本 科 生 毕 业 设 计 (论 文)
题目：浅谈数学分析中的反例及其应用
The countrexample and its application in mathematical analysis
教学单位 计算机科学与技术学院 姓 名 郭云龙 学 号 __ [1**********]1 年 级 2007级 专 业 数学与应用数学 指导教师 ___ 马志霞 职 称 副教授
2011年 4月 20日
目 录
摘要............................................................... 3 Abstract(英文摘要)..................................................3 1. 绪论............................................................. 4 2. 数列..............................................................5 2.1 收敛数列的性质及反例............................................5 2.1.1 关于收敛数列的定义应用不当产生的反例..........................5 2.1.2 关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例........................5 2.1.3 关于数列收敛四则运算法则的反例................................6 2.1.4 有界变差数列逆命题的反例......................................7 3. 函数..............................................................8 3.1 函数极限及性质的反例............................................8 3.1.1 函数极限的精确定义的反例 .....................................8 3.1.2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例....................9 3.1.3 关于不连续函数的和与积是连续函数的反例........................9 3.1.4 周期函数的和不是周期函数的反例...............................10 3.1.5 介值定理的反例...............................................10 4. 一元函数微积分 ..................................................11 4.1 一元函数微分学反例.............................................11 4.1.1 中值定理相关反例.............................................11 4.2 一元函数积分学反例.............................................12 4.2.1 Riemann 可积相关反例..........................................13 4.2.2 Newton-Lebniz 公式相关反例.....................................13 4.2.3 积分中值定理相关反例.........................................14 5. 级数.............................................................15 5.1 级数的常见反例.................................................15 5.1.1 级数收敛，但其立方项级数不收敛...............................15 5.1.2 条件收敛级数重新排序后发散的反例.............................15 5.1.3 条件收敛级数可以不是交错级数.................................16 5.1.4 两级数条件收敛，但它们的Cauchy 乘积发散........................16 6. 多元函数微积分...................................................17 6.1 多元函数的极限与连续及其微分学反例.............................17 6.1.1 累次极限和二重极限的相关反例.................................17 6.1.2 多元函数微分学其他反例.......................................18 6.2 重积分及其反例.................................................19 6.2.1 同一函数累次积分不同的反例...................................19 6.2.2 与曲线方向无关的第二类曲线积分...............................20 结论...............................................................21 参考文献...........................................................21 致谢...............................................................22
摘要：
数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。 本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例。系统的对数学分析中的反例进行总结研究，本文旨在研究数学分析中数列、函数、一元函数微积分、级数、多元函数微积分五个部分，针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问题的反面出发，如果有问题，举出反例证实。所选的问题和反例比较典型，难度适中，解法精巧，富有启发性。
关键词： 数学分析 反例 证明
Abstract ：
Mathematical analysis is an important basic course, it's very important to the
formation of mathematical thought of students and learning of the following courses.However there are a lot of theorems and propositions, using appropriate counterexamples from another side can recognize the essence of concept or rules, and it’s easier to deepen the understanding of knowledge. The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, nature and the research, reasoning of problems. To understand concepts correctly, Consolidate and master theorem, formula and rule, etc, train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors, it’s necessary to use counterexamples felicitously.
To the question, this text researchs a lot of problems with counterexamples in Mathematical Analysis deeply. Summary the counterexamples in Mathematical Analysis systematically. and there are five sections: Series, function, differential and integral, series, function of several variables. We can learn most theorems and propositions with the reverse thinking method. If there’s any problem, you can give the examples to verify from the opposite. The selected problems and counterexamples in this thesis are typical, appropriate difficult, and enlightening.
Key words: Mathematical Analysis, Counterexample, Proving
1. 绪论：
在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。数学是在归纳、发现、推广中发展的。反例在数学的发展中功不可没。反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例。因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示。举反例是一种重要的反证手段。重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中。反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例。至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。
美国数学家 B·R ·盖尔鲍姆和J ·M ·H ·奥姆斯特德指出:“数学由两大类—证明和反例组成。而数学发现也是朝着两个主要目标—提出证明和构造反例。从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段。从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解。”“一个数学问题用一个反例予以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧。”18～19 世纪有突出贡献的数学家 Euler 和Gauss ，根据他们自身的工作经验，曾发表过一些“经验之谈”。Euler 说过：“反例和证明推动了数学学科的发展。”Gauss 也说过：他的许多定理都是靠反例法发现的。我们可以举出大量实例来说明经验反例法确实是发现数学真理的一种有效手段。在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解。
我们可以举出大量实例来说明经验反例法确实是发现数学真理的一种有效手段。在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解。在近几年的考研数学考试中，反例的巧妙运用能使题目难度大幅降低，大大节省做题时间。
本文一共分为五个章节：数列、函数、一元函数微积分、级数和多元函数微积分。数列部分主要以讨论数列的收敛定义、收敛数列的判定、收敛数列的性质等反例；函数主要讨论了函数的连续，有界，周期等性质的反例；一元函数微积分学分别讨论了中值定理，Riemann 可积等相关反例；级数部分讨论了几种特殊级数的反例；多元函数微积分学讨论了累次极限，累次积分等反例。针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证。
2. 数列
2.1 收敛数列的性质及反例
2.1.1 关于收敛数列的定义应用不当产生的反例 一般的，有如下数列极限的定义。
定义[1]：设{a n }为一数列，如果存在常数a ，对任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n > N 时，不等式
a n -a
都成立，那么就称常数a 是数列{a n }的极限，或者称数列{a n }收敛于a ，记为：
lim a n =a
n →∞
,
或
a n →a (n →∞).
如果不存在这样的常数a ，就说数列{a n }没有极限，则称{a n }不收敛，或称{a n }为发散数列。
在应用极限的精确定义判定数列是否收敛时，可能由于应用不当产生错误，可能会产生以下两个论断
(1)有无穷多个ε>0，对每一个ε，∃N (ε) ，当n >N 时，有a n (2)对任意正数ε，有无限多个a n ，使a n
-a
-a
.
.
这两个论断看似跟精确定义等价，而实际上，它们忽略了重要的问题。 论断(1)忽视了ε的最本质属性“任意小正数”。存在反例：
数列a n =1+(﹣1) n ，尽管有无穷多个ε>0 （如ε= 3,4,5... ）, 可以使
|a n -a |=|1+(﹣1) n -a |
（这里a 可以是0或1）小于每一个ε(ε= 3,4,5... ) ，
但却不能使|a n -a |=|1+(﹣1) n -a |比任意小的正数ε还要小。 论断(2)对任意ε>0，虽然有无限多个a n 使|a n
-a
成立，但它忽视了对
每一个ε>0，都必须存在某个自然数N ，即数列{a n }的某一项a N ，从a N 以后 的所有项都必须满足|a n -a |
1, 12, 1, 131, 14,... 1,
1n ,...
对任意正数ε，有无限多个
a n =
1n
在0的ε邻域内(0-ε,0+ε) 内；但是{a n }中从哪一项开始，其后总有不包含在 (0-ε,0+ε) 内的项。
2.1.2 关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例
单调有界数列收敛定理是数学分析中的一个重要定理，但是，它的逆命题收
敛数列必单调有界是否成立呢？答案是否定的，因为存在 反例：收敛，但是不单调的数列 比如：
x n =
2+(-1)
n
n
, n =1, 2, 3...
其极限
lim x n =lim
n →∞
2+(-1)
n
n
=0
n →∞
但是对于任意正整数k, 都有
12
k
-1
32
k
,
12
k
+1
32
k
即
x 2k -1
所以，数列并不单调
既然存在收敛，但是不单调的数列，是否存在单调但不收敛的数列呢，这个反例很容易找，比如：
a n =n，单调增加，但是不收敛； b n =﹣n ，单调减少，亦不收敛。
从单调性出发考虑此逆命题存在反例，如果从有界性考虑呢，是否也有类似的反例?
反例：发散的有界数列
a n =(﹣1) n
显然对一切n ，都有|a n |=1，显然有界，但是该数列并不收敛。
以上三个反例都说明，该命题并不是充分必要的，只是充分不必要条件。 2.1.3 关于数列收敛四则运算法则的反例
在判断数列是否收敛时，运用四则运算法则，并不是机械的对极限加 减乘除。而是需要考虑它们每一项的收敛与否。
且有：
lim (a n ±b n ) =lim a n ±lim b n lim (a n ⋅b n ) = lim a n ⋅lim b n
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
特别当b n 为常数c 时：
lim (a n ±c ) = lim a n ±c lim (ca n ) =c lim a n
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
若再设b n ≠0及lim b n ≠0, 且{
n →∞
a n b n
}收敛，且
lim
n →∞
a n b n
=
lim a n
n →∞
lim b n
n →∞
两个数列发散，但是其和可能收敛，如有反例
x n =
1+(-1)
2
n -1
, y n =
1+(-1)
2
n
显然这两个数列都是发散的，但是数列
lim (x n +y n ) =
n →∞
1+(-1)
n -1
+1+(-1) 2
n
=1
却是收敛的。
两个数列一个发散、一个收敛，但是其积可能收敛，如有反例
x n =n , y n =
1n +1
因为：
lim x n =+∞，lim y n =0
n →∞
n →∞
则x n 发散的，y n 是收敛的，但是数列
lim x n ⋅y n =lim
n →∞
n n +1
n →∞
=1
却是收敛的。
两个数列发散，但是其积可能收敛，如有反例
x n =(-1) , y n =(-1)
n
n +1
显然这两个数列都是发散的，但是数列
lim (x n ⋅y n ) =(-1)
n →∞
n +1
⋅(-1)
n
=-1
却是收敛的。
两个数列发散，但是其商可能收敛，如有反例
x n =n , y n =n
3
显然这两个数列都是发散的，但是数列
lim x n /y n =lim
n →∞
n n
3
=0
n →∞
却是收敛的。
2.1.4 有界变差数列逆命题的反例
关于数列收敛中有界变差数列必收敛这一论断，我们引入有界变差数列的定义。
定义[2]：对于数列{x n },存在常数M ，使得
x 2-x 1+x 3-x 2+... +x n -x n -1≤M (n =1, 2,... )
则称这个数列是有界变差的
但是，它的逆命题收敛数列是有界变差数列并不成立：存在反例：
n
令x n
=
∑
k =1
(-1)
k -1
1k
，
则有：
x n +p -x n =(-1) [
n
1n +1
-
1n +2
+
1n +3
-... +(-1)
p -1
1n +p
]
=
1n +1
-(
1n +2
-
1n +3
) -(
1n +4
-
1n +5
) -...
1n +1
于是，按照Cauchy 收敛准则，{x n }收敛。 但是
s n =x 1+x 2-x 1+... x n -x n -1=1+
12+... +
1n
→∞(n →∞)
因此{x n }不是有界变差数列。
3. 函数
3.1 函数极限与性质的反例
关于函数性质，各类数学分析书中已经有了详尽的介绍，在本文中，我们主要关注以下几个反例
3.1.1函数极限的精确定义的反例
定义[3]：设函数f (x ) 在点x 0的某一个去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x 满足不等式
f (x ) -A
那么常数A 就叫做函数f (x ) 当x →x 0时的极限。 如果应用极限精确定义不当会产生反例
⎧x 2, 当x 为有理数；
f (x ) =⎨
⎩1, 当x 为无理数。
∈（0，1）, ∃δ=
显然，f (0)=0 而且对于∀ε
ε
，使得
f (x ) -f (0) =f (x )
则x 必定是有理数，由此有：
f (x ) =x
2
即
x -0=x
=δ
这个反例说明：
满足|f (x ) -f (x 0) |
不等式的点，从而破坏
x 0的δ邻域内，但是
了x 0的连续性。
x 0的δ邻域内
3.1.2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例
定义:设f 为定义在D 上的函数，若对任何正数M ，都存在x 0∈D ,使得
|f (x 0 )|>M
则称f 为D 上的无界函数。
这个定义，一眼看过去，好像是定义函数极限趋于无穷大一样，但是他们有本质差别。
由于若x →x 0时，f (x ) →∞, 则f 在x 0的每个邻域内必定无界。反之，函数f 它在x 0的任何邻域内都是无界的，但当x →x 0时，f (x ) 并不趋于无穷大。比如存在
设
f (x ) =
1x cos
1x
，
1x
) /x >M
则对于无论多么大的正数M ，总有充分接近于x =0的点，使cos(
1n π
1x
M
.
例如取x
=, 则cos() /x =n π
，故当n
1x
>
π
时，就有
cos() /x >M
因此，函数f 在x =0的任何邻域内都是无界的。 然而，若取x n
=
1(n +
12) π
cos
1x →0
，则当n
→∞
时，x n
→0. 此时
x
，即f 并
不趋于无穷大。因此，上述命题的逆命题并不成立。由此可见，无界函数与函数极限趋于无 穷大并不等价。
3.1.3 关于不连续函数的和与积是连续函数的反例
(1)由处处不连续函数之和产生的处处连续函数，两个连续函数的和一定是连续函数，其逆命题不成立，存在反例：
⎧3sin x , 若x 为无理数；
f (x ) =⎨
⎩5-sin x , 若x 为有理数.
⎧2-2sin x , 若x 为无理数；
g (x ) =⎨
⎩-3+2sin x , 若x 为有理数.
对于任何一个有理数x ' 和一个无理数x '' ，都有：
f (x ' ) -f (x ' ' ) =5-sin x ' -3sin x ' ' ≥5-sin x ' +3sin x ' ' ≥5-sin x ' -3sin x ' ' ≥5-1-3=1g (x ' ) -g (x ' ' ) =(-3+2sin x ' ) -(2-2sin x ' ' ) ≥5-2sin x ' -2sin x ' ' ≥5-2-2=1
所以，f (x ), g (x ) 在区间(-∞, +∞)内处处不连续，然而
f (x )+g (x )=2+sin x
它在区间(-∞, +∞)内连续。
(2)由处处不连续函数之积是生成的处处连续函数，两个连续函数之积是连续函数，但是反之结论就不为真，因为存在反例：
⎧3x 2+2 若x 为无理数；⎪
f (x ) =⎨1
, 若x 为有理数. ⎪2
⎩1+x
⎧x 2+1
若x 为无理数；⎪
g (x ) =⎨3x 2+2
⎪(1+x 2) 2, 若x 为有理数. ⎩
11+x '
2
2
2
f (x ' ) -f (x ' ' ) =-(3x ' ' +2) ≥(3x ' ' +2) -
11+x ' 1
2
≥2-1=1
g (x ' ) -g (x ' ' ) =(1+x ' ) -
22
x ' ' +13x ' ' +2
2
2
≥(1+x ' ) -
22
3-(x ' ' +1)
2-1
≥1-
12
=
12
所以，f (x ), g (x ) 在区间(-∞, +∞)内处处不连续，然而
f (x ) ∙g (x )=x 2+1，
它在区间(-∞, +∞)内连续。
3.1.4 周期函数的和不是周期函数的反例
两个函数是周期函数，但是其和不是周期函数。因为存在反例： 如果sin x 与sin αx 都是(-∞, +∞)上的周期函数，其中α为无理数。现证
sin x +sin ax
不是周期函数
证明：事实上，假如sin x +sin 式对于一切实数x 都成立：
ax
是具有非零周期T 的周期函数，那么下列恒等
sin(x +2T ) +sin(αx +2αT ) =sin x +sin αx . sin(x +2T ) -sin x =-[sin(αx +2αT ) -sin αx ].
cos(x +T ) sin T =-cos(αx +αT ) sin αT .
cos x sin T =-cos αx sin αT .
若x =
12
π，则最后一个方程的左端将变成0，于是sin aT =0，因而T 是π的倍
数。但因为α是无理数，所以与已知矛盾。
3.1.5 介值定理的反例
设函数y =f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，则在这区间必有最大最小函数值，
f (x ) max =A,f (x ) min =B,且A≠B。那么，不论C 是A 与B 之间的怎样一个数，在开区间(a , b ) 内至少有一点ξ，使得
f (ξ)=C (a
特别是，如果f (a ) 与f (b ) 异号，那么在开区间（a , b ）内至少有一点ξ，使得
f (ξ)=0 (a
由零值定理，我们可能想到如果f (a ) 与f (b ) 同号，会不会在开区间（a , b ）内至少有一点ξ， f (ξ)=0 (a
1⎧
, 当x ≠0，x ∈[-1, 1];⎪x sin
f (x ) =⎨ x
⎪0, 当x =0. ⎩
因为
lim f (x ) =lim x sin
x →0
x →0
1x
=0=f (0).
所以函数在闭区间[-1,1]上连续，而且有f (1)=f (-1)=sin 1≈0.8415>0.然而在一切
ξ=
1k π
, k =±1, ±2....
都有f (ξ)=0.
这个反例说明，零点存在定理中f (a ) 与f (b ) 异号并不是必要条件。
4. 一元函数微积分
4.1 一元函数微分学反例
4.1.1 中值定理相关反例 （1）Rolle 定理：
定义[4]：若函数 f 满足如下条件： (i) f 在闭区间[a , b ]上连续； (ii) f 在开区间(a , b ) 内可导； (iii) f (a ) = f (b ) ,
则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得f '(ξ) = 0.
看似这个Rolle 定理没有错误，实际上它忽略了一点即函数的定义域，存在反例：
f (x ) =e
iw
=cos x +i sin x .(-∞
此函数是处处连续可微的，但是并不存在区间(a , b ), a
f (b ) -f (a ) =f ' (ξ)(b -a )
即
(cosb +i sin b ) -(cosa +i sin a ) =(-sin ξ+i cos ξ)(b -a ).
也就是
[(cosb +i sin b ) -(cosa +i sin a )]=[(-sin ξ+i cos ξ)](b -a ) .
2
2
2
故
(cosb -cos a ) +(sinb -sin a ) =(b -a ) .
2
2
2
则
sin
2
b -a 2
⎛b -a ⎫= ⎪. ⎝2⎭
2
但是这是不可能的，没有任何一个正数h 能使sin h = h .
实际在我们学习过的复变函数中，中值定理是不存在的，这个反例告诉我们定义要全面理解，不能缺少一个条件。 (2) Lagrange 定理：
定义[5]：若函数 f 满足如下条件： (i) f 在闭区间[a , b ]上连续； (ii) f 在开区间(a , b ) 内可导；
则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得
f ' (ξ) =
f (b ) -f (a )
b -a
.
这些条件可不可以缺少呢？
让我们规定f 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b ) 内只有x 0一点不可导，但在(a , b ) 内不存在一点ξ，使得
f ' (ξ) =
f (b ) -f (a )
b -a
. ，
答案是不能缺少或改变任意条件，因为存在反例：
⎧x 2, 0≤x
f (x ) =⎨3 3
⎪x , 1≤x ≤.
2⎩
则
⎧2x , 0≤x
⎪
f ' (x ) =⎨23
⎪3x , 1≤x ≤.
2⎩
显然函数在x =1处不可导，并且
0
32
时，3
274
.
然而
3
f () -f (0)
f (b ) -f (a ) 92==.
3b -a 4-02
所以在(a , b ) 内不存在这样的ξ，使得
f ' (ξ) =
f (b ) -f (a )
b -a
.
4.2 一元函数积分学反例
4.2.1 Riemann 可积相关反例
定义[6]：设f 是定义在[a , b ]上的一个函数，J 是一个确定的实数。若对任何的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对[a , b ]的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{ξi }，只要|T|
n
∑
i =1
f (ξi ) ∆x i -J
就称函数 f 在区间[a , b ]上可积或Riemann 可积；数J 称为f 在[a , b ]上的定积分或Riemann 积分，记作
J =
⎰
b
a
f (x ) dx
Riemann 可积函数一定具有原函数吗？但事实上，这个假设并不一定成立。因为存在反例：
⎧1, x ∈[-1, 0]
f (x ) =⎨
⎩0, x ∈[0, 1]
显然，f (x ) 在[-1,1]上可积的，但是f (x ) 在[-1,1]上没有原函数。因此，Riemann 可积函数不一定具有原函数。反过来，有原函数的函数不一定Riemann 可积。存在反例：
⎧41
⎪x 3sin x ≠0
F (x ) =⎨ x
⎪0 x =0⎩
由于
2-⎧4111
-x 3cos x ≠0⎪x 3sin
f (x ) =F ' (x ) =⎨3 x x
⎪0 x =0⎩
可见F (x ) 是f (x ) 的一个原函数，但是f (x ) 在[-1,1]上无界，所以f (x ) 在[-1,1]上不可积。 4.2.2 Newton-Lebniz 公式相关反例
Newton-Lebniz 公式解决了定积分的计算问题，但是它的条件可以发生削弱吗？
如果函数F (x ) 在区间[a , b ]上除x 0一点以外，处处有F' (x ) =f (x ), 但是不满足
⎰
存在反例:
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a )
x (2-x ) ⎧
x ≠1, x ∈[0, 2]:⎪arctan
F (x ) =⎨ 1-x
⎪0 x =1. ⎩
当x ≠1时，
F ' (x ) =
1+
1x (2-x ) (1-x )
2
2
2
⋅
(2-2x )(1-x ) +x (2-x )
(1-x )
2
=
x -2x +2(1-x ) +x (2-x )
2
2
2
2
并且有
F (2)−F (0)=arctan 0−arctan 0=0
但是
2
2
⎰
2
2
f (x ) dx =
⎰
x -2x +2(1-x ) +x (2-x )
2
2
2
2
≠0.
这是因为在闭区间[0,2]上，f (x ) 是初等连续函数，而且f (x )>0，从而有
⎰
f (x ) dx >0. 因此⎰f (x ) dx ≠F (2) -F (0).
4.2.3 积分中值定理相关反例
若f 在[a , b ]上连续，g 在[a , b ]上不变号且可积，则在（a , b ）中存在一点ξ，使
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx
a
b
如果在闭区间不连续的可积函数，能否有类似积分中值定理的结论呢？答案是有的，存在反例：
⎧1, -1≤x
f (x ) =⎨0, x =0;
⎪-1, 0≤x
f (x ) 在x =0不连续，且⎰
1
-1
f (x ) dx =0，若取ξ=0，则显然有
f (ξ)[1-(-1)]=
⎰
1
-1
f (x ) dx
又存在反例：函数 f (x ) 在闭区间[a , b ]上不连续，在开区间（a , b ）不存在ξ，使
f (ξ)(b -a ) =
⎰
b
a
f (x ) dx .
例如：
a +b ⎧
1, a ≤x
f (x ) =⎨
⎪2, a +b ≤x
显然，f (x ) 在x 0
=
a +b 2
处不连续，且
b
a +b
⎰
但不存在ξ
a
f (x ) dx =
32
⎰
2
a
dx +2a +b dx =
2
b
32
(b -a ).
∈（a , b ），使f (ξ) =
.
这两个反例说明，闭区间上函数连续乃是积分中值定理存在的充分条件，而非必要条件。
5. 级数
5.1 级数的常见反例
5.1.1 级数收敛，但其立方项级数不收敛
∞
∞
级数∑a n 收敛，但是∑a n 3不收敛。
n =1
n =1
例：1-
12
3
2
-
12
3
2
n
+
1
3
2
-... -
1n
n
-
1n
n
∞
-... -
n 个
1n
n
-
1n
n
+
1
n
-...
2 个
显然：S n
∞
3
=
∑
i =1
a i →1(n →∞)
，则∑a n 3可表示为：
n =1
∑
n =1
a n =1-
12⋅2
3
-
12⋅2
3
+
12
-... -
1n ⋅n
3
-
1n ⋅n
3
-... -
n 个
1n ⋅n
3
-
1n ⋅n
3
-...
2个
它的
(n +4)(n -1)
2
项之和
1-
12⋅2
3
-... +
1n
n
=
∑
k =1
1k
n
-
∑
k =2
1k
3
→+∞
∞
故∑a n 3发散。
n =1
5.1.2 条件收敛级数重新排序后发散的反例
1-
12+13-14
+... +(-1)
n +1
1n
+...
级数收敛。
但注意正项级数
1+
13+15+... +
12n +1
+... →+∞
故存在k 1，使
1+
13+15+... +
12k 1+1
>32;
存在k 2，使
12k 1+3
+... +
12k 2+1
>54;
......
存在k n ，使
12k n -1+3
+...
12k n +1
>
2n +12n
.
......
于是将原级数各项重新排列成
1+
13+... +
12k 1+1
-12+
12k 1+3
+... +
12k 2+1
-14+... +
12k n -1+3
+... +
12k n +1
-12n
+...
它是发散的。
5.1.3 条件收敛级数可以不是交错级数 例：
-1+
12+12+12
2
-
13
+
n
12
3
+
14
n
+
12
4
-
15
+
12
5
+... +(-1)
n
1n
+
12
n
+...
+12
3
S 2n =-1+
12
+... +(-1)
1n
+
12
=[-1+
12
-
13
+... +(-1)
n
1n
]+(
12
+
12
2
+... +
12
n
)
111-n ）
11n 1 =[-1+-+... +(-1) ]+123n
2
∞
∴lim S 2n =K +1, 其中K =
n →∞
∑
n =1
(-1)
n
1n
lim S 2n +1=lim [S 2n +(-1)
n →∞
n →∞
n +1
1n +1
]=K +1
故级数收敛，但是：
2n
S 2n =
'
∑
i =1
u i =(1+
12
+... +
1n
) +(1-
12
n
) 则lim S 2n =lim [(1+
n →∞
n →∞
'
12
+... +
1n
) +(1-
12
n
)]→+∞
2n
从而级数∑u i 发散，所以原级数条件收敛，但它不是交错级数。
i =1
5.1.4 两级数收敛，但它们的Cauchy 乘积发散
∞
∞
级数∑a n 与∑b n 都收敛，但是它们的Cauchy 乘积a 1b 1+(a 1b 2+a 2b 1)+... 发散。
n =1
n =1
a n =b n =
(-1)
n -1
n
， n =1, 2...
∞∞
两级数∑a n 与∑b n 都收敛，
n =1
n =1
记：c n =a 1b n +a2b n-1+...+a n b 1 则c n
=a 1b n +a 2b n -1+... a n b 1=(-1)
n -1
(
11⋅
2
n
+
12⋅
2
n -1
+... +
1i ⋅
n -i +1
+...
1n ⋅1
)
(n -i (n -i +1) )(n +i (n -i +1) ) =n -ni +i -i =n (n -i ) +i (i -1) ≥0 (1≤i ≤n )
∴n ≥i (n -i +1)
或
1n
≤-
1i (n -i +1)
n
(i =1, 2... n )
n
c n =
∑
i =1
1i
n -i +1
≥
∑
i =1
1n
=1，
∞
则自然级数∑
n =1
c n
发散。
6. 多元函数微积分
6.1 多元函数的极限与连续及其微分学反例
6.1.1 累次极限和二重极限的相关反例 二元函数在某一点（或无穷远处）的累次极限和二重极限是两个既相互联系又相互区别的两个概念，在函数连续区域内它们总是相等的，但是在其他情况下。它往往会呈现不同的特性，例如反例： 对于二元函数
f (x , y ) 当x →∞, y →∞, 它的两个累次极限存在且相等，然而它
的二重极限却不存在。 对于
f (x , y ) =
xy x +y
2
2
,
xy x +y
2
2
lim lim
x →∞y →∞
=lim 0=0.
x →∞
同理
lim lim
y →∞x →∞
xy x +y
2
2
=lim 0=0.
y →∞
但是如果令y
=kx 当x →∞, y →∞时
kx
2
22
2
xy x +y
2
2
=
x +k x
=
k 1+k
2
则极限值随k 值变化而变化，故lim
xy x +y
2
2
不存在。这个反例任何一部数学
x →∞
y →∞
分析书上都会指出，但会不会有二重极限存在，但累次极限却不存在的二次函数，答案是有的，例如：
f (x , y ) =
1x +y sin
2
2
2
x >0, y >0. y
因为取序列y k
=k π，k =0, 1, 2...
f (x , y k ) =
1x +0
2
=
1x
;
若为取序列y k
=k π+
π2
，k =0, 1, 2...
1
→0 (k →∞) . ) ⋅1
2
f (x , y ) =
2
x +(k π+
π2
所以lim
y →∞
f (x , y ) 不存在，
lim f (x , y ) 亦不存在。由于
进而lim
x →∞y →∞
0
1x +y sin
2
2
2
1x
.
则根据极限定义
对∀ε>0, ∃A =
1
ε
, 当x >A . 就有
1x +y sin
2
2
2
1x
1A
=ε
则lim
x →∞y →∞
f (x , y ) =0
6.1.2 多元函数微分学其他反例 多元函数微分学除极限外，还有函数的偏导数，全微分以及多元函数极值问题，我们在这主要讨论下极值的反例。
函数f(x,y)在无穷多个点处有极大值，但没有极小值。 例：z 则
∂f ∂x
=sin x ⋅ye
cos x
=f (x , y ) =4-ye
cos x
-y .
2
.
∂f ∂y
=-e
cos x
-2y .
因为f (x,y ) 在任何一点都可微，所以它在某一点取得极值的必要条件是在该点处的偏导数为0 由方程组
cos x
⎧=0⎪y ⋅sin x ⋅e ⎨cos x ⎪-2y =0⎩-e
解得：
⎧x =2k π⎪⎨e y =-⎪
2⎩
k =0, ±1, ±2...
或
⎧x =(2k +1) π
⎪
k =0, ±1, ±2... 1⎨
y =-⎪
2e ⎩
而
A =
∂f ∂x
22
=y ⋅cos xe
cos x
-sin
2
x ⋅ye
cos x
; B =
∂f ∂x ∂y
2
=sin xe
cos x
; C =
∂f ∂y
2
2
=-2
（i ）当
⎧x =2k π⎪⎨e y =-⎪
2⎩
e
2
k =0, ±1, ±2...
则A
=-
2
，故B 2
-AC =-e
2
所以函数f(x,y)在这些点取
得极大值。
（ii ）当
⎧x =(2k +1) π⎪
1⎨
y =-⎪
2e ⎩
k =0, ±1, ±2...
则A
=
12e
2
>0, B =0, C =-2故B -AC =e
2-2
>0
所以函数f(x,y)在这些点无极值。
6.2 重积分及其反例
6.2.1 同一函数累次积分不同的反例 f(x,y)在x ∈[0, 1],
y ∈[0, 1]上累次积分不相等
⎧x 2-y 2
, 0
f (x , y ) =⎨(x +y )
⎪
⎩1, x =0或y =0.
当x =0时，
⎰
当x ≠0时 则有：
1
1
1
f (x , y ) dy =
⎰
1
dy =1.
⎰
f (x , y ) dy =
⎰
x -y
2
22
(x +y )
2
dy =2
⎰
1
2x -x -y (x +y )
2
2
2
222
=
⎰
1
2
2x
22
2
(x +y )
dy -⎰
1
2
1(x +y )
2
2
dy
令y =xt ，则dy =xdt .
1
2
1x
⎰
则
f (x , y ) dy =
⎰x
1(1+t )
2
-2
1
1x
⎰x
11+t
=2
11+x
2
.
⎰
同理
1
⎧1
, 0
f (x , y ) dy =⎨1+x 2
⎪1, x =0. ⎩
⎰
故
1
1⎧-, 0
f (x , y ) dx =⎨1+y
⎪1, y =0. ⎩
⎰
而
1
1
dx
⎰
1
1
f (x , y ) dy =⎰
1
11+x
2
dx =
π4
.
⎰dy ⎰00
f (x , y ) dx =-
⎰
1
11+y
2
dx =-
π4
.
6.2.2 与曲线方向无关的第二类曲线积分 例：L
y dx
2
2
2
2
2
其中L :x 2+y +z =a , x +y =ax , z ≥0, a >0.
2
取L 的参数方程：
x =r cos
2
φ, y =a cos φsin φ,
π⎧
a sin φ 0≤φ≤⎪⎪2z =⎨
⎪-a sin φ -π≤φ
若L 取逆时针方向，则φ从
-
π2
到
π2
；若L 取顺时针方向则φ从
π2
到-
π2
. 而
π
y
L 2dx =⎰πa -222cos
π2φsin φ(-2a cos φsin φ) d φ2
= -2a 3⎰πcos
-223φsin φd φ3
π
= -2a 3⎰2
-π
2(1-sin 2φ) sin φd (sinφ)
π3
= -2a
=03⎡1sin ⎢4⎣4φ-16sin φ8⎤2⎥π⎦-2
显然
L y dx =-2-L y dx =0 2
即该曲线积分与曲线方向无关。
结论
本文简要地总结了数学分析中一些重要典型的问题与反例，在数学分析的学 习中出现的问题，往往是对数学分析中的基本概念和理论掌握的不准确、不彻底，没有准确掌握基本概念和基本理论的时候，盲目地去计算和证明。因此，我们学习数学分析或者更一般的说，学习任何一门学科，正确地掌握这门学科的基本概念、基本理论是学好这门学科的前提。反例就是强化概念的有力工具，可以深化学生对知识的理解。数学分析中有许多重要的典型反例, 这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分。本文的意义就旨在介绍数学分析中的一个重要的反例思想，希望能够帮助学习数学分析的人们更好的掌握。
本文材料来源十分广泛，是我在前期论文准备阶段参考了大量资料。文后的参考书目是我最近学习查阅的一部分，在此向这些资料的作者表示深深地敬意和感谢。 参考文献
[1] 陈纪修，於崇华，金路 数学分析 高等教育出版社 2005.2
定义出处均来自《数学分析 上》 、《数学分析 下》
[2] 罗汝梅 高等数学中的问题与反例 同济大学出版社 1985.10
[2] 汪林 数学分析中的问题与反例 云南科技出版社 1980.2
[4] 费定晖等 吉米多维奇数学分析习题集 山东科学技术出版社 2005.2
[5] 吴良森、毛羽辉、宋国栋、魏木生，数学分析习题精解 科学出版社，2002
[6] 明清河，数学分析的思想与方法[M]，山东大学出版社，2004
[7] 金秀山，谈微积分中的反例[J]，甘肃科技纵横，2006-3
[8] 陈纪修、邱维元，数学分析课程中的一个反例[J]，高等数学研究，2006-1
[9] 强文久、李元章、黄雯荣，数学分析基本概念与方法 高等教育出版社 1989
浅谈数学分析中的反例及其应用
第21页，共22页
致谢：
时光匆匆，如白驹过隙。在毕业论文定稿之际，四年的大学本科生活也即将画上句号。遥想初入民大之时，还历历在目，恍如隔日，不免感叹光阴易逝、韶华难追。然而，艰辛而快乐的求学之路，也给我留下了很多难以忘怀的欣慰和幸福。在此，向四年来陪伴我一起走过，给予我帮助和关心的良师益友以及亲人们，致以最为真挚的谢意！
我衷心的感谢我的导师马志霞老师，她在我毕业设计的题目选择上给与了非常大的帮助，并且在整个毕业设计过程中一直指导、鼓励着我，使我能够顺利完成毕业设计的工作。
最后，我要感谢的是我最亲爱的父母和其他家人。在我二十多年的成长过程中，你们无时不刻无私地关怀和奉献，是我独在异乡求学的最大精神支柱，也是我可以依偎的最温馨港湾。
浅谈数学分析中的反例及其应用
第22页，共22页
本 科 生 毕 业 设 计 (论 文)
题目：浅谈数学分析中的反例及其应用
The countrexample and its application in mathematical analysis
教学单位 计算机科学与技术学院 姓 名 郭云龙 学 号 __ [1**********]1 年 级 2007级 专 业 数学与应用数学 指导教师 ___ 马志霞 职 称 副教授
2011年 4月 20日
目 录
摘要............................................................... 3 Abstract(英文摘要)..................................................3 1. 绪论............................................................. 4 2. 数列..............................................................5 2.1 收敛数列的性质及反例............................................5 2.1.1 关于收敛数列的定义应用不当产生的反例..........................5 2.1.2 关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例........................5 2.1.3 关于数列收敛四则运算法则的反例................................6 2.1.4 有界变差数列逆命题的反例......................................7 3. 函数..............................................................8 3.1 函数极限及性质的反例............................................8 3.1.1 函数极限的精确定义的反例 .....................................8 3.1.2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例....................9 3.1.3 关于不连续函数的和与积是连续函数的反例........................9 3.1.4 周期函数的和不是周期函数的反例...............................10 3.1.5 介值定理的反例...............................................10 4. 一元函数微积分 ..................................................11 4.1 一元函数微分学反例.............................................11 4.1.1 中值定理相关反例.............................................11 4.2 一元函数积分学反例.............................................12 4.2.1 Riemann 可积相关反例..........................................13 4.2.2 Newton-Lebniz 公式相关反例.....................................13 4.2.3 积分中值定理相关反例.........................................14 5. 级数.............................................................15 5.1 级数的常见反例.................................................15 5.1.1 级数收敛，但其立方项级数不收敛...............................15 5.1.2 条件收敛级数重新排序后发散的反例.............................15 5.1.3 条件收敛级数可以不是交错级数.................................16 5.1.4 两级数条件收敛，但它们的Cauchy 乘积发散........................16 6. 多元函数微积分...................................................17 6.1 多元函数的极限与连续及其微分学反例.............................17 6.1.1 累次极限和二重极限的相关反例.................................17 6.1.2 多元函数微分学其他反例.......................................18 6.2 重积分及其反例.................................................19 6.2.1 同一函数累次积分不同的反例...................................19 6.2.2 与曲线方向无关的第二类曲线积分...............................20 结论...............................................................21 参考文献...........................................................21 致谢...............................................................22
摘要：
数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。 本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例。系统的对数学分析中的反例进行总结研究，本文旨在研究数学分析中数列、函数、一元函数微积分、级数、多元函数微积分五个部分，针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问题的反面出发，如果有问题，举出反例证实。所选的问题和反例比较典型，难度适中，解法精巧，富有启发性。
关键词： 数学分析 反例 证明
Abstract ：
Mathematical analysis is an important basic course, it's very important to the
formation of mathematical thought of students and learning of the following courses.However there are a lot of theorems and propositions, using appropriate counterexamples from another side can recognize the essence of concept or rules, and it’s easier to deepen the understanding of knowledge. The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, nature and the research, reasoning of problems. To understand concepts correctly, Consolidate and master theorem, formula and rule, etc, train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors, it’s necessary to use counterexamples felicitously.
To the question, this text researchs a lot of problems with counterexamples in Mathematical Analysis deeply. Summary the counterexamples in Mathematical Analysis systematically. and there are five sections: Series, function, differential and integral, series, function of several variables. We can learn most theorems and propositions with the reverse thinking method. If there’s any problem, you can give the examples to verify from the opposite. The selected problems and counterexamples in this thesis are typical, appropriate difficult, and enlightening.
Key words: Mathematical Analysis, Counterexample, Proving
1. 绪论：
在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。数学是在归纳、发现、推广中发展的。反例在数学的发展中功不可没。反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例。因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示。举反例是一种重要的反证手段。重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中。反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例。至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。
美国数学家 B·R ·盖尔鲍姆和J ·M ·H ·奥姆斯特德指出:“数学由两大类—证明和反例组成。而数学发现也是朝着两个主要目标—提出证明和构造反例。从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段。从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解。”“一个数学问题用一个反例予以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧。”18～19 世纪有突出贡献的数学家 Euler 和Gauss ，根据他们自身的工作经验，曾发表过一些“经验之谈”。Euler 说过：“反例和证明推动了数学学科的发展。”Gauss 也说过：他的许多定理都是靠反例法发现的。我们可以举出大量实例来说明经验反例法确实是发现数学真理的一种有效手段。在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解。
我们可以举出大量实例来说明经验反例法确实是发现数学真理的一种有效手段。在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解。在近几年的考研数学考试中，反例的巧妙运用能使题目难度大幅降低，大大节省做题时间。
本文一共分为五个章节：数列、函数、一元函数微积分、级数和多元函数微积分。数列部分主要以讨论数列的收敛定义、收敛数列的判定、收敛数列的性质等反例；函数主要讨论了函数的连续，有界，周期等性质的反例；一元函数微积分学分别讨论了中值定理，Riemann 可积等相关反例；级数部分讨论了几种特殊级数的反例；多元函数微积分学讨论了累次极限，累次积分等反例。针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证。
2. 数列
2.1 收敛数列的性质及反例
2.1.1 关于收敛数列的定义应用不当产生的反例 一般的，有如下数列极限的定义。
定义[1]：设{a n }为一数列，如果存在常数a ，对任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n > N 时，不等式
a n -a
都成立，那么就称常数a 是数列{a n }的极限，或者称数列{a n }收敛于a ，记为：
lim a n =a
n →∞
,
或
a n →a (n →∞).
如果不存在这样的常数a ，就说数列{a n }没有极限，则称{a n }不收敛，或称{a n }为发散数列。
在应用极限的精确定义判定数列是否收敛时，可能由于应用不当产生错误，可能会产生以下两个论断
(1)有无穷多个ε>0，对每一个ε，∃N (ε) ，当n >N 时，有a n (2)对任意正数ε，有无限多个a n ，使a n
-a
-a
.
.
这两个论断看似跟精确定义等价，而实际上，它们忽略了重要的问题。 论断(1)忽视了ε的最本质属性“任意小正数”。存在反例：
数列a n =1+(﹣1) n ，尽管有无穷多个ε>0 （如ε= 3,4,5... ）, 可以使
|a n -a |=|1+(﹣1) n -a |
（这里a 可以是0或1）小于每一个ε(ε= 3,4,5... ) ，
但却不能使|a n -a |=|1+(﹣1) n -a |比任意小的正数ε还要小。 论断(2)对任意ε>0，虽然有无限多个a n 使|a n
-a
成立，但它忽视了对
每一个ε>0，都必须存在某个自然数N ，即数列{a n }的某一项a N ，从a N 以后 的所有项都必须满足|a n -a |
1, 12, 1, 131, 14,... 1,
1n ,...
对任意正数ε，有无限多个
a n =
1n
在0的ε邻域内(0-ε,0+ε) 内；但是{a n }中从哪一项开始，其后总有不包含在 (0-ε,0+ε) 内的项。
2.1.2 关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例
单调有界数列收敛定理是数学分析中的一个重要定理，但是，它的逆命题收
敛数列必单调有界是否成立呢？答案是否定的，因为存在 反例：收敛，但是不单调的数列 比如：
x n =
2+(-1)
n
n
, n =1, 2, 3...
其极限
lim x n =lim
n →∞
2+(-1)
n
n
=0
n →∞
但是对于任意正整数k, 都有
12
k
-1
32
k
,
12
k
+1
32
k
即
x 2k -1
所以，数列并不单调
既然存在收敛，但是不单调的数列，是否存在单调但不收敛的数列呢，这个反例很容易找，比如：
a n =n，单调增加，但是不收敛； b n =﹣n ，单调减少，亦不收敛。
从单调性出发考虑此逆命题存在反例，如果从有界性考虑呢，是否也有类似的反例?
反例：发散的有界数列
a n =(﹣1) n
显然对一切n ，都有|a n |=1，显然有界，但是该数列并不收敛。
以上三个反例都说明，该命题并不是充分必要的，只是充分不必要条件。 2.1.3 关于数列收敛四则运算法则的反例
在判断数列是否收敛时，运用四则运算法则，并不是机械的对极限加 减乘除。而是需要考虑它们每一项的收敛与否。
且有：
lim (a n ±b n ) =lim a n ±lim b n lim (a n ⋅b n ) = lim a n ⋅lim b n
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
特别当b n 为常数c 时：
lim (a n ±c ) = lim a n ±c lim (ca n ) =c lim a n
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
若再设b n ≠0及lim b n ≠0, 且{
n →∞
a n b n
}收敛，且
lim
n →∞
a n b n
=
lim a n
n →∞
lim b n
n →∞
两个数列发散，但是其和可能收敛，如有反例
x n =
1+(-1)
2
n -1
, y n =
1+(-1)
2
n
显然这两个数列都是发散的，但是数列
lim (x n +y n ) =
n →∞
1+(-1)
n -1
+1+(-1) 2
n
=1
却是收敛的。
两个数列一个发散、一个收敛，但是其积可能收敛，如有反例
x n =n , y n =
1n +1
因为：
lim x n =+∞，lim y n =0
n →∞
n →∞
则x n 发散的，y n 是收敛的，但是数列
lim x n ⋅y n =lim
n →∞
n n +1
n →∞
=1
却是收敛的。
两个数列发散，但是其积可能收敛，如有反例
x n =(-1) , y n =(-1)
n
n +1
显然这两个数列都是发散的，但是数列
lim (x n ⋅y n ) =(-1)
n →∞
n +1
⋅(-1)
n
=-1
却是收敛的。
两个数列发散，但是其商可能收敛，如有反例
x n =n , y n =n
3
显然这两个数列都是发散的，但是数列
lim x n /y n =lim
n →∞
n n
3
=0
n →∞
却是收敛的。
2.1.4 有界变差数列逆命题的反例
关于数列收敛中有界变差数列必收敛这一论断，我们引入有界变差数列的定义。
定义[2]：对于数列{x n },存在常数M ，使得
x 2-x 1+x 3-x 2+... +x n -x n -1≤M (n =1, 2,... )
则称这个数列是有界变差的
但是，它的逆命题收敛数列是有界变差数列并不成立：存在反例：
n
令x n
=
∑
k =1
(-1)
k -1
1k
，
则有：
x n +p -x n =(-1) [
n
1n +1
-
1n +2
+
1n +3
-... +(-1)
p -1
1n +p
]
=
1n +1
-(
1n +2
-
1n +3
) -(
1n +4
-
1n +5
) -...
1n +1
于是，按照Cauchy 收敛准则，{x n }收敛。 但是
s n =x 1+x 2-x 1+... x n -x n -1=1+
12+... +
1n
→∞(n →∞)
因此{x n }不是有界变差数列。
3. 函数
3.1 函数极限与性质的反例
关于函数性质，各类数学分析书中已经有了详尽的介绍，在本文中，我们主要关注以下几个反例
3.1.1函数极限的精确定义的反例
定义[3]：设函数f (x ) 在点x 0的某一个去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x 满足不等式
f (x ) -A
那么常数A 就叫做函数f (x ) 当x →x 0时的极限。 如果应用极限精确定义不当会产生反例
⎧x 2, 当x 为有理数；
f (x ) =⎨
⎩1, 当x 为无理数。
∈（0，1）, ∃δ=
显然，f (0)=0 而且对于∀ε
ε
，使得
f (x ) -f (0) =f (x )
则x 必定是有理数，由此有：
f (x ) =x
2
即
x -0=x
=δ
这个反例说明：
满足|f (x ) -f (x 0) |
不等式的点，从而破坏
x 0的δ邻域内，但是
了x 0的连续性。
x 0的δ邻域内
3.1.2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例
定义:设f 为定义在D 上的函数，若对任何正数M ，都存在x 0∈D ,使得
|f (x 0 )|>M
则称f 为D 上的无界函数。
这个定义，一眼看过去，好像是定义函数极限趋于无穷大一样，但是他们有本质差别。
由于若x →x 0时，f (x ) →∞, 则f 在x 0的每个邻域内必定无界。反之，函数f 它在x 0的任何邻域内都是无界的，但当x →x 0时，f (x ) 并不趋于无穷大。比如存在
设
f (x ) =
1x cos
1x
，
1x
) /x >M
则对于无论多么大的正数M ，总有充分接近于x =0的点，使cos(
1n π
1x
M
.
例如取x
=, 则cos() /x =n π
，故当n
1x
>
π
时，就有
cos() /x >M
因此，函数f 在x =0的任何邻域内都是无界的。 然而，若取x n
=
1(n +
12) π
cos
1x →0
，则当n
→∞
时，x n
→0. 此时
x
，即f 并
不趋于无穷大。因此，上述命题的逆命题并不成立。由此可见，无界函数与函数极限趋于无 穷大并不等价。
3.1.3 关于不连续函数的和与积是连续函数的反例
(1)由处处不连续函数之和产生的处处连续函数，两个连续函数的和一定是连续函数，其逆命题不成立，存在反例：
⎧3sin x , 若x 为无理数；
f (x ) =⎨
⎩5-sin x , 若x 为有理数.
⎧2-2sin x , 若x 为无理数；
g (x ) =⎨
⎩-3+2sin x , 若x 为有理数.
对于任何一个有理数x ' 和一个无理数x '' ，都有：
f (x ' ) -f (x ' ' ) =5-sin x ' -3sin x ' ' ≥5-sin x ' +3sin x ' ' ≥5-sin x ' -3sin x ' ' ≥5-1-3=1g (x ' ) -g (x ' ' ) =(-3+2sin x ' ) -(2-2sin x ' ' ) ≥5-2sin x ' -2sin x ' ' ≥5-2-2=1
所以，f (x ), g (x ) 在区间(-∞, +∞)内处处不连续，然而
f (x )+g (x )=2+sin x
它在区间(-∞, +∞)内连续。
(2)由处处不连续函数之积是生成的处处连续函数，两个连续函数之积是连续函数，但是反之结论就不为真，因为存在反例：
⎧3x 2+2 若x 为无理数；⎪
f (x ) =⎨1
, 若x 为有理数. ⎪2
⎩1+x
⎧x 2+1
若x 为无理数；⎪
g (x ) =⎨3x 2+2
⎪(1+x 2) 2, 若x 为有理数. ⎩
11+x '
2
2
2
f (x ' ) -f (x ' ' ) =-(3x ' ' +2) ≥(3x ' ' +2) -
11+x ' 1
2
≥2-1=1
g (x ' ) -g (x ' ' ) =(1+x ' ) -
22
x ' ' +13x ' ' +2
2
2
≥(1+x ' ) -
22
3-(x ' ' +1)
2-1
≥1-
12
=
12
所以，f (x ), g (x ) 在区间(-∞, +∞)内处处不连续，然而
f (x ) ∙g (x )=x 2+1，
它在区间(-∞, +∞)内连续。
3.1.4 周期函数的和不是周期函数的反例
两个函数是周期函数，但是其和不是周期函数。因为存在反例： 如果sin x 与sin αx 都是(-∞, +∞)上的周期函数，其中α为无理数。现证
sin x +sin ax
不是周期函数
证明：事实上，假如sin x +sin 式对于一切实数x 都成立：
ax
是具有非零周期T 的周期函数，那么下列恒等
sin(x +2T ) +sin(αx +2αT ) =sin x +sin αx . sin(x +2T ) -sin x =-[sin(αx +2αT ) -sin αx ].
cos(x +T ) sin T =-cos(αx +αT ) sin αT .
cos x sin T =-cos αx sin αT .
若x =
12
π，则最后一个方程的左端将变成0，于是sin aT =0，因而T 是π的倍
数。但因为α是无理数，所以与已知矛盾。
3.1.5 介值定理的反例
设函数y =f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，则在这区间必有最大最小函数值，
f (x ) max =A,f (x ) min =B,且A≠B。那么，不论C 是A 与B 之间的怎样一个数，在开区间(a , b ) 内至少有一点ξ，使得
f (ξ)=C (a
特别是，如果f (a ) 与f (b ) 异号，那么在开区间（a , b ）内至少有一点ξ，使得
f (ξ)=0 (a
由零值定理，我们可能想到如果f (a ) 与f (b ) 同号，会不会在开区间（a , b ）内至少有一点ξ， f (ξ)=0 (a
1⎧
, 当x ≠0，x ∈[-1, 1];⎪x sin
f (x ) =⎨ x
⎪0, 当x =0. ⎩
因为
lim f (x ) =lim x sin
x →0
x →0
1x
=0=f (0).
所以函数在闭区间[-1,1]上连续，而且有f (1)=f (-1)=sin 1≈0.8415>0.然而在一切
ξ=
1k π
, k =±1, ±2....
都有f (ξ)=0.
这个反例说明，零点存在定理中f (a ) 与f (b ) 异号并不是必要条件。
4. 一元函数微积分
4.1 一元函数微分学反例
4.1.1 中值定理相关反例 （1）Rolle 定理：
定义[4]：若函数 f 满足如下条件： (i) f 在闭区间[a , b ]上连续； (ii) f 在开区间(a , b ) 内可导； (iii) f (a ) = f (b ) ,
则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得f '(ξ) = 0.
看似这个Rolle 定理没有错误，实际上它忽略了一点即函数的定义域，存在反例：
f (x ) =e
iw
=cos x +i sin x .(-∞
此函数是处处连续可微的，但是并不存在区间(a , b ), a
f (b ) -f (a ) =f ' (ξ)(b -a )
即
(cosb +i sin b ) -(cosa +i sin a ) =(-sin ξ+i cos ξ)(b -a ).
也就是
[(cosb +i sin b ) -(cosa +i sin a )]=[(-sin ξ+i cos ξ)](b -a ) .
2
2
2
故
(cosb -cos a ) +(sinb -sin a ) =(b -a ) .
2
2
2
则
sin
2
b -a 2
⎛b -a ⎫= ⎪. ⎝2⎭
2
但是这是不可能的，没有任何一个正数h 能使sin h = h .
实际在我们学习过的复变函数中，中值定理是不存在的，这个反例告诉我们定义要全面理解，不能缺少一个条件。 (2) Lagrange 定理：
定义[5]：若函数 f 满足如下条件： (i) f 在闭区间[a , b ]上连续； (ii) f 在开区间(a , b ) 内可导；
则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得
f ' (ξ) =
f (b ) -f (a )
b -a
.
这些条件可不可以缺少呢？
让我们规定f 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b ) 内只有x 0一点不可导，但在(a , b ) 内不存在一点ξ，使得
f ' (ξ) =
f (b ) -f (a )
b -a
. ，
答案是不能缺少或改变任意条件，因为存在反例：
⎧x 2, 0≤x
f (x ) =⎨3 3
⎪x , 1≤x ≤.
2⎩
则
⎧2x , 0≤x
⎪
f ' (x ) =⎨23
⎪3x , 1≤x ≤.
2⎩
显然函数在x =1处不可导，并且
0
32
时，3
274
.
然而
3
f () -f (0)
f (b ) -f (a ) 92==.
3b -a 4-02
所以在(a , b ) 内不存在这样的ξ，使得
f ' (ξ) =
f (b ) -f (a )
b -a
.
4.2 一元函数积分学反例
4.2.1 Riemann 可积相关反例
定义[6]：设f 是定义在[a , b ]上的一个函数，J 是一个确定的实数。若对任何的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对[a , b ]的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{ξi }，只要|T|
n
∑
i =1
f (ξi ) ∆x i -J
就称函数 f 在区间[a , b ]上可积或Riemann 可积；数J 称为f 在[a , b ]上的定积分或Riemann 积分，记作
J =
⎰
b
a
f (x ) dx
Riemann 可积函数一定具有原函数吗？但事实上，这个假设并不一定成立。因为存在反例：
⎧1, x ∈[-1, 0]
f (x ) =⎨
⎩0, x ∈[0, 1]
显然，f (x ) 在[-1,1]上可积的，但是f (x ) 在[-1,1]上没有原函数。因此，Riemann 可积函数不一定具有原函数。反过来，有原函数的函数不一定Riemann 可积。存在反例：
⎧41
⎪x 3sin x ≠0
F (x ) =⎨ x
⎪0 x =0⎩
由于
2-⎧4111
-x 3cos x ≠0⎪x 3sin
f (x ) =F ' (x ) =⎨3 x x
⎪0 x =0⎩
可见F (x ) 是f (x ) 的一个原函数，但是f (x ) 在[-1,1]上无界，所以f (x ) 在[-1,1]上不可积。 4.2.2 Newton-Lebniz 公式相关反例
Newton-Lebniz 公式解决了定积分的计算问题，但是它的条件可以发生削弱吗？
如果函数F (x ) 在区间[a , b ]上除x 0一点以外，处处有F' (x ) =f (x ), 但是不满足
⎰
存在反例:
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a )
x (2-x ) ⎧
x ≠1, x ∈[0, 2]:⎪arctan
F (x ) =⎨ 1-x
⎪0 x =1. ⎩
当x ≠1时，
F ' (x ) =
1+
1x (2-x ) (1-x )
2
2
2
⋅
(2-2x )(1-x ) +x (2-x )
(1-x )
2
=
x -2x +2(1-x ) +x (2-x )
2
2
2
2
并且有
F (2)−F (0)=arctan 0−arctan 0=0
但是
2
2
⎰
2
2
f (x ) dx =
⎰
x -2x +2(1-x ) +x (2-x )
2
2
2
2
≠0.
这是因为在闭区间[0,2]上，f (x ) 是初等连续函数，而且f (x )>0，从而有
⎰
f (x ) dx >0. 因此⎰f (x ) dx ≠F (2) -F (0).
4.2.3 积分中值定理相关反例
若f 在[a , b ]上连续，g 在[a , b ]上不变号且可积，则在（a , b ）中存在一点ξ，使
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx
a
b
如果在闭区间不连续的可积函数，能否有类似积分中值定理的结论呢？答案是有的，存在反例：
⎧1, -1≤x
f (x ) =⎨0, x =0;
⎪-1, 0≤x
f (x ) 在x =0不连续，且⎰
1
-1
f (x ) dx =0，若取ξ=0，则显然有
f (ξ)[1-(-1)]=
⎰
1
-1
f (x ) dx
又存在反例：函数 f (x ) 在闭区间[a , b ]上不连续，在开区间（a , b ）不存在ξ，使
f (ξ)(b -a ) =
⎰
b
a
f (x ) dx .
例如：
a +b ⎧
1, a ≤x
f (x ) =⎨
⎪2, a +b ≤x
显然，f (x ) 在x 0
=
a +b 2
处不连续，且
b
a +b
⎰
但不存在ξ
a
f (x ) dx =
32
⎰
2
a
dx +2a +b dx =
2
b
32
(b -a ).
∈（a , b ），使f (ξ) =
.
这两个反例说明，闭区间上函数连续乃是积分中值定理存在的充分条件，而非必要条件。
5. 级数
5.1 级数的常见反例
5.1.1 级数收敛，但其立方项级数不收敛
∞
∞
级数∑a n 收敛，但是∑a n 3不收敛。
n =1
n =1
例：1-
12
3
2
-
12
3
2
n
+
1
3
2
-... -
1n
n
-
1n
n
∞
-... -
n 个
1n
n
-
1n
n
+
1
n
-...
2 个
显然：S n
∞
3
=
∑
i =1
a i →1(n →∞)
，则∑a n 3可表示为：
n =1
∑
n =1
a n =1-
12⋅2
3
-
12⋅2
3
+
12
-... -
1n ⋅n
3
-
1n ⋅n
3
-... -
n 个
1n ⋅n
3
-
1n ⋅n
3
-...
2个
它的
(n +4)(n -1)
2
项之和
1-
12⋅2
3
-... +
1n
n
=
∑
k =1
1k
n
-
∑
k =2
1k
3
→+∞
∞
故∑a n 3发散。
n =1
5.1.2 条件收敛级数重新排序后发散的反例
1-
12+13-14
+... +(-1)
n +1
1n
+...
级数收敛。
但注意正项级数
1+
13+15+... +
12n +1
+... →+∞
故存在k 1，使
1+
13+15+... +
12k 1+1
>32;
存在k 2，使
12k 1+3
+... +
12k 2+1
>54;
......
存在k n ，使
12k n -1+3
+...
12k n +1
>
2n +12n
.
......
于是将原级数各项重新排列成
1+
13+... +
12k 1+1
-12+
12k 1+3
+... +
12k 2+1
-14+... +
12k n -1+3
+... +
12k n +1
-12n
+...
它是发散的。
5.1.3 条件收敛级数可以不是交错级数 例：
-1+
12+12+12
2
-
13
+
n
12
3
+
14
n
+
12
4
-
15
+
12
5
+... +(-1)
n
1n
+
12
n
+...
+12
3
S 2n =-1+
12
+... +(-1)
1n
+
12
=[-1+
12
-
13
+... +(-1)
n
1n
]+(
12
+
12
2
+... +
12
n
)
111-n ）
11n 1 =[-1+-+... +(-1) ]+123n
2
∞
∴lim S 2n =K +1, 其中K =
n →∞
∑
n =1
(-1)
n
1n
lim S 2n +1=lim [S 2n +(-1)
n →∞
n →∞
n +1
1n +1
]=K +1
故级数收敛，但是：
2n
S 2n =
'
∑
i =1
u i =(1+
12
+... +
1n
) +(1-
12
n
) 则lim S 2n =lim [(1+
n →∞
n →∞
'
12
+... +
1n
) +(1-
12
n
)]→+∞
2n
从而级数∑u i 发散，所以原级数条件收敛，但它不是交错级数。
i =1
5.1.4 两级数收敛，但它们的Cauchy 乘积发散
∞
∞
级数∑a n 与∑b n 都收敛，但是它们的Cauchy 乘积a 1b 1+(a 1b 2+a 2b 1)+... 发散。
n =1
n =1
a n =b n =
(-1)
n -1
n
， n =1, 2...
∞∞
两级数∑a n 与∑b n 都收敛，
n =1
n =1
记：c n =a 1b n +a2b n-1+...+a n b 1 则c n
=a 1b n +a 2b n -1+... a n b 1=(-1)
n -1
(
11⋅
2
n
+
12⋅
2
n -1
+... +
1i ⋅
n -i +1
+...
1n ⋅1
)
(n -i (n -i +1) )(n +i (n -i +1) ) =n -ni +i -i =n (n -i ) +i (i -1) ≥0 (1≤i ≤n )
∴n ≥i (n -i +1)
或
1n
≤-
1i (n -i +1)
n
(i =1, 2... n )
n
c n =
∑
i =1
1i
n -i +1
≥
∑
i =1
1n
=1，
∞
则自然级数∑
n =1
c n
发散。
6. 多元函数微积分
6.1 多元函数的极限与连续及其微分学反例
6.1.1 累次极限和二重极限的相关反例 二元函数在某一点（或无穷远处）的累次极限和二重极限是两个既相互联系又相互区别的两个概念，在函数连续区域内它们总是相等的，但是在其他情况下。它往往会呈现不同的特性，例如反例： 对于二元函数
f (x , y ) 当x →∞, y →∞, 它的两个累次极限存在且相等，然而它
的二重极限却不存在。 对于
f (x , y ) =
xy x +y
2
2
,
xy x +y
2
2
lim lim
x →∞y →∞
=lim 0=0.
x →∞
同理
lim lim
y →∞x →∞
xy x +y
2
2
=lim 0=0.
y →∞
但是如果令y
=kx 当x →∞, y →∞时
kx
2
22
2
xy x +y
2
2
=
x +k x
=
k 1+k
2
则极限值随k 值变化而变化，故lim
xy x +y
2
2
不存在。这个反例任何一部数学
x →∞
y →∞
分析书上都会指出，但会不会有二重极限存在，但累次极限却不存在的二次函数，答案是有的，例如：
f (x , y ) =
1x +y sin
2
2
2
x >0, y >0. y
因为取序列y k
=k π，k =0, 1, 2...
f (x , y k ) =
1x +0
2
=
1x
;
若为取序列y k
=k π+
π2
，k =0, 1, 2...
1
→0 (k →∞) . ) ⋅1
2
f (x , y ) =
2
x +(k π+
π2
所以lim
y →∞
f (x , y ) 不存在，
lim f (x , y ) 亦不存在。由于
进而lim
x →∞y →∞
0
1x +y sin
2
2
2
1x
.
则根据极限定义
对∀ε>0, ∃A =
1
ε
, 当x >A . 就有
1x +y sin
2
2
2
1x
1A
=ε
则lim
x →∞y →∞
f (x , y ) =0
6.1.2 多元函数微分学其他反例 多元函数微分学除极限外，还有函数的偏导数，全微分以及多元函数极值问题，我们在这主要讨论下极值的反例。
函数f(x,y)在无穷多个点处有极大值，但没有极小值。 例：z 则
∂f ∂x
=sin x ⋅ye
cos x
=f (x , y ) =4-ye
cos x
-y .
2
.
∂f ∂y
=-e
cos x
-2y .
因为f (x,y ) 在任何一点都可微，所以它在某一点取得极值的必要条件是在该点处的偏导数为0 由方程组
cos x
⎧=0⎪y ⋅sin x ⋅e ⎨cos x ⎪-2y =0⎩-e
解得：
⎧x =2k π⎪⎨e y =-⎪
2⎩
k =0, ±1, ±2...
或
⎧x =(2k +1) π
⎪
k =0, ±1, ±2... 1⎨
y =-⎪
2e ⎩
而
A =
∂f ∂x
22
=y ⋅cos xe
cos x
-sin
2
x ⋅ye
cos x
; B =
∂f ∂x ∂y
2
=sin xe
cos x
; C =
∂f ∂y
2
2
=-2
（i ）当
⎧x =2k π⎪⎨e y =-⎪
2⎩
e
2
k =0, ±1, ±2...
则A
=-
2
，故B 2
-AC =-e
2
所以函数f(x,y)在这些点取
得极大值。
（ii ）当
⎧x =(2k +1) π⎪
1⎨
y =-⎪
2e ⎩
k =0, ±1, ±2...
则A
=
12e
2
>0, B =0, C =-2故B -AC =e
2-2
>0
所以函数f(x,y)在这些点无极值。
6.2 重积分及其反例
6.2.1 同一函数累次积分不同的反例 f(x,y)在x ∈[0, 1],
y ∈[0, 1]上累次积分不相等
⎧x 2-y 2
, 0
f (x , y ) =⎨(x +y )
⎪
⎩1, x =0或y =0.
当x =0时，
⎰
当x ≠0时 则有：
1
1
1
f (x , y ) dy =
⎰
1
dy =1.
⎰
f (x , y ) dy =
⎰
x -y
2
22
(x +y )
2
dy =2
⎰
1
2x -x -y (x +y )
2
2
2
222
=
⎰
1
2
2x
22
2
(x +y )
dy -⎰
1
2
1(x +y )
2
2
dy
令y =xt ，则dy =xdt .
1
2
1x
⎰
则
f (x , y ) dy =
⎰x
1(1+t )
2
-2
1
1x
⎰x
11+t
=2
11+x
2
.
⎰
同理
1
⎧1
, 0
f (x , y ) dy =⎨1+x 2
⎪1, x =0. ⎩
⎰
故
1
1⎧-, 0
f (x , y ) dx =⎨1+y
⎪1, y =0. ⎩
⎰
而
1
1
dx
⎰
1
1
f (x , y ) dy =⎰
1
11+x
2
dx =
π4
.
⎰dy ⎰00
f (x , y ) dx =-
⎰
1
11+y
2
dx =-
π4
.
6.2.2 与曲线方向无关的第二类曲线积分 例：L
y dx
2
2
2
2
2
其中L :x 2+y +z =a , x +y =ax , z ≥0, a >0.
2
取L 的参数方程：
x =r cos
2
φ, y =a cos φsin φ,
π⎧
a sin φ 0≤φ≤⎪⎪2z =⎨
⎪-a sin φ -π≤φ
若L 取逆时针方向，则φ从
-
π2
到
π2
；若L 取顺时针方向则φ从
π2
到-
π2
. 而
π
y
L 2dx =⎰πa -222cos
π2φsin φ(-2a cos φsin φ) d φ2
= -2a 3⎰πcos
-223φsin φd φ3
π
= -2a 3⎰2
-π
2(1-sin 2φ) sin φd (sinφ)
π3
= -2a
=03⎡1sin ⎢4⎣4φ-16sin φ8⎤2⎥π⎦-2
显然
L y dx =-2-L y dx =0 2
即该曲线积分与曲线方向无关。
结论
本文简要地总结了数学分析中一些重要典型的问题与反例，在数学分析的学 习中出现的问题，往往是对数学分析中的基本概念和理论掌握的不准确、不彻底，没有准确掌握基本概念和基本理论的时候，盲目地去计算和证明。因此，我们学习数学分析或者更一般的说，学习任何一门学科，正确地掌握这门学科的基本概念、基本理论是学好这门学科的前提。反例就是强化概念的有力工具，可以深化学生对知识的理解。数学分析中有许多重要的典型反例, 这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分。本文的意义就旨在介绍数学分析中的一个重要的反例思想，希望能够帮助学习数学分析的人们更好的掌握。
本文材料来源十分广泛，是我在前期论文准备阶段参考了大量资料。文后的参考书目是我最近学习查阅的一部分，在此向这些资料的作者表示深深地敬意和感谢。 参考文献
[1] 陈纪修，於崇华，金路 数学分析 高等教育出版社 2005.2
定义出处均来自《数学分析 上》 、《数学分析 下》
[2] 罗汝梅 高等数学中的问题与反例 同济大学出版社 1985.10
[2] 汪林 数学分析中的问题与反例 云南科技出版社 1980.2
[4] 费定晖等 吉米多维奇数学分析习题集 山东科学技术出版社 2005.2
[5] 吴良森、毛羽辉、宋国栋、魏木生，数学分析习题精解 科学出版社，2002
[6] 明清河，数学分析的思想与方法[M]，山东大学出版社，2004
[7] 金秀山，谈微积分中的反例[J]，甘肃科技纵横，2006-3
[8] 陈纪修、邱维元，数学分析课程中的一个反例[J]，高等数学研究，2006-1
[9] 强文久、李元章、黄雯荣，数学分析基本概念与方法 高等教育出版社 1989
浅谈数学分析中的反例及其应用
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致谢：
时光匆匆，如白驹过隙。在毕业论文定稿之际，四年的大学本科生活也即将画上句号。遥想初入民大之时，还历历在目，恍如隔日，不免感叹光阴易逝、韶华难追。然而，艰辛而快乐的求学之路，也给我留下了很多难以忘怀的欣慰和幸福。在此，向四年来陪伴我一起走过，给予我帮助和关心的良师益友以及亲人们，致以最为真挚的谢意！
我衷心的感谢我的导师马志霞老师，她在我毕业设计的题目选择上给与了非常大的帮助，并且在整个毕业设计过程中一直指导、鼓励着我，使我能够顺利完成毕业设计的工作。
最后，我要感谢的是我最亲爱的父母和其他家人。在我二十多年的成长过程中，你们无时不刻无私地关怀和奉献，是我独在异乡求学的最大精神支柱，也是我可以依偎的最温馨港湾。
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