确定起跑线
设计理念:
1、向学生提供现实生活素材，让学生感受数学与生活的紧密联系。 2、创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，给学生充分的思考和交流的空间，引导学生开展自主学习的数学活动。
3、让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。 4、关注学生思维水平的发展，让他们经历观察、分析、比较、归纳、应用的过程。
【教学内容】人教版课程标准实验教科书《数学》六年级上册
75—76页
【教材简析】《确定起跑线》是一节综合应用数学知识的实践活动课，是在学
生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。教材设计这个数学综合实践活动，一方面让学生了解田径场跑道的结构，通过小组合作的探究性活动，综合运用所学的知识和方法，动手实践解决问题，学会确定起跑线的方法；另一方面让学生体会数学在日常生活中的应用价值，增强学生应用数学的意识，不断提高实践能力和解决问题的能力。
【教学目标】
知识与技能：让学生经历运用圆的有关知识计算跑道长度的过程，明确“跑道内外圈的长度不同是由弯道的构造决定的”，理解“跑道的弯道部分，是由同一圆心不同半径的半圆构成，外圈半径大，因此外圈比内圈要长”，了解“跑道宽度相同，相邻跑道长度的差就相等”，从而学会确定起跑线的方法。
过程与方法：结合具体的实际问题，通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动体会数学学习方法，提高解决实际问题的能力。
情感与态度：在主动参与数学活动的过程中, 让学生切实体会到探索的乐趣，感受到数学在体育等领域的广泛应用。
【教学重点】了解田径场跑道的结构，通过转化，把环形跑道分割组合成学过图形的周长问题，从而能正确计算起跑线的位置，理解起跑线设置原理。
【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置与什么有关，感受数学模型与生活的联系。
【修改说明：教学目标的明析，是一节好课的开始，只有目标科学，才能使课
堂教学有明确的方向。】
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【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置的数学模型。 教学过程：
一、学生谈一谈课前了解的关于跑道的有关知识。
师：课前大家了解了跑道的有关知识，谁能给大家介绍一下跑道的结构。 预设1：两边可以看成是半圆，中间是长方形。 预设2：有弯道和直道。有1道一直到8道
【修改说明：课前的评议会，王老师谈到应该要了解学生的学情。我觉得跑道虽然是学生们现实生活中非常熟悉的事物，但对于跑道的结构，即由两个完全一样的半圆与两条长度相等的线段组成，多数学生并不了解，只有在充分了解跑道结构的基础上，学生才能探究确定起跑线的问题，教师要注意准确把握学生的起点，也是就是我校“多启点互动式”教学模式中所说的“一启点（新旧知识的连接点）”这种连接并非单纯的知识上的连接，也可以是认知经验上的连接。因此，我在教学过程中增加了这部分设计。】 二、情境引入
课件出示100米与400米起跑线画面，让学生观察不同之处。
师：这是100米比赛的起点，这是400米比赛的起点，大家看看有什么不同？ 预设：100米起点在同一起跑线上，而400米没有。 师：为什么呢？
预设：因为400米的终点是一样的，外圈跑道要比内圈跑道长。所以不能在同一起跑线上起跑。那样的话，越在外跑道的运动员越跑得多。就不公平了？
【修改说明：大家在备课研讨时对此环节提出了许多建议，我也觉的情境的引入应该要突显出它的价值，采用适当的方式，如形象直观的画面引入比谈话法的效果要好，从视觉上更容易让学生看出比赛规则的不同之处，激发学生的学习兴趣，因此在此处做了二次修改。】
师：那么，各跑道的起跑线具体在哪个位置呢。今天我们就来研究一下起跑线问题。
板书课题：确定起跑线 三、探究确定起跑线
（一）初步研究起跑线的大概位置 师：你打算从第几跑道开始研究啊？ 预设：第一跑道。
师：我们习惯上按顺序研究，先研究最靠里的第一和第二跑道。
【修改说明：让学生选择研究顺序，给学生渗透一种研究问题的数学思想方法与研究策略。因此在此处做了二次修改。】 出示跑道图并标明第一和第二跑道的数字。 师：知道第一道的起点在哪么？
2
预设：在终点处。（课件出示第一道起跑线）
师：先看一下一道的运动员是怎么跑的？（课件出示一道运动员跑步的过程，并把跑过的路线闪一闪，不变回去了。）
师：一道运动员所跑的长度呢，通常指的是里圈的长度。 师：第二道的起跑线在哪呢？ 预设：在第一道起跑线的前面。 师：同意么？ 为什么呢？
预设：外圈跑得多，里圈跑得少。要使他们跑得一样多，所以外圈要往前提一段距离。
师：要使他们跑得一样多，我们移的那一块应该是多少呢？ 预设：第二道长度与第一道长度的差
师：现在我们把生活中的确定起跑线问题就转化成了数学问题，求两跑道的长度差。
板书：长度差
（二）借助学具研究确定起跑线位置
师：怎么来求这个长度差呢？现在拿出学具纸，画一画割一割看看怎样得到长度差。
小组讨论，教师巡视指导，全班汇报。
预设1：长度差就=（外圈两个半圆长+两个知道的长度）-（内圈两个半圆长+两个直道的长度）（不明白时可以让孩子在说一遍） 师：板书：差=（2半圆（外）+2直）-（2半圆（内）+2直）
师：这种方法行不行。（可以）非常好，这个同学把这个封闭图形分割成了我们所学过的2个半圆和两条直道，求差。还有别的方法么？ 预设2：其实长度差就是外圈圆-内圈圆。 师：比较疑惑的板书。
板书：差=圆（外）-圆（内）。
（如果出来2 个半圆的差乘2也可以，理解到最后可以归结到两圆的差） 师：他说这个差距就是外圈两个弯道组成的圆与内圈两个弯道组成的圆的周长差。是么（你先别说为什么）？你看看下面谁和你心有灵犀（10秒）？同位两个互相说一说。现在你是小老师，问问他们是不是他们的想法和你一样。
预设：因为内外两跑道的差距和直道没关系，只和弯道有关，弯道的差就是两个跑道的差。 师：和你想法一样么？
师：我们来看一看是不是这样的？（课件演示） 师：同学们真了不起通过把图形分解和重新组合。 （三）提供数据，进一步研究确定起跑线
3
师：要想算出这个差，你想知道什么数据呢？ 预设：知道直道的长度，弯道的直径。
师：告诉你道宽，能算出第二道的直径么？怎么算。？ 预设：72.6+1.25×2
注意：在+1.25乘2时要注意教师可以指一指帮助孩子理解
师：这两种方法都可以，任选一种方法（派取3.14）利用手中计算器开始算吧。 学生汇报
板书：（72.6+1.25×2）×3.14－72.6×3.14＝7.85米。 师：差是7.85米说明2跑道起点在哪位置了什么？ 预设：2跑道起跑线提前7.85米
（课件演示）
师：同学们预测一下3道的起点应该在哪个位置，（课件出示3道）他和2跑道有相差多少呢？
预设生：和2跑道相差7.85米。
师：他说是和2跑道相差7.85米，是么？再算一算。
学生计算。
师：还真是7.85米。刚才那个同学说得还真对。那其它跑道呢？是不是相邻两个跑道的差都是7.85米呢？
师：如果是的话，为什么相邻两个跑道的差是一个不变的数？四人一小组继续讨论讨论。
生汇报
师：如果我们用更简洁的字母来表示的话：d外表示外圆直径，d内表示内圆
直径。那么这样两圆的差是什么？ 预设：d外x3.14-d内x3.14
师：观察这个算式你有什么想法？
预设：（d外-d内）x3.14也就是跑道间的距离的2倍乘3.14。 师：那么我么以后再计算相邻两跑道差时，只要知道什么就行了。 预设：相邻两跑道差。
师：你们可真了不起，我们把求相邻两跑道差的方法加以推广就得到了这么重要的一个规律。
（四）推广运用确定起跑线的数学模型
师：如果跑道有无限条的话，起点应该怎样安排啊？
小结：今后同学们在研究生活中的实际问题时，就要按照这个思路去研究。首先，把它转化成数学问题，再通过数学的解题方法得出结论，再把结论加以推广得出普遍的规律。最后再把规律应用到生活实际中。 四、拓展运用
4
师：好了，400米的起跑线研究完了，那200米呢？出示课件体会200米比赛。（课件表明200米一道起点、终点一道路线图。）
【修改说明：我校的“多启点互动式”教学模式的四启点指的是：跨越点，即知识技能由量变到质变，获取的数学情感体验和基本的数学经验生成思
维的飞跃起点。吕老师关于加入200米起跑线的建议使学生的认知实现再
次飞跃，是对确定起跑的一次拓展与延伸。】 板书设计： 确定起跑线
实际问题 差=（2半圆外+2直）-（2半圆内+2直） 转化
数学问题 =圆外-圆内
组合 分割 =（72.6+1.25x2）x3.14-72.6x3.14 规律 =7.85米
d外x3.14-d内x3.14 应用 =3.14x（d外-d内）
确定起跑线第三稿
设计理念:
1、向学生提供现实生活素材，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2、创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，给学生充分的思考和交流的空间，引导学生开展自主学习的数学活动。
3、让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。 4、关注学生思维水平的发展，让他们经历观察、分析、比较、归纳、应用
的过程。
【教学内容】人教版课程标准实验教科书《数学》六年级上册75—76页 【教材简析】《确定起跑线》是一节综合应用数学知识的实践活动课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。教材设计这个数学综合实践活动，一方面让学生了解田径场跑道的结构，通过小组合作的探究性活动，综合运用所学的知识和方法，动手实践解决问题，学会确定起跑线的方法；另一方面让学生体会数学在日常生活中的应用价值，增强学生应用数学的意识，不断提高实践能力和解决问题的能力。 【教学目标】
知识与技能：让学生经历运用圆的有关知识计算跑道长度的过程，明确“跑道内外圈的长度不同是由弯道的构造决定的”，理解“跑道的弯道部分，是由同一圆心不同半径的半圆构成，外圈半径大，因此外圈比内圈要长”，
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了解“跑道宽度相同，相邻跑道长度的差就相等”，从而学会确定起跑线的方法。
过程与方法：结合具体的实际问题，通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动体会数学学习方法，提高解决实际问题的能力。
情感与态度：在主动参与数学活动的过程中, 让学生切实体会到探索的乐
趣，感受到数学在体育等领域的广泛应用。
【教学重点】了解田径场跑道的结构，通过转化，把环形跑道分割组合成学过图形的周长问题，从而能正确计算起跑线的位置，理解起跑线设置原理。
【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置与什么有关，感受数学模型与生活的联系。
【修改说明：教学目标的明析，是一节好课的开始，只有目标科学，才能使课堂教学有明确的方向。】
【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置的数学模型。 教学过程：
一、学生谈一谈课前了解的关于跑道的有关知识。
师：课前大家通过查阅资料和实际观察了解了跑道的有关知识，谁能给大家介绍一下跑道的结构。
预设1：两边可以看成是半圆，中间是长方形。 预设2：左右为弯道，中间为直道。 预设3：从内到外分为1道一直到8道。
【修改说明：课前的评议会，王老师谈到应该要了解学生的学情。我觉得跑
道虽然是学生们现实生活中非常熟悉的事物，但对于跑道的结构，即由两
个完全一样的半圆与两条长度相等的线段组成，多数学生并不了解，只有在充分了解跑道结构的基础上，学生才能探究确定起跑线的问题，故要求学生查阅资料和实际观察教师要注意准确把握学生的起点，也是就是我校“多启点互动式”教学模式中所说的“一启点（新旧知识的连接点）”这种连接并非单纯的知识上的连接，也可以是认知经验上的连接。因此，我在教学过程中增加了这部分设计。】 二、情境引入
课件出示100米与400米起跑点画面，让学生观察不同之处。
师：这是100米比赛的起点，这是400米比赛的起点，同学们认真观察能发现什么？
预设：100米起点在同一起跑线上，而400米没有在同一起跑点上。
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师：为什么呢？
预设：因为400米的终点是一样的，外圈跑道要比内圈跑道长。所以不能在同一起跑线上起跑。那样的话，越在外跑道的运动员越跑得多。就不公平了？
师：那么，各跑道的起跑线具体在哪个位置呢。今天我们就来研究一下起跑线问题。
板书课题：确定起跑线 三、探究确定起跑线
（一）初步研究起跑线的大概位置 师：你打算从第几跑道开始研究啊？ 预设：第一跑道。
师：我们习惯上按顺序研究，先研究最靠里的第一和第二跑道。 出示跑道图并标明第一和第二跑道的数字。 师：知道第一道的起点在哪么？
预设：在终点处。（课件出示第一道起跑线）
师：先看一下一道的运动员是怎么跑的？（课件出示一道运动员跑步的过程，并把跑过的路线闪一闪，不变回去了。）
师：一道运动员所跑的长度呢，通常指的是里圈的长度。 师：第二道的起跑线在哪呢？
预设：在第一道起跑线的前面。 师：同意么？ 为什么呢？
预设：外圈跑得多，里圈跑得少。要使他们跑得一样多，所以外圈要往前提一段距离。
师：要使他们跑得一样多，我们移的那一块应该是多少呢？ 预设：第二道长度与第一道长度的差
师：现在我们把生活中的确定起跑线问题就转化成了数学问题，求两跑道的长度差。
板书：长度差
（二）借助学具研究确定起跑线位置
师：怎么来求这个长度差呢？现在拿出学具纸，画一画割一割看看怎样得到长度差。
小组讨论，教师巡视指导，全班汇报。
预设1：长度差就=（外圈两个半圆长+两个知道的长度）-（内圈两个半圆长+两个直道的长度）（不明白时可以让孩子在说一遍） 师：板书：差=（2半圆（外）+2直）-（2半圆（内）+2直）
师：这种方法行不行。（可以）非常好，这个同学把这个封闭图形分割成了我们所学过的2个半圆和两条直道，求差。还有别的方法么？ 预设2：其实长度差就是外圈圆-内圈圆。
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师：比较疑惑的板书。
板书：差=圆（外）-圆（内）。
（如果出来2 个半圆的差乘2也可以，理解到最后可以归结到两圆的差） 预设：知道直道的长度，弯道的直径。
师：告诉你道宽，能算出第二道的直径么？怎么算。？ 预设：72.6+1.25×2
师：他说这个差距就是外圈两个弯道组成的圆与内圈两个弯道组成的圆的周长差。是么（你先别说为什么）？同位两个互相说一说。预设：因为内外两跑道的差距和直道没关系，只和弯道有关，弯道的差就是两个跑道的差。师：能指着图说说为什么和直道没有关系吗？
【修改说明：有老师提到在处理第二种方法事过于简单，所以加强分析。学生介绍第二种方法时，说不算直道，只算两个弯道组成的圆的周长的差，教师只是问听懂了吗？没有跟进追问，为什么可以不管直道？这是因为有时候教师把问题设计得太具体、太琐碎，没有明确的方向性，只是盲目的设计问题，更没有因学生的变化而发生改变。提问时要注意课堂中学生思维的变化，要看到学生理解本节课的关键的地方，要依据学生思维的推进对教师的设计进行及时合理的调整和改变。】 师：和你想法一样么？
师：我们来看一看是不是这样的？（课件演示） 师：同学们真了不起通过把图形分解和重新组合。 （三）提供数据，进一步研究确定起跑线 师：要想算出这个差，你想知道什么数据呢？
注意：在+1.25乘2时要注意教师可以指一指帮助孩子理解
师：这两种方法都可以，任选一种方法（派取3.14）利用手中计算器开始算吧。 学生汇报
板书：（72.6+1.25×2）×3.14－72.6×3.14＝7.85米。 师：差是7.85米说明2跑道起点在哪位置了什么？ 预设：2跑道起跑线提前7.85米
（课件演示）
师：同学们预测一下3道的起点应该在哪个位置，（课件出示3道）他和2跑道有相差多少呢？
预设生：和2跑道相差7.85米。
师：他说是和2跑道相差7.85米，是么？再算一算。
学生计算。
师：还真是7.85米。刚才那个同学说得还真对。那其它跑道呢？是不是相邻两个跑道的差都是7.85米呢？
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师：如果是的话，为什么相邻两个跑道的差是一个不变的数？四人一小组继续讨论讨论。
生汇报
师：如果我们用更简洁的字母来表示的话：d外表示外圆直径，d内表示内圆
直径。那么这样两圆的长度差是什么？ 预设：d外x3.14-d内x3.14
师：观察这个算式你有什么想法？
预设：（d外-d内）x3.14也就是跑道间的距离的2倍乘3.14。 师：那么我么以后再计算相邻两跑道差时，只要知道什么就行了。 预设：相邻两跑道差。
师：你们可真了不起，我们把求相邻两跑道差的方法加以推广就得到了这么重要的一个规律。
（四）推广运用确定起跑线的数学模型
师：如果跑道有无限条的话，起点应该怎样安排啊？
小结：今后同学们在研究生活中的实际问题时，就要按照这个思路去研究。首先，把它转化成数学问题，再通过数学的解题方法得出结论，再把结论加以推广得出普遍的规律。最后再把规律应用到生活实际中。 四、拓展运用
师：好了，400米的起跑线研究完了，那200米呢？出示课件体会200米比赛。简单一计算（课件表明200米一道起点、终点一道路线图。）
【修改说明：我校的“多启点互动式”教学模式的四启点指的是：跨越点，即知识技能由量变到质变，获取的数学情感体验和基本的数学经验生成思维的飞跃起点。很据本节课的理解，学生会创造出无数的惊喜，现场解决200米的问题，更能增加学生们课下研究的兴趣。前面教学环节的设计可以在紧凑些，留些时间让学生研究一下200米比赛中的起跑线问题，便于学生对400米比赛和200米比赛中起跑线位置等知识的比较。】 板书设计： 确定起跑线
实际问题 差=（2半圆外+2直）-（2半圆内+2直） 转化
数学问题 =圆外-圆内
组合 分割 =（72.6+1.25x2）x3.14-72.6x3.14 规律 =7.85米
d外x3.14-d内x3.14 应用 =3.14x（d外-d内）
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《确定起跑线》说课稿
一、教学内容
人教版课程标准实验教科书《数学》六年级上册75—76页
二、教材简析《确定起跑线》是一节综合应用数学知识的实践活动课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。教材设计这个数学综合实践活动，一方面让学生了解田径场跑道的结构，通过小组合作的探究性活动，综合运用所学的知识和方法，动手实践解决问题，学会确定起跑线的方法；另一方面让学生体会数学在日常生活中的应用价值，增强学生应用数学的意识，不断提高实践能力和解决问题的能力。 三、设计理念:
1、尽可能向学生提供现实的素材，让学生感受和学习“现实中的数学”。 2、创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，给学生充分的思考和交流的空间，引导学生开展自主性的数学活动。
3、让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。 4、关注学生思维水平的发展，让他们经历观察、分析、比较、归纳、应用的过程。
四、教学目标
知识与技能：让学生经历运用圆的有关知识计算跑道长度的过程，明确“跑
道内外圈的长度不同是因为弯道的构造决定的”，理解“跑道的弯道部分，
是由同一圆心不同半径的半圆构成，外圈半径大，外圈比内圈要长”，了解“跑道宽度相同，相邻跑道长度的差就相等”，从而学会确定起跑线的方法。
过程与方法：结合具体的实际问题，通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动加深体会数学学习方法，提高解决实际问题的能力。
情感与态度：在主动参与数学活动的过程中, 让学生切实体会到探索的乐趣，感受到数学在体育等领域的广泛应用。
教学重点：了解田径场跑道的结构，通过转化为计算圆的周长，从而能正确计算起跑线的位置，理解起跑线设置原理。
教学难点：综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置与什么有关，感受数学模型与生活的联系。
六、教学过程：
课一开始让学生谈一谈课前了解的关于跑道的有关知识。通过课前了解学生的学情，我觉得跑道虽然是学生们现实生活中非常熟悉的事物，但对于跑道的结构，即由两个完全一样的半圆与两条长度相等的线段组成，多
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数学生并不了解，只有在充分了解跑道的结构的基础上，学生才能探究确定起跑线的问题，教师要注意准确把握学生的起点。
课件出示100米与400米起跑点的两张图片，让学生观察能发现什么？意在让学生发现外圈跑道要比内圈跑道跑道跑的长。所以不能在同一起跑线上。那如何确定起跑线，由此引入课题。
初步研究起跑线的大概位置，通过观察，得出结论，第二跑道的起跑线所在的位置就是相邻两跑道的长度差。分组讨论，进一步研究如何求得长度差。学生会得到以下两个方法：
1.差=（2半圆（外）+2直）-（2半圆（内）+2直） 2.差=圆（外）-圆（内）
重点得到第二种方法，引导学生发现这个差距就是外圈两个弯道组成的圆与内圈两个弯道组成的圆的周长差。因为内外两跑道的差距和直道没关系，只和弯道有关，弯道的差就是两个跑道的差。
之后给出相应的数据，学生计算出结果是7.85米。而后询问第三道呢？更多道呢？引发学生的验证和讨论。进一步巩固所学。通过对公式进行变形得出最终结论
d外x3.14-d内x3.14
（d外-d内）x3.14也就是跑道间的距离的2倍乘3.14。
最后帮助学生梳理本节课的学习方法和探究思路，首先，把它转化成数学问题，再通过数学的解题方法得出结论，再把结论加以推广得出 普遍的规律。最后再把规律应用到生活实际中。应用解决400米的问 题，留给学生课下探究的空间-200米的起点如可确定。
回顾教学过程和学生的表现，也发现了值得思考的问题。 在计算方 法的探究过程中，我有意放手让学生自主探究方法，再汇报。意在不知从
何开始就“到此结束”。用部分学生的想法替代了全部学生的思维。因此，本节课的教学方式是否面向了全体还有待改进。
《 确定起跑线》课堂实录
设计理念:
1、尽可能向学生提供现实的素材，让学生感受和学习“现实中的数学”。 2、创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，给学生充分的思考和交流的空间，引导学生开展自主性的数学活动。
3、让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。 4、关注学生思维水平的发展，让他们经历观察、分析、比较、归纳、应用的过程。
【教学内容】人教版课程标准实验教科书《数学》六年级上册75—76页
【教材简析】《确定起跑线》是一节综合应用数学知识的实践活动课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。教材设计这个数学综合实践活动，一方面让学生了解田径场跑道的结构，通过小组合作的探究性活动，综合运用所学的知识和方法，动手实践解决问题，学会确定起跑线的方法；另一方面让学生体会数学在日常生活中的应用价值，增强学
生应用数学的意识，不断提高实践能力和解决问题的能力。
【教学目标】
知识与技能：让学生经历运用圆的有关知识计算跑道长度的过程，明确“跑道内外圈的长度不同是因为弯道的构造决定的”，理解“跑道的弯道部分，是由同一圆心不同半径的半圆构成，外圈半径大，外圈比内圈要长”，了解“跑道宽度相同，相邻跑道长度的差就相等”，从而学会确定起跑线的方法。
过程与方法：结合具体的实际问题，通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动加深体会数学学习方法，提高解决实际问题的能力。
情感与态度：在主动参与数学活动的过程中, 让学生切实体会到探索的乐趣，感受到数学在体育等领域的广泛应用。
【教学重点】了解田径场跑道的结构，通过转化为计算圆的周长，从而能正确计算起跑线的位置，理解起跑线设置原理。
【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置与什么有关，感受数学模型与生活的联系。
【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线
位置的设置与什么有关。
教学过程：
师：课前通过了解，谁能给大家介绍一下跑道的结构。 生1：两边可以看成是半圆，中间是长方形。
生2：我补充一点，有弯道和直道。有1道一直到8道
师：了解了跑道的结构，看两幅图，一个是100米起跑点，一个400米的起跑点，你发现了什么？
生1:100米在同一起跑线上起跑，400米不在同一起跑线上起跑。 师：同意吗？为什么400米的没有在同一起跑线上呢 生1：因为内外距离不一样。
生2：因为外圈比内圈跑得要多一些，外圈起点要靠前。
师：那么，各跑道的起跑线具体在哪个位置呢。今天我们就来研究一下起跑
线。
板书课题：确定起跑线
师：你打算从第几跑道开始研究啊？（生：第一）我们习惯上从第一道按顺序研究，先拿最靠里的第一道和第二道。 你知道第一道的起点在哪吗？
生：起点就是在终点。（课件出示第一道起跑线）
师：看一下1道的运动员是怎么跑的？（课件出示一道运动员跑步的过程。）师：1到运动员所跑的长度呢，我们通常指的是里圈的长度？ 师：请问：第二道的起跑线在什么位置？ 生1：在终点靠前一点，拐弯的距离。 生2：在终点往前的位置。
师：在第一道起跑线往前一点。为什么呢？
生1：如果在同一起跑线，第二道的比第一道要跑的多。 师：同意吗？谁能再来说一说。 生2：第二道要比第一道多跑
师：为了公平，第二道应该往前一点要使他们跑得一样多，往前的这一块应该是多少呢？
生1：外圈比内圈多多少，就应该往前移多少米.
师：还有吗？
生：他们之间的距离就是第二道比第一道多得部分。 师：也就是第二道与第一道的差。
师：很好，现在我们把解决生活中的确定起跑线问题就转化成了数学问题，求两跑道的长度差。（板书：长度差）
师：怎么来求这个长度差呢？现在拿出学具纸，进行画一画割一割看看怎样得到长度差。
小组讨论，教师巡视指导，全班汇报。
生1：我们可以先求出两个大半圆的和，再求出直道的和，再减去两个小半圆与两个直道的和，就可以求出他们的差。 师：谁明白她得思路了？
生2：先不管直道，算出外圈半圆距离和内圈的半圆的距离，再加上直道。 师：也就是说，外圈两个半圆加上两个直道减去内圈两个半圆加上两个直道。记录下来。板书：
差=（2半圆（外）+2直）-（2半圆（内）+2直）
师：这种方法行不行。（生：可以）非常好，这个同学把这个封闭图形通过分割，转化成了我们所学过的2个半圆和两条直道，求差。还有别的方法么？
生1：两个弯道拼成一个圆，算出里面圆的周长和外面圆的周长，第二道减去第一道，就知道第二道在哪起跑了。 生有问题：第二道的周长怎么求呢？
师：没有给出数据没法求。他的思路可以吗? 生：可以 师：谁明白了。
生2：他是说可以先求出两个大半圆拼成的圆的和，再求出直道的和，再减去两个小半圆拼成的圆与两个直道的和，就可以求出他们的差。 师：她说的是不是黑板上的这个思路啊。
生3：先不管直道，因为距离不相等，算出弯道距离，外圈减去内圈。 师：先写下来
板书：差=圆（外）-圆（内）。
师：是不是就是外圈两个弯道组成的圆与内圈两个弯道组成的圆的周长差。你明白了吗？同位两个互相说一说。
师：是不是就是前进的距离啊。和直道没有关系。我们一起看看课件。。（课件演示）
师：同学们真了不起通过把这个图形分解和重新组合在一起。 师：要想算出这个长度差，你想知道什么数据呢？ 生1：知道直径或是半径。
生2：1道和2道相差的距离。（什么意思啊？） 生3：里圈和外圈差多少，就能算出外圈的直径。 师：就是想知道两个跑道之间的距离。 课件：距离是多少？（1.25）72.6表示什么？ 生：内圈的直径。
师：请问外圈的直径该是多少呢？
生1：内圈的直径加上第二圈比第一圈多得距离。 师：列个算式。 生：72.6+1.25×2
师：1.25×2求得是什么？ 生1：两个弯道的和？
生2：不是，是外边大圆的直径。 生3：增加1.25×2
生4：外圈比内圈多1.25×2
师：也就是说第二圈比第一圈多2个1.25
师：非常好，这两种方法都可以，任选一种方法，利用手中计算器开始算吧。派取3.14。
独立完成，汇报交流。
（板书算式）生：先求外圆的周长。
(72.6+1.25×2) ×3.14-72.6×3.14 算一下多少啊？最后的结果是7.85米。 师：差是7.85米说明第二跑道起点在哪儿？？ 生1：第一跑道往前7.85米.
生2：第二跑道在第一跑道前边7.85米。
师：（课件演示）也就是说第二跑道在第一跑道往前7.85米。 这个同学怎么了？
生提问：1.25×2×3.14直接就能求出长度差来？
师：谁听明白了。板书：间隔×2×3.14 非常有想法，一会我们再来验证到底行不行？
师：那第三道的起点应该在哪个位置，（课件出示3道）（生：第二道往前7.85米）他和2跑道有相差多少呢？ 生：相差7.85米。
师：他说是和第二跑道相差7.85米，是么？再算一算。 师：第三道有几个间隔啊？ 生：4个
师：再加上72.6，就是第三道的直径，再乘3.14，就求出了第三跑道圆的周长是多少.是多少啊？ 生：7.85/15.7
师：再计算一边。 生计算
师：一起列出算式，第三道直径是多少？
(72.6+1.25×4 ×3.14-(72.6+1.25×2) ×3.14 计算一边是多少？
师：把数据记录下来，再相减，就可得到7.85.那第四道，第五道，更多道呢？
生：都是7.85
师：如果是的话，为什么相邻两个跑道的差是一个不变的数？四人一小组继
续讨论讨论。 汇报：
生1：相邻两个的宽是一样的。
生2：间隔没有扩大或是缩小，7.85一直不变，再多跑道也是7.85. 师：如果有长有短，有宽有细就不公平了。
师：如果我们用d外表示外圆直径，d内表示内圆直径。那么这样两圆的长度
差是多少呢？ 生：d外x3.14-d内x3.14
师：看到这个算式你有什么想法？
生1：（d外-d内）也就是两跑道之间的间隔。因为有两个间隔所以间隔×2
×3.14。
生2：（d外-d内）就表示两跑道之间有两个间隔，所以间隔×2×3.14。 师：也就是说外圆的直径减去内圆的直径就是两个间隔，即间隔×2×3.14。
师：好了，400米的起跑线研究完了，那200米呢？出示课件体会200米比
赛。这个问题我们下节课研究。（课件表明200米一道起点、终点一道路线图。）
板书设计： 确定起跑线 间隔×2×3.14 把掌声送给那位同学。
师：你们可真了不起，我们把求相邻两跑道差的方法加以推广就得到了这
么重要的一个规律。（板书：规律）
师：如果跑道有无限条的话，起点应该怎样确定啊？ 生1：旁边那个跑道加或是减7.85就可以了。
生2：不一定，算出二道和一道差多少，依次加就可以了。
师：那么我们以后再计算相邻两跑道差时，只要知道什么就行了。 生：周长？ 生：间隔。
师：知道了间隔按照这个规律去做就可以了。
师：今后我们在研究生活中的实际问题时，就要按照这个思路去研究。首
先，把它转化成数学问题，再通过数学的解题方法得出结论，再把结论进行推广得出普遍的规律。我们这节用得是分割和组合（板书：分割组合）最后再把规律应用到生活实际中。
实际问题 差=（2半圆外+2直）-（2半圆内+2直） 转化
数学问题 =圆外-圆内
组合 分割 =（72.6+1.25x2）x3.14-72.6x3.14 规律 =7.85米
d外x3.14-d内x3.14 应用 =3.14x（d外-d内） 评课议课会议
会议时间：2011年12月6日 会议地点：会议室 会议主持人：都雯 会议记录：都雯
会议说明：本次会议主要针对我们最初要研究的两个问题开展研究。１.怎
样能创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，给学生充分的思考和交流的空间，引导学生开展自主性的数学活动。让学生亲身经历将实际问题抽象成“确定起跑线”的数学模型并进行解释应用的过程。根据教学目标，研究怎样能有效构建“确定起跑线”的数学模型，培养学生自觉构建模型的意识与能力。 2.怎样将我校“真.实.启----多启点互动式”教学研究成果有效指导课堂教学，促进学生发展。 备注：文本中的红色部分为发言中的突出亮点或有价值的观点 。
主持人：前期我们结合课例“确定起跑线”对解决问题的模型构建以及我校
的“多启点互动式”教学模式进行了研究，今天我们结合王老师这节课，主要围绕以上两个问题进行探讨。首先请王老师说一说执教后对这节课的认识。
王伦：这是一节数学综合实践课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识
的基础上设计的。通过这个活动一方面让学生了解田径场跑道结构，学会确定跑道起跑线的方法，另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。由于每一学期我校都举行运动会，所以孩子们都知道有的比赛起跑线不一样，但并不知道是什么原因。结合实际情况，学生能够理解“为什么起跑线位置会不同”这个问题，因此，让学生
推导确定起跑线位置构建模型及实践运用是本节课的重点，而理解起跑线的位置与什么有关则是教学的难点。其实6年级的学生对起跑线并不陌生，但可能很少从数学的角度去思考200米、400米等起跑线位置为什么不同，相差多少。所以课的开始，我采用让学生观察100米和400米的起跑位置，有什么不同，引起学生对起跑线位置的关注与思考。经过观察共同讨论，达成共识：“终点相同，但每条跑道的长度不同，如果在同一条跑道上，外圈的同学跑的距离长，所以外圈跑道的起跑线位置应该往前移。” 然后通过多媒体呈现跑道的有关信息，学生在老师的引导下对已获得的信息进行梳理，利用手中的学具纸动手画一画，剪一剪初步得出要求两跑道的长度差就是用外圈减去内圈，一部分同学会用两边的半圆拼成圆计算差，和直道无关。学生在小组内借助计算器试算后，汇报方法。有个别学生提出相邻跑道差=∏×2×道宽，由于当时询问其它同学后，发现对此方法不大清楚，所以滞后处理。通过推导公式，由此得出最简单的方法：相邻跑道差=∏×2×道宽。让学生分析这个公式，进一步理解，加深记忆。最后梳理本节课的建模过程：实际问题-数学问题-规律-应用。数学来源于生活,同时也服务于生活，应用学到的知识解决实际生活中的问题，不但使学生感受到数学与实际生活是密切联系的,而且能培养他们的创新精神。为此，最后安排了200米的起跑线如何确定，让学生课下研究。
课后，回顾教学过程和学生的表现，也发现了值得思考的问题。 在计
算方法的探究过程中，我有意放手让学生自主探究方法，再汇报。意在不知从何开始就“到此结束”。用部分学生的想法替代了全部学生的思维。因此，本节课的教学方式是否面向了全体还有待改进。 主持人：刚才王老师比较全面的介绍了自己对这节课的认识与反思，下面请
老师们结合这节课说一说对最初我们要研究的两个问题的感想。 （会后我把老师们的发言分类整理如下）
【方面一：怎样能创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，给学生充分的思
考和交流的空间，引导学生开展自主性的数学活动。让学生亲身经历将实际问题抽象成“确定起跑线”的数学模型并进行解释应用的过程。根据教学目标，研究怎样能有效构建“确定起跑线”的数学模型，培养学生自觉构建模型的意识与能力。】
华晓林：本课在学生的动手操作和合作交流中，通过拼接、对比，逐步总结
出确定起跑线的方法，在建模过程中，有些环节处理过急，在学生动手操作时，学生利用学具的方法是不一样的，有很多学生先将整个跑道剪下来，再进行研究，而有的个别学生没有剪出跑道，直接画出直道，就可以拼接了，节约了很多时间，学生这一差别也反映出解决问题方法、能力的差距，由此我想，如果不给学生跑道的学具纸，有没有学生自己能够画出跑道来研究呢，如果这样，是不是又给学生提供
了一种解决问题的方法，就像线段图一样，培养学生用画图的方法来解决问题，在生活中更常用、更实用一些，这样课堂上我们可以让学生自主选择，可以用、也可以不用，需要的提供一张，不需要的学生就可以不取。
当解决问题的方法学生小组交流后，进一步加强课件和方法、公式的联系，
将公式各部分所求和实际跑道建立起对应联系，进一步加深学生的理解和认识，同时也是给学习比较困难的学生再一次理解的机会，巩固模型的建立。
张强：关于王老师确定起跑线这节课，我感觉有一点是非常好的，那就是交
给了学生建模的数学思想方法。他把确定四百米起跑线的这个生活问题，经过和孩子们有效的沟通和交流转化成了数学问题。确定起跑线的关键就是求两跑道之间的距离差，再通过孩子们的自主探究，研究出了两跑道的长度差，其实就是两个弯道组成的圆的周长差。数学模型已经初步建立起来，通过孩子的计算确定出了第二道的起跑线是距离第一道前7.85米处。王老师紧接着提出了具有启发性的问题，那就是第三道的起跑线在什么位置？第四道？„„..有什么规律么？这又极大的调动了孩子们研究的积极性。通过孩子们自主探究合作交流，知道了起跑线的位置其实和道宽有关系，总结出来了两跑道间的差距
就是2∏×道宽，然后再把这个公式应用到了每一跑道，从而数学模型就建立起来了。
楼洪江：我认为数学建模的最终目标是培养学生的建模意识，主动的建模意
识依靠的是每次建模过程中不断探索最终找到合适的数学模型的成就感。所以教师在教学时应该瞄准主要问题，不要将学生的精力过多的用在与建模无关的问题上，比如这节课，应该逐步引导学生认识到形成起点不同的根本原因在于两个半圆跑道部分的长度不同，然后围绕这个关键点去探究、建模。其他问题的处理上是否可以简化一些。 王冬梅：我认为在整理算法抽出模型时是否应该让学生充分展示现三种不
同的方法：１.两个跑道的周长差。2.两个跑道的两个园周长差。3.跑道宽×2×∏。这样更能体现建模的循序渐进的过程。
李岩：我觉的模型概念的渗透，让高年级的学生有了放飞的空间很多人回忆
学生时代是值得尊敬的老师有两种，一种是严厉的，一种是学识渊博型，然而后者评价显然高于前者。对于六年级学生的一节课，不仅仅是知识的传授那么简单，能力培养的要求更是凸显，从学生的角度而言，学生自身也能够感觉到一堂课老师给了自己什么样的新思想，模型思想在本节课的体现，从日常实例入手，慢慢分析，进入了一个学生平时自己达不到的理论高度，让学生感受到了复杂问题的出现是简
单原理相叠加的结果，数学模型的建立对于一些相似的数学问题的解决有很好的效果。
【方面二：怎样将我校“真.实.启----多启点互动式”教学研究成果有效指
导课堂教学，促进学生发展。】
赵广彪：关于多启点，曾经有一个关于预设与生成的有趣的比喻我觉得正
好契合:预设与生成是课堂上的两张网，学生正像渴求食物的 “鱼”，老师可用预设的网先逮“大鱼”，再用生成的网捕逮住“小鱼”。对于一些不往两张网里钻的“鱼”，老师要善于观察、呵护、引导、点拨，从而催生新的精彩生成。教师的启点在于通过课前的对教材的理解和对学生现状的了解所做出的预设。也就是理解教材把握大部分学生所设计的情境与问题，也就是要先准备“逮大鱼的网”。而在课堂生成当中，教师则需要根据对学生学习情况的把握和课堂的动态生成，进行再次的定位，重组，改造，再设计问题。这次教师靠的则是教学智慧与课堂的经验，去抓学生思维的闪光点，去抓决定课堂走势的“拐点”，去思索把握不同层次学生的理解和掌握情况。也就是说这次用的在课堂中立刻做出来的“捞小鱼的网”。逮大鱼的网不好做，捞小鱼的网页要看功底，这就要靠教师平时多思考，课堂多观察，课后多回顾了。只有做到这样，课堂才能真正做到多启点，课前预设去针对
大部分学生，课堂把握生成去帮助不通层次的学生。两个词可概括：课前是“有备而来”，课堂上则是“随机应变”。
华晓林：观课时我们重点观察维度的是“新旧知识链接点与涉及环节”，在
我们学校“多启点互动式教学模式”中新旧知识链接点指课前或课堂初始，激活学生认知结构中已有的知识经验。但通过对本节课的观课分析过程，我发现 “新旧知识的链接点”，不仅在课前课初得以体现，整节课通过及时巩固学生已有的生活经验、知识经验和解决问题的经验，新旧知识的链接贯穿于整堂课的各个环节。过磨课，确立观察点观课，我认为可以将我们原来的模式进一步丰实起来，或者说我们原来的认识还不够深刻，认为原来“各点”是相对独立的，其实，不是这样，比如，这一次我们发现其实学生“新旧知识的连接点”贯穿在每一个环节中，我们小组老师的观课分析中非常明确这一点，涉及很多方面，因此不同类型的课，对“多启点互动式”教学模式的运用要灵活，这里的“启”是启发的“启”，而不是起始的“起”。对“多启点互动式”教学模式还需进一步研究、整理，使其更完善。
苗杰：我想对我校的“多启点互动式”教学模式谈谈我的认识。“多启点互
动式”
教学模式的研究在我校已经持续多年，其间我们也不断的进行完善与改进，
期望能对课堂教学发挥更好的指导作用。从这课来看，教学模式中关
注的多个启点对确定起跑线的建模有促进作用。如“新旧知识的连接点”是学生自主探究，解决问题的基础。本课教师关注到了研究起跑线要具备的知识基础与生活经验，使得探究能顺利进行。再如多个“提升点”的关注，使得学生的认识循序渐进的提高，思维不断推进。 【方面三：其它】
吕玉梅：本节课王老师引导学生了解田径场跑道的结构，通过小组合作的探
究性活动，综合运用所学的知识和方法，动手实践解决问题，学会确定起跑线的方法，同时让学生体会数学来源于生活,同时也服务于生活，应用学到的知识解决实际生活中的问题，不但使学生感受到数学与实际生活是密切联系的,而且能培养他们的创新精神，增强了学生应用数学的意识。
郭宝红：一个富于挑战性的问题，会促使学生产生浓厚的探究兴趣和强烈的
探索欲望，产生自主的探究活动。怎么来求这个长度差呢？这一问题调动了学生的积极性，王老师在学生发现左右的两个半圆合起来是一个圆时，课件演示将左右的弯道合成一个圆，及时鼓励学生大胆设想，然后又通过小组的合作、交流，倾听别人的意见和想法，激发了学生的灵感，让每一个学生对问题发表自己的见解，呵护了他们的创新思维。最终观察发现400米跑相邻跑道起跑线的差距是“跑道宽×2×π”。 王教师既注重了数学知识的教学，又注重了数学学习方法的教学。学
生不但丰富了知识，更重要的是他们学到了解决数学问题的基本步骤和策略。
杨洋：王老师执教的这节确定起跑线，从一开始利用一个情境和几个关键
的问题就迅速抓住了学生的学习兴趣和思维方向。比如说，在给出100米和400米的起跑图之后，王老师马上提问：一个是100米的起跑点，一个是400米的起跑点，你发现了什么？这样很快就引导学生发现了100米在同一起跑线，而400米不在同一起跑线，带领学生发现了问题，引入了本节课。接着王老师马上追问：为什么400米起跑不在同一条起跑线上呢？接着把学生带入到了更深的思考之中。在学生说到因为内外圈的距离不一样以后。王老师直接揭示了本节课所要探究的问题：如何确定400米跑道的起跑线的问题。这几个问题的设计，层层推进，丝丝相扣。学生也随着老师的引导，通过观察和思考，逐步的去发现问题，进而产生了解决问题的动力和兴趣。可以说在这个环节的设计上，教师的提问与学生的思维推进完美契合，是本节课的一大亮点。接下来在引导学生去研究第二道的起点在哪的时候，王老师有一套问题的组合也很闪亮。首先王老师再次通过一个跑道的动画设计引入，首先提问:你知道第一道的起点在哪吗？先让学生明确起点即是终点。接着追问：那第二道的起点应该在哪呢？学生利用之前的知识铺垫，很容易回答出应该在第一道起点往前一些。然后再问：要使他们跑的
一样多，第二道应该往前多少呢？帮助学生进一步明确确定起跑线的关键点就在第二道比第一道长多少，就该往前多少。接着老师就顺水推舟的提出该课的探究点：如何求两道的长度差。可以说在这一系列问题的组合再次步步为营的将学生引领到了教师的预设之中，同时通过教师的连续的追问，学生逐步的寻找到了确定起跑线的关键点，进一步缩小的研究范围，锁定的问题所在。 【方面四：本课的不足及改进意见。】
赵广彪：关于这节课也有未能把握及时的地方。比如学生介绍第二种方法
时，说不算直道，只算两个弯道组成的圆的周长的差，教师只是问听懂了吗？没有跟进追问，为什么可以不管直道？这是因为有时候教师把问题设计得太具体、太琐碎，没有明确的方向性，只是盲目的设计问题，更没有因学生的变化而发生改变。所以提个小建议：提问时要注意课堂中学生思维的变化，要看到学生理解本节课的关键的地方，要依据学生思维的推进对教师的设计进行及时合理的调整和改变。
华晓林：在整个课堂教学生，教师始终问：第几跑道在什么位置？每个跑道
在什么位置？我认为应该是第二跑道是如何确立起跑线的？每一跑道的起跑线是怎样确立的？这两种问法我认为还是有本质区别的。也就是我们这节课研究的是确定起跑线的方法、依据。解决方法和计算师分开进行的，是否可以融在一个环节中，这样学生在讲解各自方法的时
21
候，计算的过程完全呈现，更利于学生比较，提升最简便的方法，利
于学生模型的逐步构建。计算前学生的模型已经建立，再去计算，降
低了计算的价值。
楼洪江：本课我还有两点建议，一是造成起跑线不同的原因应该更加有针对
性，引导学生直接看到是弯道引起的起跑线的差距。二是当学生给出“2π×道宽”是起点的差距之后，应该引导学生验证、肯定并运用。 苏克云：在计算方法的探究过程中，教师有意放手让学生自主探究方法，再
汇报。意在学生亲自动手参与计算后在汇报中把计算方法达到最优化。但在教学中，教师稳稳的提出问题，探究结束的有点匆忙。我觉得可不可以前面教学环节的设计可以在紧凑些，留些时间让学生研究一下200米比赛中的起跑线问题，便于学生对400米比赛和200米比赛中起跑线位置等知识的比较。
吕玉梅：在学生探讨如何确定起跑线的时候，把数学书第76页的跑道图完
整地呈现在学生面前，这样让学生直观地看出每条跑道之间的差异，能一下激起学生探索、解决问题的欲望，从而避免没有数据。
都雯：我有一个想法，既然本课是一节解决问题的数学活动课，能不能让学
生在课前自己独立研究关于起跑线的问题，课上交流汇报自己的困惑或是解决问题的策略，通过生生或师生之间的互动解决问题，构建模型。
22
确定起跑线
设计理念:
1、向学生提供现实生活素材，让学生感受数学与生活的紧密联系。 2、创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，给学生充分的思考和交流的空间，引导学生开展自主学习的数学活动。
3、让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。 4、关注学生思维水平的发展，让他们经历观察、分析、比较、归纳、应用的过程。
【教学内容】人教版课程标准实验教科书《数学》六年级上册
75—76页
【教材简析】《确定起跑线》是一节综合应用数学知识的实践活动课，是在学
生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。教材设计这个数学综合实践活动，一方面让学生了解田径场跑道的结构，通过小组合作的探究性活动，综合运用所学的知识和方法，动手实践解决问题，学会确定起跑线的方法；另一方面让学生体会数学在日常生活中的应用价值，增强学生应用数学的意识，不断提高实践能力和解决问题的能力。
【教学目标】
知识与技能：让学生经历运用圆的有关知识计算跑道长度的过程，明确“跑道内外圈的长度不同是由弯道的构造决定的”，理解“跑道的弯道部分，是由同一圆心不同半径的半圆构成，外圈半径大，因此外圈比内圈要长”，了解“跑道宽度相同，相邻跑道长度的差就相等”，从而学会确定起跑线的方法。
过程与方法：结合具体的实际问题，通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动体会数学学习方法，提高解决实际问题的能力。
情感与态度：在主动参与数学活动的过程中, 让学生切实体会到探索的乐趣，感受到数学在体育等领域的广泛应用。
【教学重点】了解田径场跑道的结构，通过转化，把环形跑道分割组合成学过图形的周长问题，从而能正确计算起跑线的位置，理解起跑线设置原理。
【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置与什么有关，感受数学模型与生活的联系。
【修改说明：教学目标的明析，是一节好课的开始，只有目标科学，才能使课
堂教学有明确的方向。】
1
【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置的数学模型。 教学过程：
一、学生谈一谈课前了解的关于跑道的有关知识。
师：课前大家了解了跑道的有关知识，谁能给大家介绍一下跑道的结构。 预设1：两边可以看成是半圆，中间是长方形。 预设2：有弯道和直道。有1道一直到8道
【修改说明：课前的评议会，王老师谈到应该要了解学生的学情。我觉得跑道虽然是学生们现实生活中非常熟悉的事物，但对于跑道的结构，即由两个完全一样的半圆与两条长度相等的线段组成，多数学生并不了解，只有在充分了解跑道结构的基础上，学生才能探究确定起跑线的问题，教师要注意准确把握学生的起点，也是就是我校“多启点互动式”教学模式中所说的“一启点（新旧知识的连接点）”这种连接并非单纯的知识上的连接，也可以是认知经验上的连接。因此，我在教学过程中增加了这部分设计。】 二、情境引入
课件出示100米与400米起跑线画面，让学生观察不同之处。
师：这是100米比赛的起点，这是400米比赛的起点，大家看看有什么不同？ 预设：100米起点在同一起跑线上，而400米没有。 师：为什么呢？
预设：因为400米的终点是一样的，外圈跑道要比内圈跑道长。所以不能在同一起跑线上起跑。那样的话，越在外跑道的运动员越跑得多。就不公平了？
【修改说明：大家在备课研讨时对此环节提出了许多建议，我也觉的情境的引入应该要突显出它的价值，采用适当的方式，如形象直观的画面引入比谈话法的效果要好，从视觉上更容易让学生看出比赛规则的不同之处，激发学生的学习兴趣，因此在此处做了二次修改。】
师：那么，各跑道的起跑线具体在哪个位置呢。今天我们就来研究一下起跑线问题。
板书课题：确定起跑线 三、探究确定起跑线
（一）初步研究起跑线的大概位置 师：你打算从第几跑道开始研究啊？ 预设：第一跑道。
师：我们习惯上按顺序研究，先研究最靠里的第一和第二跑道。
【修改说明：让学生选择研究顺序，给学生渗透一种研究问题的数学思想方法与研究策略。因此在此处做了二次修改。】 出示跑道图并标明第一和第二跑道的数字。 师：知道第一道的起点在哪么？
2
预设：在终点处。（课件出示第一道起跑线）
师：先看一下一道的运动员是怎么跑的？（课件出示一道运动员跑步的过程，并把跑过的路线闪一闪，不变回去了。）
师：一道运动员所跑的长度呢，通常指的是里圈的长度。 师：第二道的起跑线在哪呢？ 预设：在第一道起跑线的前面。 师：同意么？ 为什么呢？
预设：外圈跑得多，里圈跑得少。要使他们跑得一样多，所以外圈要往前提一段距离。
师：要使他们跑得一样多，我们移的那一块应该是多少呢？ 预设：第二道长度与第一道长度的差
师：现在我们把生活中的确定起跑线问题就转化成了数学问题，求两跑道的长度差。
板书：长度差
（二）借助学具研究确定起跑线位置
师：怎么来求这个长度差呢？现在拿出学具纸，画一画割一割看看怎样得到长度差。
小组讨论，教师巡视指导，全班汇报。
预设1：长度差就=（外圈两个半圆长+两个知道的长度）-（内圈两个半圆长+两个直道的长度）（不明白时可以让孩子在说一遍） 师：板书：差=（2半圆（外）+2直）-（2半圆（内）+2直）
师：这种方法行不行。（可以）非常好，这个同学把这个封闭图形分割成了我们所学过的2个半圆和两条直道，求差。还有别的方法么？ 预设2：其实长度差就是外圈圆-内圈圆。 师：比较疑惑的板书。
板书：差=圆（外）-圆（内）。
（如果出来2 个半圆的差乘2也可以，理解到最后可以归结到两圆的差） 师：他说这个差距就是外圈两个弯道组成的圆与内圈两个弯道组成的圆的周长差。是么（你先别说为什么）？你看看下面谁和你心有灵犀（10秒）？同位两个互相说一说。现在你是小老师，问问他们是不是他们的想法和你一样。
预设：因为内外两跑道的差距和直道没关系，只和弯道有关，弯道的差就是两个跑道的差。 师：和你想法一样么？
师：我们来看一看是不是这样的？（课件演示） 师：同学们真了不起通过把图形分解和重新组合。 （三）提供数据，进一步研究确定起跑线
3
师：要想算出这个差，你想知道什么数据呢？ 预设：知道直道的长度，弯道的直径。
师：告诉你道宽，能算出第二道的直径么？怎么算。？ 预设：72.6+1.25×2
注意：在+1.25乘2时要注意教师可以指一指帮助孩子理解
师：这两种方法都可以，任选一种方法（派取3.14）利用手中计算器开始算吧。 学生汇报
板书：（72.6+1.25×2）×3.14－72.6×3.14＝7.85米。 师：差是7.85米说明2跑道起点在哪位置了什么？ 预设：2跑道起跑线提前7.85米
（课件演示）
师：同学们预测一下3道的起点应该在哪个位置，（课件出示3道）他和2跑道有相差多少呢？
预设生：和2跑道相差7.85米。
师：他说是和2跑道相差7.85米，是么？再算一算。
学生计算。
师：还真是7.85米。刚才那个同学说得还真对。那其它跑道呢？是不是相邻两个跑道的差都是7.85米呢？
师：如果是的话，为什么相邻两个跑道的差是一个不变的数？四人一小组继续讨论讨论。
生汇报
师：如果我们用更简洁的字母来表示的话：d外表示外圆直径，d内表示内圆
直径。那么这样两圆的差是什么？ 预设：d外x3.14-d内x3.14
师：观察这个算式你有什么想法？
预设：（d外-d内）x3.14也就是跑道间的距离的2倍乘3.14。 师：那么我么以后再计算相邻两跑道差时，只要知道什么就行了。 预设：相邻两跑道差。
师：你们可真了不起，我们把求相邻两跑道差的方法加以推广就得到了这么重要的一个规律。
（四）推广运用确定起跑线的数学模型
师：如果跑道有无限条的话，起点应该怎样安排啊？
小结：今后同学们在研究生活中的实际问题时，就要按照这个思路去研究。首先，把它转化成数学问题，再通过数学的解题方法得出结论，再把结论加以推广得出普遍的规律。最后再把规律应用到生活实际中。 四、拓展运用
4
师：好了，400米的起跑线研究完了，那200米呢？出示课件体会200米比赛。（课件表明200米一道起点、终点一道路线图。）
【修改说明：我校的“多启点互动式”教学模式的四启点指的是：跨越点，即知识技能由量变到质变，获取的数学情感体验和基本的数学经验生成思
维的飞跃起点。吕老师关于加入200米起跑线的建议使学生的认知实现再
次飞跃，是对确定起跑的一次拓展与延伸。】 板书设计： 确定起跑线
实际问题 差=（2半圆外+2直）-（2半圆内+2直） 转化
数学问题 =圆外-圆内
组合 分割 =（72.6+1.25x2）x3.14-72.6x3.14 规律 =7.85米
d外x3.14-d内x3.14 应用 =3.14x（d外-d内）
确定起跑线第三稿
设计理念:
1、向学生提供现实生活素材，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2、创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，给学生充分的思考和交流的空间，引导学生开展自主学习的数学活动。
3、让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。 4、关注学生思维水平的发展，让他们经历观察、分析、比较、归纳、应用
的过程。
【教学内容】人教版课程标准实验教科书《数学》六年级上册75—76页 【教材简析】《确定起跑线》是一节综合应用数学知识的实践活动课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。教材设计这个数学综合实践活动，一方面让学生了解田径场跑道的结构，通过小组合作的探究性活动，综合运用所学的知识和方法，动手实践解决问题，学会确定起跑线的方法；另一方面让学生体会数学在日常生活中的应用价值，增强学生应用数学的意识，不断提高实践能力和解决问题的能力。 【教学目标】
知识与技能：让学生经历运用圆的有关知识计算跑道长度的过程，明确“跑道内外圈的长度不同是由弯道的构造决定的”，理解“跑道的弯道部分，是由同一圆心不同半径的半圆构成，外圈半径大，因此外圈比内圈要长”，
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了解“跑道宽度相同，相邻跑道长度的差就相等”，从而学会确定起跑线的方法。
过程与方法：结合具体的实际问题，通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动体会数学学习方法，提高解决实际问题的能力。
情感与态度：在主动参与数学活动的过程中, 让学生切实体会到探索的乐
趣，感受到数学在体育等领域的广泛应用。
【教学重点】了解田径场跑道的结构，通过转化，把环形跑道分割组合成学过图形的周长问题，从而能正确计算起跑线的位置，理解起跑线设置原理。
【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置与什么有关，感受数学模型与生活的联系。
【修改说明：教学目标的明析，是一节好课的开始，只有目标科学，才能使课堂教学有明确的方向。】
【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置的数学模型。 教学过程：
一、学生谈一谈课前了解的关于跑道的有关知识。
师：课前大家通过查阅资料和实际观察了解了跑道的有关知识，谁能给大家介绍一下跑道的结构。
预设1：两边可以看成是半圆，中间是长方形。 预设2：左右为弯道，中间为直道。 预设3：从内到外分为1道一直到8道。
【修改说明：课前的评议会，王老师谈到应该要了解学生的学情。我觉得跑
道虽然是学生们现实生活中非常熟悉的事物，但对于跑道的结构，即由两
个完全一样的半圆与两条长度相等的线段组成，多数学生并不了解，只有在充分了解跑道结构的基础上，学生才能探究确定起跑线的问题，故要求学生查阅资料和实际观察教师要注意准确把握学生的起点，也是就是我校“多启点互动式”教学模式中所说的“一启点（新旧知识的连接点）”这种连接并非单纯的知识上的连接，也可以是认知经验上的连接。因此，我在教学过程中增加了这部分设计。】 二、情境引入
课件出示100米与400米起跑点画面，让学生观察不同之处。
师：这是100米比赛的起点，这是400米比赛的起点，同学们认真观察能发现什么？
预设：100米起点在同一起跑线上，而400米没有在同一起跑点上。
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师：为什么呢？
预设：因为400米的终点是一样的，外圈跑道要比内圈跑道长。所以不能在同一起跑线上起跑。那样的话，越在外跑道的运动员越跑得多。就不公平了？
师：那么，各跑道的起跑线具体在哪个位置呢。今天我们就来研究一下起跑线问题。
板书课题：确定起跑线 三、探究确定起跑线
（一）初步研究起跑线的大概位置 师：你打算从第几跑道开始研究啊？ 预设：第一跑道。
师：我们习惯上按顺序研究，先研究最靠里的第一和第二跑道。 出示跑道图并标明第一和第二跑道的数字。 师：知道第一道的起点在哪么？
预设：在终点处。（课件出示第一道起跑线）
师：先看一下一道的运动员是怎么跑的？（课件出示一道运动员跑步的过程，并把跑过的路线闪一闪，不变回去了。）
师：一道运动员所跑的长度呢，通常指的是里圈的长度。 师：第二道的起跑线在哪呢？
预设：在第一道起跑线的前面。 师：同意么？ 为什么呢？
预设：外圈跑得多，里圈跑得少。要使他们跑得一样多，所以外圈要往前提一段距离。
师：要使他们跑得一样多，我们移的那一块应该是多少呢？ 预设：第二道长度与第一道长度的差
师：现在我们把生活中的确定起跑线问题就转化成了数学问题，求两跑道的长度差。
板书：长度差
（二）借助学具研究确定起跑线位置
师：怎么来求这个长度差呢？现在拿出学具纸，画一画割一割看看怎样得到长度差。
小组讨论，教师巡视指导，全班汇报。
预设1：长度差就=（外圈两个半圆长+两个知道的长度）-（内圈两个半圆长+两个直道的长度）（不明白时可以让孩子在说一遍） 师：板书：差=（2半圆（外）+2直）-（2半圆（内）+2直）
师：这种方法行不行。（可以）非常好，这个同学把这个封闭图形分割成了我们所学过的2个半圆和两条直道，求差。还有别的方法么？ 预设2：其实长度差就是外圈圆-内圈圆。
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师：比较疑惑的板书。
板书：差=圆（外）-圆（内）。
（如果出来2 个半圆的差乘2也可以，理解到最后可以归结到两圆的差） 预设：知道直道的长度，弯道的直径。
师：告诉你道宽，能算出第二道的直径么？怎么算。？ 预设：72.6+1.25×2
师：他说这个差距就是外圈两个弯道组成的圆与内圈两个弯道组成的圆的周长差。是么（你先别说为什么）？同位两个互相说一说。预设：因为内外两跑道的差距和直道没关系，只和弯道有关，弯道的差就是两个跑道的差。师：能指着图说说为什么和直道没有关系吗？
【修改说明：有老师提到在处理第二种方法事过于简单，所以加强分析。学生介绍第二种方法时，说不算直道，只算两个弯道组成的圆的周长的差，教师只是问听懂了吗？没有跟进追问，为什么可以不管直道？这是因为有时候教师把问题设计得太具体、太琐碎，没有明确的方向性，只是盲目的设计问题，更没有因学生的变化而发生改变。提问时要注意课堂中学生思维的变化，要看到学生理解本节课的关键的地方，要依据学生思维的推进对教师的设计进行及时合理的调整和改变。】 师：和你想法一样么？
师：我们来看一看是不是这样的？（课件演示） 师：同学们真了不起通过把图形分解和重新组合。 （三）提供数据，进一步研究确定起跑线 师：要想算出这个差，你想知道什么数据呢？
注意：在+1.25乘2时要注意教师可以指一指帮助孩子理解
师：这两种方法都可以，任选一种方法（派取3.14）利用手中计算器开始算吧。 学生汇报
板书：（72.6+1.25×2）×3.14－72.6×3.14＝7.85米。 师：差是7.85米说明2跑道起点在哪位置了什么？ 预设：2跑道起跑线提前7.85米
（课件演示）
师：同学们预测一下3道的起点应该在哪个位置，（课件出示3道）他和2跑道有相差多少呢？
预设生：和2跑道相差7.85米。
师：他说是和2跑道相差7.85米，是么？再算一算。
学生计算。
师：还真是7.85米。刚才那个同学说得还真对。那其它跑道呢？是不是相邻两个跑道的差都是7.85米呢？
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师：如果是的话，为什么相邻两个跑道的差是一个不变的数？四人一小组继续讨论讨论。
生汇报
师：如果我们用更简洁的字母来表示的话：d外表示外圆直径，d内表示内圆
直径。那么这样两圆的长度差是什么？ 预设：d外x3.14-d内x3.14
师：观察这个算式你有什么想法？
预设：（d外-d内）x3.14也就是跑道间的距离的2倍乘3.14。 师：那么我么以后再计算相邻两跑道差时，只要知道什么就行了。 预设：相邻两跑道差。
师：你们可真了不起，我们把求相邻两跑道差的方法加以推广就得到了这么重要的一个规律。
（四）推广运用确定起跑线的数学模型
师：如果跑道有无限条的话，起点应该怎样安排啊？
小结：今后同学们在研究生活中的实际问题时，就要按照这个思路去研究。首先，把它转化成数学问题，再通过数学的解题方法得出结论，再把结论加以推广得出普遍的规律。最后再把规律应用到生活实际中。 四、拓展运用
师：好了，400米的起跑线研究完了，那200米呢？出示课件体会200米比赛。简单一计算（课件表明200米一道起点、终点一道路线图。）
【修改说明：我校的“多启点互动式”教学模式的四启点指的是：跨越点，即知识技能由量变到质变，获取的数学情感体验和基本的数学经验生成思维的飞跃起点。很据本节课的理解，学生会创造出无数的惊喜，现场解决200米的问题，更能增加学生们课下研究的兴趣。前面教学环节的设计可以在紧凑些，留些时间让学生研究一下200米比赛中的起跑线问题，便于学生对400米比赛和200米比赛中起跑线位置等知识的比较。】 板书设计： 确定起跑线
实际问题 差=（2半圆外+2直）-（2半圆内+2直） 转化
数学问题 =圆外-圆内
组合 分割 =（72.6+1.25x2）x3.14-72.6x3.14 规律 =7.85米
d外x3.14-d内x3.14 应用 =3.14x（d外-d内）
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《确定起跑线》说课稿
一、教学内容
人教版课程标准实验教科书《数学》六年级上册75—76页
二、教材简析《确定起跑线》是一节综合应用数学知识的实践活动课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。教材设计这个数学综合实践活动，一方面让学生了解田径场跑道的结构，通过小组合作的探究性活动，综合运用所学的知识和方法，动手实践解决问题，学会确定起跑线的方法；另一方面让学生体会数学在日常生活中的应用价值，增强学生应用数学的意识，不断提高实践能力和解决问题的能力。 三、设计理念:
1、尽可能向学生提供现实的素材，让学生感受和学习“现实中的数学”。 2、创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，给学生充分的思考和交流的空间，引导学生开展自主性的数学活动。
3、让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。 4、关注学生思维水平的发展，让他们经历观察、分析、比较、归纳、应用的过程。
四、教学目标
知识与技能：让学生经历运用圆的有关知识计算跑道长度的过程，明确“跑
道内外圈的长度不同是因为弯道的构造决定的”，理解“跑道的弯道部分，
是由同一圆心不同半径的半圆构成，外圈半径大，外圈比内圈要长”，了解“跑道宽度相同，相邻跑道长度的差就相等”，从而学会确定起跑线的方法。
过程与方法：结合具体的实际问题，通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动加深体会数学学习方法，提高解决实际问题的能力。
情感与态度：在主动参与数学活动的过程中, 让学生切实体会到探索的乐趣，感受到数学在体育等领域的广泛应用。
教学重点：了解田径场跑道的结构，通过转化为计算圆的周长，从而能正确计算起跑线的位置，理解起跑线设置原理。
教学难点：综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置与什么有关，感受数学模型与生活的联系。
六、教学过程：
课一开始让学生谈一谈课前了解的关于跑道的有关知识。通过课前了解学生的学情，我觉得跑道虽然是学生们现实生活中非常熟悉的事物，但对于跑道的结构，即由两个完全一样的半圆与两条长度相等的线段组成，多
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数学生并不了解，只有在充分了解跑道的结构的基础上，学生才能探究确定起跑线的问题，教师要注意准确把握学生的起点。
课件出示100米与400米起跑点的两张图片，让学生观察能发现什么？意在让学生发现外圈跑道要比内圈跑道跑道跑的长。所以不能在同一起跑线上。那如何确定起跑线，由此引入课题。
初步研究起跑线的大概位置，通过观察，得出结论，第二跑道的起跑线所在的位置就是相邻两跑道的长度差。分组讨论，进一步研究如何求得长度差。学生会得到以下两个方法：
1.差=（2半圆（外）+2直）-（2半圆（内）+2直） 2.差=圆（外）-圆（内）
重点得到第二种方法，引导学生发现这个差距就是外圈两个弯道组成的圆与内圈两个弯道组成的圆的周长差。因为内外两跑道的差距和直道没关系，只和弯道有关，弯道的差就是两个跑道的差。
之后给出相应的数据，学生计算出结果是7.85米。而后询问第三道呢？更多道呢？引发学生的验证和讨论。进一步巩固所学。通过对公式进行变形得出最终结论
d外x3.14-d内x3.14
（d外-d内）x3.14也就是跑道间的距离的2倍乘3.14。
最后帮助学生梳理本节课的学习方法和探究思路，首先，把它转化成数学问题，再通过数学的解题方法得出结论，再把结论加以推广得出 普遍的规律。最后再把规律应用到生活实际中。应用解决400米的问 题，留给学生课下探究的空间-200米的起点如可确定。
回顾教学过程和学生的表现，也发现了值得思考的问题。 在计算方 法的探究过程中，我有意放手让学生自主探究方法，再汇报。意在不知从
何开始就“到此结束”。用部分学生的想法替代了全部学生的思维。因此，本节课的教学方式是否面向了全体还有待改进。
《 确定起跑线》课堂实录
设计理念:
1、尽可能向学生提供现实的素材，让学生感受和学习“现实中的数学”。 2、创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，给学生充分的思考和交流的空间，引导学生开展自主性的数学活动。
3、让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。 4、关注学生思维水平的发展，让他们经历观察、分析、比较、归纳、应用的过程。
【教学内容】人教版课程标准实验教科书《数学》六年级上册75—76页
【教材简析】《确定起跑线》是一节综合应用数学知识的实践活动课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。教材设计这个数学综合实践活动，一方面让学生了解田径场跑道的结构，通过小组合作的探究性活动，综合运用所学的知识和方法，动手实践解决问题，学会确定起跑线的方法；另一方面让学生体会数学在日常生活中的应用价值，增强学
生应用数学的意识，不断提高实践能力和解决问题的能力。
【教学目标】
知识与技能：让学生经历运用圆的有关知识计算跑道长度的过程，明确“跑道内外圈的长度不同是因为弯道的构造决定的”，理解“跑道的弯道部分，是由同一圆心不同半径的半圆构成，外圈半径大，外圈比内圈要长”，了解“跑道宽度相同，相邻跑道长度的差就相等”，从而学会确定起跑线的方法。
过程与方法：结合具体的实际问题，通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动加深体会数学学习方法，提高解决实际问题的能力。
情感与态度：在主动参与数学活动的过程中, 让学生切实体会到探索的乐趣，感受到数学在体育等领域的广泛应用。
【教学重点】了解田径场跑道的结构，通过转化为计算圆的周长，从而能正确计算起跑线的位置，理解起跑线设置原理。
【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置与什么有关，感受数学模型与生活的联系。
【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线
位置的设置与什么有关。
教学过程：
师：课前通过了解，谁能给大家介绍一下跑道的结构。 生1：两边可以看成是半圆，中间是长方形。
生2：我补充一点，有弯道和直道。有1道一直到8道
师：了解了跑道的结构，看两幅图，一个是100米起跑点，一个400米的起跑点，你发现了什么？
生1:100米在同一起跑线上起跑，400米不在同一起跑线上起跑。 师：同意吗？为什么400米的没有在同一起跑线上呢 生1：因为内外距离不一样。
生2：因为外圈比内圈跑得要多一些，外圈起点要靠前。
师：那么，各跑道的起跑线具体在哪个位置呢。今天我们就来研究一下起跑
线。
板书课题：确定起跑线
师：你打算从第几跑道开始研究啊？（生：第一）我们习惯上从第一道按顺序研究，先拿最靠里的第一道和第二道。 你知道第一道的起点在哪吗？
生：起点就是在终点。（课件出示第一道起跑线）
师：看一下1道的运动员是怎么跑的？（课件出示一道运动员跑步的过程。）师：1到运动员所跑的长度呢，我们通常指的是里圈的长度？ 师：请问：第二道的起跑线在什么位置？ 生1：在终点靠前一点，拐弯的距离。 生2：在终点往前的位置。
师：在第一道起跑线往前一点。为什么呢？
生1：如果在同一起跑线，第二道的比第一道要跑的多。 师：同意吗？谁能再来说一说。 生2：第二道要比第一道多跑
师：为了公平，第二道应该往前一点要使他们跑得一样多，往前的这一块应该是多少呢？
生1：外圈比内圈多多少，就应该往前移多少米.
师：还有吗？
生：他们之间的距离就是第二道比第一道多得部分。 师：也就是第二道与第一道的差。
师：很好，现在我们把解决生活中的确定起跑线问题就转化成了数学问题，求两跑道的长度差。（板书：长度差）
师：怎么来求这个长度差呢？现在拿出学具纸，进行画一画割一割看看怎样得到长度差。
小组讨论，教师巡视指导，全班汇报。
生1：我们可以先求出两个大半圆的和，再求出直道的和，再减去两个小半圆与两个直道的和，就可以求出他们的差。 师：谁明白她得思路了？
生2：先不管直道，算出外圈半圆距离和内圈的半圆的距离，再加上直道。 师：也就是说，外圈两个半圆加上两个直道减去内圈两个半圆加上两个直道。记录下来。板书：
差=（2半圆（外）+2直）-（2半圆（内）+2直）
师：这种方法行不行。（生：可以）非常好，这个同学把这个封闭图形通过分割，转化成了我们所学过的2个半圆和两条直道，求差。还有别的方法么？
生1：两个弯道拼成一个圆，算出里面圆的周长和外面圆的周长，第二道减去第一道，就知道第二道在哪起跑了。 生有问题：第二道的周长怎么求呢？
师：没有给出数据没法求。他的思路可以吗? 生：可以 师：谁明白了。
生2：他是说可以先求出两个大半圆拼成的圆的和，再求出直道的和，再减去两个小半圆拼成的圆与两个直道的和，就可以求出他们的差。 师：她说的是不是黑板上的这个思路啊。
生3：先不管直道，因为距离不相等，算出弯道距离，外圈减去内圈。 师：先写下来
板书：差=圆（外）-圆（内）。
师：是不是就是外圈两个弯道组成的圆与内圈两个弯道组成的圆的周长差。你明白了吗？同位两个互相说一说。
师：是不是就是前进的距离啊。和直道没有关系。我们一起看看课件。。（课件演示）
师：同学们真了不起通过把这个图形分解和重新组合在一起。 师：要想算出这个长度差，你想知道什么数据呢？ 生1：知道直径或是半径。
生2：1道和2道相差的距离。（什么意思啊？） 生3：里圈和外圈差多少，就能算出外圈的直径。 师：就是想知道两个跑道之间的距离。 课件：距离是多少？（1.25）72.6表示什么？ 生：内圈的直径。
师：请问外圈的直径该是多少呢？
生1：内圈的直径加上第二圈比第一圈多得距离。 师：列个算式。 生：72.6+1.25×2
师：1.25×2求得是什么？ 生1：两个弯道的和？
生2：不是，是外边大圆的直径。 生3：增加1.25×2
生4：外圈比内圈多1.25×2
师：也就是说第二圈比第一圈多2个1.25
师：非常好，这两种方法都可以，任选一种方法，利用手中计算器开始算吧。派取3.14。
独立完成，汇报交流。
（板书算式）生：先求外圆的周长。
(72.6+1.25×2) ×3.14-72.6×3.14 算一下多少啊？最后的结果是7.85米。 师：差是7.85米说明第二跑道起点在哪儿？？ 生1：第一跑道往前7.85米.
生2：第二跑道在第一跑道前边7.85米。
师：（课件演示）也就是说第二跑道在第一跑道往前7.85米。 这个同学怎么了？
生提问：1.25×2×3.14直接就能求出长度差来？
师：谁听明白了。板书：间隔×2×3.14 非常有想法，一会我们再来验证到底行不行？
师：那第三道的起点应该在哪个位置，（课件出示3道）（生：第二道往前7.85米）他和2跑道有相差多少呢？ 生：相差7.85米。
师：他说是和第二跑道相差7.85米，是么？再算一算。 师：第三道有几个间隔啊？ 生：4个
师：再加上72.6，就是第三道的直径，再乘3.14，就求出了第三跑道圆的周长是多少.是多少啊？ 生：7.85/15.7
师：再计算一边。 生计算
师：一起列出算式，第三道直径是多少？
(72.6+1.25×4 ×3.14-(72.6+1.25×2) ×3.14 计算一边是多少？
师：把数据记录下来，再相减，就可得到7.85.那第四道，第五道，更多道呢？
生：都是7.85
师：如果是的话，为什么相邻两个跑道的差是一个不变的数？四人一小组继
续讨论讨论。 汇报：
生1：相邻两个的宽是一样的。
生2：间隔没有扩大或是缩小，7.85一直不变，再多跑道也是7.85. 师：如果有长有短，有宽有细就不公平了。
师：如果我们用d外表示外圆直径，d内表示内圆直径。那么这样两圆的长度
差是多少呢？ 生：d外x3.14-d内x3.14
师：看到这个算式你有什么想法？
生1：（d外-d内）也就是两跑道之间的间隔。因为有两个间隔所以间隔×2
×3.14。
生2：（d外-d内）就表示两跑道之间有两个间隔，所以间隔×2×3.14。 师：也就是说外圆的直径减去内圆的直径就是两个间隔，即间隔×2×3.14。
师：好了，400米的起跑线研究完了，那200米呢？出示课件体会200米比
赛。这个问题我们下节课研究。（课件表明200米一道起点、终点一道路线图。）
板书设计： 确定起跑线 间隔×2×3.14 把掌声送给那位同学。
师：你们可真了不起，我们把求相邻两跑道差的方法加以推广就得到了这
么重要的一个规律。（板书：规律）
师：如果跑道有无限条的话，起点应该怎样确定啊？ 生1：旁边那个跑道加或是减7.85就可以了。
生2：不一定，算出二道和一道差多少，依次加就可以了。
师：那么我们以后再计算相邻两跑道差时，只要知道什么就行了。 生：周长？ 生：间隔。
师：知道了间隔按照这个规律去做就可以了。
师：今后我们在研究生活中的实际问题时，就要按照这个思路去研究。首
先，把它转化成数学问题，再通过数学的解题方法得出结论，再把结论进行推广得出普遍的规律。我们这节用得是分割和组合（板书：分割组合）最后再把规律应用到生活实际中。
实际问题 差=（2半圆外+2直）-（2半圆内+2直） 转化
数学问题 =圆外-圆内
组合 分割 =（72.6+1.25x2）x3.14-72.6x3.14 规律 =7.85米
d外x3.14-d内x3.14 应用 =3.14x（d外-d内） 评课议课会议
会议时间：2011年12月6日 会议地点：会议室 会议主持人：都雯 会议记录：都雯
会议说明：本次会议主要针对我们最初要研究的两个问题开展研究。１.怎
样能创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，给学生充分的思考和交流的空间，引导学生开展自主性的数学活动。让学生亲身经历将实际问题抽象成“确定起跑线”的数学模型并进行解释应用的过程。根据教学目标，研究怎样能有效构建“确定起跑线”的数学模型，培养学生自觉构建模型的意识与能力。 2.怎样将我校“真.实.启----多启点互动式”教学研究成果有效指导课堂教学，促进学生发展。 备注：文本中的红色部分为发言中的突出亮点或有价值的观点 。
主持人：前期我们结合课例“确定起跑线”对解决问题的模型构建以及我校
的“多启点互动式”教学模式进行了研究，今天我们结合王老师这节课，主要围绕以上两个问题进行探讨。首先请王老师说一说执教后对这节课的认识。
王伦：这是一节数学综合实践课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识
的基础上设计的。通过这个活动一方面让学生了解田径场跑道结构，学会确定跑道起跑线的方法，另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。由于每一学期我校都举行运动会，所以孩子们都知道有的比赛起跑线不一样，但并不知道是什么原因。结合实际情况，学生能够理解“为什么起跑线位置会不同”这个问题，因此，让学生
推导确定起跑线位置构建模型及实践运用是本节课的重点，而理解起跑线的位置与什么有关则是教学的难点。其实6年级的学生对起跑线并不陌生，但可能很少从数学的角度去思考200米、400米等起跑线位置为什么不同，相差多少。所以课的开始，我采用让学生观察100米和400米的起跑位置，有什么不同，引起学生对起跑线位置的关注与思考。经过观察共同讨论，达成共识：“终点相同，但每条跑道的长度不同，如果在同一条跑道上，外圈的同学跑的距离长，所以外圈跑道的起跑线位置应该往前移。” 然后通过多媒体呈现跑道的有关信息，学生在老师的引导下对已获得的信息进行梳理，利用手中的学具纸动手画一画，剪一剪初步得出要求两跑道的长度差就是用外圈减去内圈，一部分同学会用两边的半圆拼成圆计算差，和直道无关。学生在小组内借助计算器试算后，汇报方法。有个别学生提出相邻跑道差=∏×2×道宽，由于当时询问其它同学后，发现对此方法不大清楚，所以滞后处理。通过推导公式，由此得出最简单的方法：相邻跑道差=∏×2×道宽。让学生分析这个公式，进一步理解，加深记忆。最后梳理本节课的建模过程：实际问题-数学问题-规律-应用。数学来源于生活,同时也服务于生活，应用学到的知识解决实际生活中的问题，不但使学生感受到数学与实际生活是密切联系的,而且能培养他们的创新精神。为此，最后安排了200米的起跑线如何确定，让学生课下研究。
课后，回顾教学过程和学生的表现，也发现了值得思考的问题。 在计
算方法的探究过程中，我有意放手让学生自主探究方法，再汇报。意在不知从何开始就“到此结束”。用部分学生的想法替代了全部学生的思维。因此，本节课的教学方式是否面向了全体还有待改进。 主持人：刚才王老师比较全面的介绍了自己对这节课的认识与反思，下面请
老师们结合这节课说一说对最初我们要研究的两个问题的感想。 （会后我把老师们的发言分类整理如下）
【方面一：怎样能创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，给学生充分的思
考和交流的空间，引导学生开展自主性的数学活动。让学生亲身经历将实际问题抽象成“确定起跑线”的数学模型并进行解释应用的过程。根据教学目标，研究怎样能有效构建“确定起跑线”的数学模型，培养学生自觉构建模型的意识与能力。】
华晓林：本课在学生的动手操作和合作交流中，通过拼接、对比，逐步总结
出确定起跑线的方法，在建模过程中，有些环节处理过急，在学生动手操作时，学生利用学具的方法是不一样的，有很多学生先将整个跑道剪下来，再进行研究，而有的个别学生没有剪出跑道，直接画出直道，就可以拼接了，节约了很多时间，学生这一差别也反映出解决问题方法、能力的差距，由此我想，如果不给学生跑道的学具纸，有没有学生自己能够画出跑道来研究呢，如果这样，是不是又给学生提供
了一种解决问题的方法，就像线段图一样，培养学生用画图的方法来解决问题，在生活中更常用、更实用一些，这样课堂上我们可以让学生自主选择，可以用、也可以不用，需要的提供一张，不需要的学生就可以不取。
当解决问题的方法学生小组交流后，进一步加强课件和方法、公式的联系，
将公式各部分所求和实际跑道建立起对应联系，进一步加深学生的理解和认识，同时也是给学习比较困难的学生再一次理解的机会，巩固模型的建立。
张强：关于王老师确定起跑线这节课，我感觉有一点是非常好的，那就是交
给了学生建模的数学思想方法。他把确定四百米起跑线的这个生活问题，经过和孩子们有效的沟通和交流转化成了数学问题。确定起跑线的关键就是求两跑道之间的距离差，再通过孩子们的自主探究，研究出了两跑道的长度差，其实就是两个弯道组成的圆的周长差。数学模型已经初步建立起来，通过孩子的计算确定出了第二道的起跑线是距离第一道前7.85米处。王老师紧接着提出了具有启发性的问题，那就是第三道的起跑线在什么位置？第四道？„„..有什么规律么？这又极大的调动了孩子们研究的积极性。通过孩子们自主探究合作交流，知道了起跑线的位置其实和道宽有关系，总结出来了两跑道间的差距
就是2∏×道宽，然后再把这个公式应用到了每一跑道，从而数学模型就建立起来了。
楼洪江：我认为数学建模的最终目标是培养学生的建模意识，主动的建模意
识依靠的是每次建模过程中不断探索最终找到合适的数学模型的成就感。所以教师在教学时应该瞄准主要问题，不要将学生的精力过多的用在与建模无关的问题上，比如这节课，应该逐步引导学生认识到形成起点不同的根本原因在于两个半圆跑道部分的长度不同，然后围绕这个关键点去探究、建模。其他问题的处理上是否可以简化一些。 王冬梅：我认为在整理算法抽出模型时是否应该让学生充分展示现三种不
同的方法：１.两个跑道的周长差。2.两个跑道的两个园周长差。3.跑道宽×2×∏。这样更能体现建模的循序渐进的过程。
李岩：我觉的模型概念的渗透，让高年级的学生有了放飞的空间很多人回忆
学生时代是值得尊敬的老师有两种，一种是严厉的，一种是学识渊博型，然而后者评价显然高于前者。对于六年级学生的一节课，不仅仅是知识的传授那么简单，能力培养的要求更是凸显，从学生的角度而言，学生自身也能够感觉到一堂课老师给了自己什么样的新思想，模型思想在本节课的体现，从日常实例入手，慢慢分析，进入了一个学生平时自己达不到的理论高度，让学生感受到了复杂问题的出现是简
单原理相叠加的结果，数学模型的建立对于一些相似的数学问题的解决有很好的效果。
【方面二：怎样将我校“真.实.启----多启点互动式”教学研究成果有效指
导课堂教学，促进学生发展。】
赵广彪：关于多启点，曾经有一个关于预设与生成的有趣的比喻我觉得正
好契合:预设与生成是课堂上的两张网，学生正像渴求食物的 “鱼”，老师可用预设的网先逮“大鱼”，再用生成的网捕逮住“小鱼”。对于一些不往两张网里钻的“鱼”，老师要善于观察、呵护、引导、点拨，从而催生新的精彩生成。教师的启点在于通过课前的对教材的理解和对学生现状的了解所做出的预设。也就是理解教材把握大部分学生所设计的情境与问题，也就是要先准备“逮大鱼的网”。而在课堂生成当中，教师则需要根据对学生学习情况的把握和课堂的动态生成，进行再次的定位，重组，改造，再设计问题。这次教师靠的则是教学智慧与课堂的经验，去抓学生思维的闪光点，去抓决定课堂走势的“拐点”，去思索把握不同层次学生的理解和掌握情况。也就是说这次用的在课堂中立刻做出来的“捞小鱼的网”。逮大鱼的网不好做，捞小鱼的网页要看功底，这就要靠教师平时多思考，课堂多观察，课后多回顾了。只有做到这样，课堂才能真正做到多启点，课前预设去针对
大部分学生，课堂把握生成去帮助不通层次的学生。两个词可概括：课前是“有备而来”，课堂上则是“随机应变”。
华晓林：观课时我们重点观察维度的是“新旧知识链接点与涉及环节”，在
我们学校“多启点互动式教学模式”中新旧知识链接点指课前或课堂初始，激活学生认知结构中已有的知识经验。但通过对本节课的观课分析过程，我发现 “新旧知识的链接点”，不仅在课前课初得以体现，整节课通过及时巩固学生已有的生活经验、知识经验和解决问题的经验，新旧知识的链接贯穿于整堂课的各个环节。过磨课，确立观察点观课，我认为可以将我们原来的模式进一步丰实起来，或者说我们原来的认识还不够深刻，认为原来“各点”是相对独立的，其实，不是这样，比如，这一次我们发现其实学生“新旧知识的连接点”贯穿在每一个环节中，我们小组老师的观课分析中非常明确这一点，涉及很多方面，因此不同类型的课，对“多启点互动式”教学模式的运用要灵活，这里的“启”是启发的“启”，而不是起始的“起”。对“多启点互动式”教学模式还需进一步研究、整理，使其更完善。
苗杰：我想对我校的“多启点互动式”教学模式谈谈我的认识。“多启点互
动式”
教学模式的研究在我校已经持续多年，其间我们也不断的进行完善与改进，
期望能对课堂教学发挥更好的指导作用。从这课来看，教学模式中关
注的多个启点对确定起跑线的建模有促进作用。如“新旧知识的连接点”是学生自主探究，解决问题的基础。本课教师关注到了研究起跑线要具备的知识基础与生活经验，使得探究能顺利进行。再如多个“提升点”的关注，使得学生的认识循序渐进的提高，思维不断推进。 【方面三：其它】
吕玉梅：本节课王老师引导学生了解田径场跑道的结构，通过小组合作的探
究性活动，综合运用所学的知识和方法，动手实践解决问题，学会确定起跑线的方法，同时让学生体会数学来源于生活,同时也服务于生活，应用学到的知识解决实际生活中的问题，不但使学生感受到数学与实际生活是密切联系的,而且能培养他们的创新精神，增强了学生应用数学的意识。
郭宝红：一个富于挑战性的问题，会促使学生产生浓厚的探究兴趣和强烈的
探索欲望，产生自主的探究活动。怎么来求这个长度差呢？这一问题调动了学生的积极性，王老师在学生发现左右的两个半圆合起来是一个圆时，课件演示将左右的弯道合成一个圆，及时鼓励学生大胆设想，然后又通过小组的合作、交流，倾听别人的意见和想法，激发了学生的灵感，让每一个学生对问题发表自己的见解，呵护了他们的创新思维。最终观察发现400米跑相邻跑道起跑线的差距是“跑道宽×2×π”。 王教师既注重了数学知识的教学，又注重了数学学习方法的教学。学
生不但丰富了知识，更重要的是他们学到了解决数学问题的基本步骤和策略。
杨洋：王老师执教的这节确定起跑线，从一开始利用一个情境和几个关键
的问题就迅速抓住了学生的学习兴趣和思维方向。比如说，在给出100米和400米的起跑图之后，王老师马上提问：一个是100米的起跑点，一个是400米的起跑点，你发现了什么？这样很快就引导学生发现了100米在同一起跑线，而400米不在同一起跑线，带领学生发现了问题，引入了本节课。接着王老师马上追问：为什么400米起跑不在同一条起跑线上呢？接着把学生带入到了更深的思考之中。在学生说到因为内外圈的距离不一样以后。王老师直接揭示了本节课所要探究的问题：如何确定400米跑道的起跑线的问题。这几个问题的设计，层层推进，丝丝相扣。学生也随着老师的引导，通过观察和思考，逐步的去发现问题，进而产生了解决问题的动力和兴趣。可以说在这个环节的设计上，教师的提问与学生的思维推进完美契合，是本节课的一大亮点。接下来在引导学生去研究第二道的起点在哪的时候，王老师有一套问题的组合也很闪亮。首先王老师再次通过一个跑道的动画设计引入，首先提问:你知道第一道的起点在哪吗？先让学生明确起点即是终点。接着追问：那第二道的起点应该在哪呢？学生利用之前的知识铺垫，很容易回答出应该在第一道起点往前一些。然后再问：要使他们跑的
一样多，第二道应该往前多少呢？帮助学生进一步明确确定起跑线的关键点就在第二道比第一道长多少，就该往前多少。接着老师就顺水推舟的提出该课的探究点：如何求两道的长度差。可以说在这一系列问题的组合再次步步为营的将学生引领到了教师的预设之中，同时通过教师的连续的追问，学生逐步的寻找到了确定起跑线的关键点，进一步缩小的研究范围，锁定的问题所在。 【方面四：本课的不足及改进意见。】
赵广彪：关于这节课也有未能把握及时的地方。比如学生介绍第二种方法
时，说不算直道，只算两个弯道组成的圆的周长的差，教师只是问听懂了吗？没有跟进追问，为什么可以不管直道？这是因为有时候教师把问题设计得太具体、太琐碎，没有明确的方向性，只是盲目的设计问题，更没有因学生的变化而发生改变。所以提个小建议：提问时要注意课堂中学生思维的变化，要看到学生理解本节课的关键的地方，要依据学生思维的推进对教师的设计进行及时合理的调整和改变。
华晓林：在整个课堂教学生，教师始终问：第几跑道在什么位置？每个跑道
在什么位置？我认为应该是第二跑道是如何确立起跑线的？每一跑道的起跑线是怎样确立的？这两种问法我认为还是有本质区别的。也就是我们这节课研究的是确定起跑线的方法、依据。解决方法和计算师分开进行的，是否可以融在一个环节中，这样学生在讲解各自方法的时
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候，计算的过程完全呈现，更利于学生比较，提升最简便的方法，利
于学生模型的逐步构建。计算前学生的模型已经建立，再去计算，降
低了计算的价值。
楼洪江：本课我还有两点建议，一是造成起跑线不同的原因应该更加有针对
性，引导学生直接看到是弯道引起的起跑线的差距。二是当学生给出“2π×道宽”是起点的差距之后，应该引导学生验证、肯定并运用。 苏克云：在计算方法的探究过程中，教师有意放手让学生自主探究方法，再
汇报。意在学生亲自动手参与计算后在汇报中把计算方法达到最优化。但在教学中，教师稳稳的提出问题，探究结束的有点匆忙。我觉得可不可以前面教学环节的设计可以在紧凑些，留些时间让学生研究一下200米比赛中的起跑线问题，便于学生对400米比赛和200米比赛中起跑线位置等知识的比较。
吕玉梅：在学生探讨如何确定起跑线的时候，把数学书第76页的跑道图完
整地呈现在学生面前，这样让学生直观地看出每条跑道之间的差异，能一下激起学生探索、解决问题的欲望，从而避免没有数据。
都雯：我有一个想法，既然本课是一节解决问题的数学活动课，能不能让学
生在课前自己独立研究关于起跑线的问题，课上交流汇报自己的困惑或是解决问题的策略，通过生生或师生之间的互动解决问题，构建模型。
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