浅谈正、余弦定理的变式教学
山东省寿光市现代中学 孙建平（262700）
在新课程标准的指引下，教学方法也在不断改进、提升。数学的教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该让学生思维能力的培养及个性品质的形成能力。这就需要调动学生学习的主动性，发挥学生的主体作用，为学生创设一个的宽松环境，使不同的学生都有所收获，满足不同学生的不同需要。使学生在学习中学会利用课本知识的举一反三，应用数学的“变式教学”，所谓“变式”即教师可不断更换命题的非本质特征，变换问题的条件或结论，转换问题的内容与形式，配置实际应用的各种环境，这也是很多教育工作者一直在做的一项工作。在教学中如对课本上的例题或课后习题进行变式，对教师解决以上问题会有所帮助。下面我针对正、余弦定理在解题时的变式应用，举例说明怎样运用“正、余弦定理变式”灵活解题：
一、正弦定理的常见几种变形：
在新知识教学中，精心设计铺垫性变式题组，既体现在知识、思维上的铺垫，又展示知识的发生过程，找准新知识的生长点，让学生利用已有的知识结构来同化新知识，实现知识的迁移。
a sin A c sin C b sin B =, =, =或 a :b :c =sin A :sin B :sin C ； b sin B a sin A c sin C
cos A b 4==，且c =10，则a =b =. 例1、在∆ABC 中，cos B a 3
b sin B cos A sin B =解析：由正弦定理的变形1，得=， ∴， a sin A cos B sin A
∴sin A cos A =sin B cos B ，即sin 2A =sin 2B ， 变形1、
⎧a 2+b 2=10 又∵a ≠b ，∴A +B =，∴在Rt ∆ABC 中，由⎨ 2⎩b :a =4:3π
解得，a =6, b =8.
点评：本例应用正弦定理的变形1，将问题转化为三角函数问题，进而求解.
变形2、a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C （其中R 为三角形外接圆的半径）. 例2、在∆ABC 中，sin A =2sin B cos C ,sin A =sin B +sin C ，试判断∆ABC 的形状.
解析：由sin A =sin B +sin C ，利用正弦定理，得a =b +c
∴∆ABC 是直角三角形，且∠A =90， 0222222222
∴B +C =900, B =900-C ，∴sin B =cos C .
∴由sin A =2sin B cos C ，可得1=2sin B ，
∴sin B =
200（sin B =舍去），∴B =45 则C =45， ∴∆ABC 是等腰直角三角形.
点评：本题中先根据正弦定理的变形a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C ，得到∆ABC 为直角三角形，从而再判定三角形的形状.
这组变式题组是围绕解分式不等式教学目标，由易到难、由旧知到新知逐步过渡，还有为" 学有余力" 的学生专门设置的综合提升题，以解决他们" 吃不饱" 的问题。让学生从课堂中去体会数学的魅力和活力，只有在这样的学习氛围中，学生的学习体验才是快乐的，是幸福的，而且在这种宽松氛围下大家的参与是积极的，思维是活跃的，不同的人会获得不同的发展。
二、余弦定理的常见几种变形：
传统讲课法中，教师把公式、定理的结论、推导过程、适用条件、适用题型原原本本地讲给学生听，激不起学生的兴趣。再加上听不懂，上课睡觉就成了经常发生的现象。变式教学主要是由教师提出问题后，其结果怎样、或如何解决都要学生做出回答，对学生具有挑战性，所以学生的学习兴趣大，再加上题目具有一定的梯度，人人都能动手，所以学习的积极性非常高。
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
,cos B =,cos C =变形1：cos A = 2bc 2ac 2ab
例3、⑴在∆ABC 中，如果(a +b +c )(b +c -a )=3bc ，则A 等于（ ）
A 、150 B 、120 C 、60 D 、30
解析：由题意，得b +c -a =bc 2220000
b 2+c 2-a 21=，∴A =600，故答案选C. ∴cos A =2bc 2
⑵在∆ABC 中，求b ⋅cos C +c ⋅cos B 的值.
a 2+b 2-c 2a 2+c 2-b 2
+c ⋅解析：由余弦定理，得b ⋅cos C +c ⋅cos B =b ⋅ 2ab 2ac
整理得：b ⋅cos C +c ⋅cos B =a .
点评：本例中根据余弦定理的变形1，将问题化为代数式的运算，从而求解之. 变形2、sin A =sin B +sin C -2sin B sin C cos A
例4
、求sin 20+cos 80cos80的值.
解析：对照余弦定理的变式2，可将原式化为：
202000222
sin 2200+sin 2100-2⋅(200sin100
1
4 =sin 2200+sin 2100-2sin 200sin100cos1500=sin 21500=
点评：对于余弦定理的变形2，不但在三角形中是成立的而且只要是三个角满足形式A +B +C =π，则sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C cos A 是恒成立的. 通过这一组变式题型的训练，有利于强化学生的化归转化的数学思想，变式教学中更明确、具体地体现了教师的主导地位和学生的主体作用，教师要命题，要指导学生解题，要组织学生展示解题的结果和进行讨论辨析，还要对数学知识和数学思想方法进行总结。这样，课堂的进程完全掌控在教师的手中，真正地体现了教师是学习的组织者、引导者和合作者；在这样的课堂上，学生的学习积极性都很高，从而极大地提高了课堂教学效益。
三、正、余弦定理变形肢的综合应用：
例5、⑴在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别是a , b , c ，A =60, b =12，∆ABC 的
a +b +c =sin A +sin B +sin C
10解析：由A =60, b =
12，S =bc sin A =， 2面积为S =，则
∴c =12，由余弦定理可得：a =b +c -
2bc cos A ，得a =222
a +b +c a ==12. sin A +sin B +sin C sin A
⑵已知∆ABC 中，sin A :sin B :sin C =4:3:2，求cos B 的值.
解析：由题意sin A :sin B :sin C =4:3:2，
根据正弦定理的变形，得a :b :c =4:3:2 ∴
不妨令a =4t , b =3t , c =2t (t >0)
a 2+c 2-b 216t 2+4t 2-9t 211==. ∴由余弦定理的变形，得cos B =2ac 16t 216
点评：这组变式题目的设置, 除了解决单个的数学问题外 ,通过几个问题的前后联系以及解决这些问题的方法的变化 ,形成一种更高层次的思维方法 ,以达到对问题本质的了解、问题规律的掌握、知识技能的巩固、思维的拓展与迁移等目的 .这种题组并不是几个独立数学问题的简单组合 ,而是注重题目之间的内在联系 ,它们的解决能启示一种客观规律 ,能引导与启发学生掌握这种规律
浅谈正、余弦定理的变式教学
山东省寿光市现代中学 孙建平（262700）
在新课程标准的指引下，教学方法也在不断改进、提升。数学的教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该让学生思维能力的培养及个性品质的形成能力。这就需要调动学生学习的主动性，发挥学生的主体作用，为学生创设一个的宽松环境，使不同的学生都有所收获，满足不同学生的不同需要。使学生在学习中学会利用课本知识的举一反三，应用数学的“变式教学”，所谓“变式”即教师可不断更换命题的非本质特征，变换问题的条件或结论，转换问题的内容与形式，配置实际应用的各种环境，这也是很多教育工作者一直在做的一项工作。在教学中如对课本上的例题或课后习题进行变式，对教师解决以上问题会有所帮助。下面我针对正、余弦定理在解题时的变式应用，举例说明怎样运用“正、余弦定理变式”灵活解题：
一、正弦定理的常见几种变形：
在新知识教学中，精心设计铺垫性变式题组，既体现在知识、思维上的铺垫，又展示知识的发生过程，找准新知识的生长点，让学生利用已有的知识结构来同化新知识，实现知识的迁移。
a sin A c sin C b sin B =, =, =或 a :b :c =sin A :sin B :sin C ； b sin B a sin A c sin C
cos A b 4==，且c =10，则a =b =. 例1、在∆ABC 中，cos B a 3
b sin B cos A sin B =解析：由正弦定理的变形1，得=， ∴， a sin A cos B sin A
∴sin A cos A =sin B cos B ，即sin 2A =sin 2B ， 变形1、
⎧a 2+b 2=10 又∵a ≠b ，∴A +B =，∴在Rt ∆ABC 中，由⎨ 2⎩b :a =4:3π
解得，a =6, b =8.
点评：本例应用正弦定理的变形1，将问题转化为三角函数问题，进而求解.
变形2、a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C （其中R 为三角形外接圆的半径）. 例2、在∆ABC 中，sin A =2sin B cos C ,sin A =sin B +sin C ，试判断∆ABC 的形状.
解析：由sin A =sin B +sin C ，利用正弦定理，得a =b +c
∴∆ABC 是直角三角形，且∠A =90， 0222222222
∴B +C =900, B =900-C ，∴sin B =cos C .
∴由sin A =2sin B cos C ，可得1=2sin B ，
∴sin B =
200（sin B =舍去），∴B =45 则C =45， ∴∆ABC 是等腰直角三角形.
点评：本题中先根据正弦定理的变形a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C ，得到∆ABC 为直角三角形，从而再判定三角形的形状.
这组变式题组是围绕解分式不等式教学目标，由易到难、由旧知到新知逐步过渡，还有为" 学有余力" 的学生专门设置的综合提升题，以解决他们" 吃不饱" 的问题。让学生从课堂中去体会数学的魅力和活力，只有在这样的学习氛围中，学生的学习体验才是快乐的，是幸福的，而且在这种宽松氛围下大家的参与是积极的，思维是活跃的，不同的人会获得不同的发展。
二、余弦定理的常见几种变形：
传统讲课法中，教师把公式、定理的结论、推导过程、适用条件、适用题型原原本本地讲给学生听，激不起学生的兴趣。再加上听不懂，上课睡觉就成了经常发生的现象。变式教学主要是由教师提出问题后，其结果怎样、或如何解决都要学生做出回答，对学生具有挑战性，所以学生的学习兴趣大，再加上题目具有一定的梯度，人人都能动手，所以学习的积极性非常高。
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
,cos B =,cos C =变形1：cos A = 2bc 2ac 2ab
例3、⑴在∆ABC 中，如果(a +b +c )(b +c -a )=3bc ，则A 等于（ ）
A 、150 B 、120 C 、60 D 、30
解析：由题意，得b +c -a =bc 2220000
b 2+c 2-a 21=，∴A =600，故答案选C. ∴cos A =2bc 2
⑵在∆ABC 中，求b ⋅cos C +c ⋅cos B 的值.
a 2+b 2-c 2a 2+c 2-b 2
+c ⋅解析：由余弦定理，得b ⋅cos C +c ⋅cos B =b ⋅ 2ab 2ac
整理得：b ⋅cos C +c ⋅cos B =a .
点评：本例中根据余弦定理的变形1，将问题化为代数式的运算，从而求解之. 变形2、sin A =sin B +sin C -2sin B sin C cos A
例4
、求sin 20+cos 80cos80的值.
解析：对照余弦定理的变式2，可将原式化为：
202000222
sin 2200+sin 2100-2⋅(200sin100
1
4 =sin 2200+sin 2100-2sin 200sin100cos1500=sin 21500=
点评：对于余弦定理的变形2，不但在三角形中是成立的而且只要是三个角满足形式A +B +C =π，则sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C cos A 是恒成立的. 通过这一组变式题型的训练，有利于强化学生的化归转化的数学思想，变式教学中更明确、具体地体现了教师的主导地位和学生的主体作用，教师要命题，要指导学生解题，要组织学生展示解题的结果和进行讨论辨析，还要对数学知识和数学思想方法进行总结。这样，课堂的进程完全掌控在教师的手中，真正地体现了教师是学习的组织者、引导者和合作者；在这样的课堂上，学生的学习积极性都很高，从而极大地提高了课堂教学效益。
三、正、余弦定理变形肢的综合应用：
例5、⑴在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别是a , b , c ，A =60, b =12，∆ABC 的
a +b +c =sin A +sin B +sin C
10解析：由A =60, b =
12，S =bc sin A =， 2面积为S =，则
∴c =12，由余弦定理可得：a =b +c -
2bc cos A ，得a =222
a +b +c a ==12. sin A +sin B +sin C sin A
⑵已知∆ABC 中，sin A :sin B :sin C =4:3:2，求cos B 的值.
解析：由题意sin A :sin B :sin C =4:3:2，
根据正弦定理的变形，得a :b :c =4:3:2 ∴
不妨令a =4t , b =3t , c =2t (t >0)
a 2+c 2-b 216t 2+4t 2-9t 211==. ∴由余弦定理的变形，得cos B =2ac 16t 216
点评：这组变式题目的设置, 除了解决单个的数学问题外 ,通过几个问题的前后联系以及解决这些问题的方法的变化 ,形成一种更高层次的思维方法 ,以达到对问题本质的了解、问题规律的掌握、知识技能的巩固、思维的拓展与迁移等目的 .这种题组并不是几个独立数学问题的简单组合 ,而是注重题目之间的内在联系 ,它们的解决能启示一种客观规律 ,能引导与启发学生掌握这种规律