正弦.余弦定理

正弦定理

1. 了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理及其变形.

2.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形的形状. 1.正弦定理

(1)定理:在一个三角形中,各边和它所对角的_____的比相等,即在△ABC 中,==______.

sin A sin B

(2)变形:设△ABC 的外接圆的半径为R ,则有

a b

a sin A

b sin B

c sin C

=_____.

①a :b :c =sin A :_____:sinC .

a sin A a sin A b ②=,=,=______. b sin B c sin C c

a +b +c

③=== . sin A sin B sin C sin A +sin B +sin C ④a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =________. ⑤sin A =

a b c

a b c ,sin B =,sin C = . 2R 2R 2R

⑥A

一般地,把三角形的三个角和它们的______叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求__________的过程叫做解三角形.

对定理的证明,课本给出了锐角三角形的情况.对于钝角三角形,应如何证明?

提示:当△ABC 为钝角三角形时,如图,设∠BAC 为钝角,AB 边上的高为CD . ∵∠BAC =180°-∠DAC ,

∴sin ∠BAC =sin(180°-∠DAC ) =sin ∠DAC . ∴CD =b sin ∠DAC =b sin ∠BAC ,且CD =a sin B . ∴b sin ∠BAC =a sin B ,即同理:

a sin ∠BAC

b sin B

.

b sin B

c sin ∠BCA =

. =

综上所述:

a sin A

b sin B

c sin C

.

已知三角形的哪几个元素,可以用正弦定理解相应三角形? 提示:(1)已知三角形的任意两角和一边,求其它两边和另一角. (2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求另一边及另两角. 类型一 已知两角及一边解三角形

[例1] 在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,求A ,b ,c . [分析] 已知两角和一边,可由内角和求第三个角A ,再由正弦定理求b ,

c .

[解] A =180°-(B +C ) =180°-(60°+75°)=45°. 由正弦定理

b sin B

a sin A

得,

a sin B 8×sin60°b ===6,

sin A sin45°由

a sin A

c sin C

得,

c =

a sin C 8×sin75°

==sin A sin45°

2+6

422

4(3+1) .

变式训练1 (1)一个三角形的两内角分别为45°与60°,如果45°角所对的边长是6,那么60°角所对的边的边长为( )

A .6 B .32 C .3 D.26

1

(2)在△ABC 中,若tan A =,C =150°,BC =1,则AB =________.

3解析:(1)令60°角所对的边为a , 则

a sin60°

6

,∴a =6.

sin45°

110

(2)∵tan A =,∴sin A =.

310由正弦定理知

AB =

BC sin A

·sinC 10sin150°=

10

2

类型二 已知两边及一边的对角解三角形 [例2] 下列三角形是否有解?有解的作出解答. (1)a =7,b =8,A =105°; (2)b =10,c =6,C =60°; (3)a =3,b =6,A =30°.

[分析] 利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑. [解] (1)a =7,b =8,a 90°,本题无解. (2)b =10,c =6,b

b sin C 10·sin60°2

==, c 256

∴B =45°,A =180°-(B +C ) =75°.

∴a =

b sin A 10×sin75°

==sin B sin45°

10×

6+2

422

5(3+1) .

(3)a =3,b =6,a b sin A ∴本题有两解. 由正弦定理得: sin B =

b sin A 6sin30°3

==,B =60°或120°, a 223

a sin C 23sin90°

43; sin A sin30°

当B =60°时,C =90°,c =当B =120°时,C =30°,

c =

a sin C 3sin30°

==23. sin A sin30°

∴B =60°,C =90°,c =3或B =120°,C =30°,c =23.

[点评] 本例属于已知两边及其中一边的对角求解三角形的类型.此类问题解的情况如下:

A C .45° D.以上答案都不对 解析:由

a sin A

b sin B

得sin B =

b ·sinA 42×sin60°2

. a 23

∵a >b ,∴A >B ,而A =60°, ∴B 为锐角,∴B =45°. 答案:C

类型三 判断三角形的形状

[例3] 在△ABC 中,若sin 2A =sin 2B +sin 2C ,sin A =2sin B ·cosC ,试判断△ABC 的形状.

[分析] cos C =sin B

[解] 记

正弦定理

sin 2A =sin 2B +sin 2C ――→

B +C =90°

a 2=b 2+c 2

――→

a sin A

b sin B

c sin C

=k ,

则sin A =sin B =sin C =∵sin 2A =sin 2B +sin 2C ,∴(2=() 2+(2, 即a 2=b 2+c 2,A =90°. ∴C =90°-B ,cos C =sin B . ∴1=sin A =2sin 2B ,sin B =

2

2

a k b k c k

a k b k c k

∴B =45°或B =135°(A +B =225°>180°,舍去) . ∴△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形

变式训练3 已知方程x 2-(b cos A ) x +a cos B =0的两根之积等于两根之和,且a ,b 为△ABC 的两边,A ,B 分别为a ,b 的对角,试判断△ABC 的形状.

解:设方程的两根为x 1,x 2,由韦达定理得x 1+x 2=b cos A ,x 1x 2=a cos B . 由题意得b cos A =a cos B ,

由正弦定理得sin B cos A =sin A cos B , 即sin A cos B -cos A sin B =0.

∴sin(A -B ) =0. 在△ABC 中,A ,B 为其内角,-π

.在△ABC 中,已知b =3,c =3,B =30°,求

3

[正解] 由=,得sin C =sin B sin C 2

因为b B =30°,则C =60°或120°. 当C =60°时,A =90°;当C =120°时,A 再利用正弦定理

b c

a sin A

b sin B

,解得a =6或a =3.

1.对正弦定理的理解

(1)即===2R .

sin A sin B sin C

(2)结合(1)的结论由正弦定理可得如下变形: ①a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C . ②sin A =

a b c

a b c ,sin B =,sin C =. 2R 2R 2R

由变形①②可以实现三角形中边与角之间的相互转化.这是正弦定理除了用于求边、角之外的另一重要功能.

2.解斜三角形的类型

(1)已知两角与一边,用正弦定理,有解时,只有一解.

(2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC 中,已知a ,b 和A 时,解的情况如下:

3. 利用正弦定理判断三角形的形状

利用正弦定理,结合三角形的内角和定理及三角函数中的一些公式,可以对某些三角关系式或恒等式进行恒等变形,要充分挖掘题目中的隐含条件,通过正弦定理转化为边的关系或角的关系,看是否满足勾股定理、两边相等或两角相等、三边相等或三角相等,从而确定三角形的形状.

已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,可考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C (R 为△ABC 的外接圆半径) ,边角互化,再利用三角函数进行恒等变换,或利用因式分解进行恒等变换,然后

利用角或边的解的情况,给予判断.

1.有关正弦定理的叙述: ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于直角三角形;

③在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是定值; ④在△ABC 中,sin A :sinB :sinC =a :b :c . 其中正确的个数是( )

A .1 B .2 C .3 D.4

2.(2012·广东卷) 在△ABC 中,若A =60°,B =45°,BC =32,则AC =( )

A .3 B.23 3 D.

32

3.在△ABC 中,sin A =sin C ,则△ABC 是( ) A .直角三角形 B.等腰三角形 C .锐角三角形 D.钝角三角形

4.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知A :B :C =1:2:3,则a :b :c =________.

5.在△ABC 中,sin 2A +sin 2B =sin 2C ,则C =________.

6.在△ABC 中,A =60°,B =45°,c =1,求此三角形的最小边.

余弦定理

1. 了解余弦定理的推导过程,掌握余弦定理及其推论.

2.能利用余弦定理解三角形,并判断三角形的形状. 1.余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即

若a ,b ,c 分别是△ABC 的顶点A ,B ,C 所对的边长,则 a 2=__________________, b 2=__________________, c 2=__________________. 2.余弦定理的推论

余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系,它的另一种表达形式是

cos A =_____________,

cos B =_____________,

cos C =_____________.

须知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.角A 为钝角⇔_____________,角A 为直角⇔____________,角A 为锐角⇔____________.

3.利用余弦定理可解决的两类问题

余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,代入等式,便可求出第四个量来.

利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题: (1)已知三边,求_____;

(2)已知两边和它们的夹角,求__________________. 类型一 利用余弦定理解三角形

[例1] 在△ABC 中,已知b =3,c =23,A =30°,求边a 、角C 和角B . 变式训练1 已知在△ABC 中,a :b :c =2:6:(3+1) ,求△ABC 的各角度数. 类型二 判断三角形的形状

[例2] 在△ABC 中,已知(a +b +c )(b +c -a ) =3bc 且sin A =2sin B cos C ,试

确定△ABC 的形状.

[分析] 首先根据条件(a +b +c )(b +c -a ) =3bc ,利用余弦定理求出一个角,再利用另一个条件,得到另外两个角的关系,即可判断.

A b +c

变式训练2 在△ABC 中,已知cos 22c a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边) ,判断△ABC 的形状.

类型三 正、余弦定理的综合应用

[例3] 如图所示,在四边形ABCD 中,AD ⊥CD ,AD =10,AB =14,∠BDA =60°,∠BCD =135°,求BC 的长.

43变式训练3 如图所示,在△ABC 中,已知BC =15,AB :AC =7:8,sin B =7

求BC 边上的高AD 的长.

已知钝角三角形的三边a =k ,b =k +2,c =k +4,求k 的取值范围.

[正解] ∵c >b >a ,且△ABC 为钝角三角形, ∴C 为钝角. 由余弦定理,得

a 2+b 2-c 2k 2-4k -12

cos C =2ab 2k (k +2)∴k 2-4k -12

由两边之和大于第三边,得k +(k +2)>k +4. ∴k >2.

综上所述,2

1.解斜三角形时,要注意将正弦定理与余弦定理有机地结合起来,要根据条件灵活选用正、余弦定理.

2.要注意三角形中常见的结论: (1)A +B +C =π;

A +B A +B C C (2)sin2cos 2,cos 2=sin 2; (3)sin(A +B ) =sin C ,cos(A +B ) =-cos C ; (4)大边对大角,反之亦然;

(5)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. 3.余弦定理的应用

利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题: (1)已知三边,求三个角;

(2)已知两边和它们的夹角,可以求第三边,进而求出其他角.

1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列等式不成立的是( )

A .a 2=b 2+c 2-2bc cos A B .b 2=c 2+a 2-2ac cos B b 2+c 2-a 2

C .cos A =

2bc a 2+b 2+c 2

D .cos C =2ab

2.已知△ABC 满足B =60°,AB =3,AC =7,则BC 的长等于( )

A .2 B .1

C .1或2 D .无解

3.(2012·湖北卷) 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若(a +b -c )(a +b +c ) =ab ,则角C =________.

34.在△ABC 中,AB =2,BC =1,cos C =4AC =________.

5.在△ABC 中,sin A =2cos B sin C ,则三角形为________.

6.在△ABC 中,已知a =7,b =3,c =5,求最大角和sin C .

正弦定理

1. 了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理及其变形.

2.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形的形状. 1.正弦定理

(1)定理:在一个三角形中,各边和它所对角的_____的比相等,即在△ABC 中,==______.

sin A sin B

(2)变形:设△ABC 的外接圆的半径为R ,则有

a b

a sin A

b sin B

c sin C

=_____.

①a :b :c =sin A :_____:sinC .

a sin A a sin A b ②=,=,=______. b sin B c sin C c

a +b +c

③=== . sin A sin B sin C sin A +sin B +sin C ④a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =________. ⑤sin A =

a b c

a b c ,sin B =,sin C = . 2R 2R 2R

⑥A

一般地,把三角形的三个角和它们的______叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求__________的过程叫做解三角形.

对定理的证明,课本给出了锐角三角形的情况.对于钝角三角形,应如何证明?

提示:当△ABC 为钝角三角形时,如图,设∠BAC 为钝角,AB 边上的高为CD . ∵∠BAC =180°-∠DAC ,

∴sin ∠BAC =sin(180°-∠DAC ) =sin ∠DAC . ∴CD =b sin ∠DAC =b sin ∠BAC ,且CD =a sin B . ∴b sin ∠BAC =a sin B ,即同理:

a sin ∠BAC

b sin B

.

b sin B

c sin ∠BCA =

. =

综上所述:

a sin A

b sin B

c sin C

.

已知三角形的哪几个元素,可以用正弦定理解相应三角形? 提示:(1)已知三角形的任意两角和一边,求其它两边和另一角. (2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求另一边及另两角. 类型一 已知两角及一边解三角形

[例1] 在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,求A ,b ,c . [分析] 已知两角和一边,可由内角和求第三个角A ,再由正弦定理求b ,

c .

[解] A =180°-(B +C ) =180°-(60°+75°)=45°. 由正弦定理

b sin B

a sin A

得,

a sin B 8×sin60°b ===6,

sin A sin45°由

a sin A

c sin C

得,

c =

a sin C 8×sin75°

==sin A sin45°

2+6

422

4(3+1) .

变式训练1 (1)一个三角形的两内角分别为45°与60°,如果45°角所对的边长是6,那么60°角所对的边的边长为( )

A .6 B .32 C .3 D.26

1

(2)在△ABC 中,若tan A =,C =150°,BC =1,则AB =________.

3解析:(1)令60°角所对的边为a , 则

a sin60°

6

,∴a =6.

sin45°

110

(2)∵tan A =,∴sin A =.

310由正弦定理知

AB =

BC sin A

·sinC 10sin150°=

10

2

类型二 已知两边及一边的对角解三角形 [例2] 下列三角形是否有解?有解的作出解答. (1)a =7,b =8,A =105°; (2)b =10,c =6,C =60°; (3)a =3,b =6,A =30°.

[分析] 利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑. [解] (1)a =7,b =8,a 90°,本题无解. (2)b =10,c =6,b

b sin C 10·sin60°2

==, c 256

∴B =45°,A =180°-(B +C ) =75°.

∴a =

b sin A 10×sin75°

==sin B sin45°

10×

6+2

422

5(3+1) .

(3)a =3,b =6,a b sin A ∴本题有两解. 由正弦定理得: sin B =

b sin A 6sin30°3

==,B =60°或120°, a 223

a sin C 23sin90°

43; sin A sin30°

当B =60°时,C =90°,c =当B =120°时,C =30°,

c =

a sin C 3sin30°

==23. sin A sin30°

∴B =60°,C =90°,c =3或B =120°,C =30°,c =23.

[点评] 本例属于已知两边及其中一边的对角求解三角形的类型.此类问题解的情况如下:

A C .45° D.以上答案都不对 解析:由

a sin A

b sin B

得sin B =

b ·sinA 42×sin60°2

. a 23

∵a >b ,∴A >B ,而A =60°, ∴B 为锐角,∴B =45°. 答案:C

类型三 判断三角形的形状

[例3] 在△ABC 中,若sin 2A =sin 2B +sin 2C ,sin A =2sin B ·cosC ,试判断△ABC 的形状.

[分析] cos C =sin B

[解] 记

正弦定理

sin 2A =sin 2B +sin 2C ――→

B +C =90°

a 2=b 2+c 2

――→

a sin A

b sin B

c sin C

=k ,

则sin A =sin B =sin C =∵sin 2A =sin 2B +sin 2C ,∴(2=() 2+(2, 即a 2=b 2+c 2,A =90°. ∴C =90°-B ,cos C =sin B . ∴1=sin A =2sin 2B ,sin B =

2

2

a k b k c k

a k b k c k

∴B =45°或B =135°(A +B =225°>180°,舍去) . ∴△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形

变式训练3 已知方程x 2-(b cos A ) x +a cos B =0的两根之积等于两根之和,且a ,b 为△ABC 的两边,A ,B 分别为a ,b 的对角,试判断△ABC 的形状.

解:设方程的两根为x 1,x 2,由韦达定理得x 1+x 2=b cos A ,x 1x 2=a cos B . 由题意得b cos A =a cos B ,

由正弦定理得sin B cos A =sin A cos B , 即sin A cos B -cos A sin B =0.

∴sin(A -B ) =0. 在△ABC 中,A ,B 为其内角,-π

.在△ABC 中,已知b =3,c =3,B =30°,求

3

[正解] 由=,得sin C =sin B sin C 2

因为b B =30°,则C =60°或120°. 当C =60°时,A =90°;当C =120°时,A 再利用正弦定理

b c

a sin A

b sin B

,解得a =6或a =3.

1.对正弦定理的理解

(1)即===2R .

sin A sin B sin C

(2)结合(1)的结论由正弦定理可得如下变形: ①a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C . ②sin A =

a b c

a b c ,sin B =,sin C =. 2R 2R 2R

由变形①②可以实现三角形中边与角之间的相互转化.这是正弦定理除了用于求边、角之外的另一重要功能.

2.解斜三角形的类型

(1)已知两角与一边,用正弦定理,有解时,只有一解.

(2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC 中,已知a ,b 和A 时,解的情况如下:

3. 利用正弦定理判断三角形的形状

利用正弦定理,结合三角形的内角和定理及三角函数中的一些公式,可以对某些三角关系式或恒等式进行恒等变形,要充分挖掘题目中的隐含条件,通过正弦定理转化为边的关系或角的关系,看是否满足勾股定理、两边相等或两角相等、三边相等或三角相等,从而确定三角形的形状.

已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,可考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C (R 为△ABC 的外接圆半径) ,边角互化,再利用三角函数进行恒等变换,或利用因式分解进行恒等变换,然后

利用角或边的解的情况,给予判断.

1.有关正弦定理的叙述: ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于直角三角形;

③在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是定值; ④在△ABC 中,sin A :sinB :sinC =a :b :c . 其中正确的个数是( )

A .1 B .2 C .3 D.4

2.(2012·广东卷) 在△ABC 中,若A =60°,B =45°,BC =32,则AC =( )

A .3 B.23 3 D.

32

3.在△ABC 中,sin A =sin C ,则△ABC 是( ) A .直角三角形 B.等腰三角形 C .锐角三角形 D.钝角三角形

4.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知A :B :C =1:2:3,则a :b :c =________.

5.在△ABC 中,sin 2A +sin 2B =sin 2C ,则C =________.

6.在△ABC 中,A =60°,B =45°,c =1,求此三角形的最小边.

余弦定理

1. 了解余弦定理的推导过程,掌握余弦定理及其推论.

2.能利用余弦定理解三角形,并判断三角形的形状. 1.余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即

若a ,b ,c 分别是△ABC 的顶点A ,B ,C 所对的边长,则 a 2=__________________, b 2=__________________, c 2=__________________. 2.余弦定理的推论

余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系,它的另一种表达形式是

cos A =_____________,

cos B =_____________,

cos C =_____________.

须知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.角A 为钝角⇔_____________,角A 为直角⇔____________,角A 为锐角⇔____________.

3.利用余弦定理可解决的两类问题

余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,代入等式,便可求出第四个量来.

利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题: (1)已知三边,求_____;

(2)已知两边和它们的夹角,求__________________. 类型一 利用余弦定理解三角形

[例1] 在△ABC 中,已知b =3,c =23,A =30°,求边a 、角C 和角B . 变式训练1 已知在△ABC 中,a :b :c =2:6:(3+1) ,求△ABC 的各角度数. 类型二 判断三角形的形状

[例2] 在△ABC 中,已知(a +b +c )(b +c -a ) =3bc 且sin A =2sin B cos C ,试

确定△ABC 的形状.

[分析] 首先根据条件(a +b +c )(b +c -a ) =3bc ,利用余弦定理求出一个角,再利用另一个条件,得到另外两个角的关系,即可判断.

A b +c

变式训练2 在△ABC 中,已知cos 22c a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边) ,判断△ABC 的形状.

类型三 正、余弦定理的综合应用

[例3] 如图所示,在四边形ABCD 中,AD ⊥CD ,AD =10,AB =14,∠BDA =60°,∠BCD =135°,求BC 的长.

43变式训练3 如图所示,在△ABC 中,已知BC =15,AB :AC =7:8,sin B =7

求BC 边上的高AD 的长.

已知钝角三角形的三边a =k ,b =k +2,c =k +4,求k 的取值范围.

[正解] ∵c >b >a ,且△ABC 为钝角三角形, ∴C 为钝角. 由余弦定理,得

a 2+b 2-c 2k 2-4k -12

cos C =2ab 2k (k +2)∴k 2-4k -12

由两边之和大于第三边,得k +(k +2)>k +4. ∴k >2.

综上所述,2

1.解斜三角形时,要注意将正弦定理与余弦定理有机地结合起来,要根据条件灵活选用正、余弦定理.

2.要注意三角形中常见的结论: (1)A +B +C =π;

A +B A +B C C (2)sin2cos 2,cos 2=sin 2; (3)sin(A +B ) =sin C ,cos(A +B ) =-cos C ; (4)大边对大角,反之亦然;

(5)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. 3.余弦定理的应用

利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题: (1)已知三边,求三个角;

(2)已知两边和它们的夹角,可以求第三边,进而求出其他角.

1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列等式不成立的是( )

A .a 2=b 2+c 2-2bc cos A B .b 2=c 2+a 2-2ac cos B b 2+c 2-a 2

C .cos A =

2bc a 2+b 2+c 2

D .cos C =2ab

2.已知△ABC 满足B =60°,AB =3,AC =7,则BC 的长等于( )

A .2 B .1

C .1或2 D .无解

3.(2012·湖北卷) 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若(a +b -c )(a +b +c ) =ab ,则角C =________.

34.在△ABC 中,AB =2,BC =1,cos C =4AC =________.

5.在△ABC 中,sin A =2cos B sin C ,则三角形为________.

6.在△ABC 中,已知a =7,b =3,c =5,求最大角和sin C .


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