1：证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。 （2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。 （3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。 （4）零元是零矩阵。∀A ∈Mn(R),A+0=0+A=A。 （5）∀A ∈Mn(R),负元是-A 。A+(-A)=(-A)+A=0。 ∴（Mn(R),+）构成一个Abel 群。
2：证明：实数域R 上全体n 阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n 阶一般线形群。 证明：显然GLn(R)是个非空集合。
对于任何的A,B ∈GLn(R)，令C=AB, 则C=|AB|=|A||B|≠0, 所以C ∈GLn(R)。
⑴因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。 ⑵对任意A ∈GLn(R)，AE=EA，所以E 是单位元。
⑶任意的A ∈GLn(R)，由于∣A ∣≠0, ∴A 的逆矩阵A -1，满足AA -1=A -1A =E 且∴A 的逆元是 所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。
A -1.
3：证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群. 这个群称为n 阶正交群. 证：（1）由于E ∈On (R),∵On (R)非空。
(2 ) 任意A,B ∈On (R)，有（AB ）T=BT A T =B-1A -1=(AB) -1, ∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。 (3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。 （4）对任意A ∈On (R)，有AE=EA=A． ∴E 为On (R)的单位元。
（5）对任意A ∈On (R)，存在A T ∈On (R)， 满足AA T =E=AA-1, A T A=E=A-1A ． ∴A T 为A 在On (R)中的逆元。 ∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。
4：证明：所有行列式等于1的n 阶整数矩阵组成的集合SLn(Z),关于矩阵的乘法构成群。
证明：∵En ∈SLn(Z)，∴SLn(Z)是个非空集合。
对任意A,B ∈ SLn(Z),记C=AB,则C 是整数矩阵，且C=∣AB ∣=∣A ∣∣B ∣=1,∴C ∈SLn(R)，即SLn(R)关于矩阵的乘法封闭。
（1） ∵矩阵乘法有结合律，∴结合律成立。 （2） 对任意的A ∈SLn(Z)，AE=EA=A,且E ∈SLn9Z), ∴A 的单位元是单位矩阵E 。
（3） 对任意的A ∈ SLn(Z),因为A ∈Mn(Z),故
A -1
A ∈Mn(Z),又A ==A *且
A
*
-1
A -1=A =1
, 所以A -1∈SLn(Z),又AA -1=A -1A =E , 故A 的逆元
为A -1 。所以 ，SLn （Z ）关于矩阵乘法构成群。 5:在整数集中, 规定运算“∈”如下：a ⊕b=a+b-2, 明：（Z, ⊕）构成群。
证 （1）对于任意a ，b ⊕Z 有 a ⊕b=a+b-2∈Z ， 于是“⊕”在Z 上构成代数运算。 （2）对于任意a ，b ∈Z 有，（a ⊕b ）⊕c=a+b+c-4． a ⊕(b⊕c)=a⊕(b+c-2)=a+b+c-4， ∴(a⊕b) ⊕c=a⊕(b⊕c) 于是结合律成立．
（3）对于任意的a ，b ∈Z ， a ⊕b=a+b-2=b+a-2=b⊕a ， 那么“⊕”在Z 上有交换律。
（4）对于任意的a ∈Z ， 有2⊕a=2+a-2=a， ∴2为单位
∀a,b ∈Z. 证
元．
（5）对于任意的a ∈Z ， 有4-a ∈Z ．
(4-a) ⊕a=4-a+a-2=2， ∴4-a 为a 的逆元。 ∴（Z, ⊕）构成群。
6：分别写出下列各群的乘法表。 （1）例6中的群；
(3)群Z 7*；
(4)群U(18).
7：设G=⎨⎛
证：记⎛
⎧a a ⎫
⎪⎪a a ⎭⎩⎝⎫
证明：G a ∈R , a ≠0⎬。⎭
关于矩阵的乘法构成群。
a a ⎫⎛11⎫
⎪⎪=aI，I=。 ⎪⎪
⎝11⎭⎝a a ⎭
11⎫⎪∈G 。 ⎪⎝11⎭
（1） G 非空，⎛
（2）∀aI,bI ∈G ，则a,b ∈R,a,b ≠0，∴2ab ≠0,aIbI=2abI∈G 。 （3）∀a,b,c ∈R, 且a,b,c ≠0, 有（aIbI ）cI=2abIcI=4abcI=aI2bcI=aI(bIcI),结合律成立。 （4）单位元为1I ∈G .
2
∀a ∈R,a ≠0,aI(
1
2
I)=
12
IaI=aI。 I 。
（5）∀aI ∈G ，则
1
I ∈G 。aI(1I)=(1I)aI=14a 4a 4a 2
∴（G ，•）为群。
8：证明：所有形如2m 3n 的有理数（m ，n ∈Z ）的集合关于数的乘法构成群。
证明：记G={2m 3n | m，n ∈Z} （1） G 是一个非空集合； （2）
∀2m 13n 1, 2m 23n 2∈G ，有2m 13n 1∙2m 23n 2=2m 1+m 23n 1+n 2∈G ，
∴∙是G 上的一个代数运算；
（3） 结合律，交换律均成立（数的乘法满足结合律和交换律）；
（4） 1是单位元。 1=2030∈G ，且1∙2m 3n =2m 3n ；
（5）∀2m 3n ∈G ，有2-m 3-n ∈G ，且2-m 3-n ∙2m 3n =1；
∴
G 关于数的乘法构成群。
3*3实矩阵关于矩阵的乘法构
⎛1a b ⎫
⎪
9：证明：所有形如 01c ⎪的
001⎪⎝⎭
成一个群。这个群以诺贝尔物理学奖获得者海森伯（Heisenberg ）的名字命名，称为海森伯群（Heisenberg group ）。
证：（1）显然非空。 （2）保持代数运算：
⎛ 1a 1b 1⎫⎛1a 2b 2⎫⎛1a 1+a 2b 1+b 2+a 1c 2 01c 1⎪⎪ 01c 2⎪⎪= ⎫ 01c 1+c 2⎪⎪∈G 。 ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭
（3）结合律：
⎛ ⎛1a 1b 1⎫⎛1a 2b 2⎫⎫⎛1a 3b 3⎫⎛1a 1+a 2b 1+b 2⎫⎛1 01c 1⎪⎪ 01c 2⎪⎪⎪⎪ 01c 3⎪⎪= 01c 1+c 2⎪⎪ 0⎝ ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭⎪⎭
⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭ ⎝0⎛1a 3+(a 2+a 1) b 3+c 3(a 2+a 1) +(b 2+= a 1c 2+b 1) ⎫ 01c 3+(c 2+c 1) ⎪ ⎪⎝001⎪⎭⎛1(a 3+a 2) +a 1(b 3+a 2c 3+b 2) +(c 2+c 3) a 1+b 1= ⎫ 01(c 3+c 2) +c 1⎪ ⎪⎝001⎪⎭⎛1a 1b 1⎫⎛1a 2+a 3b 3+a 2c 3+b = 01c 1⎪ 2⎫⎪ ⎪⎝⎪ 01c 2+c 3⎭ ⎪001⎝001⎪⎭⎛1a 1b 1⎫⎛⎛1a 2b 2⎫⎛1= 01c 1⎪⎪ 01c 2⎪⎪ a 3b 3⎫ 01c 3⎪⎫⎪⎪⎪。 ⎝001⎪⎭ ⎝ ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭⎪⎭⎛100（4）单位元为 ⎫
010⎪
⎪，
⎝001⎪⎭
⎛ 1a b ⎫⎛100⎫⎛100⎫⎛1a b ⎫⎛1a b 01c ⎪ 010⎪
010⎪ 01c ⎪ ⎫
01c ⎪ ⎪ ⎪=
⎪ ⎪= ⎪。 ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭ ⎝
001⎪⎭ ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪
⎭⎛1a b ⎫⎛1-a ac （5）∀ 01c ⎪⎪∈G ，∃ -b ⎫
01-c ⎪
⎪∈G ，使
⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭⎛ 1a b ⎫ 01c ⎪⎛ 1-a ac -b ⎫
-c ⎪
⎪ 01
⎪= ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭
a 3b 3⎫1c 3⎪⎪01⎪⎭
⎛1-a ac -b ⎫⎛1a b ⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪ ⎪01-c 01c 010= ⎪ ⎪ ⎪。 00 ⎪ ⎪1⎪⎝⎭⎝001⎭⎝001⎭
∴G 构成群。
10：设G 是群，a 1,a 2, …,a r ∈G 。证明（a 1a 2…a r ）= ar -1a r-1-1…a 1-1. 证：∵G 为群，∀a i ∈G ,i=1,2,…r. 则a 1a 2…a r ∈G, ar -1a r-1-1…a 1-1∈G .
∴（a r -1a r-1-1…a 1-1）（a 1a 2…a r ）=（a r -1…a 2）(a1-1a 1）(a2…a r ）=（a r -1…a 2）(a2…a r )=... = ar -1 ar =e.
又（a 1a 2…a r ）（a r -1a r-1-1…a 1-1）=（a 1a 2…）(ar a r -1）(ar-1-1…a 1-1）=（a 1…a r-1）（a r-1-1…a 1-1）=…= a1 a1-1=e.
由逆元的惟一性知：（a 1a 2…a r ）-1= ar -1a r-1-1…a 1-1。 11：设G 是群，a ，b ∈G ，证明：如果ab =e ，则ba =e 。 证明：ba =eba =(a -1a ) ba =a -1(ab ) a =
a -1ea =e 。
或ba =bae =ba (bb -1) =b (ab ) b -1=beb -1=e 。
12. 设G 是群。证明：如果对任意的x ∈G , 都有x 2=e，则G 是一个交换群。
证明：对任意a,b 属于G, ∵aa =e ∴a =a -1。故
ab =(ab )=b -1a -1=ba ，所以群
-1
G 是交换群。
13：设G 是群。证明：G 是交换群的充分必要条件是对任意
的a,b ∈G,(ab)2=a2b 2.
证：“=>”∵G 是交换群。∴对于任意的a ，b ∈G ，有ab=ba 那么 (ab)2=(ab)(ab)=a(ab)b=a2b 2
2“
即abab=aabb． => ba=ab， (消去律) ∴G 为交换群。
14:设G 是一个具有乘法运算的非空有限集合。证明：如果G 满足结合律，有左单位元，且右消去律成立，则G 是一个群. 证 ∵G 是具有乘法运算的非空有限集合， 设G= {a１,a 2```,a n }，
对于任意的a ∈G ， Ga={a1a,a2a,```ana}=G． 且G 满足结合律，有左单位元． ∴存在a i a=e ∈G ， 即a i 为a 的左逆元． 于是G 是一个群。
15. 证明：一个具有乘法运算的非空集合G ，如果满足结合律，
有右单位元（即有e ∈G ，使对任意的a ∈G ，有ae =a ），且G 中的每个元素有右逆元（即对每个a ∈G ，有a ' ∈G ，使aa ' =e ），则G 构成群。
证明：（必要性）由群的定义，这是显然的。
（充分性）只需证：e 是G 的单位元，a ' 是a 的逆元即可。 设a ∈G ，由条件知，存在a ' ∈G ，使 同时又存在a ' ' ∈G ，使 于是
a ' a =a ' ae =a ' a (a ' a ' ' ) =a ' (aa ' ) a ' ' =a ' ea ' ' =a ' a ' ' =e ，
a ' a ' ' =e 。 aa ' =e 。
且
ea =aa ' a =a (a ' a ) =ae =a 。
联系题设条件知，e 是G 的单位元，a ' 是a 的逆元。
∴G
为群。
16:设G 是有限群。证明：G 中使x 3=e的元素x 的个数是奇数.
证：∵G 是有限群， A= {x∈G| x3=e }．
∵e ∈G 且e 3=e ， ∴e ∈A ．
又 对于任意的x ∈A , x≠e, 存在x -1∈A ， 满足（x -1）3=（x 2）3=x6=（x 3）2=e2=e。 ∴A 中的元素个数是奇数。
17：设p,q 是不同的素数。假设H 是整数集的真子集，且H 关于加法是群，H 恰好包含集合{p,p+q,pq,pq ,q p }中的三个元素。试确定以下各组元中哪一组是H 中的这三个元素？ （A ）pq,p q ,q p ; (B) p,p+q,pq: (C) p,pq,pq : (D) p+q,pq,pq : (E) p,pq ,q p .
解：（C ）。（（A ）(pq ,q p )=1,p(mpq +nqp )=p∈H, 矛盾。（B ）(p,p+q)=1,q∈H, 矛盾。（C ）全为p 的倍数，不能生成q 的倍数，故也没有p+q。（D ）q(p+q)-pq=q2∈H,( pq ,q 2)=1,=>p,q∈H, 矛盾。（E ）(pq ,q p )=1, mpq +nqp =1,(p+q)( mpq +nqp )=p+q∈H, 矛盾。）
18：假设下表是一个群的乘法表，试填出未列出的元。
1：证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。 （2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。 （3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。 （4）零元是零矩阵。∀A ∈Mn(R),A+0=0+A=A。 （5）∀A ∈Mn(R),负元是-A 。A+(-A)=(-A)+A=0。 ∴（Mn(R),+）构成一个Abel 群。
2：证明：实数域R 上全体n 阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n 阶一般线形群。 证明：显然GLn(R)是个非空集合。
对于任何的A,B ∈GLn(R)，令C=AB, 则C=|AB|=|A||B|≠0, 所以C ∈GLn(R)。
⑴因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。 ⑵对任意A ∈GLn(R)，AE=EA，所以E 是单位元。
⑶任意的A ∈GLn(R)，由于∣A ∣≠0, ∴A 的逆矩阵A -1，满足AA -1=A -1A =E 且∴A 的逆元是 所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。
A -1.
3：证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群. 这个群称为n 阶正交群. 证：（1）由于E ∈On (R),∵On (R)非空。
(2 ) 任意A,B ∈On (R)，有（AB ）T=BT A T =B-1A -1=(AB) -1, ∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。 (3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。 （4）对任意A ∈On (R)，有AE=EA=A． ∴E 为On (R)的单位元。
（5）对任意A ∈On (R)，存在A T ∈On (R)， 满足AA T =E=AA-1, A T A=E=A-1A ． ∴A T 为A 在On (R)中的逆元。 ∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。
4：证明：所有行列式等于1的n 阶整数矩阵组成的集合SLn(Z),关于矩阵的乘法构成群。
证明：∵En ∈SLn(Z)，∴SLn(Z)是个非空集合。
对任意A,B ∈ SLn(Z),记C=AB,则C 是整数矩阵，且C=∣AB ∣=∣A ∣∣B ∣=1,∴C ∈SLn(R)，即SLn(R)关于矩阵的乘法封闭。
（1） ∵矩阵乘法有结合律，∴结合律成立。 （2） 对任意的A ∈SLn(Z)，AE=EA=A,且E ∈SLn9Z), ∴A 的单位元是单位矩阵E 。
（3） 对任意的A ∈ SLn(Z),因为A ∈Mn(Z),故
A -1
A ∈Mn(Z),又A ==A *且
A
*
-1
A -1=A =1
, 所以A -1∈SLn(Z),又AA -1=A -1A =E , 故A 的逆元
为A -1 。所以 ，SLn （Z ）关于矩阵乘法构成群。 5:在整数集中, 规定运算“∈”如下：a ⊕b=a+b-2, 明：（Z, ⊕）构成群。
证 （1）对于任意a ，b ⊕Z 有 a ⊕b=a+b-2∈Z ， 于是“⊕”在Z 上构成代数运算。 （2）对于任意a ，b ∈Z 有，（a ⊕b ）⊕c=a+b+c-4． a ⊕(b⊕c)=a⊕(b+c-2)=a+b+c-4， ∴(a⊕b) ⊕c=a⊕(b⊕c) 于是结合律成立．
（3）对于任意的a ，b ∈Z ， a ⊕b=a+b-2=b+a-2=b⊕a ， 那么“⊕”在Z 上有交换律。
（4）对于任意的a ∈Z ， 有2⊕a=2+a-2=a， ∴2为单位
∀a,b ∈Z. 证
元．
（5）对于任意的a ∈Z ， 有4-a ∈Z ．
(4-a) ⊕a=4-a+a-2=2， ∴4-a 为a 的逆元。 ∴（Z, ⊕）构成群。
6：分别写出下列各群的乘法表。 （1）例6中的群；
(3)群Z 7*；
(4)群U(18).
7：设G=⎨⎛
证：记⎛
⎧a a ⎫
⎪⎪a a ⎭⎩⎝⎫
证明：G a ∈R , a ≠0⎬。⎭
关于矩阵的乘法构成群。
a a ⎫⎛11⎫
⎪⎪=aI，I=。 ⎪⎪
⎝11⎭⎝a a ⎭
11⎫⎪∈G 。 ⎪⎝11⎭
（1） G 非空，⎛
（2）∀aI,bI ∈G ，则a,b ∈R,a,b ≠0，∴2ab ≠0,aIbI=2abI∈G 。 （3）∀a,b,c ∈R, 且a,b,c ≠0, 有（aIbI ）cI=2abIcI=4abcI=aI2bcI=aI(bIcI),结合律成立。 （4）单位元为1I ∈G .
2
∀a ∈R,a ≠0,aI(
1
2
I)=
12
IaI=aI。 I 。
（5）∀aI ∈G ，则
1
I ∈G 。aI(1I)=(1I)aI=14a 4a 4a 2
∴（G ，•）为群。
8：证明：所有形如2m 3n 的有理数（m ，n ∈Z ）的集合关于数的乘法构成群。
证明：记G={2m 3n | m，n ∈Z} （1） G 是一个非空集合； （2）
∀2m 13n 1, 2m 23n 2∈G ，有2m 13n 1∙2m 23n 2=2m 1+m 23n 1+n 2∈G ，
∴∙是G 上的一个代数运算；
（3） 结合律，交换律均成立（数的乘法满足结合律和交换律）；
（4） 1是单位元。 1=2030∈G ，且1∙2m 3n =2m 3n ；
（5）∀2m 3n ∈G ，有2-m 3-n ∈G ，且2-m 3-n ∙2m 3n =1；
∴
G 关于数的乘法构成群。
3*3实矩阵关于矩阵的乘法构
⎛1a b ⎫
⎪
9：证明：所有形如 01c ⎪的
001⎪⎝⎭
成一个群。这个群以诺贝尔物理学奖获得者海森伯（Heisenberg ）的名字命名，称为海森伯群（Heisenberg group ）。
证：（1）显然非空。 （2）保持代数运算：
⎛ 1a 1b 1⎫⎛1a 2b 2⎫⎛1a 1+a 2b 1+b 2+a 1c 2 01c 1⎪⎪ 01c 2⎪⎪= ⎫ 01c 1+c 2⎪⎪∈G 。 ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭
（3）结合律：
⎛ ⎛1a 1b 1⎫⎛1a 2b 2⎫⎫⎛1a 3b 3⎫⎛1a 1+a 2b 1+b 2⎫⎛1 01c 1⎪⎪ 01c 2⎪⎪⎪⎪ 01c 3⎪⎪= 01c 1+c 2⎪⎪ 0⎝ ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭⎪⎭
⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭ ⎝0⎛1a 3+(a 2+a 1) b 3+c 3(a 2+a 1) +(b 2+= a 1c 2+b 1) ⎫ 01c 3+(c 2+c 1) ⎪ ⎪⎝001⎪⎭⎛1(a 3+a 2) +a 1(b 3+a 2c 3+b 2) +(c 2+c 3) a 1+b 1= ⎫ 01(c 3+c 2) +c 1⎪ ⎪⎝001⎪⎭⎛1a 1b 1⎫⎛1a 2+a 3b 3+a 2c 3+b = 01c 1⎪ 2⎫⎪ ⎪⎝⎪ 01c 2+c 3⎭ ⎪001⎝001⎪⎭⎛1a 1b 1⎫⎛⎛1a 2b 2⎫⎛1= 01c 1⎪⎪ 01c 2⎪⎪ a 3b 3⎫ 01c 3⎪⎫⎪⎪⎪。 ⎝001⎪⎭ ⎝ ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭⎪⎭⎛100（4）单位元为 ⎫
010⎪
⎪，
⎝001⎪⎭
⎛ 1a b ⎫⎛100⎫⎛100⎫⎛1a b ⎫⎛1a b 01c ⎪ 010⎪
010⎪ 01c ⎪ ⎫
01c ⎪ ⎪ ⎪=
⎪ ⎪= ⎪。 ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭ ⎝
001⎪⎭ ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪
⎭⎛1a b ⎫⎛1-a ac （5）∀ 01c ⎪⎪∈G ，∃ -b ⎫
01-c ⎪
⎪∈G ，使
⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭⎛ 1a b ⎫ 01c ⎪⎛ 1-a ac -b ⎫
-c ⎪
⎪ 01
⎪= ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭
a 3b 3⎫1c 3⎪⎪01⎪⎭
⎛1-a ac -b ⎫⎛1a b ⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪ ⎪01-c 01c 010= ⎪ ⎪ ⎪。 00 ⎪ ⎪1⎪⎝⎭⎝001⎭⎝001⎭
∴G 构成群。
10：设G 是群，a 1,a 2, …,a r ∈G 。证明（a 1a 2…a r ）= ar -1a r-1-1…a 1-1. 证：∵G 为群，∀a i ∈G ,i=1,2,…r. 则a 1a 2…a r ∈G, ar -1a r-1-1…a 1-1∈G .
∴（a r -1a r-1-1…a 1-1）（a 1a 2…a r ）=（a r -1…a 2）(a1-1a 1）(a2…a r ）=（a r -1…a 2）(a2…a r )=... = ar -1 ar =e.
又（a 1a 2…a r ）（a r -1a r-1-1…a 1-1）=（a 1a 2…）(ar a r -1）(ar-1-1…a 1-1）=（a 1…a r-1）（a r-1-1…a 1-1）=…= a1 a1-1=e.
由逆元的惟一性知：（a 1a 2…a r ）-1= ar -1a r-1-1…a 1-1。 11：设G 是群，a ，b ∈G ，证明：如果ab =e ，则ba =e 。 证明：ba =eba =(a -1a ) ba =a -1(ab ) a =
a -1ea =e 。
或ba =bae =ba (bb -1) =b (ab ) b -1=beb -1=e 。
12. 设G 是群。证明：如果对任意的x ∈G , 都有x 2=e，则G 是一个交换群。
证明：对任意a,b 属于G, ∵aa =e ∴a =a -1。故
ab =(ab )=b -1a -1=ba ，所以群
-1
G 是交换群。
13：设G 是群。证明：G 是交换群的充分必要条件是对任意
的a,b ∈G,(ab)2=a2b 2.
证：“=>”∵G 是交换群。∴对于任意的a ，b ∈G ，有ab=ba 那么 (ab)2=(ab)(ab)=a(ab)b=a2b 2
2“
即abab=aabb． => ba=ab， (消去律) ∴G 为交换群。
14:设G 是一个具有乘法运算的非空有限集合。证明：如果G 满足结合律，有左单位元，且右消去律成立，则G 是一个群. 证 ∵G 是具有乘法运算的非空有限集合， 设G= {a１,a 2```,a n }，
对于任意的a ∈G ， Ga={a1a,a2a,```ana}=G． 且G 满足结合律，有左单位元． ∴存在a i a=e ∈G ， 即a i 为a 的左逆元． 于是G 是一个群。
15. 证明：一个具有乘法运算的非空集合G ，如果满足结合律，
有右单位元（即有e ∈G ，使对任意的a ∈G ，有ae =a ），且G 中的每个元素有右逆元（即对每个a ∈G ，有a ' ∈G ，使aa ' =e ），则G 构成群。
证明：（必要性）由群的定义，这是显然的。
（充分性）只需证：e 是G 的单位元，a ' 是a 的逆元即可。 设a ∈G ，由条件知，存在a ' ∈G ，使 同时又存在a ' ' ∈G ，使 于是
a ' a =a ' ae =a ' a (a ' a ' ' ) =a ' (aa ' ) a ' ' =a ' ea ' ' =a ' a ' ' =e ，
a ' a ' ' =e 。 aa ' =e 。
且
ea =aa ' a =a (a ' a ) =ae =a 。
联系题设条件知，e 是G 的单位元，a ' 是a 的逆元。
∴G
为群。
16:设G 是有限群。证明：G 中使x 3=e的元素x 的个数是奇数.
证：∵G 是有限群， A= {x∈G| x3=e }．
∵e ∈G 且e 3=e ， ∴e ∈A ．
又 对于任意的x ∈A , x≠e, 存在x -1∈A ， 满足（x -1）3=（x 2）3=x6=（x 3）2=e2=e。 ∴A 中的元素个数是奇数。
17：设p,q 是不同的素数。假设H 是整数集的真子集，且H 关于加法是群，H 恰好包含集合{p,p+q,pq,pq ,q p }中的三个元素。试确定以下各组元中哪一组是H 中的这三个元素？ （A ）pq,p q ,q p ; (B) p,p+q,pq: (C) p,pq,pq : (D) p+q,pq,pq : (E) p,pq ,q p .
解：（C ）。（（A ）(pq ,q p )=1,p(mpq +nqp )=p∈H, 矛盾。（B ）(p,p+q)=1,q∈H, 矛盾。（C ）全为p 的倍数，不能生成q 的倍数，故也没有p+q。（D ）q(p+q)-pq=q2∈H,( pq ,q 2)=1,=>p,q∈H, 矛盾。（E ）(pq ,q p )=1, mpq +nqp =1,(p+q)( mpq +nqp )=p+q∈H, 矛盾。）
18：假设下表是一个群的乘法表，试填出未列出的元。