空间直线与平面的位置关系

课题：空间直线与平面的位置关系(一轮复习)

——动态问题中再探空间点线面的位置关系

一、教学设计

1.教学内容的确立

内容：本节高三复习课，安排在一轮系统复习完空间点线面的位置关系之后，是由静态环境到动态变化环境下对空间线面位置关系的一个再深入探究，重点探讨垂直关系及应用.

背景：从近几年的高考试卷来看，立体几何试题除了固定不变的线线、线面、面面的位置关系外，还渗透了某些点线面的位置不确定的可变性问题．这类题型立意新颖，是考查学生分析能力与创新能力的好素材，图形的动态翻折就是其中一个热点.

立意：由于翻折问题是在图形动态变化的过程中，探究静态的空间位置关系和数量关系．因此，动态问题中线面位置关系的研究，不仅能较好的集中体现空间几何与平面几何的转化关系，更能拓宽了学生空间想象的范围，提升逻辑思维能力，在变与不变中得到思维的升华.

学情：高三学生思维活跃，正值身心发展的鼎盛时期．从认知上来看，学生的立体几何是在三维空间背景下，遵循着“直观感知—操作确认—思辨论证—初步应用”四个层次的认识过程展开的．从能力上来看，通过一轮复习，学生已经熟练掌握了空间点线面位置关系转化的各种判定定理和性质定理，能进行常规线面关系的论证，并且会用多种方法进行空间量的计算．但翻折问题使得立体几何由静态到动态，提升了思维的难度，拓宽了空间想象的范围，而且由于新课标教材对于立体几何是分两个阶段学习的，学生对于知识的内在知识网络还有待进一步清晰简洁化．这些都有可能成为这节课学习的思维障碍．

2.教学标准的设置

从以上分析来看，这节课的重点是空间点线面位置关系的转化与论证，难点就是如何实现动态与静态的转化，空间与平面的转化以及如何在动态问题中找到变与不变量的标准与特征．于是我从四个方面确定了以下教学目标：

（1）构建空间点线面位置关系的知识网络，并形成一般转化规律的认知结构；

（2）渗透转化与化归的数学思想．从运动上理解动态与静态的转化；从位置关系上理解空间与平面的转化，从数量关系上理解变与不变的转化；

（3）通过一题多变，一题多解，多层次多角度的理解并解决问题；

（4）在丰富的教学活动中，让学生积极参与并互动交流，培养自己的主体探索精神．

3.教学策略的选择

构建主义理论认为，学生是信息加工的主体，是意义的主动构建者，新课程标准理念下的高三数学复习课应突出学生知识的意义构建．因此，高三复习教学，不应该是教师展示解题能力的才艺表演，也不应该是只强调静态数学知识（如数学概念、命题、算法、解题技巧等）的获得，更不应该不注重数学思维与思想方法的培养与渗透，导致教学成为单纯的习题演算操练．数学教学应该是思维的教学．从这一角度出发，我采取以下教学策略：

（1）在课堂上采用了问题导学，自主探究，合作交流，对比研讨，动态演示，图表辅

复习回顾 登高望远 探索新知 以退为进 反思回望 淘沙始金 变式拓展 笃行致远 整合构建 厚积薄发

二、课堂实录

1.复习回顾 登高望远

师：同学们，在前面几节课中，我们系统复习回顾了空间中直线与平面的位置关系及其

相关内容．从位置关系上来讲，主要是哪两条主线？

生：线面的平行与垂直.

师：从数量关系上来讲，主要是哪三种角的计算？

生：线线角，线面角，二面角.

师：在线面位置关系的转化当中，主要用到了哪四个定理？

生：线面平行、面面平行的判定定理和判定定理；线面垂直、面面垂直的判定定理和性

质定理.

师：在空间中，最基础也是我们探究线面位置关系用得最多的载体是什么？

生：长方体（正方体）.

师：也就是整个空间立体几何的学习，可以用“一二三四”来形象概括.老师有一首打

油诗，今天送给大家:

【评析】一首本人原创的打油诗，不仅生动形象地概括了空间线面位置关系的知识结构特征，帮助学生站在高处从整体把握住了知识网络，而且较好的活跃了气氛，引起了学生的兴趣，同时也起到了承上启下的作用，为本节课继续围绕空间点线面位置关系的后续研究埋下了伏笔.

2.探究新知 以退为进

师：但是，我们之前对于空间线面位置关系的研究都是在静态下的，那么动态下的空间位置关系又该如何处理呢？今天我们来一起探讨一下．同学们请看，这是2012年浙江省高考理科数学试题中的第10题.

例 (2012浙江高考题) 已知矩形ABCD中，AB

1，BCABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）

A．存在某个位置，使得直线AC与BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与BD垂直

D．对任意位置，3对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

学生们阅读题目，同时教师板书标题，并打开math3D动画

图1

【评析】数学文本材料是说明性的文字表现，倾向于将复杂的问题情境简洁地呈现给学生，让其在简短的文字中发现所蕴含的数量关系．因此，在数学教学中，教师要给予学生一定的阅读时间，让学生动手画图将文字语言转化为图形语言和符号语言．

通过这道动态翻折问题的提出，引出本了节课的探究方向.

探究新知，以退为进之环节1：阅读型提问,知情达意.

师：这道题中未知量是什么？

生：3对直线是否垂直.

师：已知数据是什么？

生：矩形ABCD，AB

1,BC师：条件是什么？

生：将△ABD沿着矩形的对角线BD所在的直线进行翻折.

师：你需要观察的是什么？

生：在翻折过程中是否存在某个位置，使3对直线垂直.

【评析】 通过问题串“未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？”把题干的各个部分分开，这既是与解题直接相关的认知环节，也是对学生解题心理结构的把握，培养学生自我发问的审题习惯．

探究新知，以退为进之环节２：回顾性提问，以退为进.

师：观察未知量，以前碰到过类似的题目吗？未知量是什么？（关注目标）

生：2条直线是否垂直.

师：翻折的动态过程中，这三对直线是什么位置关系？

生：异面直线.

师：一般如何证明异面直线垂直？尽量想出一条你熟悉的定理来证明（提示学生联想）. 生：只要有线面垂直就行了.

师：你能举出例子吗？比如线线、线面关系出现比较多的简单几何体是什么？

生：（联想）正方体.

师：（教师让学生画一个正方体，并观察）图中有异面直线的垂直关系吗？

D1

生：有，比如图中直线BD与A1C垂直.

师：你是如何判断直线BD与A1C垂直的？

生：BD面A1CA，因为直线BDA1A,BDAC.

师：再观察未知量，在图形变化过程中，直线BD是否垂直于直线AC呢？

少部分学生受图2 的启发，先把矩形ABCD画成正方形（图3），得到在翻折过程中直线BD平面AOC，并类比在矩形ABCD中作出与BD垂直的直线AE（如图4），垂足为点O，在翻折过程中BD面AOE，可得到直线BD不可能垂直直线AC.大部分学生还不知从何入手.

D

B E 图3 图4

师：如何判断异面直线BD与AC是否垂直呢？

生：要看BD是否垂直AC所在的面.

师：有与BD垂直的线吗？

生：没有现成的，需要在面BDC或面ABD内作一条.（学生作出BD的垂线AO，CF,如图5）

D D

B 图5 图6

在翻折过程中分别与直线AC构成面AOC与面CFA，如果BDAC，则BD面AOC，于是BDOC.

师：这可能吗？

生：（犹豫）

师：你用到了所有数据了吗？

生：（恍然大悟）这不可能，因为是矩形，点O，F并不能重合，所以选项A错误.

【评析】 本题思维难度较大，如果直接让学生去做，学生会感觉比较困难.教师在探究前先搭建台阶，通过启发性的、层层递进的提问，将难度分解，调动学生对图形的直观感与原先的解题经验，帮助学生促使已有知识思维的迁移，优化已有的知识经验与认知结构.即在动态问题中，证明异面直线垂直仍是通常转化为线面垂直，线面垂直又转化为线线垂直的基本转化规律．

探究新知，以退为进之环节3：激发性提问，完善思维.

师：如何判断在翻折过程中直线AB与CD是否垂直？

生：在翻折过程中，直线CD是否垂直直线AB所在的面.

师：如何找与CD垂直的面呢？

生：先找与直线CD垂直的线——BC与AD.

师：它们在运动过程中都能与CD垂直吗？

生：直线BC能，直线AD不能.

师：为什么？

生：在翻折过程中，直线AD与CD的位置关系在改变，而直线BC与CD的位置关系不变.

生：为什么？

生：因为直线AD与CD在折线的两侧，而直线BC与CD在折线的同侧.

师：找到与CD垂直的直线BC的目的是什么？

生：在翻折过程中能否找到与直线AB构成与CD垂直的面，由线线垂直得线面垂直. 师：能吗？为什么？

生：能，因为在翻折过程中，点A的射影可以落在边BC上.

师：为什么？

生：因为ABCD是矩形，BCAB.

师：同理，能判断C选项吗？

生：能！因为在翻折过程中，直线BC不可能垂直面ADC.

【评析】 在后三个选项的处理当中，引导学生说出完整的论证思路，既可以暴露问题和疑惑，而且能够让他们自己意识到每一步转化的理由，加强线线—线面—线线垂直的转化思路，并且归纳出在动态过程中空间量变与不变的标准．

3. 反思回望 淘沙始金

师：同学们，在刚才的动态翻折过程中，大家借助了正方体这个载体中证明异面直线垂直即转化为证线面垂直的方法，轻松的解决了这道难题．为了检查大家是否真的能够举一反三，请看下列问题：

（1）你能改变条件，使存在某一位置，直线AC与BD垂直吗？

（2）你能改变条件，使存在某一位置，直线AD与BC垂直吗？

（3）若把矩形ABCD改成正方形，结果如何？

（4）你能改变条件，使3对对棱在翻折过程中都有可能垂直吗？

师：请同学们通过自主思考，小组讨论的方式展开探究.

生：（思考后展开激烈的讨论，并交流答案，教师点评）

【评析】教学中用足问题资源能够提高教与学的有效性．这4个题分别是围绕原题4个选项的深入，以探究开放性的方式让学生改变条件使得原来不成立的结论变为成立，是解题后的回头望，需要学生回顾推理过程，对具有垂直关系的线线、线面转化具有更深刻的理解．并且在问题4中学生很容易把它理解成与问题3是一回事，所以将“直线”换成“对棱”

的说法，也考查了学生审题的能力．同时，这几个题目均为开放性的结论，探讨空间很大． 通过自主探究和小组讨论，使学生主动积极地发现知识间的内在联系.

4．变式拓展 笃行致远

师：下面我们来看看，以这道题为背景的几个变式题：

变式1（以第一个选项为背景） 已知矩形ABCD中，AB

1，BCBD，过点A作AEBD，垂足为O，与BC交于点E.现将△ABD沿BD折起，则在翻折过程中，下列说法正确的是______________

①BD面AOE；

②二面角ABDC的平面角为AOE；

③当二面角ABDC为直二面角时，AE

④当AE

； 时，二面角ABDC的大小为60. D

图7 图8

生：（学生思考后上台讲解做法，力争一题多解）

【评析】以原题第一个选项为背景，问题抓住了在翻折中始终不变的线面垂直关系，层层递进，体现回归课本的复习指导思想，提高学生的运用线面垂直关系解决各种有关问题的能力．

变式2（以第二个选项为背景）已知矩形ABCD，AB

1，BCE为AD中点，F为线段ED(端点除外)上一动点，现将△ABF沿BF折起，使平面ABC平面BCD，在平面ABC内过点A作AKBC，K为垂足(如图).设BKt，则t的取值范围是

A F

D

K

图9 图10 生：（探究后交流，出现一题多解）

【评析】以原题第二个选择项为背景，添加了动点的个数，转化关系也由线线、线面增加了面面垂直的转化，题目难度较之前螺旋式上升，较好的体现了这堂课的研究思路，培养了学生综合运用的能力

变式3 (1) 已知矩形ABCD中，AB1,BC2，在线段AD上是否存在一点N

，当将

△ABN沿BN折起至平面ABN平面BCD时，CNAB？

(2)已知矩形ABCD中，ABa，当线段AD长为多少时，在线段AD上是否存在点N，当将△ABN沿BN折起至平面ABN平面BCD时，CNAB？

变式4 在矩形ABCD中，AB4，BC5，点E为AB中点，点F在线段AD上，且AF2，沿直线EF将△AEF翻折成△AEF，使平面AEF平面BEF.

（1）求二面角AEBC的余弦值；

（2）点M,N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段BN的长.

（这两题未来得及处理，进入下一环节）

5.整合构建 厚积薄发

师：请你从知识、方法、数学思想、课堂体验等方面来谈谈这节课的收获.

生：从前面的题目学到了执果索因的分析法，要证什么就把它当做结果，由此推出一些

想要的结论.

生：很难的问题，我们有时需要从反面思考（反证法）.

生：经常把空间问题转化为平面当中来.

生：我体会到了转化的思想，线线转化到线面.

生：从这题和这题的变式中，我学会了翻折问题的一些方法，在做翻折题目时要抓一些

不变的量.

生：变式2大家积极思考想出了4种方法，对于一道题我们可以用多种方法来解决，每

个问题都要发散思维，寻找最适合自己的一个方法.

„„„„

师：空间的动态问题变化莫测“生万象”，但主要是围绕平行和垂直关系来进行的，将动态的线线、线面、面面的位置关系转化为静态的位置关系，在转化中4个定理要牢记,也就是动态的问题静态化，空间问题平面化．

【评析】 把数学知识与技能以“同化”和“顺应”的形式纳入认知结构的步骤，是提高学生归纳、总结、以及语言组织与表达等方面能力的重要途径，还能构建知识系统，提高思维的严谨性．

三、课后反思

本节课围绕一道高考题目的深入探究、改编发散来展开，一题多变，一题多解，以题根形成题网．以线线、线面、面面之间的关系（主要是垂直关系）的转化为明线，以动态问题静态化、空间问题平面化的转化化归思想为暗线，层层推进将任务分解，贯穿了空间线面位置关系的相关概念、知识点和方法．引导学生总结出动态问题静态化，空间问题平面化的难点攻破策略．本节课内容具有知识的交汇、方法的交织、思想的交融特点，达到了高三复习课所要求的系统化和科学化的维度和深度，我认为本节课做得较好的有以下几个特点：

（1）新颖的设计思路

空间线面位置关系的复习教学，常规思路是熟练线面位置关系的论证和空间量的计算，教师在一轮复习中将各种方法汇总后一般认为已经形成了知识网络，而学生在大量知识汇总的同时会有一个消化过程，这中间会形成一个认知的时间差．如何想到在一轮复习完之后，根据学生认知冲突将问题逐步深化，帮助学生将知识网络清晰地构建出来，并将难度螺旋式

上升，选择由动态环境下再深入探究，需要教师敏感地把握．而本节课的设计思路较好弥补了师生之间认知时间差上的冲突，也从深度和广度上拓展了研究范围，探究层次合理，重点突出，难点突围，为分层教学提供了一定基础.

（2）精细的切入例题

所谓“学之道在于悟，教之道在于度”．空间动态问题涉及范围很广，内容难度较大，把握不好很容易脱离主线成为“偏难怪”．如何把握这个度关键在于选择的例题和切入点．数学教育学家波利亚说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿住一个有意义但不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一个门户，把学生引入到一个完整的理论领域”．而本节课的动态问题选择由一道高考题目出发，始终立足于主线知识，只围绕着线面位置关系的转化来进行．通过这道题的深入探究、改编发散，复习了一片知识，串起了整个空间线面位置关系转化的一般方法，符合波利亚对于例题选择的标准．

（3）良好的课堂开端

因为本节课的课题设置是高三复习课，与本人教授年级并不一致，所以这节课是一堂原生态的课，和学生接触也是在上课时．面对一个陌生的群体如何顺利开展教学，对我来说是一种挑战．所以在开始的复习回顾中，我以生动形象的诗句帮助学生构建知识网络，既吸引了学生的注意力，激发了兴趣，又为新的探究埋下了伏笔，起到了承上启下的作用．

（4）先进的教学手段

在动态生成问题中，常规的辅助手段是几何画板的动画效果，这次我采用math3D动画程序，让动态过程更直观，效果更加立体．

（5）愉快的教学环境

整个教学过程中，教师教态得体，亲和力强，在问题的预设和引导中突出学生的主体地位，给予学生足够的空间自由发挥；而学生积极配合，广泛参与，主动探究，整个教学如行云流水，朴实，自然，和谐，从而较好的完成了教学目标．

当然，教学就是一门有遗憾的学问，虽然设计有了意料中的收获，但仍有多处遗憾：

（1）动态问题中线面关系的转化，主要是围绕垂直关系进行的。而今年湖北省高考立体几何的大题以鳖臑和阳马为载体的出现震惊了全国．初步设计中想将反思回望环节的问题加入一道以鳖臑为原型来进行翻折前后探究的题目，因为准备时间仓促的原因，怕设计出错没有进行．

（2）高三复习课上有一个突出的矛盾，就是课堂容量太大，既要处理足量的题目，又要充分展示学生的思维培养过程，显得时间太紧，准备的变式（3）（4）没有时间进行．

四、教学点评

本节复习课对直线和平面位置关系的知识和方法进行了提炼概括.从立体几何中的翻折问题入手，把静态的知识和方法运用到动态问题之中.所选问题始终围绕线线、线面垂直转化的四个定理展开，使学生对所学知识加深了理解；一题多变，层层递进，定性与定量的展开，使学生系统掌握所学知识；一题多解，发散了思维，也使学生综合运用能力得到了提高.教学中，循循善诱，把复杂难题化为无形之中.难得的是，本节课学生始终参与了知识的构建过程,看似平常的教学内容,让学生在探究过程中充分感受到了转化化归的数学思想．在完成教学任务的同时，体现了如下特色：教学设计符合建构主义理论，体现学生的认知水平；以知识为主线，以思想方法为暗线, 知识交汇、方法交织、思想交融；静态的预设与动态的生成相结合．

课题：空间直线与平面的位置关系(一轮复习)

——动态问题中再探空间点线面的位置关系

一、教学设计

1.教学内容的确立

内容：本节高三复习课，安排在一轮系统复习完空间点线面的位置关系之后，是由静态环境到动态变化环境下对空间线面位置关系的一个再深入探究，重点探讨垂直关系及应用.

背景：从近几年的高考试卷来看，立体几何试题除了固定不变的线线、线面、面面的位置关系外，还渗透了某些点线面的位置不确定的可变性问题．这类题型立意新颖，是考查学生分析能力与创新能力的好素材，图形的动态翻折就是其中一个热点.

立意：由于翻折问题是在图形动态变化的过程中，探究静态的空间位置关系和数量关系．因此，动态问题中线面位置关系的研究，不仅能较好的集中体现空间几何与平面几何的转化关系，更能拓宽了学生空间想象的范围，提升逻辑思维能力，在变与不变中得到思维的升华.

学情：高三学生思维活跃，正值身心发展的鼎盛时期．从认知上来看，学生的立体几何是在三维空间背景下，遵循着“直观感知—操作确认—思辨论证—初步应用”四个层次的认识过程展开的．从能力上来看，通过一轮复习，学生已经熟练掌握了空间点线面位置关系转化的各种判定定理和性质定理，能进行常规线面关系的论证，并且会用多种方法进行空间量的计算．但翻折问题使得立体几何由静态到动态，提升了思维的难度，拓宽了空间想象的范围，而且由于新课标教材对于立体几何是分两个阶段学习的，学生对于知识的内在知识网络还有待进一步清晰简洁化．这些都有可能成为这节课学习的思维障碍．

2.教学标准的设置

从以上分析来看，这节课的重点是空间点线面位置关系的转化与论证，难点就是如何实现动态与静态的转化，空间与平面的转化以及如何在动态问题中找到变与不变量的标准与特征．于是我从四个方面确定了以下教学目标：

（1）构建空间点线面位置关系的知识网络，并形成一般转化规律的认知结构；

（2）渗透转化与化归的数学思想．从运动上理解动态与静态的转化；从位置关系上理解空间与平面的转化，从数量关系上理解变与不变的转化；

（3）通过一题多变，一题多解，多层次多角度的理解并解决问题；

（4）在丰富的教学活动中，让学生积极参与并互动交流，培养自己的主体探索精神．

3.教学策略的选择

构建主义理论认为，学生是信息加工的主体，是意义的主动构建者，新课程标准理念下的高三数学复习课应突出学生知识的意义构建．因此，高三复习教学，不应该是教师展示解题能力的才艺表演，也不应该是只强调静态数学知识（如数学概念、命题、算法、解题技巧等）的获得，更不应该不注重数学思维与思想方法的培养与渗透，导致教学成为单纯的习题演算操练．数学教学应该是思维的教学．从这一角度出发，我采取以下教学策略：

（1）在课堂上采用了问题导学，自主探究，合作交流，对比研讨，动态演示，图表辅

复习回顾 登高望远 探索新知 以退为进 反思回望 淘沙始金 变式拓展 笃行致远 整合构建 厚积薄发

二、课堂实录

1.复习回顾 登高望远

师：同学们，在前面几节课中，我们系统复习回顾了空间中直线与平面的位置关系及其

相关内容．从位置关系上来讲，主要是哪两条主线？

生：线面的平行与垂直.

师：从数量关系上来讲，主要是哪三种角的计算？

生：线线角，线面角，二面角.

师：在线面位置关系的转化当中，主要用到了哪四个定理？

生：线面平行、面面平行的判定定理和判定定理；线面垂直、面面垂直的判定定理和性

质定理.

师：在空间中，最基础也是我们探究线面位置关系用得最多的载体是什么？

生：长方体（正方体）.

师：也就是整个空间立体几何的学习，可以用“一二三四”来形象概括.老师有一首打

油诗，今天送给大家:

【评析】一首本人原创的打油诗，不仅生动形象地概括了空间线面位置关系的知识结构特征，帮助学生站在高处从整体把握住了知识网络，而且较好的活跃了气氛，引起了学生的兴趣，同时也起到了承上启下的作用，为本节课继续围绕空间点线面位置关系的后续研究埋下了伏笔.

2.探究新知 以退为进

师：但是，我们之前对于空间线面位置关系的研究都是在静态下的，那么动态下的空间位置关系又该如何处理呢？今天我们来一起探讨一下．同学们请看，这是2012年浙江省高考理科数学试题中的第10题.

例 (2012浙江高考题) 已知矩形ABCD中，AB

1，BCABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）

A．存在某个位置，使得直线AC与BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与BD垂直

D．对任意位置，3对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

学生们阅读题目，同时教师板书标题，并打开math3D动画

图1

【评析】数学文本材料是说明性的文字表现，倾向于将复杂的问题情境简洁地呈现给学生，让其在简短的文字中发现所蕴含的数量关系．因此，在数学教学中，教师要给予学生一定的阅读时间，让学生动手画图将文字语言转化为图形语言和符号语言．

通过这道动态翻折问题的提出，引出本了节课的探究方向.

探究新知，以退为进之环节1：阅读型提问,知情达意.

师：这道题中未知量是什么？

生：3对直线是否垂直.

师：已知数据是什么？

生：矩形ABCD，AB

1,BC师：条件是什么？

生：将△ABD沿着矩形的对角线BD所在的直线进行翻折.

师：你需要观察的是什么？

生：在翻折过程中是否存在某个位置，使3对直线垂直.

【评析】 通过问题串“未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？”把题干的各个部分分开，这既是与解题直接相关的认知环节，也是对学生解题心理结构的把握，培养学生自我发问的审题习惯．

探究新知，以退为进之环节２：回顾性提问，以退为进.

师：观察未知量，以前碰到过类似的题目吗？未知量是什么？（关注目标）

生：2条直线是否垂直.

师：翻折的动态过程中，这三对直线是什么位置关系？

生：异面直线.

师：一般如何证明异面直线垂直？尽量想出一条你熟悉的定理来证明（提示学生联想）. 生：只要有线面垂直就行了.

师：你能举出例子吗？比如线线、线面关系出现比较多的简单几何体是什么？

生：（联想）正方体.

师：（教师让学生画一个正方体，并观察）图中有异面直线的垂直关系吗？

D1

生：有，比如图中直线BD与A1C垂直.

师：你是如何判断直线BD与A1C垂直的？

生：BD面A1CA，因为直线BDA1A,BDAC.

师：再观察未知量，在图形变化过程中，直线BD是否垂直于直线AC呢？

少部分学生受图2 的启发，先把矩形ABCD画成正方形（图3），得到在翻折过程中直线BD平面AOC，并类比在矩形ABCD中作出与BD垂直的直线AE（如图4），垂足为点O，在翻折过程中BD面AOE，可得到直线BD不可能垂直直线AC.大部分学生还不知从何入手.

D

B E 图3 图4

师：如何判断异面直线BD与AC是否垂直呢？

生：要看BD是否垂直AC所在的面.

师：有与BD垂直的线吗？

生：没有现成的，需要在面BDC或面ABD内作一条.（学生作出BD的垂线AO，CF,如图5）

D D

B 图5 图6

在翻折过程中分别与直线AC构成面AOC与面CFA，如果BDAC，则BD面AOC，于是BDOC.

师：这可能吗？

生：（犹豫）

师：你用到了所有数据了吗？

生：（恍然大悟）这不可能，因为是矩形，点O，F并不能重合，所以选项A错误.

【评析】 本题思维难度较大，如果直接让学生去做，学生会感觉比较困难.教师在探究前先搭建台阶，通过启发性的、层层递进的提问，将难度分解，调动学生对图形的直观感与原先的解题经验，帮助学生促使已有知识思维的迁移，优化已有的知识经验与认知结构.即在动态问题中，证明异面直线垂直仍是通常转化为线面垂直，线面垂直又转化为线线垂直的基本转化规律．

探究新知，以退为进之环节3：激发性提问，完善思维.

师：如何判断在翻折过程中直线AB与CD是否垂直？

生：在翻折过程中，直线CD是否垂直直线AB所在的面.

师：如何找与CD垂直的面呢？

生：先找与直线CD垂直的线——BC与AD.

师：它们在运动过程中都能与CD垂直吗？

生：直线BC能，直线AD不能.

师：为什么？

生：在翻折过程中，直线AD与CD的位置关系在改变，而直线BC与CD的位置关系不变.

生：为什么？

生：因为直线AD与CD在折线的两侧，而直线BC与CD在折线的同侧.

师：找到与CD垂直的直线BC的目的是什么？

生：在翻折过程中能否找到与直线AB构成与CD垂直的面，由线线垂直得线面垂直. 师：能吗？为什么？

生：能，因为在翻折过程中，点A的射影可以落在边BC上.

师：为什么？

生：因为ABCD是矩形，BCAB.

师：同理，能判断C选项吗？

生：能！因为在翻折过程中，直线BC不可能垂直面ADC.

【评析】 在后三个选项的处理当中，引导学生说出完整的论证思路，既可以暴露问题和疑惑，而且能够让他们自己意识到每一步转化的理由，加强线线—线面—线线垂直的转化思路，并且归纳出在动态过程中空间量变与不变的标准．

3. 反思回望 淘沙始金

师：同学们，在刚才的动态翻折过程中，大家借助了正方体这个载体中证明异面直线垂直即转化为证线面垂直的方法，轻松的解决了这道难题．为了检查大家是否真的能够举一反三，请看下列问题：

（1）你能改变条件，使存在某一位置，直线AC与BD垂直吗？

（2）你能改变条件，使存在某一位置，直线AD与BC垂直吗？

（3）若把矩形ABCD改成正方形，结果如何？

（4）你能改变条件，使3对对棱在翻折过程中都有可能垂直吗？

师：请同学们通过自主思考，小组讨论的方式展开探究.

生：（思考后展开激烈的讨论，并交流答案，教师点评）

【评析】教学中用足问题资源能够提高教与学的有效性．这4个题分别是围绕原题4个选项的深入，以探究开放性的方式让学生改变条件使得原来不成立的结论变为成立，是解题后的回头望，需要学生回顾推理过程，对具有垂直关系的线线、线面转化具有更深刻的理解．并且在问题4中学生很容易把它理解成与问题3是一回事，所以将“直线”换成“对棱”

的说法，也考查了学生审题的能力．同时，这几个题目均为开放性的结论，探讨空间很大． 通过自主探究和小组讨论，使学生主动积极地发现知识间的内在联系.

4．变式拓展 笃行致远

师：下面我们来看看，以这道题为背景的几个变式题：

变式1（以第一个选项为背景） 已知矩形ABCD中，AB

1，BCBD，过点A作AEBD，垂足为O，与BC交于点E.现将△ABD沿BD折起，则在翻折过程中，下列说法正确的是______________

①BD面AOE；

②二面角ABDC的平面角为AOE；

③当二面角ABDC为直二面角时，AE

④当AE

； 时，二面角ABDC的大小为60. D

图7 图8

生：（学生思考后上台讲解做法，力争一题多解）

【评析】以原题第一个选项为背景，问题抓住了在翻折中始终不变的线面垂直关系，层层递进，体现回归课本的复习指导思想，提高学生的运用线面垂直关系解决各种有关问题的能力．

变式2（以第二个选项为背景）已知矩形ABCD，AB

1，BCE为AD中点，F为线段ED(端点除外)上一动点，现将△ABF沿BF折起，使平面ABC平面BCD，在平面ABC内过点A作AKBC，K为垂足(如图).设BKt，则t的取值范围是

A F

D

K

图9 图10 生：（探究后交流，出现一题多解）

【评析】以原题第二个选择项为背景，添加了动点的个数，转化关系也由线线、线面增加了面面垂直的转化，题目难度较之前螺旋式上升，较好的体现了这堂课的研究思路，培养了学生综合运用的能力

变式3 (1) 已知矩形ABCD中，AB1,BC2，在线段AD上是否存在一点N

，当将

△ABN沿BN折起至平面ABN平面BCD时，CNAB？

(2)已知矩形ABCD中，ABa，当线段AD长为多少时，在线段AD上是否存在点N，当将△ABN沿BN折起至平面ABN平面BCD时，CNAB？

变式4 在矩形ABCD中，AB4，BC5，点E为AB中点，点F在线段AD上，且AF2，沿直线EF将△AEF翻折成△AEF，使平面AEF平面BEF.

（1）求二面角AEBC的余弦值；

（2）点M,N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段BN的长.

（这两题未来得及处理，进入下一环节）

5.整合构建 厚积薄发

师：请你从知识、方法、数学思想、课堂体验等方面来谈谈这节课的收获.

生：从前面的题目学到了执果索因的分析法，要证什么就把它当做结果，由此推出一些

想要的结论.

生：很难的问题，我们有时需要从反面思考（反证法）.

生：经常把空间问题转化为平面当中来.

生：我体会到了转化的思想，线线转化到线面.

生：从这题和这题的变式中，我学会了翻折问题的一些方法，在做翻折题目时要抓一些

不变的量.

生：变式2大家积极思考想出了4种方法，对于一道题我们可以用多种方法来解决，每

个问题都要发散思维，寻找最适合自己的一个方法.

„„„„

师：空间的动态问题变化莫测“生万象”，但主要是围绕平行和垂直关系来进行的，将动态的线线、线面、面面的位置关系转化为静态的位置关系，在转化中4个定理要牢记,也就是动态的问题静态化，空间问题平面化．

【评析】 把数学知识与技能以“同化”和“顺应”的形式纳入认知结构的步骤，是提高学生归纳、总结、以及语言组织与表达等方面能力的重要途径，还能构建知识系统，提高思维的严谨性．

三、课后反思

本节课围绕一道高考题目的深入探究、改编发散来展开，一题多变，一题多解，以题根形成题网．以线线、线面、面面之间的关系（主要是垂直关系）的转化为明线，以动态问题静态化、空间问题平面化的转化化归思想为暗线，层层推进将任务分解，贯穿了空间线面位置关系的相关概念、知识点和方法．引导学生总结出动态问题静态化，空间问题平面化的难点攻破策略．本节课内容具有知识的交汇、方法的交织、思想的交融特点，达到了高三复习课所要求的系统化和科学化的维度和深度，我认为本节课做得较好的有以下几个特点：

（1）新颖的设计思路

空间线面位置关系的复习教学，常规思路是熟练线面位置关系的论证和空间量的计算，教师在一轮复习中将各种方法汇总后一般认为已经形成了知识网络，而学生在大量知识汇总的同时会有一个消化过程，这中间会形成一个认知的时间差．如何想到在一轮复习完之后，根据学生认知冲突将问题逐步深化，帮助学生将知识网络清晰地构建出来，并将难度螺旋式

上升，选择由动态环境下再深入探究，需要教师敏感地把握．而本节课的设计思路较好弥补了师生之间认知时间差上的冲突，也从深度和广度上拓展了研究范围，探究层次合理，重点突出，难点突围，为分层教学提供了一定基础.

（2）精细的切入例题

所谓“学之道在于悟，教之道在于度”．空间动态问题涉及范围很广，内容难度较大，把握不好很容易脱离主线成为“偏难怪”．如何把握这个度关键在于选择的例题和切入点．数学教育学家波利亚说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿住一个有意义但不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一个门户，把学生引入到一个完整的理论领域”．而本节课的动态问题选择由一道高考题目出发，始终立足于主线知识，只围绕着线面位置关系的转化来进行．通过这道题的深入探究、改编发散，复习了一片知识，串起了整个空间线面位置关系转化的一般方法，符合波利亚对于例题选择的标准．

（3）良好的课堂开端

因为本节课的课题设置是高三复习课，与本人教授年级并不一致，所以这节课是一堂原生态的课，和学生接触也是在上课时．面对一个陌生的群体如何顺利开展教学，对我来说是一种挑战．所以在开始的复习回顾中，我以生动形象的诗句帮助学生构建知识网络，既吸引了学生的注意力，激发了兴趣，又为新的探究埋下了伏笔，起到了承上启下的作用．

（4）先进的教学手段

在动态生成问题中，常规的辅助手段是几何画板的动画效果，这次我采用math3D动画程序，让动态过程更直观，效果更加立体．

（5）愉快的教学环境

整个教学过程中，教师教态得体，亲和力强，在问题的预设和引导中突出学生的主体地位，给予学生足够的空间自由发挥；而学生积极配合，广泛参与，主动探究，整个教学如行云流水，朴实，自然，和谐，从而较好的完成了教学目标．

当然，教学就是一门有遗憾的学问，虽然设计有了意料中的收获，但仍有多处遗憾：

（1）动态问题中线面关系的转化，主要是围绕垂直关系进行的。而今年湖北省高考立体几何的大题以鳖臑和阳马为载体的出现震惊了全国．初步设计中想将反思回望环节的问题加入一道以鳖臑为原型来进行翻折前后探究的题目，因为准备时间仓促的原因，怕设计出错没有进行．

（2）高三复习课上有一个突出的矛盾，就是课堂容量太大，既要处理足量的题目，又要充分展示学生的思维培养过程，显得时间太紧，准备的变式（3）（4）没有时间进行．

四、教学点评

本节复习课对直线和平面位置关系的知识和方法进行了提炼概括.从立体几何中的翻折问题入手，把静态的知识和方法运用到动态问题之中.所选问题始终围绕线线、线面垂直转化的四个定理展开，使学生对所学知识加深了理解；一题多变，层层递进，定性与定量的展开，使学生系统掌握所学知识；一题多解，发散了思维，也使学生综合运用能力得到了提高.教学中，循循善诱，把复杂难题化为无形之中.难得的是，本节课学生始终参与了知识的构建过程,看似平常的教学内容,让学生在探究过程中充分感受到了转化化归的数学思想．在完成教学任务的同时，体现了如下特色：教学设计符合建构主义理论，体现学生的认知水平；以知识为主线，以思想方法为暗线, 知识交汇、方法交织、思想交融；静态的预设与动态的生成相结合．