沥青混合料分形级配理论

第36卷第12期2008年12月

同济大学学报(自然科学版)

JOURNAL OF TON G J I UN IVERSITY (NATURAL SCIENCE ) Vol. 36No. 12

　Dec. 2008

沥青混合料分形级配理论

杨瑞华1,2, 许志鸿1, 张　超1, 李淑明1

(1. 同济大学道路与交通工程教育部重点试验室, 上海200092; 2. 上海市公路管理处, 上海200063)

摘要:介绍沥青混合料集料粒径分布分形维数的计算方法并分析其分形特征. 对于连续级配, 其集料粒径分布为一重分形分布; 对于间断级配, 其集料粒径分布为二重分形分布. 采用粗集料粒径分布分形维数D c 和细集料粒径分布分形维数D f 作为描述集料级配分形特点的指标. 在此基础上, 提出分形级配理论的计算式, 该式不仅可以计算连续级配, 还可以计算间断级配. 研究分形级配理论与现有主要级配设计理论之间的关系, 结果表明, 分形级配理论可以包括现有的几种主要级配计算方法, 这主要由于分形是集料级配的本质. 关键词:道路工程; 沥青混合料; 级配理论; 分形

中图分类号:U 416. 217　　　　　　文献标识码:A 　　　　

文章编号:0253-374X () 12-1642-05

Fractal G radation Theory YA N G R uihua

1, 2

, X U , L I S hum i ng

(1. K ey laboratory of Road and of the of Education , Tongji University , Shanghai 200092,China ;

Department ,Shanghai 200063,China )

Abstract :This an introduction to the approach to the calculation of fractal dimension of grain size distribution and also an analysis of the fractal characteristics of as phalt mixture aggregate. The fractal of dense 2graded aggregate is one 2dimensional , but the fractal of gap 2graded aggregate is

two 2dimensional. D c (fractal dimension of coarse aggregate ) and D f (dimension of fine aggregate ) are used as the indexes to describe the fractal characteristics of as phalt mixture aggregate. Additionally , the fractal gradation theory is put forward ,not only used for the design of dense 2graded aggregate , but also for gap 2graded aggregate. An analysis is made of the relationship between the fractal gradation the 2ory and other gradation theories. The results show that the fractal gradation theory covers the existing gradation methods. The cause lies in the fact that fractal is the essence of aggregate. Key words :roadengineering ; asphalt mixture ; gradation theory ; fractal

　　分形理论是定量描述几何形体复杂程度及空间填充能力的一门新兴边缘科学[1]. 目前, 分形理论已经被广泛运用于研究自然界中常见的、不稳定的、

不规则的现象[2]. 对于材料科学实验中经常出现的

那些凹凸而不圆润、破碎而不连续, 粗糙而不光滑的形状(即无序系统) , 传统的几何语言常难以描述, 而

收稿日期:2007-06-19

基金项目:道路与铁道工程国家重点学科资助项目

) , 女, 工学博士, 主要研究方向为道路工程. E 2mail :yangruihua1995@163. com ; 作者简介:杨瑞华(1977—

) , 男, 教授, 博士生导师, 主要研究方向为道路工程结构与材料. E 2mail :xuzhh1939@163. com 许志鸿(1939—

　第12期杨瑞华, 等:沥青混合料分形级配理论

164　　3

分形理论却弥补了它们的不足, 揭示了无标度性(自相似性) , 给出了自然界中复杂几何形态的一种定量描述[3]. 沥青混合料具有复杂的微观结构, 是一种多级多层次的复合材料体系, 尤其是其骨料的级配具有突出的自相似性, 因此可以采用分形科学分析评价沥青混合料的机理.

为90%～100%.因此为了更好控制r NMPS 的通过率, 用最大公称粒径r NMPS 取代r max , 则公式转变为

P (r ) =

r min -r

3-D 3-D

3-D

r min -r NMPS

3-D

P 0(2)

1　沥青混合料分形维数的计算方法

文献[4]从分形的角度, 推导了连续集料粒径质量分形特征函数P (r )

P (r ) =

3-D

r min 3-D r min

式中:P 0为最大公称粒径处的通过率, 取90%～100%.相应的D 的计算方法为:在lg (r/r NMPS ) 和lg (P (r ) ) 的双对数坐标图上, 利用最小二乘法对级配曲线进行最佳曲线拟合, 求得斜率λ, 再利用3-D =λ, 求得沥青混合料集料粒径分布的分维D .

-r -

3-D

2　沥青混合料集料级配的分形特征

(1)

3-D

r max

2. 1　沥青混合料集料粒径分布的分形维数计算

式中:r min 为最小粒径尺寸; D 为连续集料粒径质量分布分形维数; r 为集料中某种颗粒的筛孔尺寸;

r max 为最大粒径尺寸.

若知道分形维数D , 便可通过公式计算各筛孔的通过率. 由于最大粒径处的通过率为100%, 是一个已知量, 而最大公称粒径r NMPS 处的通过率一般

分形维数是表征分形体特征的主要参数, 因此通过分形维数及相关系数的分析, 可以揭示混合矿料的分布规律, 、描述. AC 型和SMA 型, 见图

图1　级配双对数图

Fig. 1　Double logarithmic f igure of grad ation

　　按如前所述的沥青混合料集料粒径分布的分形

维数计算方法, 计算得到的分形维数见表1.

可以看出, 在同一尺度范围内, 级配上限较级配下限具有更高的分维数. 分析比较各级配分维数回归相关系数R 2可知:连续级配AC 集料的相关性最好, 而间断级配SMA 集料的相关性略低. 实际上, 2

R 反映了矿料级配分形度大小, 其值越大, 说明级配的实际组成和级配分形理想模型拟合的程度越高. 间断级配由于在某一档或几档断开或不完全断开, 而使得原本一个具有分形特征的散料体系裂断成2个或更多个更小的分形体系, 因此在同一尺度

范围内间断级配的相关系数明显低于连续级配. 对于间断级配应该理解为一个多度域, 分形更为合理, 即在不同的尺度区间存在不同特征的分形. 仔细分析以上的SMA 级配的双对数图, 发现在4. 75mm 筛孔处曲线出现折拐, 其级配在4. 75mm 为分界点的尺度范围内存在2个分形维数. 用上述分形维数计算方法分段计算间断级配SMA 的分形维数(见表2) .

由表2可见, 分段回归后的SMA 分形维数的均值都比分段前的有所降低, 并且比AC 的分形维数D 值还要略小. 这说明在同一尺度范围内,SMA

　　　1644

同济大学学报(自然科学版) 第36卷　

比AC 的级配粗. 分段回归后的SMA 级配曲线拟合的相关系数R 2比分段前大了很多, 说明将间断级配划分为2个不同的尺度空间, 用不同区间的分形维数表征间断级配的特征是合理的. 2. 2　沥青混合料集料级配的分形特征对于连续级配, 其颗粒分布是一重分形分布, 即只需要一个分维D 就可以描述集料颗粒的分布. 对于间断级配, 集料级配在以粗细集料临界点为分界点的尺度范围内, 集料级配存在2个分形维数, 即多重分形分布, 需要D c (粗集料粒径分布的分形维数) 和D f (细集料粒径分布的分形维数) 2个分维才能较准确地描述集料颗粒的分布. 连续级配和间断级配的分形特征如图2所示.

表1　不同级配类型的D 值

T ab. 1　D value of aggregate with different grad ations 级配名称

AC 25上限AC 25下限AC 20上限AC 20下限AC 13上限AC 13下限SMA 20上限SMA 20下限SMA 16上限SMA 16下限SMA 13上限SMA 13下限

斜率K

0. 4180. 5990. 4430. 6240. 4590. 6110. 3960. 4400. 3830. 4160. 3720. 4024

相关系数R 2

0. 9850. 9900. 9880. 9840. 9850. 9860. 8910. 8450. 8950. 8490. 8840. 805

2. 5822. 4012. 5572. 3762. 5412. 3892. 6042. 5602. 6172. 5842. 6282. 598

表2　SMA 级配分段D 值

ab. 2　D value of stone m astic asphalt aggregate

筛孔不大于4. 75mm

级配名称

斜率K

SMA 20上限SMA 20下限SMA 16上限SMA 16下限SMA 13上限SMA 13下限

0. 2150. 1910. 2280. 0. D

4. 75mm

斜率1. 1. 2111. 0691. 449

相关系数R 2

0. 9520. 9279790. 9860. 980

0. 9980. 9970. 9960. 9960. 994

R 2均值

2. 7852. 8092. 2. 2. 787

2. 8382. 0581. 7891. 9311. 551

2. 4412. 3242. 4152. 2882. 3462. 170

0. 9710. 9620. 9880. 9880. 9910. 987

个筛孔的通过率数据得到集料粒径分布的分形维数

进行表征. 反之, 若知道分形维数, 也可以运用级配的分形级配模型, 计算得到各个筛孔的通过率. 利用分形维数进行级配计算的方法就称为分形级配理论.

将D 代入式(2) , 即可得到不同粒径筛孔的通过率. 由于连续级配的分形特征和间断级配的分形特征是不一样的. 连续级配用一个分形维数即可以表征其级配特点, 因此式(2) 仅适用于连续级配的计算. 对于间断级配, 由于在粗细集料分界点DCF (seive of dividing coarse and fine ) 处呈二维分形, 因此要用2个分形维数才能表征. 因此, 对于间断级配需要分段计算. 粒径尺寸范围为(r min , r DCF ) 的为细集料一段; 集料粒径尺寸范围为(r DCF , r NMPS ) 的为粗集料一段. 其中, r DCF 为粗细集料的分界点DCF 处的粒径尺寸, mm ; r NMPS 为最大公称粒径尺寸, mm. 对于2段分别用式(2) 进行求解, 并让其在粗细集料分界点处的值保持连续, 在此条件下得到间断级配集料的粒径分布的分形模型, 见式(3) :

图2　沥青混合料集料级配分形特征图

Fig. 2　Fractal characteristics of aggregate

为了将连续级配与间断级配统一起来, 在此统一

规定无论是连续级配还是间断级配, 均采用D c 和D f 作为描述沥青混合料级配的分形特征的指标.

3　沥青混合料分形级配理论的提出

对于任何一种沥青混合料级配(无论是连续级配还是间断级配) 都有着分形的特征, 都可以用其各

　第12期杨瑞华, 等:沥青混合料分形级配理论

164　　5

P =

r min

3-D c

-r -

3-D c

3-D

r min c

3-D c r NMPS 3-D f

P 0　　r ∈(r DCF , r NMPS ) r min r min

3-D c

P =

r min r min

3-D f

-r

3-D f

-r NMPS

3-D

-r DCF c

-r NMPS

3-D

3-D c

3-D

・

(3)

数的矿料级配理论(简称i 法) [6]. 即

(6) P =100i

式中:i 为通过百分率的递减率; x =3. 32lg (r max /r x ) , 且各级粒径r x 与最大粒径r max 的关系为r x =

r max /2x , x 为级数.

3-D r min f 3-D r min f

3-D r DCF f 3-D c r NMPS

P 0　　r ∈(r min , r DCF

)

对i 法的两边取对数, 得到

lg P =x lg i +2=3. 32lg (r max /r x ) lg i +2=

3-D r min

式中:P 为集料中筛孔尺寸为r 的颗粒通过百分率.

由于

3-D r min

-3. 32lg (r x /r max ) lg i +2

→0, 为简化公式, 将上式中的

项舍去, 得到的简化公式如下所示:

P =P =

r r 3-D f 3-D c

P 0r DCF r 3-D c

r ∈(r DCF , r NMPS )

P 0

r ∈(r min , r DCF )

(4)

　　可以看出,3-D =-3. 32lg i . 因此, 林绣贤的

i 法实际上也是集料级配分形理论的另一种表达方式.

4. 3　前苏联伊万诺夫修正级配理论

　　当D f =D c =D 时, 间断级配集料的分形级配模型和连续级配集料的分形级配模型是统一的. 因

此, 式(4) 是沥青混合料集料级配分形模型的通用公式, 将式(4) 称为分形级配理论的级配计算公式. 论是连续级配还是间断级配, 均可采用D c f 其级配的分形特征, 均可采用式() 前苏联的伊万诺夫等提出用颗粒分级质量递减系数K 为参数的矿料级配曲线(简称K 法) . 当矿料粒径按1/2递减时, 则有

(7) P x =-K m

式中, %; x 为矿料x =3. 32lg

r max r x

, r x 为x 级筛孔粒

r max r min

径; K 为质量递减系数; m =3. 32lg .

4　将K 法公式的两边取对数, lg P (r ) ∝3. 32lg

r max r x

间的关系

4. 1　泰波级配理论

lg K , 所以可知3-D =-3. 32lg K .

传统连续级配的计算方法是在20世纪初由美国学者富勒根据最大密度理论提出的. 后来泰波认为富勒公式是一种理想的级配曲线, 实际上要获得最大密度会有一定的波动范围. 因此在富勒级配理论的基础上提出了如下的级配计算公式[5]:

P =

r n

(5)

因此K 法实际上也是集料级配分形的另一种

表达方式. 在K 法的计算推导中, 要求粒径呈1/2递减, 而分形级配理论则没有此要求. 4. 4　粒子干涉级配理论

根据文献[7]中关于魏茅茨粒子干涉理论的运用部分, 可归纳出粒子干涉理论的级配计算公式如下:

(8) P =100(1-ρa ) 式中:ρa 为次粒级的实用实积率; x 为矿料粒径的级

数, 当矿料粒径以1/2递减时, x =3. 32lg (r max /r ) .

由P =100(1-ρa ) , 得lg P =x lg (1-ρa ) +2, 即3-D =-3. 32lg (1-ρa ) .

由此可见, 粒级干涉理论的级配计算公式也与分形级配理论有着本质上的联系.

式中:P , r , r max 物理意义与第1节中相同; n 为实验指数.

对式(5) 的两边取对数得:lgP =n lg 于3-D =n , 所以D =3-n .

可以看出, 泰波级配理论的级配计算公式是分形理论级配计算公式中D f =D c =D 的特例. 4. 2　林绣贤级配理论

r max

, 由

4. 5　贝雷法级配理论

我国同济大学林绣贤教授提出了当颗粒粒径以1/2递减时, 直接采用通过百分率递减系数i 为参

贝雷法级配设计方法是美国伊利诺州交通局

Robert D Bailey 进行了大量研究而提出的一套确定沥青混合料级配的方法[8].

贝雷法采用参数R CA 来代表混合料中粗集料的

　　　1646

同济大学学报(自然科学版) 第36卷　

堆积特性, 其定义如下:

R CA =(P NMPS/2-P PCS ) /(100-P NMPS/2) (9)

式中:P NMPS/2为半筛孔处的通过率; P PCS 为主控制筛孔处的通过率. 对于细集料部分的堆积特性, 采用参数R FAC , R FAF 来衡量. 计算公式如下:

R FAC =R FAF =

P F1P PCS P F2P F1

(10) (11)

对于连续级配, 其集料粒径分布是一重分形分布; 对于间断级配, 其集料粒径分布是二重分形分布. 为了将连续级配与间断级配统一起来, 均采用粗集料粒径分布分形维数D c 和细集料粒径分布分形维数D f 作为描述集料级配分形特点的指标.

(2) 提出了分形级配理论, 采用分形级配理论的计算式(4) 不仅可计算连续级配, 还可以计算间断级配.

(3) 比较分析了现有的主要级配设计理论与分形级配理论的关系. 研究结果表明, 分形级配理论可以涵盖现有的几种主要的级配计算方法. 造成这种殊途同归的现象的主要原因是分形是集料级配的本质. 参考文献:

[1]　龙起易, , ].() G Zaiqin. Idealized fractal model and structure[J].Physics ,1994,23(3) :158.

式中:P F1为细集料第一分界点F 1(0. 22r PCS ) 处的

通过率, 其中r PCS 为主控制筛孔的尺寸; P F2为细集料第二分界点F 2(0. 22r F1) 处的通过率.

现用分形级配理论对贝雷法的各个参数进行分析, 研究贝雷法的各个参数是否与集料级配的分形维数有关联.

根据贝雷法对粗细集料分界点的定义可知, r DCF =r PCS =0. 22r NMPS . 所以　P PCS =

r PCS r NMPS

r NMPS/2r NMPS

3-D c

P 0=0. 22

3-D c

P 0

-D c

　　P (NMPS/2) =P 05P ], 刘适式. 分形和分形引论[M ].北京:气象出版社,

1993.

L IU Shida , L IU Shishi. An introduction to fractal and fractal dimension[M ].Beijing :ChinaMeterological Press ,1993. [3]　唐明, 巴恒静. 混凝土材料的拓扑学特征及分形特征的评价

[J].哈尔滨建筑大学学报,2002,35(1) :86.

TAN G Ming , BA Hengjing. Evaluation of topologic and fractal characteristics of concrete[J].Journal of Harbin University of Civil Engineering and Architecture ,2002,35(1) :86.

[4]　杨瑞华, 许志鸿. 密级配沥青混合料集料分形分维与路用性能

因此　　　, 　R C A =(P /--NMPS /2) =

0. 5

-D c

-0. 3-D c

3-c

P 0

-0. 5P 0

(12)

　　可以看出, R CA 实际上是分形维数D c 和最大公称粒径NMPS 处通过率P 0的函数.

同样, 由于P F1=0. 226-(0. 22×0. 22)

3-D f

D C -D f

P 0, P F2=

0. 22

3-D C

P 0

关系[J].土木工程学报,2007, (3) :98.

YAN G Ruihua ,XU Zhihong. Relationship between fractal dimen 2sion and road performance of dense 2gradation asphalt mixture[J].China Civil Engineering Journal ,2007, (3) :98.

[5]　李立寒, 张南鹭. 道路建筑材料[M ].北京:人民交通出版社,

所以有

R FAC =R FAF =

P F1P PCS P F2P F1

=0. 223-=0. 22

D f

(13) (14)

3-D f

2004.

L I Lihan ,ZHAN G Nanlu. Road constructional materials[M ].Bei 2jing :ChinaCommunications Press ,2004.

[6]　林绣贤. 柔性路面设计[M ].北京:人民交通出版社,1988.

L IN Xiuxian. Design method of flexible road surface structure [M ].Beijing :ChinaCommunications Press ,1988.

[7]　严家亻及. 道路建筑材料[M ].2版. 北京:人民交通出版社,

1986.

YAN Jiaji. Road constructional materials[M ].2nd ed. Beijing :China Communications Press ,1986.

[8]　Transportation Research Board. Bailey method for gradation selec 2

tion in HMA mixture design[R].Washington D C :Transportation

　　因此R FAC 和R FAF 的本质是一样的, 它们都是细集料分形维数D f 的函数.

由以上的分析可以看出, 在贝雷设计方法中至关重要的R CA 参数和R FAC 与R FAF 参数从分形级配理论的角度看都是粗细集料分形维数的函数, 其值与分形维数在本质上是统一的.

5　结论

(1) 分析了连续级配和间断级配的分形特征.

Research Board ,2002.

第36卷第12期2008年12月

同济大学学报(自然科学版)

JOURNAL OF TON G J I UN IVERSITY (NATURAL SCIENCE ) Vol. 36No. 12

　Dec. 2008

沥青混合料分形级配理论

杨瑞华1,2, 许志鸿1, 张　超1, 李淑明1

(1. 同济大学道路与交通工程教育部重点试验室, 上海200092; 2. 上海市公路管理处, 上海200063)

中图分类号:U 416. 217　　　　　　文献标识码:A 　　　　

文章编号:0253-374X () 12-1642-05

Fractal G radation Theory YA N G R uihua

1, 2

, X U , L I S hum i ng

(1. K ey laboratory of Road and of the of Education , Tongji University , Shanghai 200092,China ;

Department ,Shanghai 200063,China )

　　分形理论是定量描述几何形体复杂程度及空间填充能力的一门新兴边缘科学[1]. 目前, 分形理论已经被广泛运用于研究自然界中常见的、不稳定的、

不规则的现象[2]. 对于材料科学实验中经常出现的

那些凹凸而不圆润、破碎而不连续, 粗糙而不光滑的形状(即无序系统) , 传统的几何语言常难以描述, 而

收稿日期:2007-06-19

基金项目:道路与铁道工程国家重点学科资助项目

) , 女, 工学博士, 主要研究方向为道路工程. E 2mail :yangruihua1995@163. com ; 作者简介:杨瑞华(1977—

) , 男, 教授, 博士生导师, 主要研究方向为道路工程结构与材料. E 2mail :xuzhh1939@163. com 许志鸿(1939—

　第12期杨瑞华, 等:沥青混合料分形级配理论

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为90%～100%.因此为了更好控制r NMPS 的通过率, 用最大公称粒径r NMPS 取代r max , 则公式转变为

P (r ) =

r min -r

3-D 3-D

3-D

r min -r NMPS

3-D

P 0(2)

1　沥青混合料分形维数的计算方法

文献[4]从分形的角度, 推导了连续集料粒径质量分形特征函数P (r )

P (r ) =

3-D

r min 3-D r min

-r -

3-D

2　沥青混合料集料级配的分形特征

(1)

3-D

r max

2. 1　沥青混合料集料粒径分布的分形维数计算

式中:r min 为最小粒径尺寸; D 为连续集料粒径质量分布分形维数; r 为集料中某种颗粒的筛孔尺寸;

r max 为最大粒径尺寸.

若知道分形维数D , 便可通过公式计算各筛孔的通过率. 由于最大粒径处的通过率为100%, 是一个已知量, 而最大公称粒径r NMPS 处的通过率一般

分形维数是表征分形体特征的主要参数, 因此通过分形维数及相关系数的分析, 可以揭示混合矿料的分布规律, 、描述. AC 型和SMA 型, 见图

图1　级配双对数图

Fig. 1　Double logarithmic f igure of grad ation

　　按如前所述的沥青混合料集料粒径分布的分形

维数计算方法, 计算得到的分形维数见表1.

由表2可见, 分段回归后的SMA 分形维数的均值都比分段前的有所降低, 并且比AC 的分形维数D 值还要略小. 这说明在同一尺度范围内,SMA

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同济大学学报(自然科学版) 第36卷　

表1　不同级配类型的D 值

T ab. 1　D value of aggregate with different grad ations 级配名称

AC 25上限AC 25下限AC 20上限AC 20下限AC 13上限AC 13下限SMA 20上限SMA 20下限SMA 16上限SMA 16下限SMA 13上限SMA 13下限

斜率K

0. 4180. 5990. 4430. 6240. 4590. 6110. 3960. 4400. 3830. 4160. 3720. 4024

相关系数R 2

0. 9850. 9900. 9880. 9840. 9850. 9860. 8910. 8450. 8950. 8490. 8840. 805

2. 5822. 4012. 5572. 3762. 5412. 3892. 6042. 5602. 6172. 5842. 6282. 598

表2　SMA 级配分段D 值

ab. 2　D value of stone m astic asphalt aggregate

筛孔不大于4. 75mm

级配名称

斜率K

SMA 20上限SMA 20下限SMA 16上限SMA 16下限SMA 13上限SMA 13下限

0. 2150. 1910. 2280. 0. D

4. 75mm

斜率1. 1. 2111. 0691. 449

相关系数R 2

0. 9520. 9279790. 9860. 980

0. 9980. 9970. 9960. 9960. 994

R 2均值

2. 7852. 8092. 2. 2. 787

2. 8382. 0581. 7891. 9311. 551

2. 4412. 3242. 4152. 2882. 3462. 170

0. 9710. 9620. 9880. 9880. 9910. 987

个筛孔的通过率数据得到集料粒径分布的分形维数

进行表征. 反之, 若知道分形维数, 也可以运用级配的分形级配模型, 计算得到各个筛孔的通过率. 利用分形维数进行级配计算的方法就称为分形级配理论.

图2　沥青混合料集料级配分形特征图

Fig. 2　Fractal characteristics of aggregate

为了将连续级配与间断级配统一起来, 在此统一

规定无论是连续级配还是间断级配, 均采用D c 和D f 作为描述沥青混合料级配的分形特征的指标.

3　沥青混合料分形级配理论的提出

对于任何一种沥青混合料级配(无论是连续级配还是间断级配) 都有着分形的特征, 都可以用其各

　第12期杨瑞华, 等:沥青混合料分形级配理论

164　　5

P =

r min

3-D c

-r -

3-D c

3-D

r min c

3-D c r NMPS 3-D f

P 0　　r ∈(r DCF , r NMPS ) r min r min

3-D c

P =

r min r min

3-D f

-r

3-D f

-r NMPS

3-D

-r DCF c

-r NMPS

3-D

3-D c

3-D

・

(3)

数的矿料级配理论(简称i 法) [6]. 即

(6) P =100i

式中:i 为通过百分率的递减率; x =3. 32lg (r max /r x ) , 且各级粒径r x 与最大粒径r max 的关系为r x =

r max /2x , x 为级数.

3-D r min f 3-D r min f

3-D r DCF f 3-D c r NMPS

P 0　　r ∈(r min , r DCF

)

对i 法的两边取对数, 得到

lg P =x lg i +2=3. 32lg (r max /r x ) lg i +2=

3-D r min

式中:P 为集料中筛孔尺寸为r 的颗粒通过百分率.

由于

3-D r min

-3. 32lg (r x /r max ) lg i +2

→0, 为简化公式, 将上式中的

项舍去, 得到的简化公式如下所示:

P =P =

r r 3-D f 3-D c

P 0r DCF r 3-D c

r ∈(r DCF , r NMPS )

P 0

r ∈(r min , r DCF )

(4)

　　可以看出,3-D =-3. 32lg i . 因此, 林绣贤的

i 法实际上也是集料级配分形理论的另一种表达方式.

4. 3　前苏联伊万诺夫修正级配理论

　　当D f =D c =D 时, 间断级配集料的分形级配模型和连续级配集料的分形级配模型是统一的. 因

(7) P x =-K m

式中, %; x 为矿料x =3. 32lg

r max r x

, r x 为x 级筛孔粒

r max r min

径; K 为质量递减系数; m =3. 32lg .

4　将K 法公式的两边取对数, lg P (r ) ∝3. 32lg

r max r x

间的关系

4. 1　泰波级配理论

lg K , 所以可知3-D =-3. 32lg K .

P =

r n

(5)

因此K 法实际上也是集料级配分形的另一种

表达方式. 在K 法的计算推导中, 要求粒径呈1/2递减, 而分形级配理论则没有此要求. 4. 4　粒子干涉级配理论

根据文献[7]中关于魏茅茨粒子干涉理论的运用部分, 可归纳出粒子干涉理论的级配计算公式如下:

(8) P =100(1-ρa ) 式中:ρa 为次粒级的实用实积率; x 为矿料粒径的级

数, 当矿料粒径以1/2递减时, x =3. 32lg (r max /r ) .

由P =100(1-ρa ) , 得lg P =x lg (1-ρa ) +2, 即3-D =-3. 32lg (1-ρa ) .

由此可见, 粒级干涉理论的级配计算公式也与分形级配理论有着本质上的联系.

式中:P , r , r max 物理意义与第1节中相同; n 为实验指数.

对式(5) 的两边取对数得:lgP =n lg 于3-D =n , 所以D =3-n .

可以看出, 泰波级配理论的级配计算公式是分形理论级配计算公式中D f =D c =D 的特例. 4. 2　林绣贤级配理论

r max

, 由

4. 5　贝雷法级配理论

我国同济大学林绣贤教授提出了当颗粒粒径以1/2递减时, 直接采用通过百分率递减系数i 为参

贝雷法级配设计方法是美国伊利诺州交通局

Robert D Bailey 进行了大量研究而提出的一套确定沥青混合料级配的方法[8].

贝雷法采用参数R CA 来代表混合料中粗集料的

　　　1646

同济大学学报(自然科学版) 第36卷　

堆积特性, 其定义如下:

R CA =(P NMPS/2-P PCS ) /(100-P NMPS/2) (9)

式中:P NMPS/2为半筛孔处的通过率; P PCS 为主控制筛孔处的通过率. 对于细集料部分的堆积特性, 采用参数R FAC , R FAF 来衡量. 计算公式如下:

R FAC =R FAF =

P F1P PCS P F2P F1

(10) (11)

(2) 提出了分形级配理论, 采用分形级配理论的计算式(4) 不仅可计算连续级配, 还可以计算间断级配.

[1]　龙起易, , ].() G Zaiqin. Idealized fractal model and structure[J].Physics ,1994,23(3) :158.

式中:P F1为细集料第一分界点F 1(0. 22r PCS ) 处的

通过率, 其中r PCS 为主控制筛孔的尺寸; P F2为细集料第二分界点F 2(0. 22r F1) 处的通过率.

现用分形级配理论对贝雷法的各个参数进行分析, 研究贝雷法的各个参数是否与集料级配的分形维数有关联.

根据贝雷法对粗细集料分界点的定义可知, r DCF =r PCS =0. 22r NMPS . 所以　P PCS =

r PCS r NMPS

r NMPS/2r NMPS

3-D c

P 0=0. 22

3-D c

P 0

-D c

　　P (NMPS/2) =P 05P ], 刘适式. 分形和分形引论[M ].北京:气象出版社,

1993.

[J].哈尔滨建筑大学学报,2002,35(1) :86.

TAN G Ming , BA Hengjing. Evaluation of topologic and fractal characteristics of concrete[J].Journal of Harbin University of Civil Engineering and Architecture ,2002,35(1) :86.

[4]　杨瑞华, 许志鸿. 密级配沥青混合料集料分形分维与路用性能

因此　　　, 　R C A =(P /--NMPS /2) =

0. 5

-D c

-0. 3-D c

3-c

P 0

-0. 5P 0

(12)

　　可以看出, R CA 实际上是分形维数D c 和最大公称粒径NMPS 处通过率P 0的函数.

同样, 由于P F1=0. 226-(0. 22×0. 22)

3-D f

D C -D f

P 0, P F2=

0. 22

3-D C

P 0

关系[J].土木工程学报,2007, (3) :98.

YAN G Ruihua ,XU Zhihong. Relationship between fractal dimen 2sion and road performance of dense 2gradation asphalt mixture[J].China Civil Engineering Journal ,2007, (3) :98.

[5]　李立寒, 张南鹭. 道路建筑材料[M ].北京:人民交通出版社,

所以有

R FAC =R FAF =

P F1P PCS P F2P F1

=0. 223-=0. 22

D f

(13) (14)

3-D f

2004.

L I Lihan ,ZHAN G Nanlu. Road constructional materials[M ].Bei 2jing :ChinaCommunications Press ,2004.

[6]　林绣贤. 柔性路面设计[M ].北京:人民交通出版社,1988.

L IN Xiuxian. Design method of flexible road surface structure [M ].Beijing :ChinaCommunications Press ,1988.

[7]　严家亻及. 道路建筑材料[M ].2版. 北京:人民交通出版社,

1986.

YAN Jiaji. Road constructional materials[M ].2nd ed. Beijing :China Communications Press ,1986.

[8]　Transportation Research Board. Bailey method for gradation selec 2

tion in HMA mixture design[R].Washington D C :Transportation

　　因此R FAC 和R FAF 的本质是一样的, 它们都是细集料分形维数D f 的函数.

5　结论

(1) 分析了连续级配和间断级配的分形特征.

Research Board ,2002.

沥青混合料分形级配理论

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