应用随机过程试题及答案
一．概念简答题（每题5 分，共40 分）
1. 写出卡尔曼滤波的算法公式
2. 写出ARMA （p,q ）模型的定义
3. 简述Poisson 过程的随机分流定理
4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念
5. 简述Markov 状态分解定理
6．简述HMM 要解决的三个主要问题 得分 B 卷（共9 页）第2 页
7. 什么是随机过程，随机序列？ 8．什么是时齐的独立增量过程？
二．综合题（每题10 分，共60 分）
1 ． 一 维 对 称 流 动 随 机 过 程 n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具 有 的 概 率 分 布 为 且 1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求 1 Y 与 2 Y 的概率分布及其联合概率分布。
2. 已知随机变量 Y 的密度函数为 其 他 而且，在给定 Y=y 条件 下，随机变量X 的条件密度函数为 ? ? 其 他 试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数 ( , ) f x y . 得分 B 卷（共9 页）第3 页
3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为 ( ,其 他 试求 p{x
4．设随机过程 ( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求 数学期望 ( ) t E X ，方差 ( ) t D X ，相关函数 1 2 ( , ) X R t t ，协方差 1 2 ( , ) X C t t 。 B 卷（共9 页）第4 页 5 ． 设马尔科夫链的状态 空 间 为 I={0,1}, 一 步 转 移 概 率 矩 阵 为
P= 0 ，求其相应的极限分布。 6． 设I={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵P= 1 1 0 0 2 2 1 0 0 0 1 ，试画出状态传递图， 对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。 B 卷（共9 页）第5 页 河北科技大学2010——2011 学年第一学期 《应用随机过程》试卷
（B ）
答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分）
1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 答：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)…(1) P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q…(2) X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1))…
(3) Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1)H’+R)…(4) P(k|k)=(I-Kg(k)H) P(k|k-1)…
(5) 2．写出ARMA （p,q ）模型的定义 答 : 自 回 归 移 动 平 均 ARMA(p,q) 模 型 为 1 1 2 2 1 1 2 2 t t t p t p t t q t q X X X X ?其中，p 和 q 是模型 的自回归阶数和移动平均阶数； , ? ? 是不为0 的待定系数； t ? 是独立的误差项； t X 是平稳、正态、零均值的时间序列。 3 简述Poisson 过程的随机分流定理 答：设 t N 为强度为? 的poisson 过程，如果把其相应的指数流看成顾客流，用 与此指数流相互独立的概率p, 把每个到达的顾客，归入第一类，而以概率1-p 把 他归入第二类。对i=1,2,记 ( ) i t N 为t 前到达的第i 类顾客数，那么 (1) ( 2 ) { : 0} , { : 0} t t N t N t ? ? 分别为强度为p? 与（1-p ）? 的poisson 过程，而且这 两个过程相互独立。 4 简述Markov 链与Markov 性质的概念 答：如果随机变量是离散的，而且对于 0 n ? ? 及任意状态 0 1 1 1 1 0 0 1 , , , , , ( | , , , ) ( | ) n n n n n n n i j i i p j i i i p j i都有 ，该随 机序列为Markov 链，该对应的性质为Markov 性质。 5. 简述Markov
状态分解定理 答：(1) Markov 链的状态空间S 可惟一分解为 1 2 S T H H ? ? ? ? ，其中T 为 B 卷（共9 页）第6 页 暂态的全体，而 i H 为等价常返类。 （2）若 Markov 链的初分布集中在某个常返类 k H 上，则此 Markov 链概率为 1 地永远在此常返类中，也就是说，它也可以看成状态空间为 k H 的不可约Markov 链。 6．简述HMM 要解决的三个主要问题 答：(1)从一段观测序列{ , } k Y k m ? 及已知的模型 ( , , ) A B ? ? ? 出发，估计 n X 的最 佳值，称为解码问题。这是状态估计的问题。 (2) 从一段观测序列{ , } k Y k m ? 出发，估计模型参数组 ( , , ) A B ? ? ? ，称为学习问 题。这是参数估计问题。 (3) 对于一个特定的观测链{ , } k Y k m ? ，已知它可能是由已经学习好的若干模型 之一所得的观测，要决定此观测究竟是得自于哪一个模型，这称为识别问题，就 是分类问题。 7． 什么是随机过程，随机序列？ 答：设T 为[0，+? ）或（- ? ，+? ），依赖于t(t? T)的一族随机变量（或随
应用随机过程试题及答案
一．概念简答题（每题5 分，共40 分）
1. 写出卡尔曼滤波的算法公式
2. 写出ARMA （p,q ）模型的定义
3. 简述Poisson 过程的随机分流定理
4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念
5. 简述Markov 状态分解定理
6．简述HMM 要解决的三个主要问题 得分 B 卷（共9 页）第2 页
7. 什么是随机过程，随机序列？ 8．什么是时齐的独立增量过程？
二．综合题（每题10 分，共60 分）
1 ． 一 维 对 称 流 动 随 机 过 程 n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具 有 的 概 率 分 布 为 且 1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求 1 Y 与 2 Y 的概率分布及其联合概率分布。
2. 已知随机变量 Y 的密度函数为 其 他 而且，在给定 Y=y 条件 下，随机变量X 的条件密度函数为 ? ? 其 他 试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数 ( , ) f x y . 得分 B 卷（共9 页）第3 页
3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为 ( ,其 他 试求 p{x
4．设随机过程 ( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求 数学期望 ( ) t E X ，方差 ( ) t D X ，相关函数 1 2 ( , ) X R t t ，协方差 1 2 ( , ) X C t t 。 B 卷（共9 页）第4 页 5 ． 设马尔科夫链的状态 空 间 为 I={0,1}, 一 步 转 移 概 率 矩 阵 为
P= 0 ，求其相应的极限分布。 6． 设I={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵P= 1 1 0 0 2 2 1 0 0 0 1 ，试画出状态传递图， 对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。 B 卷（共9 页）第5 页 河北科技大学2010——2011 学年第一学期 《应用随机过程》试卷
（B ）
答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分）
1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 答：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)…(1) P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q…(2) X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1))…
(3) Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1)H’+R)…(4) P(k|k)=(I-Kg(k)H) P(k|k-1)…
(5) 2．写出ARMA （p,q ）模型的定义 答 : 自 回 归 移 动 平 均 ARMA(p,q) 模 型 为 1 1 2 2 1 1 2 2 t t t p t p t t q t q X X X X ?其中，p 和 q 是模型 的自回归阶数和移动平均阶数； , ? ? 是不为0 的待定系数； t ? 是独立的误差项； t X 是平稳、正态、零均值的时间序列。 3 简述Poisson 过程的随机分流定理 答：设 t N 为强度为? 的poisson 过程，如果把其相应的指数流看成顾客流，用 与此指数流相互独立的概率p, 把每个到达的顾客，归入第一类，而以概率1-p 把 他归入第二类。对i=1,2,记 ( ) i t N 为t 前到达的第i 类顾客数，那么 (1) ( 2 ) { : 0} , { : 0} t t N t N t ? ? 分别为强度为p? 与（1-p ）? 的poisson 过程，而且这 两个过程相互独立。 4 简述Markov 链与Markov 性质的概念 答：如果随机变量是离散的，而且对于 0 n ? ? 及任意状态 0 1 1 1 1 0 0 1 , , , , , ( | , , , ) ( | ) n n n n n n n i j i i p j i i i p j i都有 ，该随 机序列为Markov 链，该对应的性质为Markov 性质。 5. 简述Markov
状态分解定理 答：(1) Markov 链的状态空间S 可惟一分解为 1 2 S T H H ? ? ? ? ，其中T 为 B 卷（共9 页）第6 页 暂态的全体，而 i H 为等价常返类。 （2）若 Markov 链的初分布集中在某个常返类 k H 上，则此 Markov 链概率为 1 地永远在此常返类中，也就是说，它也可以看成状态空间为 k H 的不可约Markov 链。 6．简述HMM 要解决的三个主要问题 答：(1)从一段观测序列{ , } k Y k m ? 及已知的模型 ( , , ) A B ? ? ? 出发，估计 n X 的最 佳值，称为解码问题。这是状态估计的问题。 (2) 从一段观测序列{ , } k Y k m ? 出发，估计模型参数组 ( , , ) A B ? ? ? ，称为学习问 题。这是参数估计问题。 (3) 对于一个特定的观测链{ , } k Y k m ? ，已知它可能是由已经学习好的若干模型 之一所得的观测，要决定此观测究竟是得自于哪一个模型，这称为识别问题，就 是分类问题。 7． 什么是随机过程，随机序列？ 答：设T 为[0，+? ）或（- ? ，+? ），依赖于t(t? T)的一族随机变量（或随