普朗克的假设
在热力学中，黑体（Black body），是一个理想化的物体，它能够吸收外来的全部电磁辐射，并且不会有任何的反射和透射。随着温度上升，黑体所辐射出来的电磁波则称为黑体辐射。
“紫外灾难”：在经典统计理论中，能量均分定律预言黑体辐射的强度在紫外区域会发散至无穷大，这和事实严重违背
马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机。）。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。
这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释
光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。
爱因斯坦的光电子假设
截止电压，最大动能，极限频率，几乎瞬时发射，偏振方向 经典理论无法完美解释以上现象
1905年，爱因斯坦发表论文《关于光的产生和转化的一个试探性观点》，对于光电效应给出另外一种解释。他将光束描述为一群离散的量子，现称为光子，而不是连续性波动。从普朗克黑体辐射定律，爱因斯坦推论，组成光束的每一个量子所拥有的能量等于频率乘以一个常数，现称为普朗克常数。假若光子的频率大于某极限频率，则这光子拥有足够能量来使得一个电子逃逸，造成光电效应。爱因斯坦的论述解释了为甚么光电子的能量只与频率有关，而与光强度无关。虽然光束的光强度很微弱，只要频率足够高，则会产生一些高能量光子来促使束缚电子逃逸。尽管光束的光强度很剧烈，由于频率太低，
无法
给出任何高能量光子来促使束缚电子逃逸。
爱因斯坦的论述极具想像力与说服力，但却遭遇到学术界强烈的抗拒，这是因为它与詹姆斯·麦克斯韦所表述，而且经过严格理论检验、通过精密实验证明的光的波动理论相互矛盾，它无法解释光波的折射性与相干性，更一般而言，它与物理系统的能量“无穷可分性假说”相互矛盾。甚至在实验证实爱因斯坦的光电效应方程正确无误之后，强烈抗拒仍旧延续多年。爱因斯坦的发现开启了的量子物理的大门，爱因斯坦因为“对理论物理学的成就，特别是光电效应定律的发现”荣获1921年诺贝尔物理学奖。根据波粒二象性，该效应也可以用波动概念来分析，完全不需用到光子概念。威利斯·兰姆与马兰·斯考立（Marlan Scully）于1969年证明这理论。
爱因斯坦的论文很快地引起美国物理学者罗伯特·密立根的注意，但他也不赞同爱因斯坦的理论。之后十年，他花费很多时间做实验研究光电效应。他发现，增加阴极的温度，光电子最大能量不会跟着增加。他又证实光电疲劳现象是因氧化作用所产生的杂质造成，假若能够将清洁干净的阴极保存于高真空内，就不会出现这种现象了。1916年，他证实了爱因斯坦的理论正确无误，并且应用光电效应直接计算出普朗克常数。密立根因为“关于基本电荷以及光电效应的工作”获颁1923年诺贝尔物理学奖。
光电效应的一些数量关系： 逸出功是从金属表面发射出一个光电子所需要的最小能量。光子的频率必须大于金属特征的极限频率，才能给予电子足够的能量克服逸出功。逸出功 与极限频率 之间的关系为 ；
其中， 是普朗克常数， 是光频率为 的光子的能量。克服逸出
为
；
其中， 是光频率为 的光子所带有并且被电子吸收的能量。实际功之后，光电子的最大动能 物理要求动能必须是正值，因此，光频率必须大于或等于极限频率，光电效应才能发生
光电效应的一些应用：
光电倍增管，金箔验电器，光电子能谱学，航天器，月球尘，夜视仪等等。
康普顿效应
康普顿效应首先在1923年由美国华盛顿大学物理学家康普顿观察到，并在随后的几年间由他的研究生吴有训进一步证实。康普顿因发现此效应而获得1927年的诺贝尔物理学奬。
这个效应反映出光不仅仅具有波动性。此前汤姆孙散射的经典波动理论并不能解释此处波长偏移的成因，必须引入光的粒子性。这一实验说服了当时很多物理学家相信，光在某种情况下表现出粒子性，光束类似一串粒子流，而该粒子流的能量与光频率成正比。
在引入光子概念之后，康普顿散射可以得到如下解释：电子与光子发生弹性碰撞，电子获得光子的一部分能量而反弹，失去部分能量的光子则从另一方向飞出，整个过程中总动量守恒。
波函数公设：量子力学第一条公设：
分束器是50%反射，50%透射，如果将光子理解成经典的粒子，那么在两个探测器中各有50%概率检测到光子，但是实际上只有在其中一个探测器上检测到光子。
经典解释： 经过第一个分束器，电子分成两束，为了区分它们，我们记为a状态和b状态。有50%概率处于a状态，50%概率处于b状态，经过第二个探测器，a状态的光子又有50%的概率变成b状态，或者50%概率保持a状态不变，两次透镜的结果是，0.5×0.5=0.25的概率在探测器检测到，对于b状态光子可以得到同样的结论，于是两个探测器检测到光子概率各占50%。
量子力学解释：
必要的数学补充：
线性代数：
矢量（向量）
向量空间中的任一个矢量我们可以用一个符号来表示，例如 a,b,c等等，但在量子力学中我们常常用|a>,|b>来表示，这个记号叫Dirac符号，作用之一是强调这是一个矢量，方便与前面的复系数区分，例如c|a>我们明白是个复数乘以矢量a,不然写成ca意义就不明显了。
基与线性无关
习题：证明(1,-1),(1,2),(2,1)是线性无关的
线性算子与矩阵
习题：
Pauli矩阵
内积
习题：
习题：
特征值和特征向量
伴随和厄米算子
量子力学的波函数公设：
态叠加原理：
回到我们的系统….（推导）
光的干涉的粒子解释：
量子力学的哥本哈根诠释认为光子的干涉是单个光子波函数的几率幅叠加，波函数是一种几率波，其复振幅（几率幅）的模平方正比于对应的状态（本征态）发生的几率。以双缝干涉为例，对于每个光子而言，其状态都为从两条狭缝中的每一条经过的量子态的叠加：
其中
、
分别对应从狭缝1、狭缝2经过的量子态，几率幅
、
对应这一
光子从狭缝1和狭缝2出射的各自几率，其本身是一个复数。而光检测器探测到这一光子的几率，从统计上看也就是光检测器探测到的光强，是几率幅叠加之后的模平方：
这一表达和经典的电磁波的矢量叠加非常相似——实际上，如果将上面的量子态
、
用具体的电磁波形式来代换，即用电磁场来表示光子的波函数，在形式
上能得到和经典干涉相同的结论。然而，这种等效从根本上是错误的，因为电磁场是一个可观测量，而波函数在哥本哈根诠释中是一个不可观测量；从光子角度所看到的双缝实验是单个光子本身几率波的干涉，而几率也是单个光子出现在特定量子态的几率，而不是位于特定量子态的光子数量。关于这一点，保罗·狄拉克在《量子力学原理》中做了说明：
“
在量子力学发现以前不久，人们就已了解到，光波和光子之间的联系必须是
统计的性质。然而，他们没有清楚地了解到，波函数告诉我们的是一个光子在一特定位置上的几率，而不是在那个位置上可能有的光子数目。这一区别的重要性可在下面看清楚。假定我们令大量光子组成的光束分裂为两个强度相等的部分。按照光束的强度与其中可能的光子数目相联系的假定，我们就会得到，光子总数的一般分别走入每一组分。现在，如果使这两个组分互相干涉，我们就得要求，在一个组分中的一个光子能够与另一组分中的一个光子互相干涉。在某些情况下，这两个光子就要互相抵消，而在另一些情况下，它们就要产生四个光子。这样一来，就会和能量守恒相矛盾了。而新的理论把波函数与一个光子的几率联系起来，就克服了这一困难，因为这个理论认定，每一光子都是部分地走入两个组分中的每一个。这样，每一个光子只与它自己发生干涉。从来不会出现两个不同的光子之间的干涉。
”
——保罗·狄拉克，《量子力学原理》第四版，第一章第3节
德布罗意波
where is the wavelength, is the Planck constant, is the momentum,
mass, is the velocity and is the speed of light in a vacuum."
is the rest
This theory set the basis of wave mechanics. It was supported by Einstein, confirmed by the electron diffraction experiments of Davisson and Germer, and generalized by the work of Schrödinger.
玻尔的氢原子理论
定态条件
原子只能够稳定地存在于一系列的离散的能量状态之中，称为定态，原子要有任何能量的改变，都必须要在两个定态之间以跃迁的方式进行；所以电子只能处在一系列分立的定态上，并且不产生电磁辐射。
频率条件
当两个定态间的跃迁时，以电磁波的形式放出或吸收能量，其频率的值为
是唯一的并且有：
结合里德伯公式可以得到
代入电子能量的表达式可以得到电子运动的轨道半径：
结果
根据以上条件可以计算出，电子的
能量：
其中α
是精细结构常数，其大小约为1/137。 电子的轨道半径：
里德伯常数：
由玻尔模型可以计算出几个表征原子常用的物理量： 电子的第一轨道半径（n=1）：
通常用a0表示，称为玻尔半径。
电子在第一个轨道上运动的速度（n=1）：
称为玻尔第一速度，它表示电子在原子中的运动速度通常约为光速的1/137。 将氢原子的电子从基态移动到无限远处所需要的能量，即氢原子的电离能：
所以氢原子电子基态的能量约为-13.6eV。其余各态的能量为：
玻尔根据对应原理，结合里德伯公式提出了角动量量子化条件：
玻尔模型的验证
玻尔模型的困难
玻尔模型将经典力学的规律应用于微观的电子，不可避免地存在一系列困难。根据经典电动力学，做加速运动的电子会辐射出电磁波，致使能量不断损失，而玻尔模型无法解释为什么处于定态中的电子不发出电磁辐射。玻尔模型对跃迁的过程描写含糊。因此玻尔模型提出后并不被物理学界所欢迎，还遭到了包括卢瑟福、薛定谔在内的诸多物理学家的质疑。玻尔曾经的导师、剑桥大学的约瑟夫·汤姆孙拒绝对其发表评论。薛定谔甚至评价说是“糟透的跃迁”
此外，玻尔模型无法揭示氢原子光谱的强度和精细结构，也无法解释稍微复杂一些的氦原子的光谱，以及更复杂原子的光谱。因此，玻尔在领取1922年诺贝尔物理学奖时称：“这一理论还是十分初步的，许多基本问题还有待解决。”
玻尔模型引入了量子化的条件，但它仍然是一个“半经典半量子”的模型。完全解决原子光谱的问题必须彻底抛弃经典的轨道概念。尽管玻尔模型遇到了诸多困难，然而它显示出量子假说的生命力，为经典物理学向量子物理学发展铺平了道路。
将玻尔的理论重新用我们的量子态语言描述。
继续考虑两状态量子体系
电子自旋：
普朗克的假设
在热力学中，黑体（Black body），是一个理想化的物体，它能够吸收外来的全部电磁辐射，并且不会有任何的反射和透射。随着温度上升，黑体所辐射出来的电磁波则称为黑体辐射。
“紫外灾难”：在经典统计理论中，能量均分定律预言黑体辐射的强度在紫外区域会发散至无穷大，这和事实严重违背
马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机。）。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。
这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释
光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。
爱因斯坦的光电子假设
截止电压，最大动能，极限频率，几乎瞬时发射，偏振方向 经典理论无法完美解释以上现象
1905年，爱因斯坦发表论文《关于光的产生和转化的一个试探性观点》，对于光电效应给出另外一种解释。他将光束描述为一群离散的量子，现称为光子，而不是连续性波动。从普朗克黑体辐射定律，爱因斯坦推论，组成光束的每一个量子所拥有的能量等于频率乘以一个常数，现称为普朗克常数。假若光子的频率大于某极限频率，则这光子拥有足够能量来使得一个电子逃逸，造成光电效应。爱因斯坦的论述解释了为甚么光电子的能量只与频率有关，而与光强度无关。虽然光束的光强度很微弱，只要频率足够高，则会产生一些高能量光子来促使束缚电子逃逸。尽管光束的光强度很剧烈，由于频率太低，
无法
给出任何高能量光子来促使束缚电子逃逸。
爱因斯坦的论述极具想像力与说服力，但却遭遇到学术界强烈的抗拒，这是因为它与詹姆斯·麦克斯韦所表述，而且经过严格理论检验、通过精密实验证明的光的波动理论相互矛盾，它无法解释光波的折射性与相干性，更一般而言，它与物理系统的能量“无穷可分性假说”相互矛盾。甚至在实验证实爱因斯坦的光电效应方程正确无误之后，强烈抗拒仍旧延续多年。爱因斯坦的发现开启了的量子物理的大门，爱因斯坦因为“对理论物理学的成就，特别是光电效应定律的发现”荣获1921年诺贝尔物理学奖。根据波粒二象性，该效应也可以用波动概念来分析，完全不需用到光子概念。威利斯·兰姆与马兰·斯考立（Marlan Scully）于1969年证明这理论。
爱因斯坦的论文很快地引起美国物理学者罗伯特·密立根的注意，但他也不赞同爱因斯坦的理论。之后十年，他花费很多时间做实验研究光电效应。他发现，增加阴极的温度，光电子最大能量不会跟着增加。他又证实光电疲劳现象是因氧化作用所产生的杂质造成，假若能够将清洁干净的阴极保存于高真空内，就不会出现这种现象了。1916年，他证实了爱因斯坦的理论正确无误，并且应用光电效应直接计算出普朗克常数。密立根因为“关于基本电荷以及光电效应的工作”获颁1923年诺贝尔物理学奖。
光电效应的一些数量关系： 逸出功是从金属表面发射出一个光电子所需要的最小能量。光子的频率必须大于金属特征的极限频率，才能给予电子足够的能量克服逸出功。逸出功 与极限频率 之间的关系为 ；
其中， 是普朗克常数， 是光频率为 的光子的能量。克服逸出
为
；
其中， 是光频率为 的光子所带有并且被电子吸收的能量。实际功之后，光电子的最大动能 物理要求动能必须是正值，因此，光频率必须大于或等于极限频率，光电效应才能发生
光电效应的一些应用：
光电倍增管，金箔验电器，光电子能谱学，航天器，月球尘，夜视仪等等。
康普顿效应
康普顿效应首先在1923年由美国华盛顿大学物理学家康普顿观察到，并在随后的几年间由他的研究生吴有训进一步证实。康普顿因发现此效应而获得1927年的诺贝尔物理学奬。
这个效应反映出光不仅仅具有波动性。此前汤姆孙散射的经典波动理论并不能解释此处波长偏移的成因，必须引入光的粒子性。这一实验说服了当时很多物理学家相信，光在某种情况下表现出粒子性，光束类似一串粒子流，而该粒子流的能量与光频率成正比。
在引入光子概念之后，康普顿散射可以得到如下解释：电子与光子发生弹性碰撞，电子获得光子的一部分能量而反弹，失去部分能量的光子则从另一方向飞出，整个过程中总动量守恒。
波函数公设：量子力学第一条公设：
分束器是50%反射，50%透射，如果将光子理解成经典的粒子，那么在两个探测器中各有50%概率检测到光子，但是实际上只有在其中一个探测器上检测到光子。
经典解释： 经过第一个分束器，电子分成两束，为了区分它们，我们记为a状态和b状态。有50%概率处于a状态，50%概率处于b状态，经过第二个探测器，a状态的光子又有50%的概率变成b状态，或者50%概率保持a状态不变，两次透镜的结果是，0.5×0.5=0.25的概率在探测器检测到，对于b状态光子可以得到同样的结论，于是两个探测器检测到光子概率各占50%。
量子力学解释：
必要的数学补充：
线性代数：
矢量（向量）
向量空间中的任一个矢量我们可以用一个符号来表示，例如 a,b,c等等，但在量子力学中我们常常用|a>,|b>来表示，这个记号叫Dirac符号，作用之一是强调这是一个矢量，方便与前面的复系数区分，例如c|a>我们明白是个复数乘以矢量a,不然写成ca意义就不明显了。
基与线性无关
习题：证明(1,-1),(1,2),(2,1)是线性无关的
线性算子与矩阵
习题：
Pauli矩阵
内积
习题：
习题：
特征值和特征向量
伴随和厄米算子
量子力学的波函数公设：
态叠加原理：
回到我们的系统….（推导）
光的干涉的粒子解释：
量子力学的哥本哈根诠释认为光子的干涉是单个光子波函数的几率幅叠加，波函数是一种几率波，其复振幅（几率幅）的模平方正比于对应的状态（本征态）发生的几率。以双缝干涉为例，对于每个光子而言，其状态都为从两条狭缝中的每一条经过的量子态的叠加：
其中
、
分别对应从狭缝1、狭缝2经过的量子态，几率幅
、
对应这一
光子从狭缝1和狭缝2出射的各自几率，其本身是一个复数。而光检测器探测到这一光子的几率，从统计上看也就是光检测器探测到的光强，是几率幅叠加之后的模平方：
这一表达和经典的电磁波的矢量叠加非常相似——实际上，如果将上面的量子态
、
用具体的电磁波形式来代换，即用电磁场来表示光子的波函数，在形式
上能得到和经典干涉相同的结论。然而，这种等效从根本上是错误的，因为电磁场是一个可观测量，而波函数在哥本哈根诠释中是一个不可观测量；从光子角度所看到的双缝实验是单个光子本身几率波的干涉，而几率也是单个光子出现在特定量子态的几率，而不是位于特定量子态的光子数量。关于这一点，保罗·狄拉克在《量子力学原理》中做了说明：
“
在量子力学发现以前不久，人们就已了解到，光波和光子之间的联系必须是
统计的性质。然而，他们没有清楚地了解到，波函数告诉我们的是一个光子在一特定位置上的几率，而不是在那个位置上可能有的光子数目。这一区别的重要性可在下面看清楚。假定我们令大量光子组成的光束分裂为两个强度相等的部分。按照光束的强度与其中可能的光子数目相联系的假定，我们就会得到，光子总数的一般分别走入每一组分。现在，如果使这两个组分互相干涉，我们就得要求，在一个组分中的一个光子能够与另一组分中的一个光子互相干涉。在某些情况下，这两个光子就要互相抵消，而在另一些情况下，它们就要产生四个光子。这样一来，就会和能量守恒相矛盾了。而新的理论把波函数与一个光子的几率联系起来，就克服了这一困难，因为这个理论认定，每一光子都是部分地走入两个组分中的每一个。这样，每一个光子只与它自己发生干涉。从来不会出现两个不同的光子之间的干涉。
”
——保罗·狄拉克，《量子力学原理》第四版，第一章第3节
德布罗意波
where is the wavelength, is the Planck constant, is the momentum,
mass, is the velocity and is the speed of light in a vacuum."
is the rest
This theory set the basis of wave mechanics. It was supported by Einstein, confirmed by the electron diffraction experiments of Davisson and Germer, and generalized by the work of Schrödinger.
玻尔的氢原子理论
定态条件
原子只能够稳定地存在于一系列的离散的能量状态之中，称为定态，原子要有任何能量的改变，都必须要在两个定态之间以跃迁的方式进行；所以电子只能处在一系列分立的定态上，并且不产生电磁辐射。
频率条件
当两个定态间的跃迁时，以电磁波的形式放出或吸收能量，其频率的值为
是唯一的并且有：
结合里德伯公式可以得到
代入电子能量的表达式可以得到电子运动的轨道半径：
结果
根据以上条件可以计算出，电子的
能量：
其中α
是精细结构常数，其大小约为1/137。 电子的轨道半径：
里德伯常数：
由玻尔模型可以计算出几个表征原子常用的物理量： 电子的第一轨道半径（n=1）：
通常用a0表示，称为玻尔半径。
电子在第一个轨道上运动的速度（n=1）：
称为玻尔第一速度，它表示电子在原子中的运动速度通常约为光速的1/137。 将氢原子的电子从基态移动到无限远处所需要的能量，即氢原子的电离能：
所以氢原子电子基态的能量约为-13.6eV。其余各态的能量为：
玻尔根据对应原理，结合里德伯公式提出了角动量量子化条件：
玻尔模型的验证
玻尔模型的困难
玻尔模型将经典力学的规律应用于微观的电子，不可避免地存在一系列困难。根据经典电动力学，做加速运动的电子会辐射出电磁波，致使能量不断损失，而玻尔模型无法解释为什么处于定态中的电子不发出电磁辐射。玻尔模型对跃迁的过程描写含糊。因此玻尔模型提出后并不被物理学界所欢迎，还遭到了包括卢瑟福、薛定谔在内的诸多物理学家的质疑。玻尔曾经的导师、剑桥大学的约瑟夫·汤姆孙拒绝对其发表评论。薛定谔甚至评价说是“糟透的跃迁”
此外，玻尔模型无法揭示氢原子光谱的强度和精细结构，也无法解释稍微复杂一些的氦原子的光谱，以及更复杂原子的光谱。因此，玻尔在领取1922年诺贝尔物理学奖时称：“这一理论还是十分初步的，许多基本问题还有待解决。”
玻尔模型引入了量子化的条件，但它仍然是一个“半经典半量子”的模型。完全解决原子光谱的问题必须彻底抛弃经典的轨道概念。尽管玻尔模型遇到了诸多困难，然而它显示出量子假说的生命力，为经典物理学向量子物理学发展铺平了道路。
将玻尔的理论重新用我们的量子态语言描述。
继续考虑两状态量子体系
电子自旋：