数列极限四则运算法则的证明
设limAn=A,limBn=B,则有
法则1:lim(An+Bn)=A+B
法则2:lim(An-Bn)=A-B
法则3:lim(An·Bn)=AB
法则4:lim(An/Bn)=A/B.
法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)
(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)
首先必须知道极限的定义:
如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于∀ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,
则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.
根据这个定义,首先容易证明: 引理1:limC=C. (即常数列的极限等于其本身)
法则1的证明:
∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②
设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.
此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.
由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.
即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.
由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.
为了证明法则2,先证明1个引理.
引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)
证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) ①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.
由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.
即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.
由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证)
法则2的证明:
lim(An-Bn)
=limAn+lim(-Bn) (法则1)
=limAn+(-1)limBn (引理2)
=A-B.
为了证明法则3,再证明1个引理.
引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.
证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④
设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.
此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε =ε².
由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.
即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².
由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.
法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.
则liman=lim(An-A)
=limAn+lim(-A) (法则1)
=A-A (引理2) =0.
同理limbn=0.
∴lim(An·Bn)
=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)
=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1)
=0+B·liman+A·limbn+limAB (引理3、引理2) =B×0+A×0+AB (引理1) =AB.
引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.
证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|
引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.
证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可
法则4的证明:
由引理4,当B≠0时(这是必要条件),∃正整数N1和正实数ε0,使得对∀正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.
由引理5,又∃正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K. 现在对∀ε>0,∃正整数N2和N3,使得:
当n>N2,有|An-A|
当n>N3,有|Bn-B|
现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有
|An/Bn-A/B|
=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|
=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|
≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)
≤ε(M+K)/((M+K+1)
法则5的证明:
lim(An的k次方)
=limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次)
=(limAn)的k次方
=A的k次方.
数列极限四则运算法则的证明
设limAn=A,limBn=B,则有
法则1:lim(An+Bn)=A+B
法则2:lim(An-Bn)=A-B
法则3:lim(An·Bn)=AB
法则4:lim(An/Bn)=A/B.
法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)
(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)
首先必须知道极限的定义:
如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于∀ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,
则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.
根据这个定义,首先容易证明: 引理1:limC=C. (即常数列的极限等于其本身)
法则1的证明:
∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②
设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.
此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.
由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.
即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.
由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.
为了证明法则2,先证明1个引理.
引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)
证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) ①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.
由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.
即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.
由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证)
法则2的证明:
lim(An-Bn)
=limAn+lim(-Bn) (法则1)
=limAn+(-1)limBn (引理2)
=A-B.
为了证明法则3,再证明1个引理.
引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.
证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④
设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.
此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε =ε².
由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.
即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².
由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.
法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.
则liman=lim(An-A)
=limAn+lim(-A) (法则1)
=A-A (引理2) =0.
同理limbn=0.
∴lim(An·Bn)
=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)
=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1)
=0+B·liman+A·limbn+limAB (引理3、引理2) =B×0+A×0+AB (引理1) =AB.
引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.
证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|
引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.
证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可
法则4的证明:
由引理4,当B≠0时(这是必要条件),∃正整数N1和正实数ε0,使得对∀正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.
由引理5,又∃正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K. 现在对∀ε>0,∃正整数N2和N3,使得:
当n>N2,有|An-A|
当n>N3,有|Bn-B|
现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有
|An/Bn-A/B|
=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|
=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|
≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)
≤ε(M+K)/((M+K+1)
法则5的证明:
lim(An的k次方)
=limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次)
=(limAn)的k次方
=A的k次方.