(k ∈Z ) ；α终边与θ终边关于角β终边对称⇔α=2β-θ+2k π(k ∈Z ) .

2. 弧长公式：l =|θ|r ；扇形面积公式：S 扇形=1lr =1|θ|r 2；1弧度(1rad ) ≈57.3︒.

3. 三角函数符号(“正号”) 规律记忆口诀：“一全二正弦, 三切四余弦”.

注意： tan15︒=cot 75︒=

2tan75︒=cot15︒=2+ 4. 三角函数同角关系中(八块图) ：注意“正、余弦三兄妹 sin x ±cos x 、sin x ⋅cos x ”的关系. 2

如(sinx ±cos x ) =1±2sin x cos x 等.

-5. 对于诱导公式, 可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视) ．．．α．为锐角．．．．6. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角

与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.

sin α+cos αsin α-cos α

如：α=(α+β) -β；2α=(α+β) +(α-β) ；2α=(β+α) -(β-α) ；α+β=2⋅

α+β

；

βα

“1”的变换：1=sin 2x +cos 2x =tan x ⋅cot x =2sin30︒=tan 45︒；

=(α--(-β) 等；

7. 重要结论：a sin x +b cos x x +ϕ) 其中tan ϕ=

b a

）；重要公式sin 2α=1-cos 2α；

cos 2α=

1+cos 2α

；tan

sin α1+cos α

1-cos αsin α

|cos ±sin |.

θθ

万能公式：sin 2α=

2tan α1+tan α

；cos 2α=

1-tan α1+tan α

；tan 2α=

2tan α1-tan α

k π-ϕ

k π+-ϕ

8. 正弦型曲线y =A sin(ωx +ϕ) 的对称轴x =

k π-ϕ

(k ∈Z ) ；对称中心(

k π+

-ϕ

,0)(k ∈Z ) ；

余弦型曲线y =A cos(ωx +ϕ) 的对称轴x =

(k ∈Z ) ；对称中心(

a sin A

,0)(k ∈Z ) ；

c sin C

9. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于180︒, 一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：

余弦定理：a =b +c -2bc cos A ,cos A =

sin B

==2R ；

b +c -a

2bc

222

(b +c ) -a

2bc

-1；

2S ∆ABC a +b +c

正弦平方差公式：sin 2A -sin 2B =sin(A +B )sin(A -B ) ；三角形的内切圆半径r =面积公式：S ∆=ab sin C =

abc 4R

；

；射影定理：a =b cos C +c cos B .

∆ABC 10. 中, 易得：

sin A =sin(B +C ) , cos A =-cos(B +C ) , tan A =-tan(B +C ) .

②sin

A 2

A +B π+, =①

=cos

B +C 2

, cos

A 2

=sin

B +C 2

, tan

A 2

=cot

B +C 2

. ③a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B

④锐角∆ABC 中, A +B >

, sin A >cos B ,cos A c 2, 类比得钝角∆ABC 结论.

⑤tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C .

11. 角的范围：异面直线所成角(0,]；直线与平面所成角[0,]；二面角和两向量的夹角[0,π]；

直线的倾斜角[0,π) ；l 1到l 2的角[0,π) ；l 1与l 2的夹角(0,]. 注意术语:坡度、仰角、俯角、方位

角等.

五. 平面向量

向量概念－向量的表示－向量运算及其几何意义－应用：作为工具，解决几何问题、三角问题等，关键是“线段向量化”

设,

(2)a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.

a =(x 1, y 1)

b =(x 2, y 2)

. (1)

a //b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0

；

2. 平面向量基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对该平面内的任一向量a , 有且只有一对实数λ1、λ2, 使a =λ1e 1+λ2e 2.

3. 设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) , 则a ⋅b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2；其几何意义是a ⋅b 等于a 的长

a ⋅b 度与b 在a 的方向上的投影的乘积；a 在b 的方向上的投影|a |cos θ== AB

4. 三点A 、B 、C 共线⇔AB 与AC 共线；与AB 共线的单位向量±.

|AB |

a ⋅b

5. 平面向量数量积性质：设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,

则cos θ=；注

|a ||b |

意:〈a , b 〉为锐角⇔a ⋅b >0, a , b 不同向；〈a , b 〉为直角⇔a ⋅b =0；〈a , b 〉为钝角⇔a ⋅b

|b |

反向.

6. a ⋅b 同向或有0⇔|a +b |=|a |+|b |≥|a |-|b |=|a -b |；a ⋅b 反向或有0

⇔|a -b |=|a |+|b |≥|a |-|b |=|a +b |；a ⋅b 不共线⇔|a |-|b |

7. 平面向量数量积的坐标表示：⑴若a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) , 则a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2；

2 |AB |= ⑵若a =(x , y ) , 则a =a ⋅a =x 2+y 2.

, P ) P (x , y ) P 2(x 2, y 2) ； 1(x 1, y 1

x 1+λx 2x 1+x 2⎧⎧x =x =⎪⎪⎪⎪1+λ2

(λ≠-1) (λ=1) . ⎨⎨则, 中点坐标公式：

⎪y =y 1+λy 2⎪y =y 1+y 2

⎪⎪1+λ2⎩⎩

③P 1, P , P 2三点共线⇔存在实数λ、μ使得OP =λOP 1+μOP 2且λ+μ=1.

|AB |

|AC |

|AB |

|AC |

λ>0；当点P 在线段P 8. 熟记平移公式和定比分点公式. ①当点P 在线段P 1P 2上时, 1P 2(或

AB AC AB AC 9. 三角形中向量性质：①AB +AC 过BC 边的中点：(+) ⊥(-) ；

②PG =(PA +PB +PC ) ⇔GA +GB +GC =0⇔G 为∆ABC 的重心；

③PA ⋅PB =PB ⋅PC =PA ⋅PC ⇔P 为∆ABC 的垂心；

AB AC

④|BC |PA +|CA |PB +|AB |PC =0⇔P 为∆ABC 的内心；λ(+)(λ≠0) 所在直线过

|AB |

|AC |

∆ABC 内心. ⑤设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ,

S ∆AOB =x A y B -

x B y A . S ∆ABC =|AB ||AC |sin A

22 ⑥O 为∆ABC 内一点, 则S ∆BOC OA +S ∆AOC OB +S ∆AOB OC =0.

⎧x '=x +h 按a =(h , k ) 平移

PP '=a 10. , 有(P (x , y ) −−−−−→P '(x ', y ') ⎨

'y =y +k ⎩

) ；

按a =(h , k ) 平移

y =f (x ) −−−−−→y -k =f (x -h ) .

六. 不等式

不等式的基本性质－几个重要不等式－不等式的证明－几类不等式的解法－应用（内部应用、应用题）

1. 掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：

①若ab >0, b >a , 则

>. 即不等式两边同号时, 不等式两边取倒数, 不等号方向要改变.

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式, 要注意它的正负号, 如果正负号未定, 要注意分类讨论.

2. 掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式) 的解法, 尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法, 零点分区间法.

3. 掌握重要不等式,(1)均值不等式：若a , b >0,

则

a +b ≥2

21+1a b

(当且仅当

a =b 时取等号) 使用条件：“一正二定三相等 ”(2)a , b , c ∈R ，

a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (当且仅当a =b =c 时, 取等号) ；(3)公式注意变形如：

a +b 2

≥(

a +b 2

) 2, ab ≤(

a +b 2

) 2；(4)若a >b >0, m >0, 则

b b +m a +m

(真分数的性质) ；

4. 含绝对值不等式：a , b 同号或有0⇔|a +b |=|a |+|b |≥|a |-|b |=|a -b |；a , b 异号或有0

⇔|a -b |=|a |+|b |≥a |-|b |=|a +b |.

5. 证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：A -B ≤0⇔A ≤B . 注意：若两个正数作差比较有困难, 可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因. 基本步骤：要证„需证„, 只需证„； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小

以达证题目的.

放缩法的方法有：①添加或舍去一些项, |

a |>n . ②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本

不等式, 如：

)

n +(n +1)

. ④利用常用

结论：1

0 =

1k -1

1；20

1k +1

1(k +1) k

1(k -1) k

(程度大) ；30

1k -1

2k -1

k +1

(程度小) ；

⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量, 以使问题化难为易, 化繁为简, 常用的换元有三角

s , y =a s θi n 换元、代数换元. 如：知x 2+y 2=a 2, 可设x =a c o θ；知x 2+y 2≤1, 可设x =r c o θs , y =r sin θ(0≤r ≤1) ；知

x a

y b

2=1, 可设x =a cos θ, y =b sin θ；已知

x a

y b

2=1, 可设

x =a sec θ, y =b tan θ.

⑺最值法, 如：a >f (x ) 最大值, 则a >f (x ) 恒成立. a

七. 直线和圆的方程

直线、圆的方程－直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系－曲线与方程－应用

1. 直线的倾斜角α的范围是[0,π）； 2. 直线的倾斜角与斜率的变化关系k =tan α(α≠(如右图) ：

3. 直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点(x 0, y 0) 斜率为k ，则直线

方程为y -y 0=k (x -x 0) , 它不包括垂直于x 轴的直线. ⑵斜截式：已知直线在y 轴上的截距为

b 和斜率k ，则直线方程为y =kx +b , 它不包括垂直于x 轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过

P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) 两点, 则直线方程为

y -y 1y 2-y 1

x -x 1x 2-x 1

, 它不包括垂直于坐标轴的直线.

y b

⑷截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a , b , 则直线方程为+

=1, 它不包括垂直于坐

标轴的直线和过原点的直线. ⑸一般式：任何直线均可写成Ax +By +C =0(A , B 不同时为0) 的形式.

提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线, 还有截距式呢？) ⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0. 直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔ 直线的斜率为±1或直线过原点. ⑶截距不是距离, 截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.

4. 直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的位置关系：

⑴平行⇔A 1B 2-A 2B 1=0(斜率) 且B 1C 2-B 2C 1≠0(在y 轴上截距) ； ⑵相交⇔A 1B 2-A 2B 1≠0；(3)重合⇔A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0.

5. 直线系方程：①过两直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0, l 2：A 2x +B 2y +C 2=0. 交点的直线系方程可设为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0；②与直线l :Ax +By +C =0平行的直线系方程可设为 Ax +By +m =0(m ≠c ) ；③与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线系方程可设为Bx -Ay +n =0.

6. 到角和夹角公式：⑴l 1到l 2的角是指直线l 1绕着交点按逆时针方向转到和直线l 2重合所转的角

θ, θ∈(0,π) 且tan θ=

k 2-k 11+k 1k 2

(k 1k 2≠-1) ；

k 2-k 11+k 1k 2

⑵l 1与l 2的夹角是指不大于直角的角θ, θ∈(0,]且tan θ=|

|(k 1k 2≠-1) .

7. 点P (x 0, y 0) 到直线Ax +By +C =

0的距离公式d =

两条平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=

0的距离是d x +x 2+x 3y 1+y 2+y 3

8. 设三角形∆ABC 三顶点A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , C (x 3, y 3) , 则重心G (1, ) ；

9. 有关对称的一些结论

⑴点(a , b ) 关于x 轴、y 轴、原点、直线y =x 的对称点分别是(a , -b ) , (-a , b ) , (-a , -b ) , (b , a ) . ⑵曲线f (x , y ) =0关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点(a , b ) ：f (2a -x ,2b -y ) =0； ②x 轴：f (x , -y ) =0；③y 轴：f (-x , y ) =0；④原点：f (-x , -y ) =0；⑤直线y =x ： f (y , x ) =0；⑥直线y =-x ：f (-y , -x ) =0；⑦直线x =a ：f (2a -x , y ) =0.

10. ⑴圆的标准方程：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. ⑵圆的一般方程：

x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) . 特别提醒：只有当D 2+E 2-4F >0时, 方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0才表示圆心为(-, -) ,

D E (二元二次方程

Ax +Bxy +Cy +Dx +Ey +F =0表示圆⇔A =C ≠0, 且B =0, D 2+E 2-4AF >0).

⎧x =a +r cos θ

⑶圆的参数方程：⎨(θ为参数), 其中圆心为(a , b ) , 半径为r . 圆的参数方程主要应

⎩y =b +r sin θ

用是三角换元：；

x 2+=y 2→=c r 2θo =x s θr ,

s y i r

x 2+y 2=t 2→x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤.

⑷以A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 为直径的圆的方程(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0；

11. 点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离). 点P (x 0, y 0) 及圆的方程

(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. ①(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r 2⇔点P 在圆外；

②(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2

x 0x +y 0y =r 2；

过圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2上一点P (x 0, y 0) 切线方程为(x 0-a )(x -a ) +(y 0-b )(y -b ) =r 2. 13. 过圆外一点作圆的切线, 一定有两条, 如果只求出了一条, 那么另外一条就是与x 轴垂直的直线.

14. 直线与圆的位置关系, 通常转化为圆心距与半径的关系, 或者利用垂径定理, 构造直角三角形解决弦长问题. ①d >r ⇔相离 ②d =r ⇔相切 ③d

15. 圆与圆的位置关系, 经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系. 设两圆的圆心距为d , 两圆的半径分别为r , R ：d >R +r ⇔两圆相离；d =R +r ⇔两圆相外切； |R -r |

16. 过圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0, C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆(相交弦) 系方程为(x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1) +λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2) =0. λ=-1时为两圆相交弦所在直线方程.

17. 解决直线与圆的关系问题时, 要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形, 切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).

18. 求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域, 写出目标函数(判断几何意义) ；(3)确定目标函数的最优位置, 从而获得最优解.

八. 圆锥曲线方程

x 2y 2

1. 椭圆焦半径公式：设P (x 0, y 0) 为椭圆2+2=1(a >b >0) 上任一点, 焦点为

a b

F 1(-c , 0, ) F 2(c ,0) , 则PF 1=a +ex 0, PF 2=a -ex 0(“左加右减”) ；

x 2y 2

2. 双曲线焦半径：设P (x 0, y 0) 为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上任一点, 焦点为

a b

F 1(-c , 0, ) F 2(c ,0) ,

则：⑴当P 点在右支上时, |PF 1|=a +ex 0,|PF 2|=-a +ex 0；⑵当P 点在左支上x 2y 2

时, |PF 1|=-a -ex 0, |PF 2|=a -ex 0；(e 为离心率). 另：双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的渐近线方

a b

x 2y 2

程为2-2=0.

a b

3. 抛物线焦半径公式：设P (x 0, y 0) 为抛物线y 2=2px (p >0) 上任意一点, F 为焦点, 则

|PF |=x 0+

p 2

；y 2=-2px (p >0) 上任意一点, F 为焦点，则|PF |=-x 0+

p 2

x 2y 2

4. 共渐近线y =±x 的双曲线标准方程为2-2=λ(λ为参数, λ≠0).

a b a

5. 两个常见的曲线系方程： ⑴过曲线f 1(x , y ) =0, f 2(x , y ) =0的交点的曲线系方程是 x 2y 2

+=1, 其中 f 1(x , y ) +λf 2(x , y ) =0(λ为参数). ⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程2

a -k b 2-k

6. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB =

或AB x 1-

x 2| =]=⎧y =kxc +b A (x , y ), B (x , y ) (弦端点, 由方程消y -y |⎨112212

F (x , y ) =0⎩

2b a

去y 得到ax +bx +c =0, ∆>0, k 为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；

7. 椭圆、双曲线的通径(最短弦) 为, 焦准距为p =

, 抛物线的通径为2p , 焦准距为p ；

x 2y 2

双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦点到渐近线的距离为b ；

a b

8. 中心在原点, 坐标轴为对称轴的椭圆, 双曲线方程可设为Ax 2+By 2=1(对于椭圆A >0, B >0) ；

9. 抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点弦（过焦点的弦）为AB , A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) , 则有如下结论：

⑴|AB |=x 1+x 2+p ；⑵x 1x 2=

, y 1y 2=-p 2； ⑶+=

|AF |

|BF |

112p

x 2y 2

10. 椭圆2+2=1(a >b >0) 左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2) , 右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2) .

a b

2y 02

11. 对于y =2px (p ≠0) 抛物线上的点的坐标可设为(, y 0) , 以简化计算.

2p x 2y 2

12. 圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在椭圆2+2=1

a b

b 2x 0x 2y 2

中, 以P (x 0, y 0) 为中点的弦所在直线斜率k =-2；在双曲线2-2=1中, 以P (x 0, y 0) 为中点的

a b a y 0

b 2x 0

弦所在直线斜率k =2；在抛物线y 2=2px (p >0) 中, 以P (x 0, y 0) 为中点的弦所在直线的斜率

a y 0

k =

p y 0

13. 求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F (x , y ) =0, 是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数, 代回所列的方程即可. ⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义, 则可由曲线的定义直接写出方程. ⑸交轨法(参数法) ：当动点P (x , y ) 坐标之间的关系不易直接找到, 也没有相关动点可用时, 可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数) 表示, 得参数方程, 再消去参数得普通方程.

14. 解析几何与向量综合的有关结论：

⑴给出直线的方向向量u =(1,k ) 或u =(m , n ) . 等于已知直线的斜率k 或；

⑵给出OA +OB 与AB 相交, 等于已知OA +OB 过AB 的中点；

⑶给出+=0, 等于已知P 是MN 的中点;

⑷给出AP +AQ =λ(BP +BQ ) , 等于已知P , Q 与AB 的中点三点共线;

⑸给出以下情形之一： ①AB //AC ； ②存在实数λ, 使AB =λAC ； ③若存在实数α, β,

且α+β=1；使OC =αOA +βOB , 等于已知A , B , C 三点共线.

OA +λOB

⑹给出OP =, 等于已知P 是的定比分点, λ为定比, 即=λ

1+λ

⑺给出⋅=0, 等于已知MA ⊥MB , 即∠AMB 是直角, 给出⋅=m 0, 等于已知∠AMB 是锐角或同向共线.

MA MB

) =MP , 等于已知MP 是∠AMB 的平分线. ⑻给出λ(+|MA |

|MB |

⑼在平行四边形ABCD 中, 给出(+) ⋅(-) =0, 等于已知ABCD 是菱形. ⑽在平行四边形ABCD 中, 给出|AB +AD |=|AB -AD |, 等于已知ABCD 是矩形.

⑾在∆ABC 中, 给出==，等于已知O 是∆ABC 的外心(三角形的外心是外接

圆的圆心, 是三角形三边垂直平分线的交点).

⑿在∆ABC 中, 给出++=，等于已知O 是∆ABC 的重心(三角形的重心是三角

形三条中线的交点).

⒀在∆ABC 中, 给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是∆ABC 的垂心(三角

形的垂心是三角形三条高的交点).

AB AC +

⒁在∆ABC 中, 给出=+λ(+) (λ∈R ) 等于已知AP 通过∆ABC 的内心.

|AB |

|AC |

⒂在∆ABC 中, 给出a ⋅+b ⋅+c ⋅=等于已知O 是∆ABC 的内心(三角形内切圆的圆心, 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).

⒃在∆ABC 中, 给出AD =(AB +AC ) , 等于已知AD 是∆ABC 中BC 边的中线.

九. 直线、平面、简单几何体

平面基本性质－空间的平行关系－空间的垂直关系－求空间的几何量（角、距、面积、体积）－解立几问题方法：几何法、向量法

1. 从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC . 若∠AOB =∠AOC , 则点A 在平面BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；

2. 立平斜三角余弦公式：(图略) AB 和平面所成的角是θ1, AC 在平面内, AC 和AB 的射影AB 1

成θ2, 设∠BAC =θ3, 则cos θ1cos θ2=cos θ3；

3. 异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点, 作另一条的平行线. ⑵补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体, 如正方体、平行六面体、长方体等, 其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

4. 直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段, 是产生线面角的关键. 5. 二面角的求法：⑴定义法；⑵三垂线法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面积射影公式S 射=S 斜cos θ 其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

6. 空间距离的求法：⑴两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线, 所以一般先利用垂直作出公垂，然后再进行计算. ⑵求点到直线的距离, 一般用三垂线定理作出垂线再求解.

⑶求点到平面的距离, 一是用垂面法, 借助面面垂直的性质来作. 因此, 确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线, 转化为求三棱锥的高, 利用等体积法列方程求解.

7. 用向量方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方

|a ⋅b |

向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos . ⑵求线面角：设l 是斜线l 的方向向量, n 是平面

|l ⋅n |

α的法向量, 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin . ⑶求二面角(法一) 在α内a ⊥l , 在β内

a ⋅b

b ⊥l , 其方向如图(略), 则二面角α-l -β的平面角α=arccos .(法二) 设n 1, n 2是二面角

|a |⋅|b |

|l |⋅|n |

|a |⋅|b |

α-l -β的两个半平面的法向量, 其方向一个指向内侧, 另一个指向外侧, 则二面角α-l -β的平面

角α=arccos n 1⋅n 2

|AB ⋅n |

(即AB 在n 方向上投影的绝对值). d =|AB ||cos θ|=

|n |

8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等, 记为θ, 则S 侧cos θ=S 底.

9. 正四面体(设棱长为a ) 的性质：

①全面积S

2；②体积V =

|n 1|⋅|n 2|

. （4) 求点面距离：设n 是平面α的法向量, 在α内取一点B , 则A 到α的距离

3；③对棱间的距离d =

；④相邻面所成二面角

α=arccos ；

⑤外接球半径R =

a ；⑥内切球半径r =

；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值

h =

10. 直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体). 在直角四面体O -ABC

中, OA , OB , OC 两两垂直, 令OA =a , OB =b , OC =c , 则⑴底面三角形ABC 为锐角三角形；

⑵直角顶点O 在底面的射影H 为三角形ABC 的垂心；⑶S ∆S ∆ABC ； BOC =S ∆BHC 2222⑷S ∆+S +S =S AOB ∆BOC ∆COA ∆ABC ；⑸

1OH

；⑹外接球半径R 11. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；

13. 球的体积公式V =πR 3, 表面积公式S =4πR 2；掌握球面上两点A 、B 间的距离求法：

⑴计算线段AB 的长；⑵计算球心角∠AOB 的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧AB 的长.

十. 排列组合和概率、统计

计数原理－排列组合－二项式定理－概率与计算－统计－应用（应用题）

=n (n -1) (n -m +1) =1. 排列数公式:A n

n ! m !(n -m )!

(m ≤n , m , n ∈N *), 当m =n 时为全排列

n A n =n ! .

A n n ⋅(n -1) ⋅⋅⋅(n -m -1) 0n

2. 组合数公式：C ==(m ≤n ) , C n =C n =1.

m ! m ⋅(m -1) ⋅(m -2) ⋅⋅⋅3⋅2⋅1

m n

m n -m r r -1r

3. 组合数性质：C n ；C n =C n +C n =C n +1.

4. 排列组合主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；②捆绑法(相邻问题) ； ③插空法（不相邻问题）；④间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）⑤多排问题单排法; ⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至少有一个）；⑦先选后排, 先分再排(注意等分分组问题) ；⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类). ⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组, 平均分成n 组问题别忘除以n ! .

n n +1n r r r r +1

5. 常用性质：n ⋅n ! =(n +1)! -n ! ；即nA n =A n +1-A n ；C r +C r +1+⋅⋅⋅+C n =C n +1(1≤r ≤n ) ；

r n -r r 6. 二项式定理： ⑴掌握二项展开式的通项：T r +1=C n a b (r =0,1,2,..., n ) ； ⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别.

7. 二项式系数具有下列性质：⑴与首末两端等距离的二项式系数相等；⑵若n 为偶数, 中间一项

(第+1项) 的二项式系数最大；若n 为奇数, 中间两项(第

n n -12

+1和

n +12

+1项) 的二项式系数最

012n 0213大. ⑶C n +C n +C n +⋅⋅⋅+C n =2n ；C n +C n +⋅⋅⋅=C n +C n +⋅⋅⋅=2n -1.

8. 二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和如f (x ) =(ax +b ) n 展开式的各项系数和为f (1), 奇数项系数和为

[f (1)-f (-1)], 偶数项的系数和为[f (1)+f (-1)].

9. 等可能事件的概率公式：⑴P (A ) =

n m

； ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：P (A +B ) =

P (A ) +P (B ) ；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为P (AB ) =P (A ) P (B ) ；⑷独立重复试验概率公

k k

式P n (k ) =C n p (1-p ) n -k ；⑸如果事件A 与B 互斥，那么事件A 与B 、与B 及事件与也都是互斥事件；⑹如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1-P (AB ) =1-P (A ) P (B ) ；（6）如果事件A 与B 相互独立，那么事件A 与B 至少有一个发生的概率

是1-P (A ⋅B ) =1-P (A ) P (B ) .

10. 掌握抽样的两种方法：⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法) ；⑵分层抽样(按比例抽样), 常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形. 它们的共同点：都是等概率抽样. 对于简单随机抽样的概念中, “每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”. 如从含有N 个个体的总体中, 采用随机抽样法, 抽取n 个个体, 则每个个体第一次被抽到的概率为每个个体被抽到的概率为

n N

, 第二次被抽到的概率为

, „, 故

, 即每个个体入样的概率为

n N

5. 总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法, 一般地, 样本容量越大, 这种估计就越精确, 要求能画出频率分布表和频率分布直方图；⑴学会用样本平均数

=(x 1+x 2+⋅⋅⋅+x n )

n 1

去估计总体平均数；⑵会用样本方差

S 2=[(x 1-) 2+(x 2-) 2+⋅⋅⋅+(x n -) 2]去估计总体方差。

十一. 导数

导数的意义－导数公式－导数应用（极值最值问题、曲线切线问题） 1. 导数的定义：f (x ) 在点x 0处的导数记作y '

x =x 0

=f '(x 0) =lim

f (x 0+∆x ) -f (x 0)

∆x

∆x →0

2. 函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义是指：曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x 0)) 处切线的斜率, 即曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率是f '(x 0) , 切线方程为y -f (x 0) =f '(x 0)(x -x 0) .

3. 常见函数的导数公式:C '=0(C 为常数) ；(x n ) '=nx n -1(n ∈Q ) .

4. 导数的四则运算法则：(u ±v ) '=u '±v ' 5. 导数的应用：

(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y =f (x ) 在某个区间内可导, 如果f '(x ) >0, 那么f (x ) 为增函数；如果f '(x )

(2)求可导函数极值的步骤：①求导数f '(x ) ；②求方程f '(x ) =0的根；③检验f '(x ) 在方程

f '(x ) =0根的左右的符号，如果左正右负, 那么函数y =f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负

右正, 那么函数y =f (x ) 在这个根处取得极小值；

(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y =f (x ) 在(a , b ) 内的极值；②将y =f (x ) 在各极值点的极值与f (a ) 、f (b ) 比较, 其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值.

十二. 注意答题技巧训练

1. 技术矫正：考试中时间分配及处理技巧非常重要, 有几点需要必须提醒同学们注意： ⑴按序答题, 先易后难. 一定要选择熟题先做、有把握的题目先做.

⑵不能纠缠在某一题、某一细节上, 该跳过去就先跳过去, 千万不能感觉自己被卡住, 这样会心慌，影响下面做题的情绪.

⑶避免“回头想”现象, 一定要争取一步到位, 不要先做一下, 等回过头来再想再检查, 高考时间较紧张, 也许待会儿根本顾不上再来思考.

⑷做某一选择题时如果没有十足的把握, 初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记, 有时间再推敲, 不要空答案, 否则要是时间来不及填写答案只能增加错误的概率.

2. 规范化提醒：这是取得高分的基本保证. 规范化包括：解题过程有必要的文字说明或叙述, 注意解完后再看一下题目, 看你的解答是否符合题意, 谨防因解题不全或失误, 答题或书写不规范而失分. 总之, 要吃透题“情”, 合理分配时间, 做到一准、二快、三规范. 特别是要注意解题结果的规范化.

⑴解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集) ；不等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间) 表示. 三角方程的通解中必须加k ∈Z . 在写区间或集合时, 要正确地书写圆括号、方括号或大括号, 区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开.

⑵带单位的计算题或应用题, 最后结果必须带单位, 解题结束后一定要写上符合题意的“答”. ⑶分类讨论题, 一般要写综合性结论.

⑷任何结果要最简.

如=

等.

⑸排列组合题, 无特别声明, 要求出数值.

⑹函数问题一般要注明定义域(特别是反函数).

⑺参数方程化普通方程, 要考虑消参数过程中最后的限制范围.

⑻轨迹问题：①轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示, 轨迹则需要说明图形形状. ②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中x 或y 的范围.

⑼分数线要划横线, 不用斜线.

3. 考前寄语：①先易后难, 先熟后生；②一慢一快：审题要慢, 做题要快；③不能小题难做, 小题大做, 而要小题小做, 小题巧做；④我易人易我不大意, 我难人难我不畏难；⑤考试不怕题不会, 就怕会题做不对；⑥基础题拿满分, 中档题拿足分, 难题力争多得分, 似曾相识题力争不失分；⑦对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目, 力争高上水平, 有时“放弃”是一种策略.

文科高中数学主干知识与基础知识归类

一. 集合与简易逻辑

集合表示－集合中的关系－集合运算，命题形式－四种命题关系－充分、必要条件

（A B ） C =A （B C ）④C U (A B ) =C U A C U B , C U (A B ) =C U A C U B ；；

（A B ） C =A （B C ）.

⑤A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A C U B =∅⇔C U A B =R . ⑥A B 元素的个数：card (A B ) =cardA +cardB -card (A B ) .

⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集) 个数为2n -1；非空真子集个数为2n -2.

3. 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数f (x ) =4x 2-2(p -2) x -2p 2-p +1在区间[-1, 1]上至少存在一个实数c , 使

f (c ) >0, 求实数p 的取值范围.(答：(-3, )

5. 若p ⇒q 且q ≠>p , 则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件).

否定是“若a 和b 都是偶数, 则a +b 是奇数”. 7. 常见结论的否定形式

二. 函数

函数概念－函数图象－函数性态（定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、对称性、周期性）－特殊函数图象与性质－应用（内部应用、应用题）

1. ①映射f :A →B 是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不

同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集⊆B ).

②一一映射f :A →B ： ⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同, B 中元素都有原象.

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f (x ) ±f (-x ) =0或

f (-x ) f (x )

=±1(f (x ) ≠0) ；

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如f (x ) =0定义域关于原点对称即可).

⑶对称变换：①证明函数图像的对称性, 即证图像上任意点关于对称中心(轴) 的对称点仍在图像上.

) =f (a -x ) 或图像关于直线y =0(x 轴) 对称；④若函数y =f (x ) 对x ∈R 时，f (a +x

f (x ) =f (2a -x ) 恒成立, 则y =f (x ) 图像关于直线x =a 对称；

A 2b -a 2

a +b 2

对称；

对称(由a +x =b -x 确定) ；

f (x ) +A -f (x )

对称(由y =确定) ；

⑧函数y =f (x ) 与y =-f (-x ) 的图像关于原点成中心对称；函数

y =f (x ) , y =n -f (m -x ) 的图像关于点(, ) 对称；

m n

⑨函数y =f (x ) 与函数y =f (x ) 的图像关于直线y =x 对称；曲线C 1：f (x , y ) =0, 关于

-1

⑷若y =f (x ) 关于点(a ,0) , (b ,0) 对称, 则f (x ) 的周期为2|a -b |；

⑸y =f (x ) 的图象关于直线x =a , x =b (a ≠b ) 对称, 则函数y =f (x ) 的周期为2|a -b |； ⑹y =f (x ) 对x ∈R 时, f (x +a ) =-f (x ) 或f (x +a ) =-10. 对数：⑴l o =a b g

a n

1f (x )

, 则y =f (x ) 的周期为2|a |；

b l n o (a >0a , ≠

M N

b 1>, n ∈0；R ⑵对数恒等式

a log a N =N (a >0, a ≠1, N >0) ；

⑶log a (M ⋅N ) =log a M +log a N ;log a

=log a M -log a N ;log a M n =n log a M ；

log b N log b a

log a log a M ；⑷对数换底公式log a N =

(a >0, a ≠1, b >0, b ≠1) ；

推论：log a b ⋅log b c ⋅log c a =1⇒log a 1a 2⋅log a 2a 3⋅ ⋅log a n -1a n =log a 1a n .

a ≤f (x ) 恒成立⇔a ≤[f (x )]最小值.

14. 二次函数解析式的三种形式： ①一般式：f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ；②顶点式：

f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ； ③零点式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) .

15. 一元二次方程实根分布:先画图再研究∆>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;

⎧f (a ) ≤0⎧f (a ) ≥0

f (u ) =g (x ) u +h (x ) ≥0(或≤0) (a ≤u ≤b ) ⇔⎨(或⎨) ；

f (b ) ≤0f (b ) ≥0⎩⎩19. 函数y =ax +b (c ≠0, ad ≠bc ) 的图像是双曲线：①两渐近线分别直线x =-d (由分母为零确

cx +d

定) 和

直线y =a (由分子、分母中x 的系数确定) ；②对称中心是点(-d , a ) ；③反函数为y =b -dx ；

c c

cx -a

20. 函数y =ax +(a >0, b >

0) ：增区间为(-∞, x

b +∞) ,

减区间为[-.

如：已知函数f (x ) =

ax +1x +2

在区间(-2, +∞) 上为增函数, 则实数a 的取值范围是_____(答：

(, +∞) ).

三. 数列

数列概念－数列通项、前n 项和－特殊数列的通项、前n 项和及性质－应用（内部应用、应用题）

⎧⎪S 1(n =1)

1. 由S n 求a n , a n =⎨ 注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中, 若不符合*

S -S (n ≥2, n ∈N ) ⎪n -1⎩n

要单独列出. 如：数列{a n }满足a 1=4, S n +S n +1=a n +1，求a n (答：a n =

{

4(n =1)

3⋅4n -1(n ≥2)

2. 等差数列{a n }⇔a n -a n -1=d (d 为常数) ⇔2a n =a n +1+a n -1(n ≥2, n ∈N *)

⇔a n =an +b (a =d , b =a 1-d ) ⇔S n =An 2+Bn (A =, B =a 1-) ；

3. 等差数列的性质： ①a n =a m +(n -m ) d , d =

2a m -a n m -n

d d

；

②m +n =l +k ⇒a m +a n =a l +a k (反之不一定成立) ；特别地, 当m +n =2p 时, 有

a m +a n =2a p ；

③若{a n }、{b n }是等差数列, 则{ka n +tb n }(k 、t 是非零常数) 是等差数列；

S 偶

a n +1

S 偶-S 奇=a 中=a n (n ∈N *), S 2n -1=(2n -1) a n , 且S 奇=n ；A n =f (n ) ⇒a n =f (2n -1) .

S 偶

n -1

B n

b n

⑥首项为正(或为负) 的递减(或递增) 的等差数列前n 项和的最大(或最小) 问题, 转化为解不等式

⎧a n ≥0⎧a n ≤0

(或⎨). 也可用S n =An 2+Bn 的二次函数关系来分析. ⎨

⎩a n +1≤0⎩a n +1≥0

⑦若a n =m , a m =n (m ≠n ) , 则a m +n =0；若S n =m , S m =n (m ≠n ) , 则S m +n =-(m +n ) ；若S m =S n (m ≠n ) , 则S m+n=0；S 3m =3(S2m －S m ) ；S m +n =S m +S n +mnd .

4. 等比数列{a n }⇔5. 等比数列的性质

①a n =

a m q n -m , q =n {a n }、{b n }是等比数列，则{ka n }、{a n b n }等也是等比数列；

a n +1a n

=q (q ≠0) ⇔a n =a n -1a n +1(n ≥2, n ∈N *)⇔a n =a 1q n -1.

⎧na 1(q =1) ⎧na 1(q =1)

⎪⎪③S n =⎨a (1-q n ) a -a q ；④m +n =l +k ⇒a m a n =a l a k (反之不一=⎨a 1n a 11n 1

⎪1-q =1-q (q ≠1) ⎪-1-q q +1-q (q ≠1)

⎩⎩

定成立) ；S m +n =S m +q m S n =S n +q n S m . ⑤等比数列中S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m , (注：各项均不为0) 仍是等比数列. ⑥等比数列{a n }当项数为2n 时,

S 偶S 奇

=q ；项数为2n -1时,

S 奇-a 1S 偶

=q .

6. ①如果数列{a n }是等差数列, 则数列{A a n }(A a n 总有意义) 是等比数列；如果数列{a n }是等比数列, 则数列{loga |a n |}(a >0, a ≠1) 是等差数列；

②若{a n }既是等差数列又是等比数列, 则{a n }是非零常数数列；

④三个数成等差的设法：a -d , a , a +d ；四个数成等差的设法：a -3d , a -d , a +d , a +3d ；

三个数成等比的设法：, a , aq ；四个数成等比的错误设法：

q a

a q

, , aq , aq (为什么？) a

7. 数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式. ⎧S 1,(n =1)

⑵已知S n (即a 1+a 2+ +a n =f (n ) ) 求a n 用作差法：a n =⎨.

S -S ,(n ≥2) n -1⎩n

⎧⎪f (1),(n =1)

⑶已知a 1⋅a 2⋅ ⋅a n =f (n ) 求a n 用作商法：a n =⎨f (n )

,(n ≥2) .

⎪⎩f (n -1)

⑷若a n +1-a n =f (n ) 求a n 用迭加法. ⑸已知

a n +1

a n

=f (n ) , 求a n 用迭乘法.

a n -1ka n -1+b

的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.

8. 数列求和的方法：①公式法：等差数列, 等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法. 公式：

2+ 3+n

n =n (；1+)

12+22+32+ +n 2=n (n +1)(2n +1) ；13+23+33+ +n 3=[

1n (n +1)

]2；1+3+5+ +n =n 2；常

12n (n +1)

见裂项公式

n (n +1)!

1n (n +1)

1n +1

；

1n (n +k )

=(-

k n

111n +k

) ；

n (n -1)(n +1)

1(n +1)(n +2)

]；

1n !

(n +1)!

。常见放缩公式：=

1=.

9. “分期付款”、“森林木材”型应用问题

n (n +1) 2

r ) (等差数列问

p (1+r ) n =x (1+r ) n -1+x (1+r ) n -2+ +x (1+r ) +x (等比数列问题).

四. 三角函数

2. 弧长公式：l =|θ|r ；扇形面积公式：S 扇形=1lr =1|θ|r 2；1弧度(1rad ) ≈57.3︒.

3. 三角函数符号(“正号”) 规律记忆口诀：“一全二正弦, 三切四余弦”.

注意： tan15︒=cot 75︒=

2tan75︒=cot15︒=2+ 4. 三角函数同角关系中(八块图) ：注意“正、余弦三兄妹 sin x ±cos x 、sin x ⋅cos x ”的关系. 2

如(sinx ±cos x ) =1±2sin x cos x 等.

与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.

sin α+cos αsin α-cos α

如：α=(α+β) -β；2α=(α+β) +(α-β) ；2α=(β+α) -(β-α) ；α+β=2⋅

α+β

；

βα

“1”的变换：1=sin 2x +cos 2x =tan x ⋅cot x =2sin30︒=tan 45︒；

=(α--(-β) 等；

7. 重要结论：a sin x +b cos x x +ϕ) 其中tan ϕ=

b a

）；重要公式sin 2α=1-cos 2α；

cos 2α=

1+cos 2α

；tan

sin α1+cos α

1-cos αsin α

|cos ±sin |.

θθ

万能公式：sin 2α=

2tan α1+tan α

；cos 2α=

1-tan α1+tan α

；tan 2α=

2tan α1-tan α

k π-ϕ

k π+-ϕ

8. 正弦型曲线y =A sin(ωx +ϕ) 的对称轴x =

k π-ϕ

(k ∈Z ) ；对称中心(

k π+

-ϕ

,0)(k ∈Z ) ；

余弦型曲线y =A cos(ωx +ϕ) 的对称轴x =

(k ∈Z ) ；对称中心(

a sin A

,0)(k ∈Z ) ；

c sin C

余弦定理：a =b +c -2bc cos A ,cos A =

sin B

==2R ；

b +c -a

2bc

222

(b +c ) -a

2bc

-1；

2S ∆ABC a +b +c

正弦平方差公式：sin 2A -sin 2B =sin(A +B )sin(A -B ) ；三角形的内切圆半径r =面积公式：S ∆=ab sin C =

abc 4R

；

；射影定理：a =b cos C +c cos B .

∆ABC 10. 中, 易得：

sin A =sin(B +C ) , cos A =-cos(B +C ) , tan A =-tan(B +C ) .

②sin

A 2

A +B π+, =①

=cos

B +C 2

, cos

A 2

=sin

B +C 2

, tan

A 2

=cot

B +C 2

. ③a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B

④锐角∆ABC 中, A +B >

, sin A >cos B ,cos A c 2, 类比得钝角∆ABC 结论.

⑤tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C .

11. 角的范围：异面直线所成角(0,]；直线与平面所成角[0,]；二面角和两向量的夹角[0,π]；

直线的倾斜角[0,π) ；l 1到l 2的角[0,π) ；l 1与l 2的夹角(0,]. 注意术语:坡度、仰角、俯角、方位

角等.

五. 平面向量

向量概念－向量的表示－向量运算及其几何意义－应用：作为工具，解决几何问题、三角问题等，关键是“线段向量化”

设,

(2)a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.

a =(x 1, y 1)

b =(x 2, y 2)

. (1)

a //b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0

；

2. 平面向量基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对该平面内的任一向量a , 有且只有一对实数λ1、λ2, 使a =λ1e 1+λ2e 2.

3. 设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) , 则a ⋅b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2；其几何意义是a ⋅b 等于a 的长

a ⋅b 度与b 在a 的方向上的投影的乘积；a 在b 的方向上的投影|a |cos θ== AB

4. 三点A 、B 、C 共线⇔AB 与AC 共线；与AB 共线的单位向量±.

|AB |

a ⋅b

5. 平面向量数量积性质：设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,

则cos θ=；注

|a ||b |

意:〈a , b 〉为锐角⇔a ⋅b >0, a , b 不同向；〈a , b 〉为直角⇔a ⋅b =0；〈a , b 〉为钝角⇔a ⋅b

|b |

反向.

6. a ⋅b 同向或有0⇔|a +b |=|a |+|b |≥|a |-|b |=|a -b |；a ⋅b 反向或有0

⇔|a -b |=|a |+|b |≥|a |-|b |=|a +b |；a ⋅b 不共线⇔|a |-|b |

7. 平面向量数量积的坐标表示：⑴若a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) , 则a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2；

2 |AB |= ⑵若a =(x , y ) , 则a =a ⋅a =x 2+y 2.

, P ) P (x , y ) P 2(x 2, y 2) ； 1(x 1, y 1

x 1+λx 2x 1+x 2⎧⎧x =x =⎪⎪⎪⎪1+λ2

(λ≠-1) (λ=1) . ⎨⎨则, 中点坐标公式：

⎪y =y 1+λy 2⎪y =y 1+y 2

⎪⎪1+λ2⎩⎩

③P 1, P , P 2三点共线⇔存在实数λ、μ使得OP =λOP 1+μOP 2且λ+μ=1.

|AB |

|AC |

|AB |

|AC |

λ>0；当点P 在线段P 8. 熟记平移公式和定比分点公式. ①当点P 在线段P 1P 2上时, 1P 2(或

AB AC AB AC 9. 三角形中向量性质：①AB +AC 过BC 边的中点：(+) ⊥(-) ；

②PG =(PA +PB +PC ) ⇔GA +GB +GC =0⇔G 为∆ABC 的重心；

③PA ⋅PB =PB ⋅PC =PA ⋅PC ⇔P 为∆ABC 的垂心；

AB AC

④|BC |PA +|CA |PB +|AB |PC =0⇔P 为∆ABC 的内心；λ(+)(λ≠0) 所在直线过

|AB |

|AC |

∆ABC 内心. ⑤设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ,

S ∆AOB =x A y B -

x B y A . S ∆ABC =|AB ||AC |sin A

22 ⑥O 为∆ABC 内一点, 则S ∆BOC OA +S ∆AOC OB +S ∆AOB OC =0.

⎧x '=x +h 按a =(h , k ) 平移

PP '=a 10. , 有(P (x , y ) −−−−−→P '(x ', y ') ⎨

'y =y +k ⎩

) ；

按a =(h , k ) 平移

y =f (x ) −−−−−→y -k =f (x -h ) .

六. 不等式

不等式的基本性质－几个重要不等式－不等式的证明－几类不等式的解法－应用（内部应用、应用题）

1. 掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：

①若ab >0, b >a , 则

>. 即不等式两边同号时, 不等式两边取倒数, 不等号方向要改变.

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式, 要注意它的正负号, 如果正负号未定, 要注意分类讨论.

3. 掌握重要不等式,(1)均值不等式：若a , b >0,

则

a +b ≥2

21+1a b

(当且仅当

a =b 时取等号) 使用条件：“一正二定三相等 ”(2)a , b , c ∈R ，

a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (当且仅当a =b =c 时, 取等号) ；(3)公式注意变形如：

a +b 2

≥(

a +b 2

) 2, ab ≤(

a +b 2

) 2；(4)若a >b >0, m >0, 则

b b +m a +m

(真分数的性质) ；

4. 含绝对值不等式：a , b 同号或有0⇔|a +b |=|a |+|b |≥|a |-|b |=|a -b |；a , b 异号或有0

⇔|a -b |=|a |+|b |≥a |-|b |=|a +b |.

以达证题目的.

放缩法的方法有：①添加或舍去一些项, |

a |>n . ②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本

不等式, 如：

)

n +(n +1)

. ④利用常用

结论：1

0 =

1k -1

1；20

1k +1

1(k +1) k

1(k -1) k

(程度大) ；30

1k -1

2k -1

k +1

(程度小) ；

⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量, 以使问题化难为易, 化繁为简, 常用的换元有三角

s , y =a s θi n 换元、代数换元. 如：知x 2+y 2=a 2, 可设x =a c o θ；知x 2+y 2≤1, 可设x =r c o θs , y =r sin θ(0≤r ≤1) ；知

x a

y b

2=1, 可设x =a cos θ, y =b sin θ；已知

x a

y b

2=1, 可设

x =a sec θ, y =b tan θ.

⑺最值法, 如：a >f (x ) 最大值, 则a >f (x ) 恒成立. a

七. 直线和圆的方程

直线、圆的方程－直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系－曲线与方程－应用

1. 直线的倾斜角α的范围是[0,π）； 2. 直线的倾斜角与斜率的变化关系k =tan α(α≠(如右图) ：

3. 直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点(x 0, y 0) 斜率为k ，则直线

方程为y -y 0=k (x -x 0) , 它不包括垂直于x 轴的直线. ⑵斜截式：已知直线在y 轴上的截距为

b 和斜率k ，则直线方程为y =kx +b , 它不包括垂直于x 轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过

P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) 两点, 则直线方程为

y -y 1y 2-y 1

x -x 1x 2-x 1

, 它不包括垂直于坐标轴的直线.

y b

⑷截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a , b , 则直线方程为+

=1, 它不包括垂直于坐

标轴的直线和过原点的直线. ⑸一般式：任何直线均可写成Ax +By +C =0(A , B 不同时为0) 的形式.

4. 直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的位置关系：

⑴平行⇔A 1B 2-A 2B 1=0(斜率) 且B 1C 2-B 2C 1≠0(在y 轴上截距) ； ⑵相交⇔A 1B 2-A 2B 1≠0；(3)重合⇔A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0.

6. 到角和夹角公式：⑴l 1到l 2的角是指直线l 1绕着交点按逆时针方向转到和直线l 2重合所转的角

θ, θ∈(0,π) 且tan θ=

k 2-k 11+k 1k 2

(k 1k 2≠-1) ；

k 2-k 11+k 1k 2

⑵l 1与l 2的夹角是指不大于直角的角θ, θ∈(0,]且tan θ=|

|(k 1k 2≠-1) .

7. 点P (x 0, y 0) 到直线Ax +By +C =

0的距离公式d =

两条平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=

0的距离是d x +x 2+x 3y 1+y 2+y 3

8. 设三角形∆ABC 三顶点A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , C (x 3, y 3) , 则重心G (1, ) ；

9. 有关对称的一些结论

10. ⑴圆的标准方程：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. ⑵圆的一般方程：

x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) . 特别提醒：只有当D 2+E 2-4F >0时, 方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0才表示圆心为(-, -) ,

D E (二元二次方程

Ax +Bxy +Cy +Dx +Ey +F =0表示圆⇔A =C ≠0, 且B =0, D 2+E 2-4AF >0).

⎧x =a +r cos θ

⑶圆的参数方程：⎨(θ为参数), 其中圆心为(a , b ) , 半径为r . 圆的参数方程主要应

⎩y =b +r sin θ

用是三角换元：；

x 2+=y 2→=c r 2θo =x s θr ,

s y i r

x 2+y 2=t 2→x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤.

⑷以A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 为直径的圆的方程(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0；

11. 点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离). 点P (x 0, y 0) 及圆的方程

(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. ①(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r 2⇔点P 在圆外；

②(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2

x 0x +y 0y =r 2；

14. 直线与圆的位置关系, 通常转化为圆心距与半径的关系, 或者利用垂径定理, 构造直角三角形解决弦长问题. ①d >r ⇔相离 ②d =r ⇔相切 ③d

八. 圆锥曲线方程

x 2y 2

1. 椭圆焦半径公式：设P (x 0, y 0) 为椭圆2+2=1(a >b >0) 上任一点, 焦点为

a b

F 1(-c , 0, ) F 2(c ,0) , 则PF 1=a +ex 0, PF 2=a -ex 0(“左加右减”) ；

x 2y 2

2. 双曲线焦半径：设P (x 0, y 0) 为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上任一点, 焦点为

a b

F 1(-c , 0, ) F 2(c ,0) ,

则：⑴当P 点在右支上时, |PF 1|=a +ex 0,|PF 2|=-a +ex 0；⑵当P 点在左支上x 2y 2

时, |PF 1|=-a -ex 0, |PF 2|=a -ex 0；(e 为离心率). 另：双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的渐近线方

a b

x 2y 2

程为2-2=0.

a b

3. 抛物线焦半径公式：设P (x 0, y 0) 为抛物线y 2=2px (p >0) 上任意一点, F 为焦点, 则

|PF |=x 0+

p 2

；y 2=-2px (p >0) 上任意一点, F 为焦点，则|PF |=-x 0+

p 2

x 2y 2

4. 共渐近线y =±x 的双曲线标准方程为2-2=λ(λ为参数, λ≠0).

a b a

5. 两个常见的曲线系方程： ⑴过曲线f 1(x , y ) =0, f 2(x , y ) =0的交点的曲线系方程是 x 2y 2

+=1, 其中 f 1(x , y ) +λf 2(x , y ) =0(λ为参数). ⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程2

a -k b 2-k

6. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB =

或AB x 1-

x 2| =]=⎧y =kxc +b A (x , y ), B (x , y ) (弦端点, 由方程消y -y |⎨112212

F (x , y ) =0⎩

2b a

去y 得到ax +bx +c =0, ∆>0, k 为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；

7. 椭圆、双曲线的通径(最短弦) 为, 焦准距为p =

, 抛物线的通径为2p , 焦准距为p ；

x 2y 2

双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦点到渐近线的距离为b ；

a b

8. 中心在原点, 坐标轴为对称轴的椭圆, 双曲线方程可设为Ax 2+By 2=1(对于椭圆A >0, B >0) ；

9. 抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点弦（过焦点的弦）为AB , A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) , 则有如下结论：

⑴|AB |=x 1+x 2+p ；⑵x 1x 2=

, y 1y 2=-p 2； ⑶+=

|AF |

|BF |

112p

x 2y 2

10. 椭圆2+2=1(a >b >0) 左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2) , 右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2) .

a b

2y 02

11. 对于y =2px (p ≠0) 抛物线上的点的坐标可设为(, y 0) , 以简化计算.

2p x 2y 2

12. 圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在椭圆2+2=1

a b

b 2x 0x 2y 2

中, 以P (x 0, y 0) 为中点的弦所在直线斜率k =-2；在双曲线2-2=1中, 以P (x 0, y 0) 为中点的

a b a y 0

b 2x 0

弦所在直线斜率k =2；在抛物线y 2=2px (p >0) 中, 以P (x 0, y 0) 为中点的弦所在直线的斜率

a y 0

k =

p y 0

13. 求轨迹方程的常用方法：

14. 解析几何与向量综合的有关结论：

⑴给出直线的方向向量u =(1,k ) 或u =(m , n ) . 等于已知直线的斜率k 或；

⑵给出OA +OB 与AB 相交, 等于已知OA +OB 过AB 的中点；

⑶给出+=0, 等于已知P 是MN 的中点;

⑷给出AP +AQ =λ(BP +BQ ) , 等于已知P , Q 与AB 的中点三点共线;

⑸给出以下情形之一： ①AB //AC ； ②存在实数λ, 使AB =λAC ； ③若存在实数α, β,

且α+β=1；使OC =αOA +βOB , 等于已知A , B , C 三点共线.

OA +λOB

⑹给出OP =, 等于已知P 是的定比分点, λ为定比, 即=λ

1+λ

⑺给出⋅=0, 等于已知MA ⊥MB , 即∠AMB 是直角, 给出⋅=m 0, 等于已知∠AMB 是锐角或同向共线.

MA MB

) =MP , 等于已知MP 是∠AMB 的平分线. ⑻给出λ(+|MA |

|MB |

⑼在平行四边形ABCD 中, 给出(+) ⋅(-) =0, 等于已知ABCD 是菱形. ⑽在平行四边形ABCD 中, 给出|AB +AD |=|AB -AD |, 等于已知ABCD 是矩形.

⑾在∆ABC 中, 给出==，等于已知O 是∆ABC 的外心(三角形的外心是外接

圆的圆心, 是三角形三边垂直平分线的交点).

⑿在∆ABC 中, 给出++=，等于已知O 是∆ABC 的重心(三角形的重心是三角

形三条中线的交点).

⒀在∆ABC 中, 给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是∆ABC 的垂心(三角

形的垂心是三角形三条高的交点).

AB AC +

⒁在∆ABC 中, 给出=+λ(+) (λ∈R ) 等于已知AP 通过∆ABC 的内心.

|AB |

|AC |

⒂在∆ABC 中, 给出a ⋅+b ⋅+c ⋅=等于已知O 是∆ABC 的内心(三角形内切圆的圆心, 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).

⒃在∆ABC 中, 给出AD =(AB +AC ) , 等于已知AD 是∆ABC 中BC 边的中线.

九. 直线、平面、简单几何体

平面基本性质－空间的平行关系－空间的垂直关系－求空间的几何量（角、距、面积、体积）－解立几问题方法：几何法、向量法

1. 从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC . 若∠AOB =∠AOC , 则点A 在平面BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；

2. 立平斜三角余弦公式：(图略) AB 和平面所成的角是θ1, AC 在平面内, AC 和AB 的射影AB 1

成θ2, 设∠BAC =θ3, 则cos θ1cos θ2=cos θ3；

7. 用向量方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方

|a ⋅b |

向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos . ⑵求线面角：设l 是斜线l 的方向向量, n 是平面

|l ⋅n |

α的法向量, 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin . ⑶求二面角(法一) 在α内a ⊥l , 在β内

a ⋅b

b ⊥l , 其方向如图(略), 则二面角α-l -β的平面角α=arccos .(法二) 设n 1, n 2是二面角

|a |⋅|b |

|l |⋅|n |

|a |⋅|b |

α-l -β的两个半平面的法向量, 其方向一个指向内侧, 另一个指向外侧, 则二面角α-l -β的平面

角α=arccos n 1⋅n 2

|AB ⋅n |

(即AB 在n 方向上投影的绝对值). d =|AB ||cos θ|=

|n |

8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等, 记为θ, 则S 侧cos θ=S 底.

9. 正四面体(设棱长为a ) 的性质：

①全面积S

2；②体积V =

|n 1|⋅|n 2|

. （4) 求点面距离：设n 是平面α的法向量, 在α内取一点B , 则A 到α的距离

3；③对棱间的距离d =

；④相邻面所成二面角

α=arccos ；

⑤外接球半径R =

a ；⑥内切球半径r =

；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值

h =

10. 直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体). 在直角四面体O -ABC

中, OA , OB , OC 两两垂直, 令OA =a , OB =b , OC =c , 则⑴底面三角形ABC 为锐角三角形；

⑵直角顶点O 在底面的射影H 为三角形ABC 的垂心；⑶S ∆S ∆ABC ； BOC =S ∆BHC 2222⑷S ∆+S +S =S AOB ∆BOC ∆COA ∆ABC ；⑸

1OH

；⑹外接球半径R 11. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；

13. 球的体积公式V =πR 3, 表面积公式S =4πR 2；掌握球面上两点A 、B 间的距离求法：

⑴计算线段AB 的长；⑵计算球心角∠AOB 的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧AB 的长.

十. 排列组合和概率、统计

计数原理－排列组合－二项式定理－概率与计算－统计－应用（应用题）

=n (n -1) (n -m +1) =1. 排列数公式:A n

n ! m !(n -m )!

(m ≤n , m , n ∈N *), 当m =n 时为全排列

n A n =n ! .

A n n ⋅(n -1) ⋅⋅⋅(n -m -1) 0n

2. 组合数公式：C ==(m ≤n ) , C n =C n =1.

m ! m ⋅(m -1) ⋅(m -2) ⋅⋅⋅3⋅2⋅1

m n

m n -m r r -1r

3. 组合数性质：C n ；C n =C n +C n =C n +1.

n n +1n r r r r +1

5. 常用性质：n ⋅n ! =(n +1)! -n ! ；即nA n =A n +1-A n ；C r +C r +1+⋅⋅⋅+C n =C n +1(1≤r ≤n ) ；

r n -r r 6. 二项式定理： ⑴掌握二项展开式的通项：T r +1=C n a b (r =0,1,2,..., n ) ； ⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别.

7. 二项式系数具有下列性质：⑴与首末两端等距离的二项式系数相等；⑵若n 为偶数, 中间一项

(第+1项) 的二项式系数最大；若n 为奇数, 中间两项(第

n n -12

+1和

n +12

+1项) 的二项式系数最

012n 0213大. ⑶C n +C n +C n +⋅⋅⋅+C n =2n ；C n +C n +⋅⋅⋅=C n +C n +⋅⋅⋅=2n -1.

[f (1)-f (-1)], 偶数项的系数和为[f (1)+f (-1)].

9. 等可能事件的概率公式：⑴P (A ) =

n m

； ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：P (A +B ) =

P (A ) +P (B ) ；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为P (AB ) =P (A ) P (B ) ；⑷独立重复试验概率公

k k

是1-P (A ⋅B ) =1-P (A ) P (B ) .

n N

, 第二次被抽到的概率为

, „, 故

, 即每个个体入样的概率为

n N

=(x 1+x 2+⋅⋅⋅+x n )

n 1

去估计总体平均数；⑵会用样本方差

S 2=[(x 1-) 2+(x 2-) 2+⋅⋅⋅+(x n -) 2]去估计总体方差。

十一. 导数

导数的意义－导数公式－导数应用（极值最值问题、曲线切线问题） 1. 导数的定义：f (x ) 在点x 0处的导数记作y '

x =x 0

=f '(x 0) =lim

f (x 0+∆x ) -f (x 0)

∆x

∆x →0

3. 常见函数的导数公式:C '=0(C 为常数) ；(x n ) '=nx n -1(n ∈Q ) .

4. 导数的四则运算法则：(u ±v ) '=u '±v ' 5. 导数的应用：

(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y =f (x ) 在某个区间内可导, 如果f '(x ) >0, 那么f (x ) 为增函数；如果f '(x )

(2)求可导函数极值的步骤：①求导数f '(x ) ；②求方程f '(x ) =0的根；③检验f '(x ) 在方程

f '(x ) =0根的左右的符号，如果左正右负, 那么函数y =f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负

右正, 那么函数y =f (x ) 在这个根处取得极小值；

十二. 注意答题技巧训练

1. 技术矫正：考试中时间分配及处理技巧非常重要, 有几点需要必须提醒同学们注意： ⑴按序答题, 先易后难. 一定要选择熟题先做、有把握的题目先做.

⑵不能纠缠在某一题、某一细节上, 该跳过去就先跳过去, 千万不能感觉自己被卡住, 这样会心慌，影响下面做题的情绪.

⑶避免“回头想”现象, 一定要争取一步到位, 不要先做一下, 等回过头来再想再检查, 高考时间较紧张, 也许待会儿根本顾不上再来思考.

⑵带单位的计算题或应用题, 最后结果必须带单位, 解题结束后一定要写上符合题意的“答”. ⑶分类讨论题, 一般要写综合性结论.

⑷任何结果要最简.

如=

等.

⑸排列组合题, 无特别声明, 要求出数值.

⑹函数问题一般要注明定义域(特别是反函数).

⑺参数方程化普通方程, 要考虑消参数过程中最后的限制范围.

⑼分数线要划横线, 不用斜线.

文科高中数学主干知识与基础知识归类

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