2015年北京市春季普通高中会考数学试卷
第一部分 选择题（每小题3分，共60分）
一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合A ={3, 5, 6, 8}, B ={1, 3, 5}，那么A B 等于（ ）
A. {1, 3, 5, 6, 8} B. {6, 8} C. {3, 5} D. {1, 6, 8} 2. 平面向量a ，b 满足b =2a 如果a =(1, 1) ，那么b 等于( )
A. -(2, 2) B. (-2, -2) C. (2, -2) D. (2, 2)
3. 已知函数f (x ) =lg(x -1) ，那么f (x ) 的定义域是（ ） A R B x x 1 C x x ≠1 D x x ≠0
4. 一个几何体的三视图如图所示，该集合体的体积是（ ）
{}{}{}
左视图
A. 30 B. 40
C. 50 D. 60
5. 如果a 0，那么a +
1
+2的最小值为（ ） a
俯视图
A. 2 B. C. 3 D. 4 6. 已知过两点A (-1, 1), B (4, a ) 的直线斜率为1，那么a 的值是( )
A. -6 B. -4 C. 4 D. 6
7. tan
5π
等于（ ） 6
A ．-1； B ．-
2； C ．； D ．1． 32
8. 已知定义在R 上的函数f (x ) 的图像是一条连续不断地曲线，且有部分对应值如表所示，那么函数f (x ) 一定存在零点的区间是（ ）
A. (-∞, 1) B. (1, 2) C. (2, 3)
D. (3,
+∞)
9. 函数y =A y =
1
，y =x 2，y =3x ，y =log 2x 中，在区间(0, +∞) 上单调递减的是（ ） x
1
B y =x 2 C y =3x D y =log 2x x
10. 已知直线x -y -2=0与直线mx +y =0垂直，那么m 的值是（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
x
11. 在同一坐标系中，函数y =3的图与y =() 的图象（ ）
13
x
A ．关于x 轴对称； B ．关于y 轴对称；
C ．关于原点y =x 对称； D ．关于直线y =x 对称．
12. 在等比数列{a n }中，a 1=1, a 4=8，那么{a n }的前5项和是（ ）
A ．-31 B ．15 C ．31 D ．63
⎧x -y -2≤0⎪
13. 已知实数x , y 满足条件⎨x +y +2≥0，那么目标函数z =x +2y 的最小值是（ ）
⎪y ≤0⎩
A. -6 B. -4 C. -2 D. 4
14. 某程序框图如图所示，执行该程序后输出的S 的值是（ ） A.
2345
B. C. D. 3456
2
15. 函数y =(sinx +cos x ) 的最小正周期是：（ ）
Ａ．
π3π
；
22
16. 已知函数f (x 数，当时，f (值域是（ A. (-4, 4) C. (-4, 4) (4, 6]17. 边长为2距离大于1
A.
1123 B. C. D. 3525
18. 设a ，b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ① 如果a //α, b //α，那么a //b ； ②如果a ∥β ，a ⊂α, b ⊂么a //b ； ③如果
β ，那
α⊥β , a ⊂α, 那么 a ⊥β ； ④如果a ⊥β，a //b ， b ⊂α, 那么
α⊥β
其中正确命题的序号是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
19. 在∆ABC 中，如果AB =5, AC =3, BC =4，那么角∙等于：（ ）
Ａ．9； Ｂ．12； Ｃ．15； Ｄ．20．
20. 已知函数f (x ) =ax -与g (x ) =(a -1) x 的图像没有交点，那么实数的取值范围是．．
（ ）
A. (-∞, 0] B. (0, ) C. [, 1) D. [1, +∞)
1212
第二部分 非选择题（共40分）
二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）
21. 计算9+log 24=
22. 一家电讯公司在某大学对学生每月的手机话费进行抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的手机话费情况进行统计分析，绘制成频率分布直方图（如图所示）。如果该校有大
1
2
）学生5000人，请估计该校每月手机话费在[50, 70的学生人数是 ．
元
23. 在长度为3的线段AB 上任取一点C ，那么线段AC 的长度小于2的概率 ．
24.2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价。
乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分每增加1元可乘坐20公里。使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后．．．的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400．．．．元以后的乘次，不再享受打折优惠。 ．．
小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算。如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是 元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是 元。 二、解答题（共4个小题，共28分） 25. （本小题满分7分）
如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，且PE ⊥平面
ABC 。
（1） 求证： BC ∥平面PDE ; （2） 求证： AB ⊥平面PDE .
A
26. （本小题满分7分）
在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且a =2, b =2, A =
（1）求角B 的大小；
（2）如果函数f (x ) =sin x -sin(x +2B ), 求函数f (x ) 的单调递增区间。
π
3
27. （本小题满分7分）
已知点A （0, 4）, 圆O :x 2+y 2=4, 点P 在圆O 上运动。 （1） 若果∆OAP 是等腰三角形，求点P 的坐标； （2） 若果直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，且AP
程。
2
+AQ =36，求直线AP 的方
2
28. （本小题满分7分）已知数列{a n }满足a 1=1, a n +a n +1=an 2+bn +1(a , b 为常数，
n ∈N *)
（1）如果{a n }为等差数列，求a , b 的值；
（2）如果{a n }为单调递增数列，求a +b 的取值范围。
2015年北京市春季普通高中会考数学试卷
第一部分 选择题（每小题3分，共60分）
一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合A ={3, 5, 6, 8}, B ={1, 3, 5}，那么A B 等于（ ）
A. {1, 3, 5, 6, 8} B. {6, 8} C. {3, 5} D. {1, 6, 8} 2. 平面向量a ，b 满足b =2a 如果a =(1, 1) ，那么b 等于( )
A. -(2, 2) B. (-2, -2) C. (2, -2) D. (2, 2)
3. 已知函数f (x ) =lg(x -1) ，那么f (x ) 的定义域是（ ） A R B x x 1 C x x ≠1 D x x ≠0
4. 一个几何体的三视图如图所示，该集合体的体积是（ ）
{}{}{}
左视图
A. 30 B. 40
C. 50 D. 60
5. 如果a 0，那么a +
1
+2的最小值为（ ） a
俯视图
A. 2 B. C. 3 D. 4 6. 已知过两点A (-1, 1), B (4, a ) 的直线斜率为1，那么a 的值是( )
A. -6 B. -4 C. 4 D. 6
7. tan
5π
等于（ ） 6
A ．-1； B ．-
2； C ．； D ．1． 32
8. 已知定义在R 上的函数f (x ) 的图像是一条连续不断地曲线，且有部分对应值如表所示，那么函数f (x ) 一定存在零点的区间是（ ）
A. (-∞, 1) B. (1, 2) C. (2, 3)
D. (3,
+∞)
9. 函数y =A y =
1
，y =x 2，y =3x ，y =log 2x 中，在区间(0, +∞) 上单调递减的是（ ） x
1
B y =x 2 C y =3x D y =log 2x x
10. 已知直线x -y -2=0与直线mx +y =0垂直，那么m 的值是（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
x
11. 在同一坐标系中，函数y =3的图与y =() 的图象（ ）
13
x
A ．关于x 轴对称； B ．关于y 轴对称；
C ．关于原点y =x 对称； D ．关于直线y =x 对称．
12. 在等比数列{a n }中，a 1=1, a 4=8，那么{a n }的前5项和是（ ）
A ．-31 B ．15 C ．31 D ．63
⎧x -y -2≤0⎪
13. 已知实数x , y 满足条件⎨x +y +2≥0，那么目标函数z =x +2y 的最小值是（ ）
⎪y ≤0⎩
A. -6 B. -4 C. -2 D. 4
14. 某程序框图如图所示，执行该程序后输出的S 的值是（ ） A.
2345
B. C. D. 3456
2
15. 函数y =(sinx +cos x ) 的最小正周期是：（ ）
Ａ．
π3π
；
22
16. 已知函数f (x 数，当时，f (值域是（ A. (-4, 4) C. (-4, 4) (4, 6]17. 边长为2距离大于1
A.
1123 B. C. D. 3525
18. 设a ，b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ① 如果a //α, b //α，那么a //b ； ②如果a ∥β ，a ⊂α, b ⊂么a //b ； ③如果
β ，那
α⊥β , a ⊂α, 那么 a ⊥β ； ④如果a ⊥β，a //b ， b ⊂α, 那么
α⊥β
其中正确命题的序号是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
19. 在∆ABC 中，如果AB =5, AC =3, BC =4，那么角∙等于：（ ）
Ａ．9； Ｂ．12； Ｃ．15； Ｄ．20．
20. 已知函数f (x ) =ax -与g (x ) =(a -1) x 的图像没有交点，那么实数的取值范围是．．
（ ）
A. (-∞, 0] B. (0, ) C. [, 1) D. [1, +∞)
1212
第二部分 非选择题（共40分）
二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）
21. 计算9+log 24=
22. 一家电讯公司在某大学对学生每月的手机话费进行抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的手机话费情况进行统计分析，绘制成频率分布直方图（如图所示）。如果该校有大
1
2
）学生5000人，请估计该校每月手机话费在[50, 70的学生人数是 ．
元
23. 在长度为3的线段AB 上任取一点C ，那么线段AC 的长度小于2的概率 ．
24.2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价。
乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分每增加1元可乘坐20公里。使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后．．．的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400．．．．元以后的乘次，不再享受打折优惠。 ．．
小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算。如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是 元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是 元。 二、解答题（共4个小题，共28分） 25. （本小题满分7分）
如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，且PE ⊥平面
ABC 。
（1） 求证： BC ∥平面PDE ; （2） 求证： AB ⊥平面PDE .
A
26. （本小题满分7分）
在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且a =2, b =2, A =
（1）求角B 的大小；
（2）如果函数f (x ) =sin x -sin(x +2B ), 求函数f (x ) 的单调递增区间。
π
3
27. （本小题满分7分）
已知点A （0, 4）, 圆O :x 2+y 2=4, 点P 在圆O 上运动。 （1） 若果∆OAP 是等腰三角形，求点P 的坐标； （2） 若果直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，且AP
程。
2
+AQ =36，求直线AP 的方
2
28. （本小题满分7分）已知数列{a n }满足a 1=1, a n +a n +1=an 2+bn +1(a , b 为常数，
n ∈N *)
（1）如果{a n }为等差数列，求a , b 的值；
（2）如果{a n }为单调递增数列，求a +b 的取值范围。