正余弦定理综合应用

正余弦定理综合应用

1. 已知△ABC 中,则

的对边分别为

. 若

A . 2 B . C . D .

方法1:因为由余弦定理,得

.故选A . 方法2:因为

,所以△ABC 为等腰三角形,

,所以△

ABC 为等腰三角形,

, ,

由正弦定理,得.故选A .

2. 为了测量两山顶M ,N 间的距离,飞机沿水平方向在A ,B 两点进行测量,A ,B ,M ,N

在同

一个铅垂平面内(如示意图),飞机能够测量的数据有俯角和A ,B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M ,N 间的距离的步骤。

方案一:①需要测量的数据有:A 点到M ,N 点的俯角A ,B 的距离 d (如图所示) . ……….3分

;B 点到M ,N 的俯角

②第一步:计算AM . 由正弦定理

;…………6分

第二步:计算AN . 由正弦定理

;…………9分

第三步:计算MN. 由余弦定理

.…………12分

方案二:①需要测量的数据有:A 点到M ,N 点的俯角A ,B 的距离 d (如图所示).…………3分

,;B 点到M ,N 点的府角,

②第一步:计算BM . 由正弦定理

;…………6分

第二步:计算BN . 由正弦定理

;w.w…………9分

…………12分

第三步:计算MN . 由余弦定理

3.

在中,内角A 、B 、C 的对边长分别为、、

,已知

求b .

,且

文字解析

解法一:在

则由正弦定理及余弦定理有:

;……………6分

.

化简并整理得:.……………8分又由已知

解得. ………………10分

解法二:由余弦定理得

: ,又,

。 ,

所以①……………4分又

……………6分

,即

②……………8分由①,②解得

。……………10分

由正弦定理得,故

4. 在锐角△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B

、C 所对的边,且(Ⅱ)若=

, 且△ABC 的面积为

,求a +b 的值.

.

(Ⅰ)

;(Ⅱ)5文字解析(Ⅰ) 由

及正弦定理得,

,……2分

∵,∴,…………4分∵△ABC 是锐角三角形,

.…………6分

(Ⅱ)解法1:∵=,,由面积公式得:

…………10分

.…………12分

……8分

由余弦定理得:

由②

变形得

解法2:前同解法1,联立①、②得

,…………8分

消去b 并整理得

,解得:

…………10分

所以

.…………12分

∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用

在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若则A =( ) A . 30° B . 60° C . 120° D . 150°

A

,sinC =2sinB ,

∙ ∙ ∙

文字解析

sinC

=2

sinB

结合正弦定理得:

,所以由于余弦定理得:

,所以A =30°,选A .

∙ ∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用

若△

的三个内角满足

,则△

( )

A . 一定是锐角三角形. B . 一定是直角三角形. C . 一定是钝角三角形.

D . 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

C

答案

∙ ∙ ∙

文字解析

及正弦定理得a :b :c =5:11:13

由余弦定理得

,所以角C 为钝角

∙ ∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用;三角函数值的符号判定

在锐角三角形ABC ,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,

4

,则=____.

∙ ∙ ∙ ∙

文字解析

(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。

当A =B 或a =b

时满足题意,此时有:,,

= 4。

(方法二),

由正弦定理,得:上式=

∙ ∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用;两角和与差的三角函数公式

在ABC 中,.

(Ⅰ)证明:B =C :

(Ⅱ)若

=-,求sin 的值.

(Ⅰ)证明:在△ABC 中,由正弦定理及已知得=

.…………2分

于是sinBcosC -cosBsinC =0,

即sin (B -C )=0.…………4分

因为

从而B -C =0.

所以B =C .…………6分

(Ⅱ)解:由A +B +C =

和(Ⅰ)得A =

-2B ,

故cos 2B =-cos (-2B )=-cosA =

.…………8分

又0

.

从而sin 4B =2sin 2Bcos 2B =,cos 4B =

.…………10分

所以

.…………12分

∙ ∙

∙ ∙ ∙

文字解析 考点

正、余弦定理的综合应用;同角三角函数的基本关系;二倍角公式

设函数.

(Ⅰ)求的值域;

(Ⅱ)记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,若求a 的值.

(Ⅰ)

,,,

;(Ⅱ)

的值为1或2

∙ ∙

∙ ∙

文字解析

(Ⅰ)

因此

的值域为

.…………7分

(Ⅱ)由得,即,又因

.………8分

解法一:由余弦定理

,得

解得:

.…………12分

解法二:由正弦定理,得或

.…………8分

当时,,从而

当时,,又,从而

.

的值为1或2.…………12分

∙ ∙

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用;二倍角公式;两角和与差的三角函数公式

在△ABC 中,a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边,且(Ⅰ)求A 的大小; (Ⅱ)求

的最大值.

(Ⅰ)A =120°;(Ⅱ)1

∙ ∙ ∙ ∙

文字解析

(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得

由余弦定理得

,A =120° ……6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

∙ 故当时,sinB +sinC 取得最大值1. ……12分

∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用;两角和与差的三角函数

∙ 在中,

分别为内角. 的对边,且(Ⅰ)求的大小; (Ⅱ)若∙

∙ ,试判断的形状. 答案

(Ⅰ)A =120°;(Ⅱ)等腰的钝角三角形 ∙

∙ 文字解析

(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得, ∙

由余弦定理得,

∙ 故…………6分

∙ (Ⅱ)由(Ⅰ)得

∙ 又,得 ∙ 因为 , ∙ 故 ∙ 所以是等腰的钝角三角形。…………12分

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙ 已知的内角答案

,及其对边

,满足,求内角. ∙ ∙

∙ ∙

由 文字解析 及正弦定理得

…………4分

∙ 从而

…………6分

…………8分

∙ 所以…………10分

∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用;两角和与差的三角函数公式

∙ 如图,A ,B 是海面上位于东西方向相聚5(3+

45°,B 点北偏西60°且与B 点相距)海里的两个观测点,现位于A 点北偏东海里的C 点的救援船立即前往营救,

其航行速度为30海里/小时,该救援船达到D 点需要多长时间?

1小时 答案

∙ ∙ ∙ 文字解析 由题意知海里, ∙

∴ ,…………2分

在中,由正弦定理得

=(海里)…………8分

∙ ∠DBC =∠DBA +∠ABC =300+(900-600)=600, BC =20海里,

在△DBC 中由余弦定理得到CD =30海里,时间t =1小时,

答:救援船到达D 点需要1小时.…………12分

∙ ∙ 考点 正、余弦定理的综合应用

。轮船位于港口O 北偏西,且与该港口相距20海里的A 处,并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t 小时与轮船相遇。

(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。

(Ⅰ)

轮船相遇 海里/小时;(Ⅱ)航行方向为北偏东,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与

文字解析

(Ⅰ)设相遇时小航艇行的距离为S 海里,

则S =

∙ =,…………3分

∙ t

=时,S min =10,此时v ==30…………5分

即,小艇以海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.…………6分

(Ⅱ)

∙ ∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙ 某港口

港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于北偏西30°且与该港口相距20海里的处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过小时与轮船相遇。

(Ⅰ) 若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ) 为保证小艇在30分钟内(含30分钟) 能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (Ⅲ) 是否存在,使得小艇以海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?

若存在,试确定的取值范围;若不存在,请说明理由。

(I )答案 海里/小时;(II )

∙ ∙ 文字解析

(Ⅰ)解法一:设相遇时小

艇的航行距离为

海里,则 ∙

∙ 故时,,.[来源:学科网]

∙ 即小艇以海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小。…………6分

解法二:若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向. ∙ 设小艇与轮船在C 处相遇. ∙

中,,

,又,,

∙ 此时,轮船航行时间,.

∙ (Ⅱ)设小艇与轮船在处相遇. 由题意可知,, ∙ 化简得:时, 取得最小值,即小艇航行速度的最小值为. 由于,即海里/小时. ,所以当∙

由上知v 2=设=u ,(u >0),于是400u 2-600u +900-v 2=0有两个不等正根, ∙

于是,解得15

所以速度的范围是…………13分

∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙ 若△的内角满足

=

=

,则( )

A .

B .

C .

D .

D 答案

由 文字解析 ==得,::=2:3:4,

∙ 由正弦定理知,::=2:3:4,设=2,=3,=4,(>0),

==,故选D. ∙

∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用 ∙ 在ABC 中..则A 的取值范围是( )

A . (0

,]

B . [ ,)

C . (0

,]

D . [

C ,答案 )

∙ 文字解析 由正弦定理及,得,即, ∙ ∴,∵,故,选C .

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

的内角. 、

、的对边分别为

、、,己知,,求

∙ ∙ ∙

∵ 文字解析 ,

∴,∴,且,…………2分 ∙ ∴ ,∴,…………4分

∙ 由正弦定理及,得:,

∴ …………6分 ∙

两边平方,得:,即,…………8分 ∙

解得:或(舍)…………10分

21

∴,即.…………12分

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用;两角和与差的三角函数;同角三角函数关系式 ∙ △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,己知(Ⅰ) 求; . (Ⅱ)若

∙ ∙

(Ⅰ),求. 答案 ;(Ⅱ)

∙ ∙

∙ 文字解析 (I )由正弦定理得…………………………3分 ∙ 由余弦定理得.

故,因此

.…………………………………6分 ∙

(II )

22

…………………………………8分

∙ 故, ∙

.…………………………………12分

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正余弦定理综合应用

1. 已知△ABC 中,则

的对边分别为

. 若

A . 2 B . C . D .

方法1:因为由余弦定理,得

.故选A . 方法2:因为

,所以△ABC 为等腰三角形,

,所以△

ABC 为等腰三角形,

, ,

由正弦定理,得.故选A .

2. 为了测量两山顶M ,N 间的距离,飞机沿水平方向在A ,B 两点进行测量,A ,B ,M ,N

在同

一个铅垂平面内(如示意图),飞机能够测量的数据有俯角和A ,B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M ,N 间的距离的步骤。

方案一:①需要测量的数据有:A 点到M ,N 点的俯角A ,B 的距离 d (如图所示) . ……….3分

;B 点到M ,N 的俯角

②第一步:计算AM . 由正弦定理

;…………6分

第二步:计算AN . 由正弦定理

;…………9分

第三步:计算MN. 由余弦定理

.…………12分

方案二:①需要测量的数据有:A 点到M ,N 点的俯角A ,B 的距离 d (如图所示).…………3分

,;B 点到M ,N 点的府角,

②第一步:计算BM . 由正弦定理

;…………6分

第二步:计算BN . 由正弦定理

;w.w…………9分

…………12分

第三步:计算MN . 由余弦定理

3.

在中,内角A 、B 、C 的对边长分别为、、

,已知

求b .

,且

文字解析

解法一:在

则由正弦定理及余弦定理有:

;……………6分

.

化简并整理得:.……………8分又由已知

解得. ………………10分

解法二:由余弦定理得

: ,又,

。 ,

所以①……………4分又

……………6分

,即

②……………8分由①,②解得

。……………10分

由正弦定理得,故

4. 在锐角△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B

、C 所对的边,且(Ⅱ)若=

, 且△ABC 的面积为

,求a +b 的值.

.

(Ⅰ)

;(Ⅱ)5文字解析(Ⅰ) 由

及正弦定理得,

,……2分

∵,∴,…………4分∵△ABC 是锐角三角形,

.…………6分

(Ⅱ)解法1:∵=,,由面积公式得:

…………10分

.…………12分

……8分

由余弦定理得:

由②

变形得

解法2:前同解法1,联立①、②得

,…………8分

消去b 并整理得

,解得:

…………10分

所以

.…………12分

∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用

在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若则A =( ) A . 30° B . 60° C . 120° D . 150°

A

,sinC =2sinB ,

∙ ∙ ∙

文字解析

sinC

=2

sinB

结合正弦定理得:

,所以由于余弦定理得:

,所以A =30°,选A .

∙ ∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用

若△

的三个内角满足

,则△

( )

A . 一定是锐角三角形. B . 一定是直角三角形. C . 一定是钝角三角形.

D . 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

C

答案

∙ ∙ ∙

文字解析

及正弦定理得a :b :c =5:11:13

由余弦定理得

,所以角C 为钝角

∙ ∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用;三角函数值的符号判定

在锐角三角形ABC ,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,

4

,则=____.

∙ ∙ ∙ ∙

文字解析

(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。

当A =B 或a =b

时满足题意,此时有:,,

= 4。

(方法二),

由正弦定理,得:上式=

∙ ∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用;两角和与差的三角函数公式

在ABC 中,.

(Ⅰ)证明:B =C :

(Ⅱ)若

=-,求sin 的值.

(Ⅰ)证明:在△ABC 中,由正弦定理及已知得=

.…………2分

于是sinBcosC -cosBsinC =0,

即sin (B -C )=0.…………4分

因为

从而B -C =0.

所以B =C .…………6分

(Ⅱ)解:由A +B +C =

和(Ⅰ)得A =

-2B ,

故cos 2B =-cos (-2B )=-cosA =

.…………8分

又0

.

从而sin 4B =2sin 2Bcos 2B =,cos 4B =

.…………10分

所以

.…………12分

∙ ∙

∙ ∙ ∙

文字解析 考点

正、余弦定理的综合应用;同角三角函数的基本关系;二倍角公式

设函数.

(Ⅰ)求的值域;

(Ⅱ)记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,若求a 的值.

(Ⅰ)

,,,

;(Ⅱ)

的值为1或2

∙ ∙

∙ ∙

文字解析

(Ⅰ)

因此

的值域为

.…………7分

(Ⅱ)由得,即,又因

.………8分

解法一:由余弦定理

,得

解得:

.…………12分

解法二:由正弦定理,得或

.…………8分

当时,,从而

当时,,又,从而

.

的值为1或2.…………12分

∙ ∙

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用;二倍角公式;两角和与差的三角函数公式

在△ABC 中,a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边,且(Ⅰ)求A 的大小; (Ⅱ)求

的最大值.

(Ⅰ)A =120°;(Ⅱ)1

∙ ∙ ∙ ∙

文字解析

(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得

由余弦定理得

,A =120° ……6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

∙ 故当时,sinB +sinC 取得最大值1. ……12分

∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用;两角和与差的三角函数

∙ 在中,

分别为内角. 的对边,且(Ⅰ)求的大小; (Ⅱ)若∙

∙ ,试判断的形状. 答案

(Ⅰ)A =120°;(Ⅱ)等腰的钝角三角形 ∙

∙ 文字解析

(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得, ∙

由余弦定理得,

∙ 故…………6分

∙ (Ⅱ)由(Ⅰ)得

∙ 又,得 ∙ 因为 , ∙ 故 ∙ 所以是等腰的钝角三角形。…………12分

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙ 已知的内角答案

,及其对边

,满足,求内角. ∙ ∙

∙ ∙

由 文字解析 及正弦定理得

…………4分

∙ 从而

…………6分

…………8分

∙ 所以…………10分

∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用;两角和与差的三角函数公式

∙ 如图,A ,B 是海面上位于东西方向相聚5(3+

45°,B 点北偏西60°且与B 点相距)海里的两个观测点,现位于A 点北偏东海里的C 点的救援船立即前往营救,

其航行速度为30海里/小时,该救援船达到D 点需要多长时间?

1小时 答案

∙ ∙ ∙ 文字解析 由题意知海里, ∙

∴ ,…………2分

在中,由正弦定理得

=(海里)…………8分

∙ ∠DBC =∠DBA +∠ABC =300+(900-600)=600, BC =20海里,

在△DBC 中由余弦定理得到CD =30海里,时间t =1小时,

答:救援船到达D 点需要1小时.…………12分

∙ ∙ 考点 正、余弦定理的综合应用

。轮船位于港口O 北偏西,且与该港口相距20海里的A 处,并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t 小时与轮船相遇。

(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。

(Ⅰ)

轮船相遇 海里/小时;(Ⅱ)航行方向为北偏东,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与

文字解析

(Ⅰ)设相遇时小航艇行的距离为S 海里,

则S =

∙ =,…………3分

∙ t

=时,S min =10,此时v ==30…………5分

即,小艇以海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.…………6分

(Ⅱ)

∙ ∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙ 某港口

港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于北偏西30°且与该港口相距20海里的处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过小时与轮船相遇。

(Ⅰ) 若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ) 为保证小艇在30分钟内(含30分钟) 能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (Ⅲ) 是否存在,使得小艇以海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?

若存在,试确定的取值范围;若不存在,请说明理由。

(I )答案 海里/小时;(II )

∙ ∙ 文字解析

(Ⅰ)解法一:设相遇时小

艇的航行距离为

海里,则 ∙

∙ 故时,,.[来源:学科网]

∙ 即小艇以海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小。…………6分

解法二:若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向. ∙ 设小艇与轮船在C 处相遇. ∙

中,,

,又,,

∙ 此时,轮船航行时间,.

∙ (Ⅱ)设小艇与轮船在处相遇. 由题意可知,, ∙ 化简得:时, 取得最小值,即小艇航行速度的最小值为. 由于,即海里/小时. ,所以当∙

由上知v 2=设=u ,(u >0),于是400u 2-600u +900-v 2=0有两个不等正根, ∙

于是,解得15

所以速度的范围是…………13分

∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙ 若△的内角满足

=

=

,则( )

A .

B .

C .

D .

D 答案

由 文字解析 ==得,::=2:3:4,

∙ 由正弦定理知,::=2:3:4,设=2,=3,=4,(>0),

==,故选D. ∙

∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用 ∙ 在ABC 中..则A 的取值范围是( )

A . (0

,]

B . [ ,)

C . (0

,]

D . [

C ,答案 )

∙ 文字解析 由正弦定理及,得,即, ∙ ∴,∵,故,选C .

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

的内角. 、

、的对边分别为

、、,己知,,求

∙ ∙ ∙

∵ 文字解析 ,

∴,∴,且,…………2分 ∙ ∴ ,∴,…………4分

∙ 由正弦定理及,得:,

∴ …………6分 ∙

两边平方,得:,即,…………8分 ∙

解得:或(舍)…………10分

21

∴,即.…………12分

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用;两角和与差的三角函数;同角三角函数关系式 ∙ △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,己知(Ⅰ) 求; . (Ⅱ)若

∙ ∙

(Ⅰ),求. 答案 ;(Ⅱ)

∙ ∙

∙ 文字解析 (I )由正弦定理得…………………………3分 ∙ 由余弦定理得.

故,因此

.…………………………………6分 ∙

(II )

22

…………………………………8分

∙ 故, ∙

.…………………………………12分

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    [作者:吴国平] 一.实际问题中的有关概念 1.仰角和俯角: 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图1). 2.方位角: 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图2). 3 ...

    2014高考数学第一轮复习 正余弦定理应用题

    第7讲 正弦定理.余弦定理应用举例 [2014年高考会这样考] 考查利用正弦定理.余弦定理解决实际问题中的角度.方向.距离及测量问题. [复习指导] 1.本讲联系生活实例,体会建模过程,掌握运用正弦定理.余弦定理解决实际问题的基本方法. 2 ...

    平面图形中的解三角形

    利用正弦,余弦定理解三角形的一些平面图形问题 1.如图, D 是直角∆ABC 斜边BC 上一点 (I )若∠DAC =30 , 求角B 的大小: (II )若BD =2DC , 求DC 的长. 2.如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥A ...

    正余弦定理应用的教学教案

    1.1.3解三角形的应用 ●教学重点 三角形各种类型的判定方法:三角形面积定理的应用. ●教学难点 正.余弦定理与三角形的有关性质的综合运用. 例1.在∆ABC 中,已知a =7,b =5,c =3,判断∆ABC 的类型. 求解思路:判断三 ...