2014届高三数学[考前指导]3

2014届高三数学《考前指导》

专题三 三角函数、平面向量

（本专题内容来自必修4、必修5）

一、知识归纳

三角部分1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。

2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，如tg(+)=tg+tg的变形tg+tg=tg(+)(1tgtg), 1tgtg

22222二倍角公式cos2cossin12sin2cos1的变形cos1cos2, 2

sin21cos2等。 2

3、常用的三角变换

① 角的变换：主要是将三角函数中的角恰当变形，以利于应用公式和已知条件： 如2α=(α+β)+ (α-β) 2β=(α+β)-(α-β)

α=[(α+β)/2]+[( α-β)/2],β=[(α+β)/2]-[( α-β)/2]

2α=2α/2=(α+β-β)

②函数名称变换： 主要是切化弦、弦化切、正余弦互换、正余切互换。 ③ 公式的活用

主要有公式的正用、逆用、变形用。通过适当的三角变换，以减少函数种类及项数，降低次数，使一般角化为特殊角。

注意切割化弦通分、降幂和升幂等方法的使用，充分利用三角函数值的变式，如，1=tan45 ，-1=tan135 , = tan60, =cos60或=sin30,sinx+cosx=2sin(x+),创造条件使用公式。

4、三角函数的图像与性质

⑴“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0, ω＞0)的简图，掌握选取起关键作用的五个点的方法：设X=ωx+φ,由取0，π/2，π，3π/2，2π来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图。

⑵掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图像与函数y=sinx的图像之间互相交换，提倡先平移后压缩(伸展)，但先压缩(伸展)后平移也经常出现现在题目中，所以也必须熟练掌握。 ⑶给出图像确定解析式的题型，有时从寻找“五点法”中的第一个零点(-φ/ω.0)作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个零点的位置。

⑷求定义域是研究其他性质首先应要考虑的方面之一，既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，例如题中出现tanx,则一定有x≠k+(π/2)(k∈Z),不要遗忘.

⑸求值域离不开三角函数式的的恒等变形，还要熟练掌握形如：sinx±cosx、sinx²cosx、2233sinx+cosx、sinx+cosx等之间的变换，以及三角公式的正逆用和变形用。 00000

⑹三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法求解，若对函数利用描点画图，则根据图形的直观性可迅速获解。判断函数的奇偶性，应首先判定函数定义域关于原点的对称性。三角函数最小正周期的求法，主要是通过恒等变形转化为基本三角函数类型或形如y=Asin(ωx+φ)的形式，另外还有图像和定义法。

⑺函数y=Asin(ωx+φ)的图像是中心对称图形。其对称中心是图像与x轴的交点，同时也是轴对称图形，对称轴是经过图像的波峰顶或波谷底且与x轴垂直的直线。

5、三角形中，正弦定理:2R=

222abc==; 内切圆半径r=2SABC；内角和A+B+C=180°； sinAsinBsinCabcb2c2a2111余弦定理：a=b+c-2bccosA,cosA;面积公式：SabsinCbcsinAcasinB 2222bc

术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°等 向量部分1、平面向量的加减法运算，用好平行四边形法则、三角形法则。

2、用向量的方法解决平行和垂直的问题。注意两非零向量的夹角的理解和应用。 3、e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a1e12e2(1,2唯一)

特别：. ＝1OA2OB则121是三点P、A、B共线的充要条件 

本专题C级要求包括：两角和(差)的正弦、余弦及正切；平面向量的数量积

二、考题剖析

例1．已知向量a(cos,sin)，b(cos,sin)， （Ⅰ）求cos()的值； （Ⅱ）若0，0，且sin5，求sin的值

2213ab．

例2.在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边， 周长为21，已知m(sinAsinB,sinC)，n(1,2)，且mn，

（I）求边c的长；

（II）求角C的最大值．

3例3.已知向量m=(1,1)，向量n与向量m夹角为，且m²n=-1， 4(1)求向量n；

(2)若向量n与向量q=(1,0)的夹角为2c，向量p=(cosA,2cos)，其中A、C为ABC的22

内角，且A、B、C依次成等差数列，试求n+p的取值范围.



三、热身冲刺

1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且8sin2

（1） 求角A的大小

（2）

若abc3，求b和c的值

2.在直角坐标系中，已知向量a(1,2)，又点A(8,0),B(n,t),C(ksin,t)(0

（1）若AB

a,且|AB|OA|，求向量OB；

（2）若向量AC与向量a共线，当k4时，且tsin取最大值为4时，求OAOC

BC2cos2A7 22)

四、回归课本

必修4 P21 例4 P40 练习6 P65 例4 P69 例3 P81 习题4，12 P87 复习题5 P94 习题4 P96-97 例3 例4 例5 例6 P107 例4 例5 P108 习题5 P115 13 必修5 P9 例4 P10 练习3 P11 5 P16 练习1 P17 习题12

2014届高三数学《考前指导》

专题三 三角函数、平面向量

（本专题内容来自必修4、必修5）

一、知识归纳

三角部分1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。

2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，如tg(+)=tg+tg的变形tg+tg=tg(+)(1tgtg), 1tgtg

22222二倍角公式cos2cossin12sin2cos1的变形cos1cos2, 2

sin21cos2等。 2

3、常用的三角变换

① 角的变换：主要是将三角函数中的角恰当变形，以利于应用公式和已知条件： 如2α=(α+β)+ (α-β) 2β=(α+β)-(α-β)

α=[(α+β)/2]+[( α-β)/2],β=[(α+β)/2]-[( α-β)/2]

2α=2α/2=(α+β-β)

②函数名称变换： 主要是切化弦、弦化切、正余弦互换、正余切互换。 ③ 公式的活用

主要有公式的正用、逆用、变形用。通过适当的三角变换，以减少函数种类及项数，降低次数，使一般角化为特殊角。

注意切割化弦通分、降幂和升幂等方法的使用，充分利用三角函数值的变式，如，1=tan45 ，-1=tan135 , = tan60, =cos60或=sin30,sinx+cosx=2sin(x+),创造条件使用公式。

4、三角函数的图像与性质

⑴“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0, ω＞0)的简图，掌握选取起关键作用的五个点的方法：设X=ωx+φ,由取0，π/2，π，3π/2，2π来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图。

⑵掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图像与函数y=sinx的图像之间互相交换，提倡先平移后压缩(伸展)，但先压缩(伸展)后平移也经常出现现在题目中，所以也必须熟练掌握。 ⑶给出图像确定解析式的题型，有时从寻找“五点法”中的第一个零点(-φ/ω.0)作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个零点的位置。

⑷求定义域是研究其他性质首先应要考虑的方面之一，既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，例如题中出现tanx,则一定有x≠k+(π/2)(k∈Z),不要遗忘.

⑸求值域离不开三角函数式的的恒等变形，还要熟练掌握形如：sinx±cosx、sinx²cosx、2233sinx+cosx、sinx+cosx等之间的变换，以及三角公式的正逆用和变形用。 00000

⑹三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法求解，若对函数利用描点画图，则根据图形的直观性可迅速获解。判断函数的奇偶性，应首先判定函数定义域关于原点的对称性。三角函数最小正周期的求法，主要是通过恒等变形转化为基本三角函数类型或形如y=Asin(ωx+φ)的形式，另外还有图像和定义法。

⑺函数y=Asin(ωx+φ)的图像是中心对称图形。其对称中心是图像与x轴的交点，同时也是轴对称图形，对称轴是经过图像的波峰顶或波谷底且与x轴垂直的直线。

5、三角形中，正弦定理:2R=

222abc==; 内切圆半径r=2SABC；内角和A+B+C=180°； sinAsinBsinCabcb2c2a2111余弦定理：a=b+c-2bccosA,cosA;面积公式：SabsinCbcsinAcasinB 2222bc

术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°等 向量部分1、平面向量的加减法运算，用好平行四边形法则、三角形法则。

2、用向量的方法解决平行和垂直的问题。注意两非零向量的夹角的理解和应用。 3、e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a1e12e2(1,2唯一)

特别：. ＝1OA2OB则121是三点P、A、B共线的充要条件 

本专题C级要求包括：两角和(差)的正弦、余弦及正切；平面向量的数量积

二、考题剖析

例1．已知向量a(cos,sin)，b(cos,sin)， （Ⅰ）求cos()的值； （Ⅱ）若0，0，且sin5，求sin的值

2213ab．

例2.在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边， 周长为21，已知m(sinAsinB,sinC)，n(1,2)，且mn，

（I）求边c的长；

（II）求角C的最大值．

3例3.已知向量m=(1,1)，向量n与向量m夹角为，且m²n=-1， 4(1)求向量n；

(2)若向量n与向量q=(1,0)的夹角为2c，向量p=(cosA,2cos)，其中A、C为ABC的22

内角，且A、B、C依次成等差数列，试求n+p的取值范围.



三、热身冲刺

1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且8sin2

（1） 求角A的大小

（2）

若abc3，求b和c的值

2.在直角坐标系中，已知向量a(1,2)，又点A(8,0),B(n,t),C(ksin,t)(0

（1）若AB

a,且|AB|OA|，求向量OB；

（2）若向量AC与向量a共线，当k4时，且tsin取最大值为4时，求OAOC

BC2cos2A7 22)

四、回归课本

必修4 P21 例4 P40 练习6 P65 例4 P69 例3 P81 习题4，12 P87 复习题5 P94 习题4 P96-97 例3 例4 例5 例6 P107 例4 例5 P108 习题5 P115 13 必修5 P9 例4 P10 练习3 P11 5 P16 练习1 P17 习题12