勾股定理
二、核心纲要 1. 勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a
、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=
c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
注：⑴如图所示，直角三角形中较短的直角边是勾，较长的直角边是股，斜边是弦.
弦股
勾
⑵勾股定理只对直角三角形适用，而不适用锐角三角形和钝角三角形. ⑶为方便应用勾股定理进行计算，常将a
2+b 2=c 2进行如下变形：
①a 2 =c 2-b 2；②b 2=c
2-a 2；③a b ；⑤c ⑷勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
①已知直角三角形的两边求第三边；
②已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形边； ③证明三角形中的某些线段的平方关系； .
2. 勾股定理的证明
勾股定理的证明实际采用的图形面积与代数恒等式的关系相互转化进行证明的，体现了数形结合的思想.
⑴证法一：赵爽的“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”）
如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b （b ＞a ），斜边为c ，中间是正方形，且边长为b —a . ∵以c 为边的大正方形的面积为c 2，而4个直角三角形的面积和为4⨯∴c 2=4⨯
D
1
ab ，中间的小正方形的面积为（b -a ）2， 2
1
ab +(b -a ) 2. 即a 2+b 2=c 2. 2
C
A
⑵证法二：邹元治的证明
如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，中间是正方形，且边长为c .
∵四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =4⨯
1
，大正方形面ab +c 2=2ab +c 2，
2
积S =（a +b ）2，且四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. ∴（a +b ）2=2ab +c 2. ∴a 2+b2=c2.
A a E b
c
H c
D b G a C
⑶证法三：1876年美国总统伽菲尔德（Garfield ）的证明
如图是由2个以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形和一个以c 为直角边的等腰直角三角形拼成的直角梯形.
C
a A
B F
b
b E a B
11
(a +b ) ⋅(b -a ) =(a +b ) 2， 22
11212
S 梯形=2S△ADE +S△DEC =2⨯ab +c =ab +c ，
222
1122
∴(a +b ) =ab +c . ∴a 2+b 2=c 2. 22
∵S 梯形=
⑷证法四：陈杰的证明
如图所示，直角边长分别为a 、b 的四个三角形全等，斜边长为c ，图中有3个正方形边长分别为a 、b 、c ，设整个图形面积为S .
22
∵S =a +b +2⨯
11
ab =a 2+b 2+ab ，S =c 2+2⨯ab =c 2+ab ， 22
∴a 2+b 2+ab =c 2+ab . ∴a 2+b 2 =c 2.
L
A
b B
a C
F a E
⑸证法五：火柴盒拼图
如图火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ＇C ＇D ＇的位置，连接C ＇C ，可得到直角梯形B C C＇D ＇和等腰直角三角形C ＇AC ，设AB =a ，BC =b ，AC =c ，利用梯形B C C´D´的面积即可证明勾股定理.
1(a +b ) 2
∵S 梯形B C C＇D ＇=(BC +C 'D ') ⋅BD '=，
22
1121c 2+2ab
S 梯形B C C＇D ＇=S △ABC +S △CAC ＇+S △D ＇AC ＇=ab +c +ab =，
2222(a +b ) 2c 2+2ab
=∴， 22
∴a 2+b 2 =c 2.
D
C D A a
b
说明：上面的“火柴盒拼图法”曾以证明题的形式出现在中考卷中，其验证过程的实质就是伽菲尔德总统证法.
勾股定理的证明方法有很多种，我们选取了其中比较容易理解的五种，仅供读者参考. 3. 直角三角形斜边上的高求法 如图所示，ab =ch =>h =
c
a
ab . c
4. 数学思想
本节涉及到的常用数学思想有： ⑴方程思想：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题目中的等量关系，然后利用勾股定理建立方程（组）解题，进而几何问题代数化.
⑵分类讨论思想：有的题目没有明确指出是怎样的三角形，那么就需要对三角形的形状进行讨论，有时指明了是直角三角形，但没有指明哪条边是斜边，也需要对边的情况进行讨论. ⑶数形结合思想：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，本身体现了数形结合的思想.
⑷转化思想：有些问题如果直接解决难以入手，如果换个方向、角度或观点来考虑，使得问题更清楚，更简单.
⑸类比思想：类比思想涉及知识的迁移，它把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也有可能有相同或类似之处.
本节重点讲解：一个定理，五个证明，五个思想.
三、全能突破
基础演练
1. 如图17-1-1所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了______步路（假设2步为1米），却踩伤了花草. A.2 B.3 C.4 D.5
10
64
A
图17-1-1
图17-1-2
2. 一艘轮船以16海里/时的速度离开A 港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时 的速度离开A 港向西南方向航行，经过1.5小时后他们相距（）. A.25海里 B.30海里 C.40海里 D.32海里 3. 若直角三角形两条直角边长分别是3cm 和4cm ，则斜边上的高是（） A.5cm B.4cm C.3cm D.
12cm 5
4. 三个正方形的面积如图17-1-2所示，则正方形A 的面积为______.
5. 在△ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a +c =32，a :c =3:5，则△ABC 的面积为______.
6. 图17-1-3所示是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位： mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm.
E A B B
图17-1-3
A
°
C
C
D
图17-1-5
图17-1-4
7. 某楼梯的侧面视图如图17-1-4所示，其中AB =4米，∠BAC =30°，∠C =90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为______米. 8. 如图17-1-5所示，铁路上A 、B 两地相距25km ，C 、D 为两村庄. DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15km，CB =10km，现在要在铁路AB 上建一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站距离相等，则E 站应建在距A 地多少千米处？
能力提升
9. 如图17-1-6所示，一个长为10m 的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么，梯子与地面和墙围成的的三角形的面积（） A. 不变 B. 大于24m 2 C. 小于24m 2 D. 不确定
图17-1-6
10. 在△ABC 中，AB =20，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长为（）. A.54 B.44 C.54或44 D.42或32
11. 如图17-1-7所示，在直线l 上依次摆放着七个正方形，正放置的四个正方形的面积为从左到右依次是1.21，1，1.44，1.69，则S 1+S 2+S 3=（）.
S 12S 3
12如图17-1-8所示，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则边AC 上的高为（）
图17-1-7
A
C
B
13. 以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形面积分别为25cm 2和12cm 2，则第三个正方形的面积是______. 14. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm，CA =8cm，动点P 从C 出发，以每秒2cm 的速度沿CA →AB 运动到点B ，则从点C 出发______秒时，可使S △BCP =
图17-1-8
1
S △ABC . 3
15. ⑴已知Rt △ABC
的周长为2 AB =2，则这个三角形的面积为______. ⑵已知，如图17-1-9所示，∠C =90°，CD ⊥AB 于点D ，AB =13，CD =6，则AC +BC =______.
C
B
图17-1-9
A
16. 图17-1-10中的螺旋形有一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、
⑤……，则第n 个等腰直角三角形的斜边长为______.
④ ⑤
1 „
图17-1-10
17. 如图17-1-11所示，∠B =∠D =90°，∠A =60°，AB =10，CD =6. 求四边形ABCD 的面积.
A
D
B
C
图17-1-11
18. 如果把勾股定理的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.
⑴如图17-1-12（a ）所示，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S 1，S 2，S 3之间有何关系？并说明理由.
⑵如图17-1-12（b ）所示，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则三个半圆的面积S 1，S 2，S 3之间有何关系？
⑶如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，如图17-1-12（c ）所示，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由. （此阴影面积在数学史上称为“希波克拉底月牙”）
F
S 3
B a S 1C
D
A
S 2
E
(a)
图17-1-13
19. 图17-1-13所示是一块长、宽、高分别为3cm 、4cm 、6cm 的长方体纸箱（箱纸厚度忽略不计）.
⑴求长方体底面的对角线长；
⑵若揭开盖子EFGH 后，插入一根长为10cm 的细木棍，则细木棍露在外面的最短长度是多少？
⑶在A 处有一蚂蚁，在G 处有一滴蜂蜜，蚂蚁从A 沿表面爬行到G ，求蚂蚁爬行的最短路径长.
⑷若蜂蜜在点M 处，且距离F 为1cm ，蚂蚁从A 沿表面爬行到M ，求蚂蚁爬行的最短路径长. （直接写出结果）
E
F 6
C
4 A 3 图17-1-13
20. 如图17-1-14所示，在平面直角坐标系中，△ABC 满足：∠C =90°，AC =2，BC =1，点
A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当A 点从原点开始沿x 轴的正半轴运动，点C 沿y 轴的正半轴运动. ⑴当A 在原点时，求原点O 到点B 的距离OB ；
⑵当OA =OC 时，求原点O 到点B 的距离OB .
图17-1-14
21. 在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，如图17-1-15（a ）所示，根据勾股定理，则a 2+b 2=c 2. 若△ABC 不是直角三角形，如图17-1-15（b ）和图17-1-15（c ）所示，请你类比勾股定理，试猜想a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论.
A
A
A
B
A
C
B
B
C
C
B
C
（a ） （b ） 图17-1-15
（c ）
中考链接
22. （2012·山东青岛）如图17-1-16所示，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.
蚂A
C 蜜 蜂
图
17-1-16 23. （2012·陕西）如图17-1-17所示，从点A （0，2）发出的一束光，经x 轴反射，过点B
（4，3），则这束光从点A 到点B 所经过的路径长为______ .
24. （2012·山东泰安）如图17-1-18所示，在△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，F 为BC 中点，BE 与DF 、DC 分别交于点G 、H ，∠ABE =∠CBE . ⑴线段BH 与AC 相等吗？若相等，给予证明；若不相等，请说明理由； ⑵求证：BG 2-GE 2=EA 2.
B
E 图17-1-18
A
巅峰突破
25. 在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC =5，BC =12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD =______.
26. 在等腰△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上任意一点， ⑴试探究：AB 2-AD 2与BD ·DC 之间的关系.
⑵应用上述结论解决问题：在△ABC 中，若AB =AC =1，BC 边上有2012个不同的点P 1、P 2、…、P 2012，记m i =AP i 2+BP i ·P i C (i =1、2、3、…、2012) ，则m 1+m 2+…+m 2012=______.(直接写出结果)
勾股定理
二、核心纲要 1. 勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a
、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=
c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
注：⑴如图所示，直角三角形中较短的直角边是勾，较长的直角边是股，斜边是弦.
弦股
勾
⑵勾股定理只对直角三角形适用，而不适用锐角三角形和钝角三角形. ⑶为方便应用勾股定理进行计算，常将a
2+b 2=c 2进行如下变形：
①a 2 =c 2-b 2；②b 2=c
2-a 2；③a b ；⑤c ⑷勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
①已知直角三角形的两边求第三边；
②已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形边； ③证明三角形中的某些线段的平方关系； .
2. 勾股定理的证明
勾股定理的证明实际采用的图形面积与代数恒等式的关系相互转化进行证明的，体现了数形结合的思想.
⑴证法一：赵爽的“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”）
如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b （b ＞a ），斜边为c ，中间是正方形，且边长为b —a . ∵以c 为边的大正方形的面积为c 2，而4个直角三角形的面积和为4⨯∴c 2=4⨯
D
1
ab ，中间的小正方形的面积为（b -a ）2， 2
1
ab +(b -a ) 2. 即a 2+b 2=c 2. 2
C
A
⑵证法二：邹元治的证明
如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，中间是正方形，且边长为c .
∵四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =4⨯
1
，大正方形面ab +c 2=2ab +c 2，
2
积S =（a +b ）2，且四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. ∴（a +b ）2=2ab +c 2. ∴a 2+b2=c2.
A a E b
c
H c
D b G a C
⑶证法三：1876年美国总统伽菲尔德（Garfield ）的证明
如图是由2个以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形和一个以c 为直角边的等腰直角三角形拼成的直角梯形.
C
a A
B F
b
b E a B
11
(a +b ) ⋅(b -a ) =(a +b ) 2， 22
11212
S 梯形=2S△ADE +S△DEC =2⨯ab +c =ab +c ，
222
1122
∴(a +b ) =ab +c . ∴a 2+b 2=c 2. 22
∵S 梯形=
⑷证法四：陈杰的证明
如图所示，直角边长分别为a 、b 的四个三角形全等，斜边长为c ，图中有3个正方形边长分别为a 、b 、c ，设整个图形面积为S .
22
∵S =a +b +2⨯
11
ab =a 2+b 2+ab ，S =c 2+2⨯ab =c 2+ab ， 22
∴a 2+b 2+ab =c 2+ab . ∴a 2+b 2 =c 2.
L
A
b B
a C
F a E
⑸证法五：火柴盒拼图
如图火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ＇C ＇D ＇的位置，连接C ＇C ，可得到直角梯形B C C＇D ＇和等腰直角三角形C ＇AC ，设AB =a ，BC =b ，AC =c ，利用梯形B C C´D´的面积即可证明勾股定理.
1(a +b ) 2
∵S 梯形B C C＇D ＇=(BC +C 'D ') ⋅BD '=，
22
1121c 2+2ab
S 梯形B C C＇D ＇=S △ABC +S △CAC ＇+S △D ＇AC ＇=ab +c +ab =，
2222(a +b ) 2c 2+2ab
=∴， 22
∴a 2+b 2 =c 2.
D
C D A a
b
说明：上面的“火柴盒拼图法”曾以证明题的形式出现在中考卷中，其验证过程的实质就是伽菲尔德总统证法.
勾股定理的证明方法有很多种，我们选取了其中比较容易理解的五种，仅供读者参考. 3. 直角三角形斜边上的高求法 如图所示，ab =ch =>h =
c
a
ab . c
4. 数学思想
本节涉及到的常用数学思想有： ⑴方程思想：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题目中的等量关系，然后利用勾股定理建立方程（组）解题，进而几何问题代数化.
⑵分类讨论思想：有的题目没有明确指出是怎样的三角形，那么就需要对三角形的形状进行讨论，有时指明了是直角三角形，但没有指明哪条边是斜边，也需要对边的情况进行讨论. ⑶数形结合思想：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，本身体现了数形结合的思想.
⑷转化思想：有些问题如果直接解决难以入手，如果换个方向、角度或观点来考虑，使得问题更清楚，更简单.
⑸类比思想：类比思想涉及知识的迁移，它把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也有可能有相同或类似之处.
本节重点讲解：一个定理，五个证明，五个思想.
三、全能突破
基础演练
1. 如图17-1-1所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了______步路（假设2步为1米），却踩伤了花草. A.2 B.3 C.4 D.5
10
64
A
图17-1-1
图17-1-2
2. 一艘轮船以16海里/时的速度离开A 港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时 的速度离开A 港向西南方向航行，经过1.5小时后他们相距（）. A.25海里 B.30海里 C.40海里 D.32海里 3. 若直角三角形两条直角边长分别是3cm 和4cm ，则斜边上的高是（） A.5cm B.4cm C.3cm D.
12cm 5
4. 三个正方形的面积如图17-1-2所示，则正方形A 的面积为______.
5. 在△ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a +c =32，a :c =3:5，则△ABC 的面积为______.
6. 图17-1-3所示是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位： mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm.
E A B B
图17-1-3
A
°
C
C
D
图17-1-5
图17-1-4
7. 某楼梯的侧面视图如图17-1-4所示，其中AB =4米，∠BAC =30°，∠C =90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为______米. 8. 如图17-1-5所示，铁路上A 、B 两地相距25km ，C 、D 为两村庄. DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15km，CB =10km，现在要在铁路AB 上建一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站距离相等，则E 站应建在距A 地多少千米处？
能力提升
9. 如图17-1-6所示，一个长为10m 的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么，梯子与地面和墙围成的的三角形的面积（） A. 不变 B. 大于24m 2 C. 小于24m 2 D. 不确定
图17-1-6
10. 在△ABC 中，AB =20，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长为（）. A.54 B.44 C.54或44 D.42或32
11. 如图17-1-7所示，在直线l 上依次摆放着七个正方形，正放置的四个正方形的面积为从左到右依次是1.21，1，1.44，1.69，则S 1+S 2+S 3=（）.
S 12S 3
12如图17-1-8所示，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则边AC 上的高为（）
图17-1-7
A
C
B
13. 以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形面积分别为25cm 2和12cm 2，则第三个正方形的面积是______. 14. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm，CA =8cm，动点P 从C 出发，以每秒2cm 的速度沿CA →AB 运动到点B ，则从点C 出发______秒时，可使S △BCP =
图17-1-8
1
S △ABC . 3
15. ⑴已知Rt △ABC
的周长为2 AB =2，则这个三角形的面积为______. ⑵已知，如图17-1-9所示，∠C =90°，CD ⊥AB 于点D ，AB =13，CD =6，则AC +BC =______.
C
B
图17-1-9
A
16. 图17-1-10中的螺旋形有一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、
⑤……，则第n 个等腰直角三角形的斜边长为______.
④ ⑤
1 „
图17-1-10
17. 如图17-1-11所示，∠B =∠D =90°，∠A =60°，AB =10，CD =6. 求四边形ABCD 的面积.
A
D
B
C
图17-1-11
18. 如果把勾股定理的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.
⑴如图17-1-12（a ）所示，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S 1，S 2，S 3之间有何关系？并说明理由.
⑵如图17-1-12（b ）所示，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则三个半圆的面积S 1，S 2，S 3之间有何关系？
⑶如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，如图17-1-12（c ）所示，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由. （此阴影面积在数学史上称为“希波克拉底月牙”）
F
S 3
B a S 1C
D
A
S 2
E
(a)
图17-1-13
19. 图17-1-13所示是一块长、宽、高分别为3cm 、4cm 、6cm 的长方体纸箱（箱纸厚度忽略不计）.
⑴求长方体底面的对角线长；
⑵若揭开盖子EFGH 后，插入一根长为10cm 的细木棍，则细木棍露在外面的最短长度是多少？
⑶在A 处有一蚂蚁，在G 处有一滴蜂蜜，蚂蚁从A 沿表面爬行到G ，求蚂蚁爬行的最短路径长.
⑷若蜂蜜在点M 处，且距离F 为1cm ，蚂蚁从A 沿表面爬行到M ，求蚂蚁爬行的最短路径长. （直接写出结果）
E
F 6
C
4 A 3 图17-1-13
20. 如图17-1-14所示，在平面直角坐标系中，△ABC 满足：∠C =90°，AC =2，BC =1，点
A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当A 点从原点开始沿x 轴的正半轴运动，点C 沿y 轴的正半轴运动. ⑴当A 在原点时，求原点O 到点B 的距离OB ；
⑵当OA =OC 时，求原点O 到点B 的距离OB .
图17-1-14
21. 在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，如图17-1-15（a ）所示，根据勾股定理，则a 2+b 2=c 2. 若△ABC 不是直角三角形，如图17-1-15（b ）和图17-1-15（c ）所示，请你类比勾股定理，试猜想a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论.
A
A
A
B
A
C
B
B
C
C
B
C
（a ） （b ） 图17-1-15
（c ）
中考链接
22. （2012·山东青岛）如图17-1-16所示，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.
蚂A
C 蜜 蜂
图
17-1-16 23. （2012·陕西）如图17-1-17所示，从点A （0，2）发出的一束光，经x 轴反射，过点B
（4，3），则这束光从点A 到点B 所经过的路径长为______ .
24. （2012·山东泰安）如图17-1-18所示，在△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，F 为BC 中点，BE 与DF 、DC 分别交于点G 、H ，∠ABE =∠CBE . ⑴线段BH 与AC 相等吗？若相等，给予证明；若不相等，请说明理由； ⑵求证：BG 2-GE 2=EA 2.
B
E 图17-1-18
A
巅峰突破
25. 在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC =5，BC =12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD =______.
26. 在等腰△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上任意一点， ⑴试探究：AB 2-AD 2与BD ·DC 之间的关系.
⑵应用上述结论解决问题：在△ABC 中，若AB =AC =1，BC 边上有2012个不同的点P 1、P 2、…、P 2012，记m i =AP i 2+BP i ·P i C (i =1、2、3、…、2012) ，则m 1+m 2+…+m 2012=______.(直接写出结果)