利用正弦，余弦定理解三角形的一些平面图形问题
1．如图, D 是直角∆ABC 斜边BC 上一点
（I ）若∠DAC =30 , 求角B 的大小；
（II ）若BD =2DC ,
求DC 的长．
2．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB =
1
（Ⅰ）求sin ∠BAC ； （Ⅱ）求DC 的长.
3．如图，在四边形ABCD
（1）求AD 边的长；
（2）求∆ABC 的面积．
4．如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cosB
cos ∠ADC
(1)求sin ∠BAD 的值； (2)求AC 边的长．
5．如图所示，在平面四边形ABCD
中，AB ⊥AD DE =
1，AE =2
E 为AD
边上一
（1）求sin ∠CED 的值；
（2）求BE 的长.
6．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，
CD ⊥BC CD
=5, BD =2AD .
（Ⅰ）求AD 的长；
（Ⅱ）求△ABC 的面积．
7．设锐角△ABC 的三内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c 向量
m
m 与n 共线.
n （1）求角A 的大小；
（2）若
a =2
ABC B 的取值范围.
8．在∆ABC 中, 内角A 、B 、C 对应的边长分别为a
、b 、c , 已知
（1）求角A ；
（2求b +c 的取值范围． 9．（2012•东至县一模）在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边长分别是a ，b ，c ，已知c=2，C=
（Ⅰ）若△ABC 的面积等于
；
（Ⅱ）若sinC+sin（B ﹣A ）=2sin2A，求△ABC 的面积．
10m ⋅n =0． （1）将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调递增区间；
（
2）已知∆ABC 三个内角A , B , C 的对边分别为a , b , c
a =2，求∆ABC 面积的最大值．
11．如图，在∆ABC 中，AB
=12
点D 在边BC 上，且∠ADC =60 ．
（1）求cos C ；
（2）求线段AD 的长．
参考答案
1． （I ）∠B =60°；（II ）2.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）
C =x , 可得∠ADC =120°；（II ）设D 在∆ABD 中, 由余弦定理整理出关于x 的方程
试题解析：（Ⅰ）在△ABC 中, 根据正弦定理, 又∠ADC =∠B +∠BAD =∠B +60 >60
所以∠ADC =120°.
于是∠C =180 -120 -30 =30 , 所以∠B =60°.
（Ⅱ）设DC =
x , 则BD =2x , BC =
3x
在∆ABD 中, 由余弦定理, 得 AD 2=AB 2+BD 2-2AB ⋅
BD cos B ,
故DC =2.
考点：正弦定理、余弦定理.
2
．【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用余弦定理，求出BC 的值，再利用正弦定理即可求sin ∠ABC ；
得x =2.
答案第1页，总8页
考点：1. 正弦定理与余弦定理；2. 三角恒等变换；3. 三角形内角和定理.
3．（1）AD =5；（2
【解析】
试题分析：（1
（2）在∆ABD 求解三角形的面积．
试题解析：（1）在∆ABD 中，由余弦定理，得
BD 2=AB 2+AD 2-2AB ⋅AD ⋅cos120︒， ，所以AD =5； AD =5或AD =-8（舍去）（2）由已知，BC 2+BD 2=
CD 2，所以∠CBD =90︒，
考点：正弦定理与余弦定理的应用．
4．
AC =4.
【解析】
试题分析：(1)sin B , sin ∠ADC 的值. 因为∠BAD =∠ADC -
∠B , 可由正弦的两角差公式求得sin ∠BAD 的值. (2)在∆ABD
中可由正弦定理求得BD 的长, 即DC 的长,
然后再在∆ADC 中用余弦定理求得AC 的长.
试题解析：解：(1)
所以sin ∠BAD =sin (∠ADC -∠B )
答案第2页，总8页
=sin ∠ADC cos B -cos ∠
ADC sin B
(2)在∆
ABD 解得BD =2.
故DC =2，
从而在∆A D 中，由AC 2=AD 2+DC 2-2AD ⋅DC
cos ∠ADC
得AC =4.
考点：1两角和差公式;2正弦定理, 余弦定理.
【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和差公式，属于中档题．解题时一定要注意角的范围，三角形内角的正弦值均为正, 否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．
5．（1
【解析】 （
2 D E 试题分析：（1）在△C 中，由余弦定理求解CD ，
（2）利用三角函数的诱导公式与和角公式求出cos ∠AEB 的值，再在Rt
△ABE 中，
CE 2=CD 2+DE 2-2CD ⋅DE cos ∠CDE ， 试题解析：(Ⅰ) 在△CDE 中，由余弦定理得：
2整理得：CD +CD -6=
0即CD =2
(Ⅱ)
答案第3页，总8页
所以在Rt △
ABE 考点：正、余弦定理的应用；三角函数的诱导公式及和角公式的应用．
6．（Ⅰ）5；
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 设AD =x (x >0)，则BD =2x ．因为CD ⊥BC ，CD =5，BD
=2x ，所以
，由余弦定理
得
cos ∠ADC =-cos ∠CDB ，
解得x =5．所以AD 的长为5；（Ⅱ）由(Ⅰ) AB =3x =15
，可得正确答案. 试题解析：(Ⅰ) 在∆ABC 中，因为BD =2AD ，设AD =x (x >0)，则BD =2x ．
CD =5，BD =2x ，
∆ACD 中，因为AD =
x ，CD =5 3) 2
由余弦定理得．因
为∠CDB +∠ADC =π，
所以cos ∠ADC =-cos ∠CDB ， x =5．所以AD 的长为5.
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得AB =3x =
15 答案第4页，总8页
考点：余弦定理及三角形面积公式.
7．（12
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用向量平行，得到关于A 的关系式，利用二倍角公式、两角差的正弦函
数化简，求出角A 的大小；（Ⅱ）通过a =2ABC
到B 的余弦值的范围，然后求角B 的取值范围
试题解析：（1）因为m 与n
A
（2）因为a =2
因为B
故角B
答案第5页，总8页
考点：1. 三角函数的恒等变换及化简求值；2. 解三角形 【答案】（1（2
【解析】
试题分析：（1）由余弦定理
得所
；（2）利用正弦定理得b +c =2sin B +2sin C , 利用诱导公式和辅助角公式转化为三角函数求范围.
试题解析：（1
由余弦定理 得a 2+c 2-b 2-bc =2a 2-2b 2, a 2=b 2+c 2-bc
∴b =2sin B , c =2sin C
∴b +c =2sin B +2sin C =2sin B +2sin (A +B )
=2sin B +2sin A cos B +2cos
A sin B
． 考点：正弦定理、余弦定理、三角变换. 9．（Ⅰ）a=2，b=2；（Ⅱ）S=
【解析】
2试题分析：（Ⅰ）由C 的度数求出sinC 和cosC 的值，利用余弦定理表示出c ，把c 和cosC
的值代入得到一个关于a 与b 的关系式，再由sinC 的值及三角形的面积等于，利用面积公式列出a 与b 的另一个关系式，两个关系式联立即可即可求出a 与b 的值；
（Ⅱ）由三角形的内角和定理得到C=π﹣（A+B），进而利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式变形，分两种情况考虑：若cosA 为0，得到A 和B 的度数，进而根据直角三角形的性质求出a 与b 的值；若cosA 不为0，等式两边除以cosA ，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得到b=2a，与第一问中余弦定理得到的a 与b 的关系式联立，求出a 与b 的值，综上，由求出的a 与b
答案第6页，总8页
的值得到ab 的值，再由sinC 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积． 解：（Ⅰ）∵c=2，C=60°，
22222由余弦定理c =a+b﹣2abcosC 得：a +b﹣ab=4，
根据三角形的面积S=，可得ab=4，
联立方程组，
解得a=2，b=2；
（Ⅱ）由题意
sin （B+A）+sin
（B ﹣A ）=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA， ；
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a， 联立方程组
解得a=
所以△ABC 的面积
S=． ．
考点：余弦定理；正弦定理．
10．（1 【解析】
试题分析：（1）
再借助两角和与差的正余弦公式化简可得f (x )的表达式；（2确定出角A 的大小，再根据a =2, 利用余弦定理可知 f (x ) （
2）∆ABC a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc ≥2bc -bc =bc , 从而求出bc 的最大值，进而得到面积的最大值．
试题解
析：解：（1
答案第7页，总8页
f (x
)（2
在∆ABC 中由余弦定理有，a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc ≥2bc -bc =bc 可知bc ≤4（当且仅当b =c 时取等号），
∆
ABC 考点：1．三角恒等变换；2．余弦定理；3．三角函数的性质．
11．（1
（2）AD =8． 【解析】
试题分析：（1
试题解析：（1（2）因为0
考点：正余弦定理解三角形．
答案第8页，总8页
利用正弦，余弦定理解三角形的一些平面图形问题
1．如图, D 是直角∆ABC 斜边BC 上一点
（I ）若∠DAC =30 , 求角B 的大小；
（II ）若BD =2DC ,
求DC 的长．
2．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB =
1
（Ⅰ）求sin ∠BAC ； （Ⅱ）求DC 的长.
3．如图，在四边形ABCD
（1）求AD 边的长；
（2）求∆ABC 的面积．
4．如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cosB
cos ∠ADC
(1)求sin ∠BAD 的值； (2)求AC 边的长．
5．如图所示，在平面四边形ABCD
中，AB ⊥AD DE =
1，AE =2
E 为AD
边上一
（1）求sin ∠CED 的值；
（2）求BE 的长.
6．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，
CD ⊥BC CD
=5, BD =2AD .
（Ⅰ）求AD 的长；
（Ⅱ）求△ABC 的面积．
7．设锐角△ABC 的三内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c 向量
m
m 与n 共线.
n （1）求角A 的大小；
（2）若
a =2
ABC B 的取值范围.
8．在∆ABC 中, 内角A 、B 、C 对应的边长分别为a
、b 、c , 已知
（1）求角A ；
（2求b +c 的取值范围． 9．（2012•东至县一模）在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边长分别是a ，b ，c ，已知c=2，C=
（Ⅰ）若△ABC 的面积等于
；
（Ⅱ）若sinC+sin（B ﹣A ）=2sin2A，求△ABC 的面积．
10m ⋅n =0． （1）将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调递增区间；
（
2）已知∆ABC 三个内角A , B , C 的对边分别为a , b , c
a =2，求∆ABC 面积的最大值．
11．如图，在∆ABC 中，AB
=12
点D 在边BC 上，且∠ADC =60 ．
（1）求cos C ；
（2）求线段AD 的长．
参考答案
1． （I ）∠B =60°；（II ）2.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）
C =x , 可得∠ADC =120°；（II ）设D 在∆ABD 中, 由余弦定理整理出关于x 的方程
试题解析：（Ⅰ）在△ABC 中, 根据正弦定理, 又∠ADC =∠B +∠BAD =∠B +60 >60
所以∠ADC =120°.
于是∠C =180 -120 -30 =30 , 所以∠B =60°.
（Ⅱ）设DC =
x , 则BD =2x , BC =
3x
在∆ABD 中, 由余弦定理, 得 AD 2=AB 2+BD 2-2AB ⋅
BD cos B ,
故DC =2.
考点：正弦定理、余弦定理.
2
．【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用余弦定理，求出BC 的值，再利用正弦定理即可求sin ∠ABC ；
得x =2.
答案第1页，总8页
考点：1. 正弦定理与余弦定理；2. 三角恒等变换；3. 三角形内角和定理.
3．（1）AD =5；（2
【解析】
试题分析：（1
（2）在∆ABD 求解三角形的面积．
试题解析：（1）在∆ABD 中，由余弦定理，得
BD 2=AB 2+AD 2-2AB ⋅AD ⋅cos120︒， ，所以AD =5； AD =5或AD =-8（舍去）（2）由已知，BC 2+BD 2=
CD 2，所以∠CBD =90︒，
考点：正弦定理与余弦定理的应用．
4．
AC =4.
【解析】
试题分析：(1)sin B , sin ∠ADC 的值. 因为∠BAD =∠ADC -
∠B , 可由正弦的两角差公式求得sin ∠BAD 的值. (2)在∆ABD
中可由正弦定理求得BD 的长, 即DC 的长,
然后再在∆ADC 中用余弦定理求得AC 的长.
试题解析：解：(1)
所以sin ∠BAD =sin (∠ADC -∠B )
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=sin ∠ADC cos B -cos ∠
ADC sin B
(2)在∆
ABD 解得BD =2.
故DC =2，
从而在∆A D 中，由AC 2=AD 2+DC 2-2AD ⋅DC
cos ∠ADC
得AC =4.
考点：1两角和差公式;2正弦定理, 余弦定理.
【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和差公式，属于中档题．解题时一定要注意角的范围，三角形内角的正弦值均为正, 否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．
5．（1
【解析】 （
2 D E 试题分析：（1）在△C 中，由余弦定理求解CD ，
（2）利用三角函数的诱导公式与和角公式求出cos ∠AEB 的值，再在Rt
△ABE 中，
CE 2=CD 2+DE 2-2CD ⋅DE cos ∠CDE ， 试题解析：(Ⅰ) 在△CDE 中，由余弦定理得：
2整理得：CD +CD -6=
0即CD =2
(Ⅱ)
答案第3页，总8页
所以在Rt △
ABE 考点：正、余弦定理的应用；三角函数的诱导公式及和角公式的应用．
6．（Ⅰ）5；
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 设AD =x (x >0)，则BD =2x ．因为CD ⊥BC ，CD =5，BD
=2x ，所以
，由余弦定理
得
cos ∠ADC =-cos ∠CDB ，
解得x =5．所以AD 的长为5；（Ⅱ）由(Ⅰ) AB =3x =15
，可得正确答案. 试题解析：(Ⅰ) 在∆ABC 中，因为BD =2AD ，设AD =x (x >0)，则BD =2x ．
CD =5，BD =2x ，
∆ACD 中，因为AD =
x ，CD =5 3) 2
由余弦定理得．因
为∠CDB +∠ADC =π，
所以cos ∠ADC =-cos ∠CDB ， x =5．所以AD 的长为5.
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得AB =3x =
15 答案第4页，总8页
考点：余弦定理及三角形面积公式.
7．（12
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用向量平行，得到关于A 的关系式，利用二倍角公式、两角差的正弦函
数化简，求出角A 的大小；（Ⅱ）通过a =2ABC
到B 的余弦值的范围，然后求角B 的取值范围
试题解析：（1）因为m 与n
A
（2）因为a =2
因为B
故角B
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考点：1. 三角函数的恒等变换及化简求值；2. 解三角形 【答案】（1（2
【解析】
试题分析：（1）由余弦定理
得所
；（2）利用正弦定理得b +c =2sin B +2sin C , 利用诱导公式和辅助角公式转化为三角函数求范围.
试题解析：（1
由余弦定理 得a 2+c 2-b 2-bc =2a 2-2b 2, a 2=b 2+c 2-bc
∴b =2sin B , c =2sin C
∴b +c =2sin B +2sin C =2sin B +2sin (A +B )
=2sin B +2sin A cos B +2cos
A sin B
． 考点：正弦定理、余弦定理、三角变换. 9．（Ⅰ）a=2，b=2；（Ⅱ）S=
【解析】
2试题分析：（Ⅰ）由C 的度数求出sinC 和cosC 的值，利用余弦定理表示出c ，把c 和cosC
的值代入得到一个关于a 与b 的关系式，再由sinC 的值及三角形的面积等于，利用面积公式列出a 与b 的另一个关系式，两个关系式联立即可即可求出a 与b 的值；
（Ⅱ）由三角形的内角和定理得到C=π﹣（A+B），进而利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式变形，分两种情况考虑：若cosA 为0，得到A 和B 的度数，进而根据直角三角形的性质求出a 与b 的值；若cosA 不为0，等式两边除以cosA ，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得到b=2a，与第一问中余弦定理得到的a 与b 的关系式联立，求出a 与b 的值，综上，由求出的a 与b
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的值得到ab 的值，再由sinC 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积． 解：（Ⅰ）∵c=2，C=60°，
22222由余弦定理c =a+b﹣2abcosC 得：a +b﹣ab=4，
根据三角形的面积S=，可得ab=4，
联立方程组，
解得a=2，b=2；
（Ⅱ）由题意
sin （B+A）+sin
（B ﹣A ）=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA， ；
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a， 联立方程组
解得a=
所以△ABC 的面积
S=． ．
考点：余弦定理；正弦定理．
10．（1 【解析】
试题分析：（1）
再借助两角和与差的正余弦公式化简可得f (x )的表达式；（2确定出角A 的大小，再根据a =2, 利用余弦定理可知 f (x ) （
2）∆ABC a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc ≥2bc -bc =bc , 从而求出bc 的最大值，进而得到面积的最大值．
试题解
析：解：（1
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f (x
)（2
在∆ABC 中由余弦定理有，a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc ≥2bc -bc =bc 可知bc ≤4（当且仅当b =c 时取等号），
∆
ABC 考点：1．三角恒等变换；2．余弦定理；3．三角函数的性质．
11．（1
（2）AD =8． 【解析】
试题分析：（1
试题解析：（1（2）因为0
考点：正余弦定理解三角形．
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