第七章 耦合电感与理想变压器
7-1 图题7-1所示电路，求
u 1(t )
和
u
2(t )
。
答案
解：
u di 1(t ) 1(t ) =L 1dt
=-10sin t =10cos(t +90︒
)(V )
u t ) =M
di 1(t ) 2(dt
=-2.5sin t =2.5cos(t +90︒
)(V )
7-2 图题7-2所示电路，
L 1=1H
，
L 2=2H
，M =0.5H ，u s (t ) =100cos 200πtV
。
求i
(t ) 和耦合系数K 。
答案
R 1=R 2=1K Ω
，
K =
=
=0.354
解：因
，故得
L =L 1+L 2-2M =2H
∙
∙
100
I m =
U m
R 1+R 2+j ωL
=
2000+j 400π
=42.3∠-32.14(mA )
︒
︒
∴i (t ) =42.3cos(200πt -32.14) m A
7-3 耦合电感
答案
L 1=6H
，
L 2=4H
，M =3H 。求它们作串联、并联时的各等效电感。
解：两电感串联时：
a)顺接：
L =L 1+L 2+2M =16(H )
L =L 1+L 2-2M =4(H )
b)反接：
两电感并联时：
L =
L 1L 2-M
2
a)同名端同侧：
L 1+L 2-2M
=15/4(H )
L =
L 1L 2-M
2
b)同名端异侧：
L 1+L 2+2M
=15/16(H )
7-4 图题7-4所示为变压器电路，已知同连接法时伏特计的读数。
u 12=220
V 。今测得
u 34=
u 56=12V
。求两种不
图 题 7-4 答案
解：
∙
a ) 设U 12=220∠0V
∙
∙
︒
∙∙
得
U 34=12V
∙
U 56=-12V
U =U 34+U 56=0V
∙
∙
所以电压表的读数为0V 。
，由图（b ）所示
b ) U 34=-12V
∙
∙
∙
,
U 56=-12V
U =U 34+U 56=-24V
所以电压表的读数为24V 。
∙
∙
I I
7-5 图题7-5所示示电路，ω=10rad /s 。（1）K =0.5，求1、2；（2）K =1，
∙
∙
再求
I 1
、
I
2
；
答案
解：(1) K =
0.5
∴M =K
=0.5H
⎧
∙∙
⎪j ωI 1-j 0.5ωI 2=100⎨ ⎪∙∙
⎩
-j 0.5ωI 1+(j ω+10) I 2
=0
∙
I ︒
解得
1=11.3∠81.87A
∙
I ︒
2=4∠-36.9A
P L =I 2
2R L =160W
（2） K =
1
∴M =K
=1H
列方程组:
⎧
∙∙⎪j 10I 1-j 10I 2=100
⎨ ⎪∙∙⎩-j 10I 1+(j 10+10) I 2
=0 解得
2
P L =I 2R L =1000W
∙
7-6 图示电路, K =0.1, ω=1000rad /s 。求I
2。
答案
∙
I 1=10-j 10A ∙
I =10∠0︒2A
解： K =
0.1
∴M =K
=0.2H
j ωM =j 200(Ω)
U OC =
1001K +j 1K
2∠45V
∙j 200=10
Z o =
20+j 3980
由图7-6(b),得
∙
∙
I 2=
U oc 1K +Z o
=3.44∠-30.625m A
︒
7-7 图题7-7所示电路,
u s (t ) =120cos1000tV
，求 i 1(t)。
答案
解:
u s (t ) =120cos1000tV
∴ω=1000
Z L =
ωM
22
1j ωC
R 2+R L +j ωL 2+
=3.98K Ω
∙
∙
I 1=
U s
R 2+j ωL 1+Z L
=
120
3.98K +5+j 1K
=29.2∠-14.1m A
︒
∴i 1(t ) =
29.2cos(1000t -14.1) m A
︒
7-8 图题7-8所示电路, 求a 、b 端的等效电感。
答案
解: 图7-8(a)等效为图7-8(b)
∴L =14+
6⨯(-4) 6+
(-4)
=2(mH )
7-9 图题7-9所示电路, u (t ) =cos ωtV , i (t ) =cos ωtA 。求两个电源发出的功率。
答案
∙
∙∙∙∙
解: 设变压器两边的电压相量分别是
∙
∙
U 1
、
U 2
, 电流相量分别为
I 1
、
U 2
、
I
2
。则有
U 2=
2U 1=2/
∙
∙
I 1=2I 2=2/
22=1W
P 1=U 1I 1=
12
∙
P 1=-
U 1I 1=-
12
∙
22
=-1W
7-10 图题7-10所示电路, 为使R 获得最大功率, 求n 及此最大功率。
答案
∙
∙∙∙
解：设理想变压器两端电压分别为
列方程组得：
U 1
、
U 2
，电 流为
I 1
、
I 2
，方向如图所示：
∙∙∙
⎧
1.5U 1-0.5U 2=10-I 1⎪
∙∙∙⎪
-0.5U 1+1.5U 2=-I 2⎪⎪
∙⎨∙
⎪U 2=n U 1⎪∙
1∙
⎪I =-I 21⎪n ⎩
∙∙⎧
(1.5/n -0.5) U 2+I 1=10⎪⇒⎨∙
1∙
⎪1.5-0.5/n ) U 2-I 1=0
n ⎩
∙
⇒U 2=
20n 3n -2n +3
2
P =U 2/R =U 2
2
2
dP
=0
dn
n =1(-1舍去）
∴P=25W
7-11 图题7-11所示电路, 欲使10
Ω电阻获得最大功率，n 应为何值？最大功率多大？
答案
∙
解：根据图（b ）求开路电压
U oc
∙∙
因为
I 2=0I 1=
50n ∠0V
︒
,
︒
∙∙
∴
U oc =n U 1=50n ∠0V
根据图（c ）求
Z o
，得
Z o =50n Ω
2
P m ax
根据最大功率传输定理要使10Ω电阻获得最大功率
Z o =R
50n
=10 n =
∙
2
P max =
U oc 4R
=12.5W
7-12 图题7-12所示电路，求5
Ω电阻的功率。
答案
解：
5Ω电阻在图（b ）中等效为：
R 3=
'
112() 5
12
() R 3=5Ω5
25Ω电阻在图（b ）中等效为：
12'
R 2
=() ∙25=1Ω
5
∙
∙
I 1=
U
∙
∙
=2∠0(A )
︒
R 1+R 2+R 3
2P 5Ω=2*5=20W
7-13 图题7-13所示电路，非线性电路的伏安特性为
求电压表的读数（电压表的内阻抗认为无穷大）。
2
u (t ) =0.5[i (t )]V i s (t ) =4cos ω
tA
。
答案
解：因为电压表内阻为无穷大，所以理想变压器开路。
i (t ) =i s (t )
因为
u (t ) =0.5[i s (t )]22 =8cos ωt
=
4cos 2ωt +4
U 有效===4.9V
故
7-14 图题7-14所示电路, Z 可变，求Z 为何值能获得最大功率P m ax P m ax
, =？
答案
解：a 、b 两端的开路电压
U oc =20∠0︒
2+j 2*2-20∠0︒
2-j 2*2=40*-j
2=-j 20V
由a 、b 两端的左端看的等效阻抗
Z 0=2*(-2j )
2+(-2j ) +2*(2j )
2+2j =2Ω
2202U oc =P max =4R 04*2 当Z =Z o 时，有P m ax 且
N 27-15 图7-15（a ）示电路，今欲使R 获得的功率最大，则次级匝数应如何改变？若
将图（a ）电路中的电流源改为电压源，如图（b ），则 N 2
有如何改变？
答案
a ) P =I 2R =2I
解：
∴P ↑→N 2↓
2
2n 212R =N N 2122 I 1R 2 n U 1R 22b ) P =U /R ==N 1U 1
N 2R 222
∴P ↑→N 2↑
第七章 耦合电感与理想变压器
7-1 图题7-1所示电路，求
u 1(t )
和
u
2(t )
。
答案
解：
u di 1(t ) 1(t ) =L 1dt
=-10sin t =10cos(t +90︒
)(V )
u t ) =M
di 1(t ) 2(dt
=-2.5sin t =2.5cos(t +90︒
)(V )
7-2 图题7-2所示电路，
L 1=1H
，
L 2=2H
，M =0.5H ，u s (t ) =100cos 200πtV
。
求i
(t ) 和耦合系数K 。
答案
R 1=R 2=1K Ω
，
K =
=
=0.354
解：因
，故得
L =L 1+L 2-2M =2H
∙
∙
100
I m =
U m
R 1+R 2+j ωL
=
2000+j 400π
=42.3∠-32.14(mA )
︒
︒
∴i (t ) =42.3cos(200πt -32.14) m A
7-3 耦合电感
答案
L 1=6H
，
L 2=4H
，M =3H 。求它们作串联、并联时的各等效电感。
解：两电感串联时：
a)顺接：
L =L 1+L 2+2M =16(H )
L =L 1+L 2-2M =4(H )
b)反接：
两电感并联时：
L =
L 1L 2-M
2
a)同名端同侧：
L 1+L 2-2M
=15/4(H )
L =
L 1L 2-M
2
b)同名端异侧：
L 1+L 2+2M
=15/16(H )
7-4 图题7-4所示为变压器电路，已知同连接法时伏特计的读数。
u 12=220
V 。今测得
u 34=
u 56=12V
。求两种不
图 题 7-4 答案
解：
∙
a ) 设U 12=220∠0V
∙
∙
︒
∙∙
得
U 34=12V
∙
U 56=-12V
U =U 34+U 56=0V
∙
∙
所以电压表的读数为0V 。
，由图（b ）所示
b ) U 34=-12V
∙
∙
∙
,
U 56=-12V
U =U 34+U 56=-24V
所以电压表的读数为24V 。
∙
∙
I I
7-5 图题7-5所示示电路，ω=10rad /s 。（1）K =0.5，求1、2；（2）K =1，
∙
∙
再求
I 1
、
I
2
；
答案
解：(1) K =
0.5
∴M =K
=0.5H
⎧
∙∙
⎪j ωI 1-j 0.5ωI 2=100⎨ ⎪∙∙
⎩
-j 0.5ωI 1+(j ω+10) I 2
=0
∙
I ︒
解得
1=11.3∠81.87A
∙
I ︒
2=4∠-36.9A
P L =I 2
2R L =160W
（2） K =
1
∴M =K
=1H
列方程组:
⎧
∙∙⎪j 10I 1-j 10I 2=100
⎨ ⎪∙∙⎩-j 10I 1+(j 10+10) I 2
=0 解得
2
P L =I 2R L =1000W
∙
7-6 图示电路, K =0.1, ω=1000rad /s 。求I
2。
答案
∙
I 1=10-j 10A ∙
I =10∠0︒2A
解： K =
0.1
∴M =K
=0.2H
j ωM =j 200(Ω)
U OC =
1001K +j 1K
2∠45V
∙j 200=10
Z o =
20+j 3980
由图7-6(b),得
∙
∙
I 2=
U oc 1K +Z o
=3.44∠-30.625m A
︒
7-7 图题7-7所示电路,
u s (t ) =120cos1000tV
，求 i 1(t)。
答案
解:
u s (t ) =120cos1000tV
∴ω=1000
Z L =
ωM
22
1j ωC
R 2+R L +j ωL 2+
=3.98K Ω
∙
∙
I 1=
U s
R 2+j ωL 1+Z L
=
120
3.98K +5+j 1K
=29.2∠-14.1m A
︒
∴i 1(t ) =
29.2cos(1000t -14.1) m A
︒
7-8 图题7-8所示电路, 求a 、b 端的等效电感。
答案
解: 图7-8(a)等效为图7-8(b)
∴L =14+
6⨯(-4) 6+
(-4)
=2(mH )
7-9 图题7-9所示电路, u (t ) =cos ωtV , i (t ) =cos ωtA 。求两个电源发出的功率。
答案
∙
∙∙∙∙
解: 设变压器两边的电压相量分别是
∙
∙
U 1
、
U 2
, 电流相量分别为
I 1
、
U 2
、
I
2
。则有
U 2=
2U 1=2/
∙
∙
I 1=2I 2=2/
22=1W
P 1=U 1I 1=
12
∙
P 1=-
U 1I 1=-
12
∙
22
=-1W
7-10 图题7-10所示电路, 为使R 获得最大功率, 求n 及此最大功率。
答案
∙
∙∙∙
解：设理想变压器两端电压分别为
列方程组得：
U 1
、
U 2
，电 流为
I 1
、
I 2
，方向如图所示：
∙∙∙
⎧
1.5U 1-0.5U 2=10-I 1⎪
∙∙∙⎪
-0.5U 1+1.5U 2=-I 2⎪⎪
∙⎨∙
⎪U 2=n U 1⎪∙
1∙
⎪I =-I 21⎪n ⎩
∙∙⎧
(1.5/n -0.5) U 2+I 1=10⎪⇒⎨∙
1∙
⎪1.5-0.5/n ) U 2-I 1=0
n ⎩
∙
⇒U 2=
20n 3n -2n +3
2
P =U 2/R =U 2
2
2
dP
=0
dn
n =1(-1舍去）
∴P=25W
7-11 图题7-11所示电路, 欲使10
Ω电阻获得最大功率，n 应为何值？最大功率多大？
答案
∙
解：根据图（b ）求开路电压
U oc
∙∙
因为
I 2=0I 1=
50n ∠0V
︒
,
︒
∙∙
∴
U oc =n U 1=50n ∠0V
根据图（c ）求
Z o
，得
Z o =50n Ω
2
P m ax
根据最大功率传输定理要使10Ω电阻获得最大功率
Z o =R
50n
=10 n =
∙
2
P max =
U oc 4R
=12.5W
7-12 图题7-12所示电路，求5
Ω电阻的功率。
答案
解：
5Ω电阻在图（b ）中等效为：
R 3=
'
112() 5
12
() R 3=5Ω5
25Ω电阻在图（b ）中等效为：
12'
R 2
=() ∙25=1Ω
5
∙
∙
I 1=
U
∙
∙
=2∠0(A )
︒
R 1+R 2+R 3
2P 5Ω=2*5=20W
7-13 图题7-13所示电路，非线性电路的伏安特性为
求电压表的读数（电压表的内阻抗认为无穷大）。
2
u (t ) =0.5[i (t )]V i s (t ) =4cos ω
tA
。
答案
解：因为电压表内阻为无穷大，所以理想变压器开路。
i (t ) =i s (t )
因为
u (t ) =0.5[i s (t )]22 =8cos ωt
=
4cos 2ωt +4
U 有效===4.9V
故
7-14 图题7-14所示电路, Z 可变，求Z 为何值能获得最大功率P m ax P m ax
, =？
答案
解：a 、b 两端的开路电压
U oc =20∠0︒
2+j 2*2-20∠0︒
2-j 2*2=40*-j
2=-j 20V
由a 、b 两端的左端看的等效阻抗
Z 0=2*(-2j )
2+(-2j ) +2*(2j )
2+2j =2Ω
2202U oc =P max =4R 04*2 当Z =Z o 时，有P m ax 且
N 27-15 图7-15（a ）示电路，今欲使R 获得的功率最大，则次级匝数应如何改变？若
将图（a ）电路中的电流源改为电压源，如图（b ），则 N 2
有如何改变？
答案
a ) P =I 2R =2I
解：
∴P ↑→N 2↓
2
2n 212R =N N 2122 I 1R 2 n U 1R 22b ) P =U /R ==N 1U 1
N 2R 222
∴P ↑→N 2↑