一个双自由度体系，总可以使其刚度矩阵或者质量矩阵不偶联。此外还可以从另一方面来理解：假定结构的反应为：p 0sin wt ，
平衡方程为：Mu +Ku =0①，
②， 2(K -w M ) u =0于是有：
选择的自由度向量为：u ={u 1u 2}T 。 ③ 2K -w M =0欲使方程有非零解，当且仅当
T v ={v v }第二个向量为：，他们之间的转换关系为：u =Dv 。 12
将其带入有方程②有：
(K -w M ) Dv =0
K -w 2M ⋅D =02④ ⑤ 欲使方程④有非零解，当且仅当：；
由于，实际问题中，u 与v 之间的变换必须是可逆的, 即D ≠0，那么条件⑤2K -w M =0，这与条件③完全相同。也就是说自由度的选择与特变为：
征方程无关，也即与特征值无关。这也证验证了，结构的固有属性（客观）不依赖我们自由度的选择（主观）的改变而改变。由于固有频率是标量，因此无论我们做什么样的自由度选择，结果肯定是相同的，但是振型的表现形式不同。他们的关系为：ηu =D ηv 。这完全是线性代数的内容。
下面我选择两种情况对双自由度体系进行分析。
(一) 刚度偶联，质量不偶联
此时两个动力自由度的特征多项式为：
⎡k 11k 12⎤⎡m 10⎤2-⎢ω=0⎢k ⎥⎥⎣21k 22⎦⎣0m 2⎦
于是有：
2(k 11-m 1ω2)(k 22-m 2ω2) -k 12=0① ② (k 12=k 21)
进一步整理有：
2m 1m 2ω4-(k 11m 2+k 22m 1) ω2+k 11k 22-k 12=0③
当且仅当=0，方程的存在两个相等的实根。即结构的两个固有频率相等。 =(k 11m 2+k 22m 1) 2-4m 1m 2(k 11k 22-k 12k 21) =0整理有
k 11m 12m 1k 11k 122(+) =4(-() ) k 22m 2m 2k 22k 22④ k m k =k ，=m ，=l 进一步整理方程④有： 令：k 22m 2k 22
m 2+(4l 2-2k ) m +k 2=0⑤
22f (m ) =m +(4l -2k ) m +k 令：
若使实际问题有意义，必须使m 有正根。那么：
⑴ ⑵ ’≥0 f (0)=k 2
2222实际的条件是： a) =b -4ac =(4l -2k ) -4k ≥0
有：kl 2≤l 4
-b -(4l 2-2k ) 22==k -2l ≥0k -2l
f(0)=k2
由于k ≠0(k 11, k 22都不能为零，否则自由度将减少)
k -2l 2≥0 那么条件b) 变为
综上所述：只要结构满足：k -2l 2≥0
kl 2≤l 4即可。
下面分两种情况讨论：
① l ≠0
以上的充要条件变为：
② 2l 2≤k ≤l 2，这是不成立的。 l =0
以上的充要条件变为：k ≥0, 恒成立。
因此只需将结构设计成
始终相等。 l =0，即k 12=k 21=0。此时双自由度体系的两个自振频率
(二) 质量偶联，刚度不偶联
此时两个动力自由度的特征多项式为：
⎡k 10⎤⎡m 11m 12⎤2ω=0⎢0k ⎥-⎢m ⎥2⎦⎣⎣21m 22⎦
于是有：(k 1
用:m 12① -m 11ω2)(k 2-m 22ω2) -m 12m 21=0②（可利=m 21）
进一步整理有：
m 11m 22ω4-(k 1m 22+k 2m 11) ω2+k 1k 2-m 12m 21=0
当且仅当
构的两个固有频率相等。 ③ =0，k 1k 2-m 12m 21
2=(k 1m 22+k 2m 11) -4m 11m 22(k 1k 2-m 12m 21) =0整理有
k 1m 112m 11k 1m 12m 21(+) =4(-) 2k 2m 22m 22k 2k 2④ k m m =m ，=k ，=l 进一步整理方程④有： 令：m 22k 2k 2
m 2+(4l 2-2k ) m +k 2=0
f (m ) =m 2+(4l 2-2k ) m +k 2
⑤
从这里开始可以类似第一种情况的讨论。
只需将结构设计成l =0，即m 12=m 21=0时，双自由度体系的两个自振频率始终
相等。
也就是说只要我们把两个没有任何关系的结构拼凑在一起就可以（但是没有实际意义）。例如
;
忽略轴向变形则下面这个结构符合要求。
一个双自由度体系，总可以使其刚度矩阵或者质量矩阵不偶联。此外还可以从另一方面来理解：假定结构的反应为：p 0sin wt ，
平衡方程为：Mu +Ku =0①，
②， 2(K -w M ) u =0于是有：
选择的自由度向量为：u ={u 1u 2}T 。 ③ 2K -w M =0欲使方程有非零解，当且仅当
T v ={v v }第二个向量为：，他们之间的转换关系为：u =Dv 。 12
将其带入有方程②有：
(K -w M ) Dv =0
K -w 2M ⋅D =02④ ⑤ 欲使方程④有非零解，当且仅当：；
由于，实际问题中，u 与v 之间的变换必须是可逆的, 即D ≠0，那么条件⑤2K -w M =0，这与条件③完全相同。也就是说自由度的选择与特变为：
征方程无关，也即与特征值无关。这也证验证了，结构的固有属性（客观）不依赖我们自由度的选择（主观）的改变而改变。由于固有频率是标量，因此无论我们做什么样的自由度选择，结果肯定是相同的，但是振型的表现形式不同。他们的关系为：ηu =D ηv 。这完全是线性代数的内容。
下面我选择两种情况对双自由度体系进行分析。
(一) 刚度偶联，质量不偶联
此时两个动力自由度的特征多项式为：
⎡k 11k 12⎤⎡m 10⎤2-⎢ω=0⎢k ⎥⎥⎣21k 22⎦⎣0m 2⎦
于是有：
2(k 11-m 1ω2)(k 22-m 2ω2) -k 12=0① ② (k 12=k 21)
进一步整理有：
2m 1m 2ω4-(k 11m 2+k 22m 1) ω2+k 11k 22-k 12=0③
当且仅当=0，方程的存在两个相等的实根。即结构的两个固有频率相等。 =(k 11m 2+k 22m 1) 2-4m 1m 2(k 11k 22-k 12k 21) =0整理有
k 11m 12m 1k 11k 122(+) =4(-() ) k 22m 2m 2k 22k 22④ k m k =k ，=m ，=l 进一步整理方程④有： 令：k 22m 2k 22
m 2+(4l 2-2k ) m +k 2=0⑤
22f (m ) =m +(4l -2k ) m +k 令：
若使实际问题有意义，必须使m 有正根。那么：
⑴ ⑵ ’≥0 f (0)=k 2
2222实际的条件是： a) =b -4ac =(4l -2k ) -4k ≥0
有：kl 2≤l 4
-b -(4l 2-2k ) 22==k -2l ≥0k -2l
f(0)=k2
由于k ≠0(k 11, k 22都不能为零，否则自由度将减少)
k -2l 2≥0 那么条件b) 变为
综上所述：只要结构满足：k -2l 2≥0
kl 2≤l 4即可。
下面分两种情况讨论：
① l ≠0
以上的充要条件变为：
② 2l 2≤k ≤l 2，这是不成立的。 l =0
以上的充要条件变为：k ≥0, 恒成立。
因此只需将结构设计成
始终相等。 l =0，即k 12=k 21=0。此时双自由度体系的两个自振频率
(二) 质量偶联，刚度不偶联
此时两个动力自由度的特征多项式为：
⎡k 10⎤⎡m 11m 12⎤2ω=0⎢0k ⎥-⎢m ⎥2⎦⎣⎣21m 22⎦
于是有：(k 1
用:m 12① -m 11ω2)(k 2-m 22ω2) -m 12m 21=0②（可利=m 21）
进一步整理有：
m 11m 22ω4-(k 1m 22+k 2m 11) ω2+k 1k 2-m 12m 21=0
当且仅当
构的两个固有频率相等。 ③ =0，k 1k 2-m 12m 21
2=(k 1m 22+k 2m 11) -4m 11m 22(k 1k 2-m 12m 21) =0整理有
k 1m 112m 11k 1m 12m 21(+) =4(-) 2k 2m 22m 22k 2k 2④ k m m =m ，=k ，=l 进一步整理方程④有： 令：m 22k 2k 2
m 2+(4l 2-2k ) m +k 2=0
f (m ) =m 2+(4l 2-2k ) m +k 2
⑤
从这里开始可以类似第一种情况的讨论。
只需将结构设计成l =0，即m 12=m 21=0时，双自由度体系的两个自振频率始终
相等。
也就是说只要我们把两个没有任何关系的结构拼凑在一起就可以（但是没有实际意义）。例如
;
忽略轴向变形则下面这个结构符合要求。