典型例题——电磁感应与电路、电场相结合
1．如图所示，螺线管的导线的两端与两平行金属板相接，一个带负电的通草球用丝线悬挂在两金属板间，并处于静止状态，若条形磁铁突然插入线圈时，通草球的运动情况是（ ）
A、向左摆动 B、向右摆动
解：当磁铁插入时，穿过线圈的磁通量向左且增加，线圈产生感应电C、保持静止 D、无法确定
动势，因此线圈是一个产生感应电动势的电路，相当于一个电源，其等效电路图如图，因此A板带正电，B板带负电，故小球受电场力向左 答案：A
3．如图所示，匀强磁场B=0.1T，金属棒AB长0.4m，与框架宽度相同，电阻为R=1/3Ω,框架电阻不计，电阻R1=2Ω，R2=1Ω当金属棒以5m/s的速度匀速向左运动时，求：
(1)流过金属棒的感应电流多大？
(2)若图中电容器C为0.3μF，则充电量多少？(1)0.2A，(2)4×10-8C
解：（1）金属棒AB以5m/s的速度匀速向左运动时，切割磁感线，产生的感应电动势为E
=Blv，得E=0.1⨯0.4⨯5V=0.2V，
2
由串并联知识可得R外=Ω，R总=1Ω， 所以电流 I=0.2A
3
0.40.4-8
（2）电容器C并联在外电路上，U外=V 由公式 Q=CU=0.3⨯10-6⨯C=4⨯10C
33
4．（2003上海）粗细均习的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方
形线框的边平行。 现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图100-1所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差绝对值最大的是（ ）
解：沿四个不同方向移出线框的感应电动势都是E所示，显然图B’的Uab最大，选B。
=Blv，而a、b两点在电路中的位置不同，其等效电路如图100-2
A’
B’
C’
D’
5.（2004年东北三校联合考试）粗细均匀的电阻丝围成如图12－8所示的线框abcde（ab=bc）置于正方形有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面.现使线框以同样大小的速度匀速地沿四个不同方向平动进入磁场，并且速度方向始终与线框先进入磁场的那条边垂直，则在通过图示位置时，线框ab边两端点间的电势差绝对值最大的是
解析：线框通过图示各位置时，电动势均为E=Blv，图A中ab相当于电源，Uab最大. 答案：A
6.竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R.磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，与环的最高点A铰链连接的长度为2a、电阻为R/2的导体棒AB由水平位置紧贴环面摆下（如图）.当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为（ ）
A.2Bav
B.Bav
C.2Bav/3 D.Bav/3
解析：导体棒转至竖直位置时，感应电动势E=
1B·2a·v=Bav 2
RR⋅
+R=3R 总电流I=E=4Eav AB两端的电压U=E
电路中总电阻R总=
RR24R总3R+22
－I=
R21Bav. 3
答案：D
8．（04江苏35）如图100-3所示，U形导线框MNQP水平放置在磁感应强度B＝0.2T的匀强磁场中，磁感线方向与导线框所在平面垂直，导线MN和PQ足够长，间距为0．5m，横跨在导线框上的导体棒ab的电阻r＝1.0Ω，接在NQ间的电阻R＝4.OΩ，电压表为理想电表，其余电阻不计．若导体棒在水平外力作用下以速度ν＝2.0m/s向左做匀速直线运动，不计导体棒与导线框间的摩擦．
(1)通过电阻R的电流方向如何? (2)电压表的示数为多少?
(3)若某一时刻撤去水平外力，则从该时刻起，在导体棒运动1.0m的过程中，通过导体棒的电荷量为多少?
解：(1)由右手定则可判断，导体棒中的电流方向为b→a，则通过电阻R的电流方向为N→Q
(2)由感应电动势的公式，得 E=Blv ①
设电路中的电流为I，由闭合电路欧姆定律，得
②
又电压表的示数等于电阻R两端的电压值，则有 U=IR ③
综合①②③式，得
④ 代入数值，得 U=0.16V ⑤
(3)撤去水平外力后，导体棒将在安培力的作用下，做减速运动．设在导体棒运动x=1.0m的过程中，导体棒中产生的感应电动势的平均值为E’
由法拉第电磁感应定律，得
⑥ 由闭合电路欧姆定律，得
⑦
设通过导体棒的电荷量为Q，则有 Q = I △t ⑧
综合⑥、⑦、⑧式，得
⑨ 代入数值，得 Q=2.0×10-2C ⑩
答案：通过电阻R的电流方向为N→Q 0.16V
2.0⨯10-2c
拓展1.（2003年北京海淀区模拟题） 如图所示，MN和PQ是固定在水平面内间距L＝0.20 m的平行金属轨道，轨道的电阻忽略不计.金属杆ab垂直放置在轨道上.两轨道间连接有阻值为R0＝1.5 Ω的电阻，ab杆的电阻R＝0.50 Ω.ab杆与轨道接触良好并不计摩擦，整个装置放置在磁感应强度为B＝0.50 T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向下.对ab杆施加一水平向右的拉力，使之以v＝5.0 m/s的速度在金属轨道上向右匀速运动.求：
（1）通过电阻R0的电流;
（2）对ab杆施加的水平向右的拉力的大小; （3）ab杆两端的电势差.
解析：（1）a、b杆上产生的感应电动势为E=BLv=0.50 V. 根据闭合电路欧姆定律，通过R0的电流I=
E
=0.25 A.
R0+R
（2）由于ab杆做匀速运动，拉力和磁场对电流的安培力F大小相等，即F拉=F=BIL=0.025 N. （3）根据欧姆定律，ab杆两端的电势差Uab=
ER0BLvR0
==0.375 V.
R+R0R+R0
答案：（1） 0.50 V （2）0.025 N （3）0.375 V
拓展2.如图所示，水平面上有两根相距0.5m的足够长的平行金属导轨MN和PQ，它们的电阻可忽略不计，在M和 P之间接有阻值为R的定值电阻，导体棒ab长l＝0.5m，其电阻为r，与导轨接触良好.整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.4T.现使ab以v＝10m/s的速度向右做匀速运动.
(1) (2)
ab中的感应电动势多大?
ab中电流的方向如何?
E=Blv ① 代入数据得：E=2.0V ②
(3)若定值电阻R＝3.OΩ,导体棒的电阻r＝1.OΩ,，则电路电流大? 解：（1）ab中的感应电动势为： （2）ab中电流方向为b→a
（3）由闭合电路欧姆定律，回路中的电流
I=
E
R+r
③ 代入数据得：I＝0.5A ④
答案：（1）2.0V（2）ab中电流方向为b→a（3）0.5A
拓展3.如图所示，MN、PQ是两条水平放置彼此平行的金属导轨，匀强磁场的磁感线垂直导轨平面．导轨左端接阻值R=1.5Ω的电阻，电阻两端并联一电压表，垂直导轨跨接一金属杆ab，ab的质量m=0.1kg，电阻r=0.5Ω．ab与导轨间动摩擦因数μ=0.5，导轨电阻不计，现用F=0.7N的恒力水平向右拉ab，使之从静止开始运动，经时间t=2s后，ab开始做匀速运动，此时电压表示数U=0.3V．重力加速度g=10m／s2．求：
（1）ab匀速运动时，外力F的功率． （2）ab杆加速过程中，通过R的电量． （3）ab杆加速运动的距离．
解：（1）设导轨间距为L，磁感应强度为B，ab杆匀速运动的速度为v，电流为I，此时ab杆受力如图所示：由平衡条件得：F=μmg+ILB①
由欧姆定律得：I=BLv=U ②
R+rR
由①②解得：BL=1T·m v=0.4m/s ③ F的功率：P=Fv=0.7×0.4W=0.28W ④
（2）设ab加速时间为t，加速过程的平均感应电流为I，由动量定理：
Ft-μmgt-ILBt=mv ⑤ 解得：q=I⋅t=0.36C ⑥
（3）设加速运动距离为s，由法拉第电磁感应定律得E=又E
∆ΦBLs ⑦
=∆tt
BL
1
=I(R+r) ⑧ 由⑥⑦⑧解得 s=q(R+r)=0.36⨯2m=0.72m
9．(05天津23)图中MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0．40m，电阻不计。导轨所在平面与磁感应强度B为0．50T的匀强磁场垂直。质量m为6．0×10-3kg．电阻为1．0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触。导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3．0Ω的电阻R1。当杆ab达到稳定状态时以速率v匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0．27W，重力加速度取10m/s2，试求速率v和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2。
解:由能量守恒定律得：mgv=P ①
代入数据得：v=4.5m/s ② E＝BLv ③
设电阻Ra与Rb的并联电阻为R外，ab棒的电阻为r，有
a
111
＝+R外RaRb
⑦
I=
ER外+r
⑤ P=IE ⑥ 代入数据得：R2＝.0Ω
10．.如图所示，在竖直面内有两平行金属导轨AB、CD。导轨间距为L，电阻不计。一根电阻不计的金属棒ab可在导轨上无摩擦地滑动。棒与导轨垂直，并接触良好。导轨之间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感强度为B。导轨右边与电路连接。电路中的三个定值电阻阻值分别为2R、R和R。在BD间接有一水平放置的平行板电容器C，板间距离为d。得
（1）当ab以速度v0匀速向左运动时，电容器中质量为m的带电微粒恰好静止。试判断微粒的带电性质，及带电量的大小。
（2）ab棒由静止开始，以恒定的加速度a向左运动。求电容器中带电微粒达到最大速度的时间。（设带电微粒始终未与极板接触。）
解：（1）棒匀速向左运动，感应电流为顺时针方向，电容器上板带正电。
∵微粒受力平衡，电场力方向向上，场强方向向下 ∴微粒带负电 mg =
Uc
q d
Uc=IR mg =
I=
E 3R
E = Blv0 由以上各式求出
q=
3mgd
Blv0
（2）经时间t0，微粒受力平衡 当t t0时，a3 =
Uc
q d
Uc=
3mgdv1
或t0=0 Blat0 求出 t0=
Blaqa3
Blaq
t，越来越小，加速度方向向下 3md
，此时带电粒子速度达到最大值
Blaq
t– g，越来越大，加速度方向向上 3md
答案：⑪负电，q=
v03mgd3mgd
；⑫t0=或t0=
aBlaqBlv0
典型例题——导体在磁场中切割磁感线
（一）单导体运动切割磁感线
1．动——电——动 2．电——动——电
1.如图所示，有一电阻不计的光滑导体框架，水平放置在磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场中，框架宽为l.框架上放一质量为m、电阻为R的导体棒.现用一水平恒力F作用于棒上，使棒由静止开始运动，当棒的速度为零时，棒的加速度大小为_______；当棒的加速度为零时，速度为
_______.
解析： 速度为零时，只受恒力F作用，故a=得方程：B
F
；又加速度为零时，受力平衡，可m
FRBvl
l=F,得v=.
22
RBl
FRF
答案：
mB2l2
2.（2004年黄冈市）如图所示，平行金属导轨MN、PQ水平放置，M、P间接
阻值为R的固定电阻.金属棒ab垂直于导轨放置，且始终与导轨接触良好.导轨和金属棒的电阻不计.匀强磁场方向垂直导轨所在平面.现用垂直于ab棒的水平向右的外力F，拉动ab棒由静止开始向右做匀加速直线运动，则图中哪一个能够正确表示外力F随时间变化的规律
B2l2atBlvBlat
由闭合电路欧姆定律I==，可判断F=ma+，C选项正确.答案：C
RRR
3.如图所示，MN、PQ是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为l，导轨平面与水平面间的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B.在导轨的M、Q端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的质量为m的金属棒ab，从静止释放开始沿导轨下滑，求ab棒的最大速度.（要求画出ab棒的受力图，已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻不计）
解析：本题考查了电磁感应定律与力学规律的综合应用.
ab下滑做切割磁感线运动，产生的感应电流方向及受力如下图所示， E=Blv ① F=BIl ② a=
解析：由ab棒匀加速向右运动，分析ab棒受力可知ab棒水平方向受向右的拉力F和向左的安培力BIl，则F－BIl=ma，
mgsinθ-F-μN
m
③
mgsinθ-B2l2v/R-μmgcosθ
由式①②③可得 a=
m
在ab下滑过程中v增大，由上式知a减小，循环过程为v↑→E↑→I↑→F安↑→F合↓→a↓.在这个循环过程中，ab做加速度逐渐减小的加速运动，当a=0时（即循环结束时），速度到达最大值，设为vm,则有
B2l2vmmg(sinθ-μcosθ)R
mgsinθ=μmgcosθ+ 所以vm=.
22RBl
拓展：若将磁场方向改为竖直向上，求ab棒的最大速度. 答案：
mg(sinθ-μcosθ)
Bl
22
R
4. (04北京23)如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L。M、P两点间接有阻值为R的电阻。一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。导轨和金属杆的电阻可忽略。让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。
（1）由b向a方向看到的装置如图102-6所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。
解：（1）重力mg，竖直向下 支撑力N，垂直斜面向上 安培力F，沿斜面向上 （2）当ab杆速度为v时，感应电动势E
=Blv，此时电路中电流 I=
EBlv
=
RR
B2L2v
ab杆受到安培力F=BIL=
R
B2L2vB2L2v
根据牛顿运动定律，有 ma=mgsinθ-F=mgsinθ- a=gsinθ-
RmR
B2L2vmgRsinθ
=mgsinθ时，ab杆达到最大速度vm vm=（3）当
B2L2R
5．（05上海22）如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距lm，导轨平面与水平面成θ=37°角，下端连接阻值为R的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直．质量为0.2kg．电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25,求：
(1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；
(2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小； (3)在上问中，若R＝2Ω，金属棒中的电流方向由a到b，求磁感应强度的大小与方向．(gcos37°＝0.8)
解：⑪金属棒开始下滑的初速度为零,根据牛顿第二定律 由①式解得a
＝0.6， =10m/s2，sin37°
mgsinθ-μmgcosθ=ma
①
=10(0.6-0.25⨯0.8)m/s2=4m/s2 ②
⑫设金属棒运动达到稳定时,速度为v,所受安培力为F,棒在沿导轨方向受力平衡
mgsinθ-μmgcosθ-F=0 ③
此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率 由③、④两式解得v
Fv=P ④
=
P8=10 ⑤ =
F0.2⨯10⨯0.6-0.25⨯0.8⑬设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为l，磁场的磁感强度为B
I=
vBl
R
⑥ P
=I2R ⑦ 由⑥、⑦两式解得B=
PR⨯2
=T=0.4T ⑧ vl10⨯1
磁场方向垂直导轨平面向上
1.如图所示，金属杆ab、cd可以在光滑导轨PQ和RS上滑动，匀强磁场方向垂直纸面向里.当ab、cd分别以速度v1和v2滑动时，发现回路感生电流方向为逆时针方向，则v1和v2的大小、方向可能是
A.v1＞v2，v1向右，v2向左 B.v1＞v2，v1和v2都向左 C.v1=v2，v1和v2都向右 D.v1=v2，v1和v2都向左
解析：因回路abcd中产生逆时针方向的感生电流，由题意知回路abcd
的面积应增
大.选项A、C、D错误，B正确.
2.如图所示，光滑平行导轨仅水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，一根质量为2m的金属杆cd静止在水平轨道上，另一根质量为m的金属杆ab从斜轨道上高为h处由静止开始下滑，运动中两根杆始终与轨道垂直且接触良好，两杆之间未发生碰撞.若导电轨道有足够的长度，在两根金属杆与导电轨道组成的回路中所产生的热量是_________.
解析：当ab进入水平轨道时速度为v0，则v0=定律可知此时共同的速度为：mv0=mv′+2mv′，得v′=
gh；最后ab和cd的速度相同，此时不再产生感应电流.由动量守恒2111
v0.故由能量守恒得mgh=mv′2+（2m）v′2+Q，则Q=mgh.
2233
3．如图所示，金属棒a跨接在两金属轨道间，从高h处由静止开始沿光滑弧形平行金属轨道下滑，进入轨道的光滑水平部分之后，在自下向上的匀强磁场中运动，磁场的磁感应强度为B。在轨道的水平部分另有一个跨接在两轨道间的金属棒b，在a棒从高处滑下前b棒处于静止状态。已知两棒质量之比ma/mb=3/4,电阻之比为Ra/Rb=1/2,求：
（1）a棒进入磁场后做什么运动？b棒做什么运动？ （2）a棒刚进入磁场时，a、b两棒加速度之比.？ （3）如果两棒始终没有相碰，a和b的最大速度各多大？
解：(1)进入磁场后，棒a切割磁感线，回路中产生感应电流，使棒受到向左的安培力，从而使棒速度减小，感应电动势减小，电流减小，加速度减小，所以棒a做加速度减小的减速运动，棒b在向右的安培力作用下做加速运动，且加速度也是减小的，当Va=Vb时，回路中无感应电流，两棒的速度达到最大。
（2）棒a进入磁场后，感应电流Ia=Ib,La=Lb,因此棒a、b所受的安培力大小相等，
aam4
=-a=- 所以“-”表示棒a、b的加速度方向 abmb3
（3）棒a刚进入磁场时，速度最大，由机械能守恒可得：mgh
=
12
mvm 2
①
棒a、b受到的安培力等值反向，系统所受的合外力为0，系统动量守恒，mavb
+0=(ma+mb)v' ②
得到
v'=
32gh
7
4．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图5所示，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度υ0（见图）。若两导体棒在运动中始终不接触，
求：（1）在运动中产生的焦耳热量是多少。（2）当ab棒的速度变为初速度的
34
时，cd棒的加速度是多少？
解：（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒有mυ1＝2 mυ 根据能量守恒，整个过程中产生的总热量 Q＝
112
－mυ0
22
（2m）υ2＝
12
mυ0
4
（2）设ab棒的速度变为初速度的mυ0＝m
34
时，cd棒的速度为υ'，则由动量守恒可知
34
υ0＋mυ' 此时回路中的感应电动势和感应电流分别为ε＝（zυ0－υ'）Bl I＝
ε
2R
此时cd棒所受的安培力 F＝Ibl ca棒的加速度 a＝F 由以上各式，可得 a＝Blυ0
m4mR
1.如图所示，在平行于地面的匀强磁场上方，有两个用相同金属材料制成的边长相同的正方形线圈a、b，其中a的导线比b粗，它们从同一高度自由落下.则
A.它们同时落地 B.a先落地 C.b先落地
D.无法判断
解析：两线圈a、b从同一高度自由落下，进入磁场时速度相同，设该速度为v，此时的加速度设为a.由牛顿第二定律
22
B2l2vB2l2v
得 mg－=ma a=g－
RmR
由于两线圈边长相同，仅导线横截面积S不同，而m∝S，R∝
1
，故mR与S无关，所以a相同，从而可判断进入磁S
场的过程中和进入磁场后的各个时刻a、b两线圈的速度和加速度均相同，故它们同时落地，A正确.
也可将粗线圈视为是若干个细线圈捆在一起，其运动情况必然与细线圈的相同. 答案：A
2．（2004年武汉市）如图所示，在空中有一水平方向的匀强磁场区域，区域的上下边缘间距为h，磁感应强度为B.有一宽度为b（b＜h 、长度为L、电阻为) R、质量为m的矩形导体线圈紧贴磁场区域的上边缘从静止起竖直下落，当线圈的PQ边到达磁场下边缘时，恰好开始做匀速运动.求线圈的MN边刚好进入磁场时，线圈的速度大小.
解析：设线圈匀速穿出磁场的速度为v′，此时线圈中产生的感应电动势为 E=BLv′ ①
产生的感应电流为I=
E
R
② 线圈受到的安培力为F=BIL ③
此过程线圈受到的重力与安培力平衡mg=F ④ 联立①～④式得v′=
mgRBL
22
⑤
设线圈的上边刚好进入磁场时速度为v，当线圈全部在磁场中运动时，根据动能定理
mg（h－b）=
mgR21212
mv′－mv ⑥ 联立⑤⑥，解得v=(22)-2g(h-b). 22BL
典型例题——电磁感应与能量相结合
1.如图所示，abcd是一闭合的小金属线框，用一根绝缘细杆挂在固定点O，使金属线框绕竖直线OO′来回摆动的过程中穿过水平方向的匀强磁场区域，磁感线方向跟线框平面垂直.若悬点摩擦和空气阻力均不计，则下列判断正确的是
①线框进入或离开磁场区域时，都产生感应电流，而且电流的方向相反 ②线框进入磁场区域后越靠近OO′线时速度越大，因而产生的感应电流也越大 ③线框开始摆动后，摆角会越来越小，摆角小到某一值后将不再减小 ④线框摆动过程中，它的机械能将完全转化为线框电路中的电能 A.①③ B.②④ C.①②
D.②③
解析： 线框进入磁场时Φ增大，而离开磁场时Φ减小，完全进入磁场后Φ不变，故①对②错.当摆角小到线框仅在磁场中摆动时，Φ不变，机械能将保持不变，故③对④错.应选A.
答案：A
2.把导体匀速拉上斜面如图所示，则下列说法正确的是（不计棒和导轨的电阻，且接触面光滑，匀强磁场磁感应强度B垂直框面向上）（ ）
A、拉力做的功等于棒的机械能的增量 B、合力对棒做的功等于棒的动能的增量 C、拉力与棒受到的磁场力的合力为零
D、拉力对棒做的功与棒克服重力做的功之差等于回路中产生电能
3.如图所示，竖直平行金属导轨M、N上端接有电阻R，金属杆质量为m，跨在平行导轨上，垂直导轨平面的水平匀强磁场为B，不计ab与导轨电阻，不计摩擦，且ab与导轨接触良好，若ab杆在竖直向上的外力F作用下匀速上升，下列说法正确的是（ ）
A.拉力F所做的功等于电阻R上产生的热 B.拉力F与重力作功的代数和等于电阻R上产生的热
C.拉力F所做的功等于电阻R上产生的热及杆ab势能增加量之和 D. 杆ab克服安培力做的功等于电阻R上产生的热 答案：BCD
4.如图所示，质量为m、高为h的矩形导线框在竖直面内下落，其上下两边始终保持水平，途中恰好匀速穿过一有理想边界高亦为h的匀强磁场区域，线框在此过程中产生的内能为
A.mgh
B.2mgh C.大于mgh而小于2mgh
D.大于2mgh
解析：因线框匀速穿过磁场，在穿过磁场的过程中合外力做功为零，克服安培力做功为2mgh，产生的内能亦为2mgh. 答案：B
5.如图所示，把矩形线框从匀强磁场中匀速拉出，第一次用速度v1，第二次用速度v2，而且v2=2v1.若两次拉力所做的功分别为W1和W2，两次做功的功率分别为P1和P2，两次线圈产生的热量分别为Q1和Q2，则下列正确的是
A.W1=W2，P1=P2，Q1=Q2 B.W1＞W2，P1＞P2，Q1＞Q2 C.W1=W2，2P1=P2，2Q1=Q2 D.W2=2W1，P2=4P1，Q2=2Q1
222B2l1B2l1l2B2l1v2Bl1v
解析：设把矩形线框匀速拉出时的速度为v.则F=F安=BIl1=B·l1=v W=F·l2=v=Q P=Fv=
RRRR
a
N b
因v2=2v1，故W2=2W1 P2=4P1. 答案：D
6.如图所示，质量为m=100g的铝环，用细线悬挂起来，环中央距地面高度h=0.8m，有一质量为M=200g的小磁铁，以10m/s的水平速度射入并穿过铝环，落地点距铝环原位置的水平距离为3.6m，则磁铁与铝环发生相互作用时：(1)铝环向哪边倾斜？它能上升多高？(2)在磁铁穿过铝环的整个过程中，环中产生了多少电能？（g=10m/s）
解：(1)由楞次定律知，当小磁铁向右运动时，铝环阻碍相对运动向右偏斜，由磁铁穿过铝环飞行的水平距离可求出穿过后的速度
h=
12s
gt ① v= ② 2t
由水平方向动量守恒可求出铝环初速度Mv0再以铝环为研究对象，由机械能守恒得
=Mv+mv' ③
1'2
mv=mgh ④ 2
解得 h=0.2m (2)
由能量守恒知：
W电=
21112
Mv0-Mv2-mv
'=1.7J
222
7、如图所示，PQMN与CDEF为两根足够长的固定平行金属导轨，导轨间距为L。PQ、MN、CD、EF为相同的弧形导轨；QM、DE为足够长的水平导轨。导轨的水平部分QM和DE处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。a、b为材料相同、长都为L的导体棒，跨接在导轨上。已知a棒的质量为m、电阻为R，a棒的横截面是b的3倍。金属棒a和b都从距水平面高度为h的弧形导轨上由静止释放，分别通过DQ、EM同时进入匀强磁场中，a、b棒在水平导轨上运动时不会相碰。若金属棒a、b与导轨接触良好，且不计导轨的电阻和棒与导轨的摩擦。（1）金属棒a、b刚进入磁场时，回路中感应电流的方向如何？（2）通过分析计算说明，从金属棒a、b进入磁场至某金属第一次离开磁场的过程中，电路中产生的焦耳热。
解．(1)根据楞次定律可判断出，金属棒a、b刚进入磁场
时，回路中感应电流的方向为：QDEMQ。
(2)金属棒从弧形轨道滑下，机械能守恒， 由：mgh=
1
mv12 解出：v1=2gh ） 2
金属棒a、b同时进入磁场区域后，产生感应电流，受到安培力作用，速度发生变化，当a、b棒同速时，回路中磁通量不发生变化，则不产生感应电流，不受安培力作用，金属棒a、b将共同匀速运动。
由于a、b棒在水平方向所受合外力为零，故动量守恒，且由题可知：ma有：mav1-mbv1=(ma+mb)v2 解得：v2=
=3mb
1
2gh 2
方向：水平向右。 所以金属棒a、b将以速度v2匀速运动。从金属棒a、b进入磁场开始，到金属棒b第一次离开磁场的过程中，系统总能量守恒，由：(ma+mb)gh=
解出此过程中电路中产生的焦耳热：Q=mgh
6．正方形金属线框abcd，每边长l=0.1m，总质量m=0.1kg，回路总电阻R
1
(ma+mb)v22+Q 2
=0.02Ω，
用细线吊住，线的另一端跨过两个定滑轮，挂着一个质量为M=0.14kg的砝码。线框上方为一磁感应强度B=0.5T的匀强磁场区，如图，线框abcd在砝码M的牵引下做加速运动，当线框上边ab进入磁场后立即做匀速运动。接着线框全部进入磁场后又做加速运动（g=10m/s2）。问：
（1）线框匀速上升的速度多大？此时磁场对线框的作用力多大？ （2）线框匀速上升过程中，重物M做功多少？其中有多少转变为电能？
解：（1）当线框上边ab进入磁场，线圈中产生感应电流I，由楞次定律可知产生阻碍运动的安培力为F=BIl 线框匀速运动，线框受力平衡，F+mg=Mg
联立求解，得I=8A 由欧姆定律可得，E=IR=0.16V 由公式E=Blv，可求出v=3.2m/s F=BIl=0.4N （2）重物M下降做的功为W=Mgl=0.14J 由能量守恒可得产生的电能为E电
由于
=Mgl-mgl=0.04J
7．（05江苏16）如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直．磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v0．在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．
①求初始时刻导体棒受到的安培力．
②若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为Ep，则这一过程中安培力所做的功W1和电阻R上产生的焦耳热Q1分别为多少?
③导体棒往复运动，最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少?
解：①初始时刻棒中感应电动势：E
=Lv0B 棒中感应电流：I=
E
R
L2v0B2
作用于棒上的安培力F=ILB 联立得F=
R
②由功和能的关系，得，安培力做功W1电阻R上产生的焦耳热
安培力方向：水平向左
12
=Ep-mv0
2
Q1=
12
mv0-
Ep 2
③由能量转化及平衡条件等，可判断：棒最终静止于初始位置Q=12mv0 2
L2v0B2
答案：①F=R水平向左② 121212W1=Ep-mv0、Q1=mv0-Ep③Q=mv0 222
典型例题——电磁感应与图象相结合
1.（2004年内蒙古、海南、西藏、陕西四省区理综试题，19）一矩形线圈位于一随时间t变化的匀强磁场内，磁场方向垂直线圈所在的平面（纸面）向里，如图12－9所示.磁感应强度B随t的变化规律如图12－10所示.以I表示线圈中的感应电流，以图12－9中线圈上箭头所示方向的电流为正，则图12－11中的I－t图中正确的是
解析：由图12－10可知0～1时间内和3～4时间内磁感应强度B随t增加，且为线性增加，由楞次定律和法拉第电磁感应定律知，感应电流方向与图12－9中电流方向相反，且恒定不变.1～2时间内和5～6时间内磁感应强度B随t减小，故电流与图12－9中电流方向为正.4～5时间内，磁感应强度不变，故无感应电流，所以A图正确.
答案：A
2.图中两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为l，磁场方向垂直纸面向里。
abcd是位于纸面内的梯形线圈，ad与bc间的距离也为l。t=0时刻，bc边与磁场区域边界
重合（如图）。现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域。取沿a
→b→c→d→a的感应电流为正，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化
的图线可能是 （ ）
3．（04上海）水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通
过导线与阻值为
AR的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆(见右图8)，金属杆与导． B． C． D．
轨的电阻不计；均匀磁场竖直向下。用与导轨平行的恒定力F
作用在金属杆上，杆最终
将做匀速运动。当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会改变，v和F的关
系如右图6。(取重力加速度g=9.8m/s2)
(1) 金属杆在匀速运动之前做作什么运动？
(2) 若m=0.5kg，L=0.5m，R=0.5Ω，磁感应强度B为多大？
(3) 由v－F图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？
解:（1）金属棒在匀速运动之前做加速度逐渐减小、速度逐渐增大的变加速直线运
动。
（2）金属棒匀速运动时所受合力为0， B2L2vF=f+ R
v-F图象的斜率k=
由以上两式可得BvF-f =1R10.5==1T Lk0.52
（3）由v-F图线的截距可求得金属杆受到的阻力f=2N，如果金属杆受到的阻力就是导轨对金属杆的滑动摩擦力，还可求得动摩擦因数为
μ=ff2===0.4 Nmg0.5⨯10
典型例题——电磁感应与电路、电场相结合
1．如图所示，螺线管的导线的两端与两平行金属板相接，一个带负电的通草球用丝线悬挂在两金属板间，并处于静止状态，若条形磁铁突然插入线圈时，通草球的运动情况是（ ）
A、向左摆动 B、向右摆动
解：当磁铁插入时，穿过线圈的磁通量向左且增加，线圈产生感应电C、保持静止 D、无法确定
动势，因此线圈是一个产生感应电动势的电路，相当于一个电源，其等效电路图如图，因此A板带正电，B板带负电，故小球受电场力向左 答案：A
3．如图所示，匀强磁场B=0.1T，金属棒AB长0.4m，与框架宽度相同，电阻为R=1/3Ω,框架电阻不计，电阻R1=2Ω，R2=1Ω当金属棒以5m/s的速度匀速向左运动时，求：
(1)流过金属棒的感应电流多大？
(2)若图中电容器C为0.3μF，则充电量多少？(1)0.2A，(2)4×10-8C
解：（1）金属棒AB以5m/s的速度匀速向左运动时，切割磁感线，产生的感应电动势为E
=Blv，得E=0.1⨯0.4⨯5V=0.2V，
2
由串并联知识可得R外=Ω，R总=1Ω， 所以电流 I=0.2A
3
0.40.4-8
（2）电容器C并联在外电路上，U外=V 由公式 Q=CU=0.3⨯10-6⨯C=4⨯10C
33
4．（2003上海）粗细均习的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方
形线框的边平行。 现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图100-1所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差绝对值最大的是（ ）
解：沿四个不同方向移出线框的感应电动势都是E所示，显然图B’的Uab最大，选B。
=Blv，而a、b两点在电路中的位置不同，其等效电路如图100-2
A’
B’
C’
D’
5.（2004年东北三校联合考试）粗细均匀的电阻丝围成如图12－8所示的线框abcde（ab=bc）置于正方形有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面.现使线框以同样大小的速度匀速地沿四个不同方向平动进入磁场，并且速度方向始终与线框先进入磁场的那条边垂直，则在通过图示位置时，线框ab边两端点间的电势差绝对值最大的是
解析：线框通过图示各位置时，电动势均为E=Blv，图A中ab相当于电源，Uab最大. 答案：A
6.竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R.磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，与环的最高点A铰链连接的长度为2a、电阻为R/2的导体棒AB由水平位置紧贴环面摆下（如图）.当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为（ ）
A.2Bav
B.Bav
C.2Bav/3 D.Bav/3
解析：导体棒转至竖直位置时，感应电动势E=
1B·2a·v=Bav 2
RR⋅
+R=3R 总电流I=E=4Eav AB两端的电压U=E
电路中总电阻R总=
RR24R总3R+22
－I=
R21Bav. 3
答案：D
8．（04江苏35）如图100-3所示，U形导线框MNQP水平放置在磁感应强度B＝0.2T的匀强磁场中，磁感线方向与导线框所在平面垂直，导线MN和PQ足够长，间距为0．5m，横跨在导线框上的导体棒ab的电阻r＝1.0Ω，接在NQ间的电阻R＝4.OΩ，电压表为理想电表，其余电阻不计．若导体棒在水平外力作用下以速度ν＝2.0m/s向左做匀速直线运动，不计导体棒与导线框间的摩擦．
(1)通过电阻R的电流方向如何? (2)电压表的示数为多少?
(3)若某一时刻撤去水平外力，则从该时刻起，在导体棒运动1.0m的过程中，通过导体棒的电荷量为多少?
解：(1)由右手定则可判断，导体棒中的电流方向为b→a，则通过电阻R的电流方向为N→Q
(2)由感应电动势的公式，得 E=Blv ①
设电路中的电流为I，由闭合电路欧姆定律，得
②
又电压表的示数等于电阻R两端的电压值，则有 U=IR ③
综合①②③式，得
④ 代入数值，得 U=0.16V ⑤
(3)撤去水平外力后，导体棒将在安培力的作用下，做减速运动．设在导体棒运动x=1.0m的过程中，导体棒中产生的感应电动势的平均值为E’
由法拉第电磁感应定律，得
⑥ 由闭合电路欧姆定律，得
⑦
设通过导体棒的电荷量为Q，则有 Q = I △t ⑧
综合⑥、⑦、⑧式，得
⑨ 代入数值，得 Q=2.0×10-2C ⑩
答案：通过电阻R的电流方向为N→Q 0.16V
2.0⨯10-2c
拓展1.（2003年北京海淀区模拟题） 如图所示，MN和PQ是固定在水平面内间距L＝0.20 m的平行金属轨道，轨道的电阻忽略不计.金属杆ab垂直放置在轨道上.两轨道间连接有阻值为R0＝1.5 Ω的电阻，ab杆的电阻R＝0.50 Ω.ab杆与轨道接触良好并不计摩擦，整个装置放置在磁感应强度为B＝0.50 T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向下.对ab杆施加一水平向右的拉力，使之以v＝5.0 m/s的速度在金属轨道上向右匀速运动.求：
（1）通过电阻R0的电流;
（2）对ab杆施加的水平向右的拉力的大小; （3）ab杆两端的电势差.
解析：（1）a、b杆上产生的感应电动势为E=BLv=0.50 V. 根据闭合电路欧姆定律，通过R0的电流I=
E
=0.25 A.
R0+R
（2）由于ab杆做匀速运动，拉力和磁场对电流的安培力F大小相等，即F拉=F=BIL=0.025 N. （3）根据欧姆定律，ab杆两端的电势差Uab=
ER0BLvR0
==0.375 V.
R+R0R+R0
答案：（1） 0.50 V （2）0.025 N （3）0.375 V
拓展2.如图所示，水平面上有两根相距0.5m的足够长的平行金属导轨MN和PQ，它们的电阻可忽略不计，在M和 P之间接有阻值为R的定值电阻，导体棒ab长l＝0.5m，其电阻为r，与导轨接触良好.整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.4T.现使ab以v＝10m/s的速度向右做匀速运动.
(1) (2)
ab中的感应电动势多大?
ab中电流的方向如何?
E=Blv ① 代入数据得：E=2.0V ②
(3)若定值电阻R＝3.OΩ,导体棒的电阻r＝1.OΩ,，则电路电流大? 解：（1）ab中的感应电动势为： （2）ab中电流方向为b→a
（3）由闭合电路欧姆定律，回路中的电流
I=
E
R+r
③ 代入数据得：I＝0.5A ④
答案：（1）2.0V（2）ab中电流方向为b→a（3）0.5A
拓展3.如图所示，MN、PQ是两条水平放置彼此平行的金属导轨，匀强磁场的磁感线垂直导轨平面．导轨左端接阻值R=1.5Ω的电阻，电阻两端并联一电压表，垂直导轨跨接一金属杆ab，ab的质量m=0.1kg，电阻r=0.5Ω．ab与导轨间动摩擦因数μ=0.5，导轨电阻不计，现用F=0.7N的恒力水平向右拉ab，使之从静止开始运动，经时间t=2s后，ab开始做匀速运动，此时电压表示数U=0.3V．重力加速度g=10m／s2．求：
（1）ab匀速运动时，外力F的功率． （2）ab杆加速过程中，通过R的电量． （3）ab杆加速运动的距离．
解：（1）设导轨间距为L，磁感应强度为B，ab杆匀速运动的速度为v，电流为I，此时ab杆受力如图所示：由平衡条件得：F=μmg+ILB①
由欧姆定律得：I=BLv=U ②
R+rR
由①②解得：BL=1T·m v=0.4m/s ③ F的功率：P=Fv=0.7×0.4W=0.28W ④
（2）设ab加速时间为t，加速过程的平均感应电流为I，由动量定理：
Ft-μmgt-ILBt=mv ⑤ 解得：q=I⋅t=0.36C ⑥
（3）设加速运动距离为s，由法拉第电磁感应定律得E=又E
∆ΦBLs ⑦
=∆tt
BL
1
=I(R+r) ⑧ 由⑥⑦⑧解得 s=q(R+r)=0.36⨯2m=0.72m
9．(05天津23)图中MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0．40m，电阻不计。导轨所在平面与磁感应强度B为0．50T的匀强磁场垂直。质量m为6．0×10-3kg．电阻为1．0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触。导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3．0Ω的电阻R1。当杆ab达到稳定状态时以速率v匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0．27W，重力加速度取10m/s2，试求速率v和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2。
解:由能量守恒定律得：mgv=P ①
代入数据得：v=4.5m/s ② E＝BLv ③
设电阻Ra与Rb的并联电阻为R外，ab棒的电阻为r，有
a
111
＝+R外RaRb
⑦
I=
ER外+r
⑤ P=IE ⑥ 代入数据得：R2＝.0Ω
10．.如图所示，在竖直面内有两平行金属导轨AB、CD。导轨间距为L，电阻不计。一根电阻不计的金属棒ab可在导轨上无摩擦地滑动。棒与导轨垂直，并接触良好。导轨之间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感强度为B。导轨右边与电路连接。电路中的三个定值电阻阻值分别为2R、R和R。在BD间接有一水平放置的平行板电容器C，板间距离为d。得
（1）当ab以速度v0匀速向左运动时，电容器中质量为m的带电微粒恰好静止。试判断微粒的带电性质，及带电量的大小。
（2）ab棒由静止开始，以恒定的加速度a向左运动。求电容器中带电微粒达到最大速度的时间。（设带电微粒始终未与极板接触。）
解：（1）棒匀速向左运动，感应电流为顺时针方向，电容器上板带正电。
∵微粒受力平衡，电场力方向向上，场强方向向下 ∴微粒带负电 mg =
Uc
q d
Uc=IR mg =
I=
E 3R
E = Blv0 由以上各式求出
q=
3mgd
Blv0
（2）经时间t0，微粒受力平衡 当t t0时，a3 =
Uc
q d
Uc=
3mgdv1
或t0=0 Blat0 求出 t0=
Blaqa3
Blaq
t，越来越小，加速度方向向下 3md
，此时带电粒子速度达到最大值
Blaq
t– g，越来越大，加速度方向向上 3md
答案：⑪负电，q=
v03mgd3mgd
；⑫t0=或t0=
aBlaqBlv0
典型例题——导体在磁场中切割磁感线
（一）单导体运动切割磁感线
1．动——电——动 2．电——动——电
1.如图所示，有一电阻不计的光滑导体框架，水平放置在磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场中，框架宽为l.框架上放一质量为m、电阻为R的导体棒.现用一水平恒力F作用于棒上，使棒由静止开始运动，当棒的速度为零时，棒的加速度大小为_______；当棒的加速度为零时，速度为
_______.
解析： 速度为零时，只受恒力F作用，故a=得方程：B
F
；又加速度为零时，受力平衡，可m
FRBvl
l=F,得v=.
22
RBl
FRF
答案：
mB2l2
2.（2004年黄冈市）如图所示，平行金属导轨MN、PQ水平放置，M、P间接
阻值为R的固定电阻.金属棒ab垂直于导轨放置，且始终与导轨接触良好.导轨和金属棒的电阻不计.匀强磁场方向垂直导轨所在平面.现用垂直于ab棒的水平向右的外力F，拉动ab棒由静止开始向右做匀加速直线运动，则图中哪一个能够正确表示外力F随时间变化的规律
B2l2atBlvBlat
由闭合电路欧姆定律I==，可判断F=ma+，C选项正确.答案：C
RRR
3.如图所示，MN、PQ是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为l，导轨平面与水平面间的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B.在导轨的M、Q端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的质量为m的金属棒ab，从静止释放开始沿导轨下滑，求ab棒的最大速度.（要求画出ab棒的受力图，已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻不计）
解析：本题考查了电磁感应定律与力学规律的综合应用.
ab下滑做切割磁感线运动，产生的感应电流方向及受力如下图所示， E=Blv ① F=BIl ② a=
解析：由ab棒匀加速向右运动，分析ab棒受力可知ab棒水平方向受向右的拉力F和向左的安培力BIl，则F－BIl=ma，
mgsinθ-F-μN
m
③
mgsinθ-B2l2v/R-μmgcosθ
由式①②③可得 a=
m
在ab下滑过程中v增大，由上式知a减小，循环过程为v↑→E↑→I↑→F安↑→F合↓→a↓.在这个循环过程中，ab做加速度逐渐减小的加速运动，当a=0时（即循环结束时），速度到达最大值，设为vm,则有
B2l2vmmg(sinθ-μcosθ)R
mgsinθ=μmgcosθ+ 所以vm=.
22RBl
拓展：若将磁场方向改为竖直向上，求ab棒的最大速度. 答案：
mg(sinθ-μcosθ)
Bl
22
R
4. (04北京23)如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L。M、P两点间接有阻值为R的电阻。一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。导轨和金属杆的电阻可忽略。让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。
（1）由b向a方向看到的装置如图102-6所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。
解：（1）重力mg，竖直向下 支撑力N，垂直斜面向上 安培力F，沿斜面向上 （2）当ab杆速度为v时，感应电动势E
=Blv，此时电路中电流 I=
EBlv
=
RR
B2L2v
ab杆受到安培力F=BIL=
R
B2L2vB2L2v
根据牛顿运动定律，有 ma=mgsinθ-F=mgsinθ- a=gsinθ-
RmR
B2L2vmgRsinθ
=mgsinθ时，ab杆达到最大速度vm vm=（3）当
B2L2R
5．（05上海22）如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距lm，导轨平面与水平面成θ=37°角，下端连接阻值为R的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直．质量为0.2kg．电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25,求：
(1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；
(2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小； (3)在上问中，若R＝2Ω，金属棒中的电流方向由a到b，求磁感应强度的大小与方向．(gcos37°＝0.8)
解：⑪金属棒开始下滑的初速度为零,根据牛顿第二定律 由①式解得a
＝0.6， =10m/s2，sin37°
mgsinθ-μmgcosθ=ma
①
=10(0.6-0.25⨯0.8)m/s2=4m/s2 ②
⑫设金属棒运动达到稳定时,速度为v,所受安培力为F,棒在沿导轨方向受力平衡
mgsinθ-μmgcosθ-F=0 ③
此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率 由③、④两式解得v
Fv=P ④
=
P8=10 ⑤ =
F0.2⨯10⨯0.6-0.25⨯0.8⑬设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为l，磁场的磁感强度为B
I=
vBl
R
⑥ P
=I2R ⑦ 由⑥、⑦两式解得B=
PR⨯2
=T=0.4T ⑧ vl10⨯1
磁场方向垂直导轨平面向上
1.如图所示，金属杆ab、cd可以在光滑导轨PQ和RS上滑动，匀强磁场方向垂直纸面向里.当ab、cd分别以速度v1和v2滑动时，发现回路感生电流方向为逆时针方向，则v1和v2的大小、方向可能是
A.v1＞v2，v1向右，v2向左 B.v1＞v2，v1和v2都向左 C.v1=v2，v1和v2都向右 D.v1=v2，v1和v2都向左
解析：因回路abcd中产生逆时针方向的感生电流，由题意知回路abcd
的面积应增
大.选项A、C、D错误，B正确.
2.如图所示，光滑平行导轨仅水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，一根质量为2m的金属杆cd静止在水平轨道上，另一根质量为m的金属杆ab从斜轨道上高为h处由静止开始下滑，运动中两根杆始终与轨道垂直且接触良好，两杆之间未发生碰撞.若导电轨道有足够的长度，在两根金属杆与导电轨道组成的回路中所产生的热量是_________.
解析：当ab进入水平轨道时速度为v0，则v0=定律可知此时共同的速度为：mv0=mv′+2mv′，得v′=
gh；最后ab和cd的速度相同，此时不再产生感应电流.由动量守恒2111
v0.故由能量守恒得mgh=mv′2+（2m）v′2+Q，则Q=mgh.
2233
3．如图所示，金属棒a跨接在两金属轨道间，从高h处由静止开始沿光滑弧形平行金属轨道下滑，进入轨道的光滑水平部分之后，在自下向上的匀强磁场中运动，磁场的磁感应强度为B。在轨道的水平部分另有一个跨接在两轨道间的金属棒b，在a棒从高处滑下前b棒处于静止状态。已知两棒质量之比ma/mb=3/4,电阻之比为Ra/Rb=1/2,求：
（1）a棒进入磁场后做什么运动？b棒做什么运动？ （2）a棒刚进入磁场时，a、b两棒加速度之比.？ （3）如果两棒始终没有相碰，a和b的最大速度各多大？
解：(1)进入磁场后，棒a切割磁感线，回路中产生感应电流，使棒受到向左的安培力，从而使棒速度减小，感应电动势减小，电流减小，加速度减小，所以棒a做加速度减小的减速运动，棒b在向右的安培力作用下做加速运动，且加速度也是减小的，当Va=Vb时，回路中无感应电流，两棒的速度达到最大。
（2）棒a进入磁场后，感应电流Ia=Ib,La=Lb,因此棒a、b所受的安培力大小相等，
aam4
=-a=- 所以“-”表示棒a、b的加速度方向 abmb3
（3）棒a刚进入磁场时，速度最大，由机械能守恒可得：mgh
=
12
mvm 2
①
棒a、b受到的安培力等值反向，系统所受的合外力为0，系统动量守恒，mavb
+0=(ma+mb)v' ②
得到
v'=
32gh
7
4．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图5所示，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度υ0（见图）。若两导体棒在运动中始终不接触，
求：（1）在运动中产生的焦耳热量是多少。（2）当ab棒的速度变为初速度的
34
时，cd棒的加速度是多少？
解：（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒有mυ1＝2 mυ 根据能量守恒，整个过程中产生的总热量 Q＝
112
－mυ0
22
（2m）υ2＝
12
mυ0
4
（2）设ab棒的速度变为初速度的mυ0＝m
34
时，cd棒的速度为υ'，则由动量守恒可知
34
υ0＋mυ' 此时回路中的感应电动势和感应电流分别为ε＝（zυ0－υ'）Bl I＝
ε
2R
此时cd棒所受的安培力 F＝Ibl ca棒的加速度 a＝F 由以上各式，可得 a＝Blυ0
m4mR
1.如图所示，在平行于地面的匀强磁场上方，有两个用相同金属材料制成的边长相同的正方形线圈a、b，其中a的导线比b粗，它们从同一高度自由落下.则
A.它们同时落地 B.a先落地 C.b先落地
D.无法判断
解析：两线圈a、b从同一高度自由落下，进入磁场时速度相同，设该速度为v，此时的加速度设为a.由牛顿第二定律
22
B2l2vB2l2v
得 mg－=ma a=g－
RmR
由于两线圈边长相同，仅导线横截面积S不同，而m∝S，R∝
1
，故mR与S无关，所以a相同，从而可判断进入磁S
场的过程中和进入磁场后的各个时刻a、b两线圈的速度和加速度均相同，故它们同时落地，A正确.
也可将粗线圈视为是若干个细线圈捆在一起，其运动情况必然与细线圈的相同. 答案：A
2．（2004年武汉市）如图所示，在空中有一水平方向的匀强磁场区域，区域的上下边缘间距为h，磁感应强度为B.有一宽度为b（b＜h 、长度为L、电阻为) R、质量为m的矩形导体线圈紧贴磁场区域的上边缘从静止起竖直下落，当线圈的PQ边到达磁场下边缘时，恰好开始做匀速运动.求线圈的MN边刚好进入磁场时，线圈的速度大小.
解析：设线圈匀速穿出磁场的速度为v′，此时线圈中产生的感应电动势为 E=BLv′ ①
产生的感应电流为I=
E
R
② 线圈受到的安培力为F=BIL ③
此过程线圈受到的重力与安培力平衡mg=F ④ 联立①～④式得v′=
mgRBL
22
⑤
设线圈的上边刚好进入磁场时速度为v，当线圈全部在磁场中运动时，根据动能定理
mg（h－b）=
mgR21212
mv′－mv ⑥ 联立⑤⑥，解得v=(22)-2g(h-b). 22BL
典型例题——电磁感应与能量相结合
1.如图所示，abcd是一闭合的小金属线框，用一根绝缘细杆挂在固定点O，使金属线框绕竖直线OO′来回摆动的过程中穿过水平方向的匀强磁场区域，磁感线方向跟线框平面垂直.若悬点摩擦和空气阻力均不计，则下列判断正确的是
①线框进入或离开磁场区域时，都产生感应电流，而且电流的方向相反 ②线框进入磁场区域后越靠近OO′线时速度越大，因而产生的感应电流也越大 ③线框开始摆动后，摆角会越来越小，摆角小到某一值后将不再减小 ④线框摆动过程中，它的机械能将完全转化为线框电路中的电能 A.①③ B.②④ C.①②
D.②③
解析： 线框进入磁场时Φ增大，而离开磁场时Φ减小，完全进入磁场后Φ不变，故①对②错.当摆角小到线框仅在磁场中摆动时，Φ不变，机械能将保持不变，故③对④错.应选A.
答案：A
2.把导体匀速拉上斜面如图所示，则下列说法正确的是（不计棒和导轨的电阻，且接触面光滑，匀强磁场磁感应强度B垂直框面向上）（ ）
A、拉力做的功等于棒的机械能的增量 B、合力对棒做的功等于棒的动能的增量 C、拉力与棒受到的磁场力的合力为零
D、拉力对棒做的功与棒克服重力做的功之差等于回路中产生电能
3.如图所示，竖直平行金属导轨M、N上端接有电阻R，金属杆质量为m，跨在平行导轨上，垂直导轨平面的水平匀强磁场为B，不计ab与导轨电阻，不计摩擦，且ab与导轨接触良好，若ab杆在竖直向上的外力F作用下匀速上升，下列说法正确的是（ ）
A.拉力F所做的功等于电阻R上产生的热 B.拉力F与重力作功的代数和等于电阻R上产生的热
C.拉力F所做的功等于电阻R上产生的热及杆ab势能增加量之和 D. 杆ab克服安培力做的功等于电阻R上产生的热 答案：BCD
4.如图所示，质量为m、高为h的矩形导线框在竖直面内下落，其上下两边始终保持水平，途中恰好匀速穿过一有理想边界高亦为h的匀强磁场区域，线框在此过程中产生的内能为
A.mgh
B.2mgh C.大于mgh而小于2mgh
D.大于2mgh
解析：因线框匀速穿过磁场，在穿过磁场的过程中合外力做功为零，克服安培力做功为2mgh，产生的内能亦为2mgh. 答案：B
5.如图所示，把矩形线框从匀强磁场中匀速拉出，第一次用速度v1，第二次用速度v2，而且v2=2v1.若两次拉力所做的功分别为W1和W2，两次做功的功率分别为P1和P2，两次线圈产生的热量分别为Q1和Q2，则下列正确的是
A.W1=W2，P1=P2，Q1=Q2 B.W1＞W2，P1＞P2，Q1＞Q2 C.W1=W2，2P1=P2，2Q1=Q2 D.W2=2W1，P2=4P1，Q2=2Q1
222B2l1B2l1l2B2l1v2Bl1v
解析：设把矩形线框匀速拉出时的速度为v.则F=F安=BIl1=B·l1=v W=F·l2=v=Q P=Fv=
RRRR
a
N b
因v2=2v1，故W2=2W1 P2=4P1. 答案：D
6.如图所示，质量为m=100g的铝环，用细线悬挂起来，环中央距地面高度h=0.8m，有一质量为M=200g的小磁铁，以10m/s的水平速度射入并穿过铝环，落地点距铝环原位置的水平距离为3.6m，则磁铁与铝环发生相互作用时：(1)铝环向哪边倾斜？它能上升多高？(2)在磁铁穿过铝环的整个过程中，环中产生了多少电能？（g=10m/s）
解：(1)由楞次定律知，当小磁铁向右运动时，铝环阻碍相对运动向右偏斜，由磁铁穿过铝环飞行的水平距离可求出穿过后的速度
h=
12s
gt ① v= ② 2t
由水平方向动量守恒可求出铝环初速度Mv0再以铝环为研究对象，由机械能守恒得
=Mv+mv' ③
1'2
mv=mgh ④ 2
解得 h=0.2m (2)
由能量守恒知：
W电=
21112
Mv0-Mv2-mv
'=1.7J
222
7、如图所示，PQMN与CDEF为两根足够长的固定平行金属导轨，导轨间距为L。PQ、MN、CD、EF为相同的弧形导轨；QM、DE为足够长的水平导轨。导轨的水平部分QM和DE处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。a、b为材料相同、长都为L的导体棒，跨接在导轨上。已知a棒的质量为m、电阻为R，a棒的横截面是b的3倍。金属棒a和b都从距水平面高度为h的弧形导轨上由静止释放，分别通过DQ、EM同时进入匀强磁场中，a、b棒在水平导轨上运动时不会相碰。若金属棒a、b与导轨接触良好，且不计导轨的电阻和棒与导轨的摩擦。（1）金属棒a、b刚进入磁场时，回路中感应电流的方向如何？（2）通过分析计算说明，从金属棒a、b进入磁场至某金属第一次离开磁场的过程中，电路中产生的焦耳热。
解．(1)根据楞次定律可判断出，金属棒a、b刚进入磁场
时，回路中感应电流的方向为：QDEMQ。
(2)金属棒从弧形轨道滑下，机械能守恒， 由：mgh=
1
mv12 解出：v1=2gh ） 2
金属棒a、b同时进入磁场区域后，产生感应电流，受到安培力作用，速度发生变化，当a、b棒同速时，回路中磁通量不发生变化，则不产生感应电流，不受安培力作用，金属棒a、b将共同匀速运动。
由于a、b棒在水平方向所受合外力为零，故动量守恒，且由题可知：ma有：mav1-mbv1=(ma+mb)v2 解得：v2=
=3mb
1
2gh 2
方向：水平向右。 所以金属棒a、b将以速度v2匀速运动。从金属棒a、b进入磁场开始，到金属棒b第一次离开磁场的过程中，系统总能量守恒，由：(ma+mb)gh=
解出此过程中电路中产生的焦耳热：Q=mgh
6．正方形金属线框abcd，每边长l=0.1m，总质量m=0.1kg，回路总电阻R
1
(ma+mb)v22+Q 2
=0.02Ω，
用细线吊住，线的另一端跨过两个定滑轮，挂着一个质量为M=0.14kg的砝码。线框上方为一磁感应强度B=0.5T的匀强磁场区，如图，线框abcd在砝码M的牵引下做加速运动，当线框上边ab进入磁场后立即做匀速运动。接着线框全部进入磁场后又做加速运动（g=10m/s2）。问：
（1）线框匀速上升的速度多大？此时磁场对线框的作用力多大？ （2）线框匀速上升过程中，重物M做功多少？其中有多少转变为电能？
解：（1）当线框上边ab进入磁场，线圈中产生感应电流I，由楞次定律可知产生阻碍运动的安培力为F=BIl 线框匀速运动，线框受力平衡，F+mg=Mg
联立求解，得I=8A 由欧姆定律可得，E=IR=0.16V 由公式E=Blv，可求出v=3.2m/s F=BIl=0.4N （2）重物M下降做的功为W=Mgl=0.14J 由能量守恒可得产生的电能为E电
由于
=Mgl-mgl=0.04J
7．（05江苏16）如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直．磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v0．在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．
①求初始时刻导体棒受到的安培力．
②若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为Ep，则这一过程中安培力所做的功W1和电阻R上产生的焦耳热Q1分别为多少?
③导体棒往复运动，最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少?
解：①初始时刻棒中感应电动势：E
=Lv0B 棒中感应电流：I=
E
R
L2v0B2
作用于棒上的安培力F=ILB 联立得F=
R
②由功和能的关系，得，安培力做功W1电阻R上产生的焦耳热
安培力方向：水平向左
12
=Ep-mv0
2
Q1=
12
mv0-
Ep 2
③由能量转化及平衡条件等，可判断：棒最终静止于初始位置Q=12mv0 2
L2v0B2
答案：①F=R水平向左② 121212W1=Ep-mv0、Q1=mv0-Ep③Q=mv0 222
典型例题——电磁感应与图象相结合
1.（2004年内蒙古、海南、西藏、陕西四省区理综试题，19）一矩形线圈位于一随时间t变化的匀强磁场内，磁场方向垂直线圈所在的平面（纸面）向里，如图12－9所示.磁感应强度B随t的变化规律如图12－10所示.以I表示线圈中的感应电流，以图12－9中线圈上箭头所示方向的电流为正，则图12－11中的I－t图中正确的是
解析：由图12－10可知0～1时间内和3～4时间内磁感应强度B随t增加，且为线性增加，由楞次定律和法拉第电磁感应定律知，感应电流方向与图12－9中电流方向相反，且恒定不变.1～2时间内和5～6时间内磁感应强度B随t减小，故电流与图12－9中电流方向为正.4～5时间内，磁感应强度不变，故无感应电流，所以A图正确.
答案：A
2.图中两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为l，磁场方向垂直纸面向里。
abcd是位于纸面内的梯形线圈，ad与bc间的距离也为l。t=0时刻，bc边与磁场区域边界
重合（如图）。现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域。取沿a
→b→c→d→a的感应电流为正，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化
的图线可能是 （ ）
3．（04上海）水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通
过导线与阻值为
AR的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆(见右图8)，金属杆与导． B． C． D．
轨的电阻不计；均匀磁场竖直向下。用与导轨平行的恒定力F
作用在金属杆上，杆最终
将做匀速运动。当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会改变，v和F的关
系如右图6。(取重力加速度g=9.8m/s2)
(1) 金属杆在匀速运动之前做作什么运动？
(2) 若m=0.5kg，L=0.5m，R=0.5Ω，磁感应强度B为多大？
(3) 由v－F图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？
解:（1）金属棒在匀速运动之前做加速度逐渐减小、速度逐渐增大的变加速直线运
动。
（2）金属棒匀速运动时所受合力为0， B2L2vF=f+ R
v-F图象的斜率k=
由以上两式可得BvF-f =1R10.5==1T Lk0.52
（3）由v-F图线的截距可求得金属杆受到的阻力f=2N，如果金属杆受到的阻力就是导轨对金属杆的滑动摩擦力，还可求得动摩擦因数为
μ=ff2===0.4 Nmg0.5⨯10