正余弦定理综合应用
1. 已知△ABC 中，则
（
）
的对边分别为
. 若
，
且
，
A ． 2 B ． C ． D ．
方法1：因为由余弦定理，得
．故选A ． 方法2：因为
，所以△ABC 为等腰三角形，
，
，所以△
ABC 为等腰三角形，
， ，
由正弦定理，得．故选A ．
2. 为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N
在同
一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。
方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角A ，B 的距离 d （如图所示） . ……….3分
；B 点到M ，N 的俯角
；
②第一步：计算AM . 由正弦定理
；…………6分
第二步：计算AN . 由正弦定理
；…………9分
第三步：计算MN. 由余弦定理
.…………12分
；
方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角A ，B 的距离 d （如图所示）.…………3分
，；B 点到M ，N 点的府角，
②第一步：计算BM . 由正弦定理
；…………6分
第二步：计算BN . 由正弦定理
；w.w…………9分
…………12分
第三步：计算MN . 由余弦定理
3.
在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、、
，已知
求b ．
，且
文字解析
解法一：在
中
则由正弦定理及余弦定理有：
；……………6分
.
化简并整理得：.……………8分又由已知
解得. ………………10分
解法二:由余弦定理得
: ，又,
。 ，
所以①……………4分又
……………6分
，即
②……………8分由①，②解得
。……………10分
由正弦定理得，故
4. 在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B
、C 所对的边，且（Ⅱ）若＝
, 且△ABC 的面积为
，求a ＋b 的值.
.
(Ⅰ)
；（Ⅱ）5文字解析(Ⅰ) 由
及正弦定理得，
，……2分
∵，∴，…………4分∵△ABC 是锐角三角形，
.…………6分
（Ⅱ）解法1：∵＝，，由面积公式得：
…………10分
.…………12分
……8分
由余弦定理得：
由②
变形得
解法2：前同解法1，联立①、②得
，…………8分
∙
消去b 并整理得
，解得：
…………10分
∙
所以
，
∙
故
.…………12分
∙
∙ ∙
考点
正、余弦定理的综合应用
∙
在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若则A =（ ） A ． 30° B ． 60° C ． 120° D ． 150°
A
，sinC =2sinB ，
∙ ∙ ∙
文字解析
由
sinC
=2
sinB
结合正弦定理得：
，所以由于余弦定理得：
∙
∙
，所以A =30°，选A .
∙ ∙ ∙
考点
正、余弦定理的综合应用
∙
若△
的三个内角满足
，则△
（ ）
A ． 一定是锐角三角形. B ． 一定是直角三角形. C ． 一定是钝角三角形.
D ． 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
∙
C
答案
∙ ∙ ∙
由
文字解析
及正弦定理得a :b :c =5:11:13
∙
由余弦定理得
，所以角C 为钝角
∙ ∙ ∙
考点
正、余弦定理的综合应用；三角函数值的符号判定
∙
在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
∙
4
，则=____.
∙ ∙ ∙ ∙
文字解析
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。
∙
当A =B 或a =b
时满足题意，此时有：，，
，
∙
，
= 4。
∙
（方法二），
∙
，
∙
由正弦定理，得：上式=
∙ ∙ ∙
考点
正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数公式
∙
在ABC 中，.
（Ⅰ）证明：B =C ：
（Ⅱ）若
∙
=-，求sin 的值.
（Ⅰ）证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得=
.…………2分
∙
于是sinBcosC -cosBsinC =0，
∙
即sin （B -C ）=0.…………4分
∙
因为
，
∙
从而B -C =0.
∙
所以B =C .…………6分
∙
（Ⅱ）解：由A +B +C =
和（Ⅰ）得A =
-2B ，
∙
故cos 2B =-cos （-2B ）=-cosA =
.…………8分
∙
又0
.
∙
从而sin 4B =2sin 2Bcos 2B =，cos 4B =
.…………10分
∙
所以
.…………12分
∙ ∙
∙ ∙ ∙
文字解析 考点
正、余弦定理的综合应用；同角三角函数的基本关系；二倍角公式
∙
设函数．
（Ⅰ）求的值域；
（Ⅱ）记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若求a 的值．
∙
（Ⅰ）
，，，
；（Ⅱ）
的值为1或2
∙ ∙
∙ ∙
文字解析
（Ⅰ）
∙
∙
∙
，
∙
因此
的值域为
.…………7分
∙
（Ⅱ）由得，即，又因
，
∙
故
.………8分
∙
解法一：由余弦定理
，得
，
∙
解得：
或
.…………12分
∙
解法二：由正弦定理，得或
.…………8分
∙
当时，，从而
；
∙
当时，，又，从而
.
∙
故
的值为1或2.…………12分
∙ ∙
∙ 考点
正、余弦定理的综合应用；二倍角公式；两角和与差的三角函数公式
∙
在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求
的最大值.
∙
（Ⅰ）A =120°；（Ⅱ）1
∙ ∙ ∙ ∙
文字解析
（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
∙
即
∙
由余弦定理得
∙
故
，A =120° ……6分
∙
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
∙
∙
∙ 故当时，sinB +sinC 取得最大值1. ……12分
∙
∙ ∙ 考点
正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数
∙ 在中，
分别为内角. 的对边，且（Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若∙
∙ ，试判断的形状. 答案
（Ⅰ）A =120°；（Ⅱ）等腰的钝角三角形 ∙
∙
∙
∙ 文字解析
（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得， ∙
即
∙
由余弦定理得，
∙ 故…………6分
∙ （Ⅱ）由（Ⅰ）得
∙ 又，得 ∙ 因为 ， ∙ 故 ∙ 所以是等腰的钝角三角形。…………12分
∙
∙
∙ 考点
正、余弦定理的综合应用
∙ 已知的内角答案
，及其对边
，满足，求内角． ∙ ∙
∙
∙ ∙
∙
由 文字解析 及正弦定理得
∙
…………4分
∙ 从而
∙
…………6分
∙
又
∙
故
∙
…………8分
∙ 所以…………10分
∙
∙ ∙
考点
正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数公式
∙ 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相聚5（3+
45°，B 点北偏西60°且与B 点相距）海里的两个观测点，现位于A 点北偏东海里的C 点的救援船立即前往营救，
其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？
∙
∙
1小时 答案
∙
∙ ∙ ∙ 文字解析 由题意知海里， ∙
∴ ，…………2分
∙
在中，由正弦定理得
，
∙
∴
∙
=（海里）…………8分
∙ ∠DBC =∠DBA +∠ABC =300+(900-600)=600, BC =20海里，
∙
在△DBC 中由余弦定理得到CD =30海里，时间t =1小时，
∙
答：救援船到达D 点需要1小时.…………12分
∙
∙ ∙ 考点 正、余弦定理的综合应用
∙
。轮船位于港口O 北偏西，且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
∙
（Ⅰ）
轮船相遇 海里/小时；（Ⅱ）航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与
∙
∙
∙
∙
文字解析
（Ⅰ）设相遇时小航艇行的距离为S 海里，
∙
则S =
∙ =，…………3分
∙ t
=时，S min =10，此时v ==30…………5分
∙
即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.…………6分
∙
（Ⅱ）
∙ ∙ ∙ 考点
正、余弦定理的综合应用
∙ 某港口
港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。
(Ⅰ) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (Ⅱ) 为保证小艇在30分钟内(含30分钟) 能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ) 是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？
若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。
∙
∙
（I ）答案 海里/小时；（II ）
∙
∙
∙ ∙ 文字解析
（Ⅰ）解法一：设相遇时小
艇的航行距离为
海里，则 ∙
∙ 故时，，.[来源:学科网]
∙ 即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。…………6分
∙
解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向. ∙ 设小艇与轮船在C 处相遇. ∙
在
中，，
∙
，又，，
∙ 此时，轮船航行时间，.
∙
∙ （Ⅱ）设小艇与轮船在处相遇. 由题意可知，， ∙ 化简得：时， 取得最小值，即小艇航行速度的最小值为. 由于，即海里/小时. ，所以当∙
由上知v 2=设=u ，(u >0)，于是400u 2-600u +900-v 2=0有两个不等正根， ∙
于是，解得15
所以速度的范围是…………13分
∙
∙
∙ ∙ 考点
正、余弦定理的综合应用
∙ 若△的内角满足
=
=
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
∙
D 答案
∙
∙
∙
由 文字解析 ==得，：：=2:3:4，
∙ 由正弦定理知，：：=2:3:4，设=2，=3，=4，（＞0），
∙
则
==，故选D. ∙
∙ ∙ 考点
正、余弦定理的综合应用 ∙ 在ABC 中．．则A 的取值范围是（ ）
A ． (0
，]
B ． [ ，)
C ． (0
，]
D ． [
∙
C ，答案 )
∙
∙
∙ 文字解析 由正弦定理及，得，即， ∙ ∴，∵，故，选C ．
∙
∙
∙ 考点
正、余弦定理的综合应用
∙
的内角． 、
、的对边分别为
、、，己知，，求
∙
∙ ∙ ∙
∙
∵ 文字解析 ，
∴，∴，且，…………2分 ∙ ∴ ，∴，…………4分
∙ 由正弦定理及，得：，
∙
∴ …………6分 ∙
两边平方，得：，即，…………8分 ∙
解得：或（舍）…………10分
∙
21
∴，即.…………12分
∙
∙
∙ 考点
正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数；同角三角函数关系式 ∙ △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，己知(Ⅰ) 求； . （Ⅱ）若
∙ ∙
（Ⅰ），求. 答案 ；（Ⅱ）
∙
∙ ∙
∙ 文字解析 （I ）由正弦定理得…………………………3分 ∙ 由余弦定理得.
∙
故，因此
.…………………………………6分 ∙
（II ）
∙
22
…………………………………8分
∙ 故， ∙
.…………………………………12分
∙
23
正余弦定理综合应用
1. 已知△ABC 中，则
（
）
的对边分别为
. 若
，
且
，
A ． 2 B ． C ． D ．
方法1：因为由余弦定理，得
．故选A ． 方法2：因为
，所以△ABC 为等腰三角形，
，
，所以△
ABC 为等腰三角形，
， ，
由正弦定理，得．故选A ．
2. 为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N
在同
一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。
方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角A ，B 的距离 d （如图所示） . ……….3分
；B 点到M ，N 的俯角
；
②第一步：计算AM . 由正弦定理
；…………6分
第二步：计算AN . 由正弦定理
；…………9分
第三步：计算MN. 由余弦定理
.…………12分
；
方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角A ，B 的距离 d （如图所示）.…………3分
，；B 点到M ，N 点的府角，
②第一步：计算BM . 由正弦定理
；…………6分
第二步：计算BN . 由正弦定理
；w.w…………9分
…………12分
第三步：计算MN . 由余弦定理
3.
在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、、
，已知
求b ．
，且
文字解析
解法一：在
中
则由正弦定理及余弦定理有：
；……………6分
.
化简并整理得：.……………8分又由已知
解得. ………………10分
解法二:由余弦定理得
: ，又,
。 ，
所以①……………4分又
……………6分
，即
②……………8分由①，②解得
。……………10分
由正弦定理得，故
4. 在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B
、C 所对的边，且（Ⅱ）若＝
, 且△ABC 的面积为
，求a ＋b 的值.
.
(Ⅰ)
；（Ⅱ）5文字解析(Ⅰ) 由
及正弦定理得，
，……2分
∵，∴，…………4分∵△ABC 是锐角三角形，
.…………6分
（Ⅱ）解法1：∵＝，，由面积公式得：
…………10分
.…………12分
……8分
由余弦定理得：
由②
变形得
解法2：前同解法1，联立①、②得
，…………8分
∙
消去b 并整理得
，解得：
…………10分
∙
所以
，
∙
故
.…………12分
∙
∙ ∙
考点
正、余弦定理的综合应用
∙
在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若则A =（ ） A ． 30° B ． 60° C ． 120° D ． 150°
A
，sinC =2sinB ，
∙ ∙ ∙
文字解析
由
sinC
=2
sinB
结合正弦定理得：
，所以由于余弦定理得：
∙
∙
，所以A =30°，选A .
∙ ∙ ∙
考点
正、余弦定理的综合应用
∙
若△
的三个内角满足
，则△
（ ）
A ． 一定是锐角三角形. B ． 一定是直角三角形. C ． 一定是钝角三角形.
D ． 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
∙
C
答案
∙ ∙ ∙
由
文字解析
及正弦定理得a :b :c =5:11:13
∙
由余弦定理得
，所以角C 为钝角
∙ ∙ ∙
考点
正、余弦定理的综合应用；三角函数值的符号判定
∙
在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
∙
4
，则=____.
∙ ∙ ∙ ∙
文字解析
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。
∙
当A =B 或a =b
时满足题意，此时有：，，
，
∙
，
= 4。
∙
（方法二），
∙
，
∙
由正弦定理，得：上式=
∙ ∙ ∙
考点
正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数公式
∙
在ABC 中，.
（Ⅰ）证明：B =C ：
（Ⅱ）若
∙
=-，求sin 的值.
（Ⅰ）证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得=
.…………2分
∙
于是sinBcosC -cosBsinC =0，
∙
即sin （B -C ）=0.…………4分
∙
因为
，
∙
从而B -C =0.
∙
所以B =C .…………6分
∙
（Ⅱ）解：由A +B +C =
和（Ⅰ）得A =
-2B ，
∙
故cos 2B =-cos （-2B ）=-cosA =
.…………8分
∙
又0
.
∙
从而sin 4B =2sin 2Bcos 2B =，cos 4B =
.…………10分
∙
所以
.…………12分
∙ ∙
∙ ∙ ∙
文字解析 考点
正、余弦定理的综合应用；同角三角函数的基本关系；二倍角公式
∙
设函数．
（Ⅰ）求的值域；
（Ⅱ）记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若求a 的值．
∙
（Ⅰ）
，，，
；（Ⅱ）
的值为1或2
∙ ∙
∙ ∙
文字解析
（Ⅰ）
∙
∙
∙
，
∙
因此
的值域为
.…………7分
∙
（Ⅱ）由得，即，又因
，
∙
故
.………8分
∙
解法一：由余弦定理
，得
，
∙
解得：
或
.…………12分
∙
解法二：由正弦定理，得或
.…………8分
∙
当时，，从而
；
∙
当时，，又，从而
.
∙
故
的值为1或2.…………12分
∙ ∙
∙ 考点
正、余弦定理的综合应用；二倍角公式；两角和与差的三角函数公式
∙
在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求
的最大值.
∙
（Ⅰ）A =120°；（Ⅱ）1
∙ ∙ ∙ ∙
文字解析
（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
∙
即
∙
由余弦定理得
∙
故
，A =120° ……6分
∙
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
∙
∙
∙ 故当时，sinB +sinC 取得最大值1. ……12分
∙
∙ ∙ 考点
正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数
∙ 在中，
分别为内角. 的对边，且（Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若∙
∙ ，试判断的形状. 答案
（Ⅰ）A =120°；（Ⅱ）等腰的钝角三角形 ∙
∙
∙
∙ 文字解析
（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得， ∙
即
∙
由余弦定理得，
∙ 故…………6分
∙ （Ⅱ）由（Ⅰ）得
∙ 又，得 ∙ 因为 ， ∙ 故 ∙ 所以是等腰的钝角三角形。…………12分
∙
∙
∙ 考点
正、余弦定理的综合应用
∙ 已知的内角答案
，及其对边
，满足，求内角． ∙ ∙
∙
∙ ∙
∙
由 文字解析 及正弦定理得
∙
…………4分
∙ 从而
∙
…………6分
∙
又
∙
故
∙
…………8分
∙ 所以…………10分
∙
∙ ∙
考点
正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数公式
∙ 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相聚5（3+
45°，B 点北偏西60°且与B 点相距）海里的两个观测点，现位于A 点北偏东海里的C 点的救援船立即前往营救，
其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？
∙
∙
1小时 答案
∙
∙ ∙ ∙ 文字解析 由题意知海里， ∙
∴ ，…………2分
∙
在中，由正弦定理得
，
∙
∴
∙
=（海里）…………8分
∙ ∠DBC =∠DBA +∠ABC =300+(900-600)=600, BC =20海里，
∙
在△DBC 中由余弦定理得到CD =30海里，时间t =1小时，
∙
答：救援船到达D 点需要1小时.…………12分
∙
∙ ∙ 考点 正、余弦定理的综合应用
∙
。轮船位于港口O 北偏西，且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
∙
（Ⅰ）
轮船相遇 海里/小时；（Ⅱ）航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与
∙
∙
∙
∙
文字解析
（Ⅰ）设相遇时小航艇行的距离为S 海里，
∙
则S =
∙ =，…………3分
∙ t
=时，S min =10，此时v ==30…………5分
∙
即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.…………6分
∙
（Ⅱ）
∙ ∙ ∙ 考点
正、余弦定理的综合应用
∙ 某港口
港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。
(Ⅰ) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (Ⅱ) 为保证小艇在30分钟内(含30分钟) 能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ) 是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？
若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。
∙
∙
（I ）答案 海里/小时；（II ）
∙
∙
∙ ∙ 文字解析
（Ⅰ）解法一：设相遇时小
艇的航行距离为
海里，则 ∙
∙ 故时，，.[来源:学科网]
∙ 即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。…………6分
∙
解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向. ∙ 设小艇与轮船在C 处相遇. ∙
在
中，，
∙
，又，，
∙ 此时，轮船航行时间，.
∙
∙ （Ⅱ）设小艇与轮船在处相遇. 由题意可知，， ∙ 化简得：时， 取得最小值，即小艇航行速度的最小值为. 由于，即海里/小时. ，所以当∙
由上知v 2=设=u ，(u >0)，于是400u 2-600u +900-v 2=0有两个不等正根， ∙
于是，解得15
所以速度的范围是…………13分
∙
∙
∙ ∙ 考点
正、余弦定理的综合应用
∙ 若△的内角满足
=
=
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
∙
D 答案
∙
∙
∙
由 文字解析 ==得，：：=2:3:4，
∙ 由正弦定理知，：：=2:3:4，设=2，=3，=4，（＞0），
∙
则
==，故选D. ∙
∙ ∙ 考点
正、余弦定理的综合应用 ∙ 在ABC 中．．则A 的取值范围是（ ）
A ． (0
，]
B ． [ ，)
C ． (0
，]
D ． [
∙
C ，答案 )
∙
∙
∙ 文字解析 由正弦定理及，得，即， ∙ ∴，∵，故，选C ．
∙
∙
∙ 考点
正、余弦定理的综合应用
∙
的内角． 、
、的对边分别为
、、，己知，，求
∙
∙ ∙ ∙
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∵ 文字解析 ，
∴，∴，且，…………2分 ∙ ∴ ，∴，…………4分
∙ 由正弦定理及，得：，
∙
∴ …………6分 ∙
两边平方，得：，即，…………8分 ∙
解得：或（舍）…………10分
∙
21
∴，即.…………12分
∙
∙
∙ 考点
正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数；同角三角函数关系式 ∙ △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，己知(Ⅰ) 求； . （Ⅱ）若
∙ ∙
（Ⅰ），求. 答案 ；（Ⅱ）
∙
∙ ∙
∙ 文字解析 （I ）由正弦定理得…………………………3分 ∙ 由余弦定理得.
∙
故，因此
.…………………………………6分 ∙
（II ）
∙
22
…………………………………8分
∙ 故， ∙
.…………………………………12分
∙
23