集合的运算(交集.并集)

1.3 (1)集合的运算（交集、并集）

上海市松江一中 潘勇

一、教学内容分析

本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难。可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程

程 和

的解集的并集。 的解集，则是求方

本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别。突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合。利用数形结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．

二、教学目标设计

理解交集与并集的概念; 掌握有关集合运算的术语和符号，能用图示法表示集合之间的关系,会求给定集合的交集与并集；知道交集、并集的基本运算性质。发展运用数学语言进行表达、交流的能力。通过对交集、并集概念的学习，提高观察、

比较、分析、概括等能力。

三、教学重点及难点

交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用； 交集与并集概念、符号之间的区别与联系。

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习回顾

思考并回答下列问题

1、子集与真子集的区别。

2、含有n个元素的集合子集与真子集的个数。

3、空集的特殊意义。

二、讲授新课

关于交集

1、概念引入

（1）考察下面集合的元素，并用列举法表示（课本p12） A={xx为10的正约数} B={xx为15的正约数} C={xx为10与15的正公约数}

解答：A={1，2，5，10}，B={1，3，5，15}，C={1，5}

[说明]启发学生观察并发现如下结论：C中元素是A与B 中公

共元素。

（2）用图示法表示上述集合之间的关系

，，A B

2、概念形成

 交集定义

一般地，由集合A和集合B的所有公共元素所组成的集合， 叫做A与B的交集。记作A∩B（读作“A交B”），即：A∩B={x|x∈A且x∈B}（让学生用描述法表示）。

 交集的图示法

ABA,ABB ABAB AB

 请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化

交集的性质（补充）

由交集的定义易知，对任何集合A，B，有：

A∩A=A，A∩U=A ，A∩φ=φ；②A∩BA，A∩BB；③A∩B=B∩A；④A∩B∩C=（A∩B）∩C= A∩（B∩C）；⑤A∩B=AAB。

4、例题解析

例1：已知A{x1x2}，B={x2x0}，求AB。(补充)

解：AB{x|1x0}

[说明]①启发学生数形结合，利用数轴解题。②求交集的实质是

找出两个集合的公共部分。

例2：设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求

A∩B。（补充）

解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}

={x|x是等腰直角三角形}

[说明]：此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B

例3：设A、B两个集合分别为A(x,y)2xy10，

B{(x,y)3xy5}，求A∩B，并且说明它的意义。

（课本p11例1） 解：AB(x,y)2xy10={（3，4）} 3xy5

[说明] AB表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次

函数的图像的交点的坐标集合。

例4（补充）设A={1，2，3}，B={2，5，7}，C={4，2，8}， 求（A∩B）∩C， A∩（B∩C），A∩B∩C。

解：（A∩B）∩C=（{1，2，3}∩{2，5，7}）∩{4，2，8}={2}∩{4，2，8}={2}； A∩（B∩C）={1，2，3}∩（{2，5，7}∩{4，2，8}）={1，2，3}∩{2}={2}；A∩B∩C=（A∩B）∩C= A∩（B∩C）={2}。

三、巩固练习

练习1.3（1）

关于并集

1、概念引入

引例：考察下面集合的元素，并用列举法表示

A={xx20}， B=xx30， C={x(x2)(x3)0} 答：A=2， B={-3} ，C={2，-3}

[说明]启发学生观察并发现如下结论：C中元素由A或B的元素构成。

2、概念形成

 并集的定义

一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

 并集的图示法

ABA,ABB, ABB, ABA,ABB,  请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化

 并集的性质（补）

①A∪A=A，A∪U=U ，A∪φ=A；②A（A∪B），B（A∪

B）；③A∪B=B∪A；④A∩BA∪B，当且仅当A=B时，A∩B=A∪B；⑤A∪B=ABA.

[说明] 交集与并集的区别（由学生回答）（补）

交集是属于A且属于B的全体元素的集合。

并集是属于A或属于B的全体元素的集合。

x∈A或x∈B的“或”代表了三层含义：即下图所示。

4、例题解析

例5：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。（补充） 解：∴A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，

则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。

[说明] ①运用文恩解答该题。②用例举法求两个集合的并集，只需把两个集合中的所有元素不重复的一一找出写在大括号中

即可。

例6：设A={a,b,c,d}，B={b，d，e，f}，求A∩B ,A∪B。 （课本p12例2）

解：A∩B={b,d}，则A∪B={a,b,c,d,e,f }。

例7：设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角}，求A∪B。（补充）

解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。

例8：设A={x|-21或x

解：A∪B=R

[说明] 本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题，解题中应充分利用数形结合思想，体现抽象与直观的完美结合。 例9、已知A={x|x=2k, k∈Z或x∈B}, B={x|x=2k-1, k∈Z},求A∪B。（课本P12例4）

[说明] 解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。

三、巩固练习：1.3（2）

补充练习

1、设A={ x |-1

解析:利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求. 解：将A={ x |-1

如图阴影部分即为所求。

A∪B={ x |-1

2、A={1，3，x}，B={x,1},且A∪B={1，3，x}。 求x？

3、{0，1} ∪A={0，1，2}，求A的个数？

4、A ={x|-2

四、课堂小结

1.交集、并集的概念；交集并集的求法；交集并集的基本性质，以及有关符号的正确使用.

2.求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，求两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示或利用韦恩图表示，有助于解题.

3、区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字出发去揭示、挖掘题设条件，进而用集合语言表示，从而解决问题。

五、课后作业

1、书面作业：习题1.3----4,5,6,7,8,9

2、思考题：设集合M={x|x>2},P={x|x

是“x∈M∩P”的什么条件？（“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件）

3、思考题：设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又

A∩B={9},求实数m的值.

解：∵A∩B={9}，A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，∴2m-1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3.

若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与A∩B={9}矛盾；

若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾； 若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足A∩B={9}.∴m=-3。

六、教学设计说明

1、注重数形结合，从集合A和B的文氏图中引出交集、并集 的概念在引出交集、并集的概念时，最好不要直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从集合A和集合B的文氏图中，寻找它们之间的联系，学生较为容易接受，理解也

较为深刻，为以后进行集合之间的交并运算打下基础。 2、注意交集、并集概念的符号语言表示，提高学生的数学语言表达能力。教材对于交集、并集的概念还给出了它们各自的符号语言表示，即：

①

②对于符号语言的表示要注意它们的区别和联系，抓住概念中的关键词“且”、“或”。①中的“且”字，它说明

元素 都是A与B的公共元素。由此可知，

的公共子集，即：

义，

“

的任一必是A与B

。②式中的“或”字的意

”这一条件，包括下列三种情况：

，

，且

（很明显，适合第三）。还要注意，A与B

是由所有至少

种情况的元素 构成的集合就是

的公共元素在

中只出现一次。因此，

属于A，B两者之一的元素组成的集合。

由定义可知，A与B都是

的子集，联系到

都

是A，B

的子集，可得下面的关系式：

3、运用对比教学的方法，使学生区分交、并集的概念，能正确对集合之间求交与求并。教师在讲解了交集、并集的概念后，可以涉及一个表格，让学生填写内容。见下表：

11

4、可是当补充用图示法（即文氏图）表示集合之间的关系的问题。用图示法表示集合之间的关系有两层意思：一方面给定一个集合或集合之间的运算关系，会用图示法（即维恩图）表示；

12

另一方面给出一个维恩图，会用集合表示图中指定的部分（如阴影部分）。作一些这方面的引导和训练，既可加深对集合关系及运算的理解，又可提高学生数形结合的能力，还可不断培养正向思维和逆向思维的能力。

5、适当地运用集合关系进行简单推理。运用集合关系进行简单推理虽不是本节的教学要求，但对学有余力的学生不失为一种良好的思维训练，有助于提高抽象思维能力。

13

1.3 (1)集合的运算（交集、并集）

上海市松江一中 潘勇

一、教学内容分析

本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难。可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程

程 和

的解集的并集。 的解集，则是求方

本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别。突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合。利用数形结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．

二、教学目标设计

理解交集与并集的概念; 掌握有关集合运算的术语和符号，能用图示法表示集合之间的关系,会求给定集合的交集与并集；知道交集、并集的基本运算性质。发展运用数学语言进行表达、交流的能力。通过对交集、并集概念的学习，提高观察、

比较、分析、概括等能力。

三、教学重点及难点

交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用； 交集与并集概念、符号之间的区别与联系。

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习回顾

思考并回答下列问题

1、子集与真子集的区别。

2、含有n个元素的集合子集与真子集的个数。

3、空集的特殊意义。

二、讲授新课

关于交集

1、概念引入

（1）考察下面集合的元素，并用列举法表示（课本p12） A={xx为10的正约数} B={xx为15的正约数} C={xx为10与15的正公约数}

解答：A={1，2，5，10}，B={1，3，5，15}，C={1，5}

[说明]启发学生观察并发现如下结论：C中元素是A与B 中公

共元素。

（2）用图示法表示上述集合之间的关系

，，A B

2、概念形成

 交集定义

一般地，由集合A和集合B的所有公共元素所组成的集合， 叫做A与B的交集。记作A∩B（读作“A交B”），即：A∩B={x|x∈A且x∈B}（让学生用描述法表示）。

 交集的图示法

ABA,ABB ABAB AB

 请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化

交集的性质（补充）

由交集的定义易知，对任何集合A，B，有：

A∩A=A，A∩U=A ，A∩φ=φ；②A∩BA，A∩BB；③A∩B=B∩A；④A∩B∩C=（A∩B）∩C= A∩（B∩C）；⑤A∩B=AAB。

4、例题解析

例1：已知A{x1x2}，B={x2x0}，求AB。(补充)

解：AB{x|1x0}

[说明]①启发学生数形结合，利用数轴解题。②求交集的实质是

找出两个集合的公共部分。

例2：设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求

A∩B。（补充）

解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}

={x|x是等腰直角三角形}

[说明]：此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B

例3：设A、B两个集合分别为A(x,y)2xy10，

B{(x,y)3xy5}，求A∩B，并且说明它的意义。

（课本p11例1） 解：AB(x,y)2xy10={（3，4）} 3xy5

[说明] AB表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次

函数的图像的交点的坐标集合。

例4（补充）设A={1，2，3}，B={2，5，7}，C={4，2，8}， 求（A∩B）∩C， A∩（B∩C），A∩B∩C。

解：（A∩B）∩C=（{1，2，3}∩{2，5，7}）∩{4，2，8}={2}∩{4，2，8}={2}； A∩（B∩C）={1，2，3}∩（{2，5，7}∩{4，2，8}）={1，2，3}∩{2}={2}；A∩B∩C=（A∩B）∩C= A∩（B∩C）={2}。

三、巩固练习

练习1.3（1）

关于并集

1、概念引入

引例：考察下面集合的元素，并用列举法表示

A={xx20}， B=xx30， C={x(x2)(x3)0} 答：A=2， B={-3} ，C={2，-3}

[说明]启发学生观察并发现如下结论：C中元素由A或B的元素构成。

2、概念形成

 并集的定义

一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

 并集的图示法

ABA,ABB, ABB, ABA,ABB,  请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化

 并集的性质（补）

①A∪A=A，A∪U=U ，A∪φ=A；②A（A∪B），B（A∪

B）；③A∪B=B∪A；④A∩BA∪B，当且仅当A=B时，A∩B=A∪B；⑤A∪B=ABA.

[说明] 交集与并集的区别（由学生回答）（补）

交集是属于A且属于B的全体元素的集合。

并集是属于A或属于B的全体元素的集合。

x∈A或x∈B的“或”代表了三层含义：即下图所示。

4、例题解析

例5：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。（补充） 解：∴A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，

则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。

[说明] ①运用文恩解答该题。②用例举法求两个集合的并集，只需把两个集合中的所有元素不重复的一一找出写在大括号中

即可。

例6：设A={a,b,c,d}，B={b，d，e，f}，求A∩B ,A∪B。 （课本p12例2）

解：A∩B={b,d}，则A∪B={a,b,c,d,e,f }。

例7：设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角}，求A∪B。（补充）

解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。

例8：设A={x|-21或x

解：A∪B=R

[说明] 本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题，解题中应充分利用数形结合思想，体现抽象与直观的完美结合。 例9、已知A={x|x=2k, k∈Z或x∈B}, B={x|x=2k-1, k∈Z},求A∪B。（课本P12例4）

[说明] 解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。

三、巩固练习：1.3（2）

补充练习

1、设A={ x |-1

解析:利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求. 解：将A={ x |-1

如图阴影部分即为所求。

A∪B={ x |-1

2、A={1，3，x}，B={x,1},且A∪B={1，3，x}。 求x？

3、{0，1} ∪A={0，1，2}，求A的个数？

4、A ={x|-2

四、课堂小结

1.交集、并集的概念；交集并集的求法；交集并集的基本性质，以及有关符号的正确使用.

2.求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，求两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示或利用韦恩图表示，有助于解题.

3、区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字出发去揭示、挖掘题设条件，进而用集合语言表示，从而解决问题。

五、课后作业

1、书面作业：习题1.3----4,5,6,7,8,9

2、思考题：设集合M={x|x>2},P={x|x

是“x∈M∩P”的什么条件？（“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件）

3、思考题：设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又

A∩B={9},求实数m的值.

解：∵A∩B={9}，A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，∴2m-1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3.

若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与A∩B={9}矛盾；

若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾； 若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足A∩B={9}.∴m=-3。

六、教学设计说明

1、注重数形结合，从集合A和B的文氏图中引出交集、并集 的概念在引出交集、并集的概念时，最好不要直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从集合A和集合B的文氏图中，寻找它们之间的联系，学生较为容易接受，理解也

较为深刻，为以后进行集合之间的交并运算打下基础。 2、注意交集、并集概念的符号语言表示，提高学生的数学语言表达能力。教材对于交集、并集的概念还给出了它们各自的符号语言表示，即：

①

②对于符号语言的表示要注意它们的区别和联系，抓住概念中的关键词“且”、“或”。①中的“且”字，它说明

元素 都是A与B的公共元素。由此可知，

的公共子集，即：

义，

“

的任一必是A与B

。②式中的“或”字的意

”这一条件，包括下列三种情况：

，

，且

（很明显，适合第三）。还要注意，A与B

是由所有至少

种情况的元素 构成的集合就是

的公共元素在

中只出现一次。因此，

属于A，B两者之一的元素组成的集合。

由定义可知，A与B都是

的子集，联系到

都

是A，B

的子集，可得下面的关系式：

3、运用对比教学的方法，使学生区分交、并集的概念，能正确对集合之间求交与求并。教师在讲解了交集、并集的概念后，可以涉及一个表格，让学生填写内容。见下表：

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4、可是当补充用图示法（即文氏图）表示集合之间的关系的问题。用图示法表示集合之间的关系有两层意思：一方面给定一个集合或集合之间的运算关系，会用图示法（即维恩图）表示；

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另一方面给出一个维恩图，会用集合表示图中指定的部分（如阴影部分）。作一些这方面的引导和训练，既可加深对集合关系及运算的理解，又可提高学生数形结合的能力，还可不断培养正向思维和逆向思维的能力。

5、适当地运用集合关系进行简单推理。运用集合关系进行简单推理虽不是本节的教学要求，但对学有余力的学生不失为一种良好的思维训练，有助于提高抽象思维能力。

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