带电粒子在磁场中运动的最小范围问题

带电粒子在磁场中运动的最小范围问题

一、磁场范围为圆形 例1 一质量为

、带电量为的粒子以速度

从O点沿

轴正方向射入磁感强度为

的一圆

形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；

（2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间； （3）点的坐标。

变式训练1

3

如图所示，在坐标系第一象限内有正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度E＝1.0×10 V/m，方

向未知，磁感应强度B＝1.0 T，方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B′(图中未画出)．一质量m＝1×10

－14

kg、电荷量q＝1×10

－10

C的带

正电粒子以某一速度v沿与x轴负方向成60°角的方向从A点进入第一象限，在第一象限内做直线运动，而后从B点进入磁场B′区域．一段时间后，粒子经过x轴上的C点并与x轴负方向成60°角飞出．已知A点坐标为(10,0)，C点坐标为(－30,0)，不计粒子重力． (1)判断匀强电场E的方向并求出粒子的速度v；

(2)画出粒子在第二象限的运动轨迹，并求出磁感应强度B′； (3)求第二象限磁场B′区域的最小面积．

二、磁场范围为矩形

例2 如图3所示，直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。现有一质

量为，电量为的电子从第一象限的某点（，）以初速度沿轴的负方向开始

运动，经过轴上的点（，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩

轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点

形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与

O，并沿轴的正方向运动，不计电子的重力。求

（1）电子经过点的速度；

和磁场的最小面积

。

（2）该匀强磁场的磁感应强度

三、磁场范围为三角形 例3 如图5，一个质量为

，带

电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于

BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀

强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：

（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T； （2）该粒子在磁场里运动的时间t； （3）该正三角形区域磁场的最小边长；

四、磁场范围为树叶形 例4 在

平面内有许多电子（质量为

、电量为），从坐标O不断以相同速率

平面向内、磁感强度为

沿不

同方向射入第一象限，如图7所示。现加一个垂直于的匀强磁场，

要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

例1解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由Ｏ点经半个圆周偏转到点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到点。可知，其离开磁场时的临界点与Ｏ点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图2，过点逆着速度

的方向作虚线，与

轴相交，由于粒子在磁

点即

场中偏转的半径一定，且圆心位于轴上，距O点距离和到虚线上点垂直距离相等的为圆周运动的圆心，圆的半径

。

由

，

，

得。弦长为

：

要使圆形磁场区域面积最小，半径应为

的一半，即：

，

面积

（2）粒子运动的圆心角为120，时间

。

（3）

距离 ，故点的坐标为（

，0）。

变式训练1解析 (1)粒子在第一象限内做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以粒子必做匀速直线运动．这样，电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与x轴正向成30°角斜向右上方．

由平衡条件有Eq＝Bqv

E1.0×1033

得v＝ m/s＝10 m/s

B1.0

(2)粒子从B点进入第二象限的磁场B′中，轨迹如图粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可知

R＝

1020

＝cos 30°3

v2mv2mv3

由qvB′＝m，解得B′＝，代入数据解得B′＝RqvRqR2

(3)由图可知，B、D点应分别是粒子进入磁场和离开磁场的点，磁场B′的最小区域应该分布在以BD为直径的圆内．由几何关系得BD＝20 cm，即磁场圆的最小半径r＝10 cm，所以，所求磁场的最小面积为S＝πr2＝3.14×102 m2

－

例2解析：（1）电子从

点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到

点，可知竖直

方向：，水平方向：。

解得

。而，所以电子经过点时的速度为：

，设与方向的夹角为θ，可知，所以θ＝30。

（2）如图4，电子以与成30°进入第四象限后先沿做匀速直线运动，然后进入匀

一定

强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿在Ｘ轴上，且相等，找出

轴向上的速度经过Ｏ点。可知圆周运动的圆心

点到O点的距离与到直线上M点（M点即为磁场的边界点）的垂直距离

点，画出其运动的部分轨迹为弧MNO，所以磁场的右边界和下边界就确定了。

设偏转半径为纸面向里。

，，由图知ＯＱ＝＝，解得，方向垂直

矩形磁场的长度，宽度。

矩形磁场的最小面积为：

例3解析：（1）由和，

得：

，

（2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图6作出圆O，粒子的运动轨迹为弧GDEF，圆弧在Ｇ点与初速度方向相切，在F

点

与出射速度相切。画出三角形，其与圆弧在D、E两点相切，并与圆Ｏ交于F、G两点，此

为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知∠FOG＝60，所以粒子偏转的圆心角为300，运

动的时间

（3）连接并延长与交与Ｈ点，由图可知，

＝

例4解析：电子在磁场中运动半径

是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动

轨道如图8所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆O1和圆O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在ｘ轴上方的1/4个圆弧odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线O1O2）向上平移一段长度为

的距离即图9中的弧ocb就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。

两边界之间图形的阴影区域面积即为所

求磁场区域面积：

。

还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V0与x轴夹角为θ，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x，y），从图10

中看出，

，即

（x＞0，y＞0），这

是个圆方程，圆心在（0，R）处，圆的1/4圆弧部分即为磁场区域的下边界。

1. 如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为300.粒子的重力不计，试求: (1)圆形匀强磁场区域的最小面积. (2)粒子在磁场中运动的时间. (3)b到O的距离

.

2v0

Bqvm

R 【答案】(1)带电粒子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力

R

其转动半径为

mv0

qB

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，连接粒子在磁场区入射点和出射点得弦长为:

lR

要使圆形匀强磁场区域面积最小，其半径刚好为l的一半，即

:

13mv0rlR

222qB

Smin

其面积为

2

3m2v0

r

4q2B2

2

(2)带电粒子在磁场中轨迹圆弧对应的圆心角为1200，带电粒子在磁场中运动的时间为转动周

1t1T2R/v02m

333qB 期的3，

(3)带电粒子从O处进入磁场，转过1200后离开磁场，再做直线运动从b点射出时ob距

d3R

离:

3mv0qB

2. 如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标(－l，0)，MN与y轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出)。现有一质量为m、电荷量为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射人电场，并从y轴上A点(0，0.5l)射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进人磁场并从圆形有界磁场边界上Q点(3l/6，－l)射出，速度沿x轴负方向。不计电子重力。求： (1)匀强电场的电场强度E的大小？

(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？ (3)圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？

【答案】（1）设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时，沿y轴方向的速度大小为vy，则 a=eE/m

vy=at

l=v0t

vy=v0cot30°

2

m0

E

el 解得

(2)设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为xD，则 xD=0.5ltan30°

l

xD=6

所以，DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示。设电子离开电场时速度为v，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，则 v０=vsin30° r

(2分)

m2m0

eBeB rlrlr0

3) sin30(有

1tT

3

2mTT

eB(或

(1分) (2分) (1分)

2r





l30)

(1分)

l6m0

B

el，t=9

v0 解得

(2分)

(3)以切点F、Q为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为r1，则

r1rcos300Sr

21

rl26

(2分)

l212

(2分)

3. 如图所示，在xOy平面内，一带电粒子在x轴上的P点以某一速率沿与x轴正方向夹角为450的方向射出。运动过程中经过了一与xy平面垂直的圆形匀强磁场区域的偏转后，最后击中了x轴上的Q点。现已知P、Q两点坐标分别为（-a，0）、（a，0），在磁场内外运动的时间相等，且粒子轨道是轴对称的。试确定满足此题意情况下的最小磁场的圆心位置坐标及面积大小。

【答案】

带电粒子在磁场中运动的最小范围问题

一、磁场范围为圆形 例1 一质量为

、带电量为的粒子以速度

从O点沿

轴正方向射入磁感强度为

的一圆

形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；

（2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间； （3）点的坐标。

变式训练1

3

如图所示，在坐标系第一象限内有正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度E＝1.0×10 V/m，方

向未知，磁感应强度B＝1.0 T，方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B′(图中未画出)．一质量m＝1×10

－14

kg、电荷量q＝1×10

－10

C的带

正电粒子以某一速度v沿与x轴负方向成60°角的方向从A点进入第一象限，在第一象限内做直线运动，而后从B点进入磁场B′区域．一段时间后，粒子经过x轴上的C点并与x轴负方向成60°角飞出．已知A点坐标为(10,0)，C点坐标为(－30,0)，不计粒子重力． (1)判断匀强电场E的方向并求出粒子的速度v；

(2)画出粒子在第二象限的运动轨迹，并求出磁感应强度B′； (3)求第二象限磁场B′区域的最小面积．

二、磁场范围为矩形

例2 如图3所示，直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。现有一质

量为，电量为的电子从第一象限的某点（，）以初速度沿轴的负方向开始

运动，经过轴上的点（，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩

轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点

形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与

O，并沿轴的正方向运动，不计电子的重力。求

（1）电子经过点的速度；

和磁场的最小面积

。

（2）该匀强磁场的磁感应强度

三、磁场范围为三角形 例3 如图5，一个质量为

，带

电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于

BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀

强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：

（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T； （2）该粒子在磁场里运动的时间t； （3）该正三角形区域磁场的最小边长；

四、磁场范围为树叶形 例4 在

平面内有许多电子（质量为

、电量为），从坐标O不断以相同速率

平面向内、磁感强度为

沿不

同方向射入第一象限，如图7所示。现加一个垂直于的匀强磁场，

要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

例1解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由Ｏ点经半个圆周偏转到点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到点。可知，其离开磁场时的临界点与Ｏ点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图2，过点逆着速度

的方向作虚线，与

轴相交，由于粒子在磁

点即

场中偏转的半径一定，且圆心位于轴上，距O点距离和到虚线上点垂直距离相等的为圆周运动的圆心，圆的半径

。

由

，

，

得。弦长为

：

要使圆形磁场区域面积最小，半径应为

的一半，即：

，

面积

（2）粒子运动的圆心角为120，时间

。

（3）

距离 ，故点的坐标为（

，0）。

变式训练1解析 (1)粒子在第一象限内做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以粒子必做匀速直线运动．这样，电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与x轴正向成30°角斜向右上方．

由平衡条件有Eq＝Bqv

E1.0×1033

得v＝ m/s＝10 m/s

B1.0

(2)粒子从B点进入第二象限的磁场B′中，轨迹如图粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可知

R＝

1020

＝cos 30°3

v2mv2mv3

由qvB′＝m，解得B′＝，代入数据解得B′＝RqvRqR2

(3)由图可知，B、D点应分别是粒子进入磁场和离开磁场的点，磁场B′的最小区域应该分布在以BD为直径的圆内．由几何关系得BD＝20 cm，即磁场圆的最小半径r＝10 cm，所以，所求磁场的最小面积为S＝πr2＝3.14×102 m2

－

例2解析：（1）电子从

点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到

点，可知竖直

方向：，水平方向：。

解得

。而，所以电子经过点时的速度为：

，设与方向的夹角为θ，可知，所以θ＝30。

（2）如图4，电子以与成30°进入第四象限后先沿做匀速直线运动，然后进入匀

一定

强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿在Ｘ轴上，且相等，找出

轴向上的速度经过Ｏ点。可知圆周运动的圆心

点到O点的距离与到直线上M点（M点即为磁场的边界点）的垂直距离

点，画出其运动的部分轨迹为弧MNO，所以磁场的右边界和下边界就确定了。

设偏转半径为纸面向里。

，，由图知ＯＱ＝＝，解得，方向垂直

矩形磁场的长度，宽度。

矩形磁场的最小面积为：

例3解析：（1）由和，

得：

，

（2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图6作出圆O，粒子的运动轨迹为弧GDEF，圆弧在Ｇ点与初速度方向相切，在F

点

与出射速度相切。画出三角形，其与圆弧在D、E两点相切，并与圆Ｏ交于F、G两点，此

为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知∠FOG＝60，所以粒子偏转的圆心角为300，运

动的时间

（3）连接并延长与交与Ｈ点，由图可知，

＝

例4解析：电子在磁场中运动半径

是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动

轨道如图8所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆O1和圆O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在ｘ轴上方的1/4个圆弧odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线O1O2）向上平移一段长度为

的距离即图9中的弧ocb就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。

两边界之间图形的阴影区域面积即为所

求磁场区域面积：

。

还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V0与x轴夹角为θ，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x，y），从图10

中看出，

，即

（x＞0，y＞0），这

是个圆方程，圆心在（0，R）处，圆的1/4圆弧部分即为磁场区域的下边界。

1. 如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为300.粒子的重力不计，试求: (1)圆形匀强磁场区域的最小面积. (2)粒子在磁场中运动的时间. (3)b到O的距离

.

2v0

Bqvm

R 【答案】(1)带电粒子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力

R

其转动半径为

mv0

qB

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，连接粒子在磁场区入射点和出射点得弦长为:

lR

要使圆形匀强磁场区域面积最小，其半径刚好为l的一半，即

:

13mv0rlR

222qB

Smin

其面积为

2

3m2v0

r

4q2B2

2

(2)带电粒子在磁场中轨迹圆弧对应的圆心角为1200，带电粒子在磁场中运动的时间为转动周

1t1T2R/v02m

333qB 期的3，

(3)带电粒子从O处进入磁场，转过1200后离开磁场，再做直线运动从b点射出时ob距

d3R

离:

3mv0qB

2. 如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标(－l，0)，MN与y轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出)。现有一质量为m、电荷量为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射人电场，并从y轴上A点(0，0.5l)射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进人磁场并从圆形有界磁场边界上Q点(3l/6，－l)射出，速度沿x轴负方向。不计电子重力。求： (1)匀强电场的电场强度E的大小？

(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？ (3)圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？

【答案】（1）设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时，沿y轴方向的速度大小为vy，则 a=eE/m

vy=at

l=v0t

vy=v0cot30°

2

m0

E

el 解得

(2)设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为xD，则 xD=0.5ltan30°

l

xD=6

所以，DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示。设电子离开电场时速度为v，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，则 v０=vsin30° r

(2分)

m2m0

eBeB rlrlr0

3) sin30(有

1tT

3

2mTT

eB(或

(1分) (2分) (1分)

2r





l30)

(1分)

l6m0

B

el，t=9

v0 解得

(2分)

(3)以切点F、Q为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为r1，则

r1rcos300Sr

21

rl26

(2分)

l212

(2分)

3. 如图所示，在xOy平面内，一带电粒子在x轴上的P点以某一速率沿与x轴正方向夹角为450的方向射出。运动过程中经过了一与xy平面垂直的圆形匀强磁场区域的偏转后，最后击中了x轴上的Q点。现已知P、Q两点坐标分别为（-a，0）、（a，0），在磁场内外运动的时间相等，且粒子轨道是轴对称的。试确定满足此题意情况下的最小磁场的圆心位置坐标及面积大小。

【答案】