整除特性和余数定理

整除特性和余数定理

已知定理“若大于3的三个质数a 、b 、c 满足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n 的倍数”.试问:这个定理中的整数n 的最大可能值是多少?请证明你的结论.

证明:∵a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b),

显然,3|a+b+c,

若设a 、b 被3整除后的余数分别为r a 、r b ,则r a ≠0,r b ≠0.

若r a ≠rb ,则r a =2,r b =1或r a =1,r b =2,

则2a+5b=2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3),或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)=3(2P+5q+4),

即2a+5b为合数与已知c 为质数矛盾.

∴只有r a =rb ,则r a =rb =1或r a =rb =2.

于是a+2b必是3的倍数,从而a+b+c是9的倍数.

a 、b 为大于3的质数,依题意,

取a=11,b=5,则2a+5b=2×11十5×5=47,

a+b+c=11+5+47=63,

取a=13,b=7,则2a+5b=2×13十5×7=61,

a+b+c=13+7+61=81,

而(63,81)=9,故9为最大可能值.

整除特性和余数定理

已知定理“若大于3的三个质数a 、b 、c 满足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n 的倍数”.试问:这个定理中的整数n 的最大可能值是多少?请证明你的结论.

证明:∵a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b),

显然,3|a+b+c,

若设a 、b 被3整除后的余数分别为r a 、r b ,则r a ≠0,r b ≠0.

若r a ≠rb ,则r a =2,r b =1或r a =1,r b =2,

则2a+5b=2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3),或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)=3(2P+5q+4),

即2a+5b为合数与已知c 为质数矛盾.

∴只有r a =rb ,则r a =rb =1或r a =rb =2.

于是a+2b必是3的倍数,从而a+b+c是9的倍数.

a 、b 为大于3的质数,依题意,

取a=11,b=5,则2a+5b=2×11十5×5=47,

a+b+c=11+5+47=63,

取a=13,b=7,则2a+5b=2×13十5×7=61,

a+b+c=13+7+61=81,

而(63,81)=9,故9为最大可能值.


    相关文章

    小学五年级奥数-数论之同余问题

    数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要. 许多孩子都接触过余数的有关问题,并有不少孩子说"遇到余数的问题就基本晕菜了 ...

    [转]剩余定理问题和余数类问题的解法,省考

    特殊的剩余定理: 核心基础公式:被除数=除数*商+余数 同余问题核心口诀:"余同取余.和同加和,差同减差,公倍数作周期" ①    余同:例:"一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1",因为余数都是 ...

    整数性质的定理

    整 数 性 质 的 定 理 一.定义: 1. 若不为零的整数A ,除以整数B ,商是整数,余数为零(A 能被B 整除):则 称A 是B 的倍数:B 是A 的约数(或因数). 2. 1是所有整数的约数:0是所有整数的倍数. 3. 若a 是整数 ...

    综合除法与余数定理

    第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容,它们是研究多项式除法的有力工具.综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用.本节我们将作一些初步介绍. 一.综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式,并 ...

    奇妙九宫格

    奇妙的九宫格 把0.1~0.9这九个数字填到如下方格中,使横行.纵列.对角线上的三个数字相加的和都相等. 儿子一看,立刻傻了眼:这么多小数,咋算啊„„ 我赶紧开导:莫着急,看咱们把它都换成整数算一下.只看横行,要求三行中每一行的和都相等,那 ...

    中国剩余定理的归纳及其应用3

    LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2012届 本科毕业论文 中国剩余定理的归纳及其应用 院(系)名称 专 业 名 称 学 生 姓 名 数学科学学院 数学与应用数学 任晓燕 080414001 王众杰 讲师 2012.5 学 ...

    小学奥数知识点学习手册(归纳总结)

    (知识点更为详细,最后附一些历年华杯赛的比较难的题目) 小学奥数知识点学习手册 2. 年龄问题(这类问题相对来说比较简单,只要掌握几个基本的特征就可以解出题目) ①两个人的年龄差是不变的: ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的: ③两个人 ...

    公务员行测之数字题解题技巧

    2009年国家公务员考试数字推理命题趋势分析 趋势一:数字间的逻辑关系侧重考察多个数之间的关系 例题:2008年国家公务员考试行政能力测试真题 41.157 65 27 11 5 (?) A.4 B.3 C.2 D.1 [解析]本题考察的是 ...

    余数定理及应用

    余数定理及应用 (麻城实验高中:阮晓锋) 定理:多项式f(x)除以(x-a)所得的余数等于f(a). 证明:设f(x)=(x-a)q(x)+r(x) 则f(a)=r(a),即余数定理成立. 推论:(x-a )|f(x)⇔f(a)=0(又叫余 ...