关于几何变换的几道综合题
【与旋转有关的几何证明题】 1.(05北京)已知∆ABC ,分别以AB 、BC 、CA 为边向外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF .
(1)如图1,当∆ABC 是等边三角形时,请你写出满足图中条件,四个成立的结论; (2)如图2,当∆ABC 中只有∠ACB =60︒时,请你证明S ∆ABC 与S ∆ABD 的和等于S ∆BCE 与
S ∆ACF 的和.
(2)解法二:
过A 作垂线,利用∠ACB =60︒将BC 用AC 、BC 表示 D
出来,进而将每部分的面积和都表示出来,即可得证。
此题目中包含了基本图形变换,其本质是旋转问题, 但也体现了一些求面积的方法。
【变化过程中不变的量及关系】 2. (2008年广东省中山市)(1)如图7,点O 是线段AD 的中点,分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ,连结AC 和BD ,相交于点E ,连结BC .求∠AEB 的大小;
B B C
D A O
图7 图8
(2)如图8,ΔOAB固定不动,保持ΔOCD的形状和大小不变,将ΔOCD绕着点O 旋转(ΔOAB和ΔOCD不能重叠),求∠AEB 的大小. 解:(1)如图7.
C ∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形,
且点O 是线段AD 的中点,
∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ∴ ∠4=∠5.
又∵∠4+∠5=∠2=60°, D
A ∴ ∠4=30°. O
图7
同理,∠6=30°.
∵ ∠AEB=∠4+∠6,
B ∴ ∠AEB=60°.
(2)如图8.
∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形, C
∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°,
E 又∵OD=OA, 8
2 ∴ OD=OB ,OA =OC , 1
O ∴ ∠4=∠5,∠6=∠7.
图8∵ ∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC. D ∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°,
A
∴ 2∠5=2∠6, ∴ ∠5=∠6.
又∵ ∠AEB=∠8-∠5, ∠8=∠2+∠6, ∴ ∠AEB =∠2+∠5-∠5=∠2, ∴ ∠AEB =60°.
这是一道变换条件但结论不变的变式题,纯几何图形的关于旋转的简单证明,注意图形之中有不变的量。其解法十分相似,第(1)题是第(2)题的特殊情形,第(2)题是第(1)题结论的推广,这体现了从特殊到一般的数学思想,利于培养学生思维的深刻性和灵活性。题目的图形可变,数字可变,条件可变,结论亦可变,充满着神奇,孕育着创造! 3.(2008湖北)
小华将一张矩形纸片(如图1)沿对角线CA 剪开,得到两张三角形纸片(如图2),其中
∠ACB =α,然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放,∆EFD 纸片的直角顶
点D 落在∆ACB 纸片的斜边AC 上,直角边DF 落在AC 所在的直线上.
(1)若ED 与BC 相交于点G ,取AG 的中点M ,连接MB 、MD ,当∆EFD 纸片沿CA 方向平移时(如图3),请你观察、测量MB 、MD 的长度,猜想并写出MB 与MD 的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)在(1)的条件下,求出∠BMD 的大小(用含α的式子表示),并说明当α=45°时,
∆BMD 是什么三角形?
(3)在图3的基础上,将∆EFD 纸片绕点C 逆时针旋转一定的角度(旋转角度小于90°),此时∆CGD 变成∆CHD ,同样取AH 的中点M ,连接MB 、MD (如图4),请继续探究MB 与MD 的数量关系和∠BMD 的大小,直接写出你的猜想,不需要证明,并说明α为何值时,∆BMD 为等边三角形.
A
A F
D
B 图1
B 图2
C
A E
A M B E D
M
C
B C
图4
H E
图3
解:(1)MB =MD
证明:∵AG 的中点为M ∴在Rt ∆ABG 中, MB =
1
AG 2
在Rt ∆ADG 中,MD =
∴MB =MD
1
AG 2
(2)∵∠BMG =∠BAM +∠ABM =2∠BAM
同理∠DMG =∠DAM +∠ADM =2∠DAM ∴∠BMD =2∠BAM +2∠DAM =2∠BAC 而∠BAC =90-α
∴∠BMD =180-2α
00
∴当α=45时,∠BMD =90,此时∆BMD 为等腰直角三角形
(3)当∆CGD 绕点C 逆时针旋转一定的角度,仍然存在MB =MD , ∠BMD =180-2α
故当α=60时,∆BMD 为等边三角形。 包含平移与旋转及图形中的不变的相等关系。
【阅读题类】
4.请阅读下列材料:
P 是线段DF 问题:如图1,在菱形ABCD 和菱形BEFG 中,点A ,B ,E 在同一条直线上,的中点,连结PG ,PC .若∠ABC =∠BEF =60,探究PG 与PC 的位置关系及
00
PG
的PC
值.
小聪同学的思路是:延长GP 交DC 于点H ,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决. C
D
F P
F
A E
B
图1 图2
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
PG
的值; PC
(2)将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转,使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到
(1)写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. 解:(1)线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ;
PG
=PC
D H
A
P
E
F
(2)猜想:(1)中的结论没有发生变化.
证明:如图,延长GP 交AD 于点H ,连结CH ,CG . P 是线段DF 的中点, ∴FP =DP .
由题意可知AD ∥FG . ∴∠GFP =∠HDP .
∠GPF =∠HPD , ∴△GFP ≌△HDP . ∴GP =HP ,GF =HD .
四边形ABCD 是菱形,∴CD =CB ,∠HDC =∠ABC =60 .
由∠ABC =∠BEF =60,且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上,可得∠GBC =60.
∴∠HDC =∠GBC . 四边形BEFG 是菱形,
∴GF =GB . ∴HD =GB .∴△HDC ≌△GBC . ∴CH =CG ,∠DCH =∠BCG .
∴∠DCH +∠HCB =∠BCG +∠HCB =120 .
即∠HCG =120.
CH =CG ,PH =PG ,
∴PG ⊥PC ,∠GCP =∠HCP =60 .
∴
PG
= PC
本题为阅读理解题,阅读材料,从中获取解题方法与思路,并运用这种方法解决问题
【变化中的探究】 5.(2008盐城)如图甲,在△ABC 中,∠ACB 为锐角.点D 为射线BC 上一动点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF . 解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90º.
①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),如图乙,线段CF 、BD 之间的位置关系为 ,数量关系为 . ②当点D 在线段BC 的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
F
E
A F
B
图甲
E C
B
图乙 第28题图
E
C
图丙
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90º,点D 在线段BC 上运动.
试探究:当△ABC 满足一个什么条件时,CF ⊥BC (点C 、F 重合除外)?画出
相应图形,并说明理由.(画图不写作法) 解:(1)①CF 与BD 位置关系是 垂 直、数量关系是相 等;
②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立. 由正方形ADEF 得 AD=AF ,∠DAF=90º. ∵∠BAC=90º,∴∠DAF=∠BAC , ∴∠DAB=∠FAC , 又AB=AC ,∴△DAB ≌△FAC , ∴CF=BD ∠ACF=∠ABD . ∵∠BAC=90º, AB=AC ,∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º, ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º.即 CF ⊥BD (2)画图正确
A 当∠BCA=45º时,CF ⊥BD (如图丁).
F
理由是:过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ,∴AC=AG 可证:△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º
C B G E ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º. 即CF ⊥BD
图丁
更开放,难度更大,在探究的过程中发现我们要寻找的结论。
【坐标系中的变换——与代数的结合】 6.(2008苏州)课堂上,老师将图①中△AOB 绕O 点逆时针旋转,在旋转中发现图形的
2) ,形状和大小不变,但位置发生了变化.当△AOB 旋转90时,得到∠AOB 已知A (4,11.B (3,0) .
(1)△AOB 11的面积是;
;B 1点的坐标为(); A 1点的坐标为()
1) 逆(2)课后,小玲和小惠对该问题继续进行探究,将图②中△AOB 绕AO 的中点C (2,
时针旋转90得到△A 'O 'B ',设O 'B '交OA 于D ,O 'A '交x 轴于E .此时A ',O '和B '的
-1) 和(3,2) ,且O 'B '经过B 点.在刚才的旋转过程中,小玲和小惠,3) ,(3,坐标分别为(1
发现旋转中的三角形与△AOB 重叠部分的面积不断变小,旋转到90时重叠部分的面积(即四边形CEBD 的面积)最小,求四边形CEBD 的面积.
(3)在(2)的条件下,△AOB 外接圆的半径等于 .
图①
图②
证明:(1)3.A 1(-2,3) 4) ,B 1(0,
(2)作CG ⊥BD 于G ,CH ⊥x 轴于H , B ',B 的横坐标相等,
∴B 'B ⊥x 轴,∴四边形CHBG 为矩形.
又 CG =CH =1,∴矩形CHBG 为正方形.
∴∠HCG =90 . ∠ECD =90 ,∴∠HCE =∠GCD .
在△HCE 和△GCD 中,
⎧∠CHE =∠CGD =90 ⎪
⎨CH =CG
⎪∠HCE =∠GCD ⎩
∴△HCE ≌△GCD .
(第28题)
∴S 四边形CEBD =S 正方形CHBG =1.
(3)
5. 2
这是一道坐标几何题,中考中的坐标几何题,融丰富的几何图象于一题,包含的知识点较多;代数变换(包括数式变换、方程变换、不等式变换)与几何推理巧妙融合,交相辉映,数形结合思想和方法得到充分运用. 本题(2)中的面积的计算是根据旋转不变性,构造全等三角形,将四边形的面积进行转化,这是一种重要的数学思想方法. 7.(金华)如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB 是等边三角形, 点A 的坐标是(0,4),点B 在第一象限,点P 是x 轴上的一个动点,连结AP ,并把△AOP 绕着点A 按逆时针方向旋转,使边AO 与AB 重合,得到△ABD . (1)求直线AB 的解析式;
(2)当点P 运动到点(3,0)时,求此时DP 的长及点D 的坐标;
(3)是否存在点P , 使△OPD 的面积等于不存在,请说明理由.
, 若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若4
解:(1)如图,过点B 作BE ⊥y 轴于点E ,作BF ⊥x 轴于点F. 由已知得
∴点B 的坐标是
(,2)
⎧⎧⎪4=b ⎪k =-
设直线AB 的解析式是y=kx+b
,则有⎨ 解得
⎨3
⎪⎩2=+b ⎪b =4
⎩
∴直线AB 的解析式是
y= +4
BF=OE=2, OF=
(2) 如图,∵△ABD 由△AOP 旋转得到, ∴△ABD ≌△AOP , ∴AP=AD, ∠DAB=∠PAO ,∴∠DAP=∠BAO=600, ∴△ADP 是等边三角形, ∴
=.
如图,过点D 作DH ⊥x 轴于点H ,延长EB 交DH 于点G , 则BG ⊥DH.
在Rt △BDG 中,∠BGD=900, ∠DBG=600.
1∴BG=BD•cos60
2
3
DG=BD•sin600
= .
22
7 ∴
2
7
, ) ∴点D 的坐标为
2
(3)假设存在点P, 在它的运动过程中, 使△OPD
的面积等于设点P 为(t ,0),下面分三种情况讨论:
. ①当t >0时,如图,
BD=OP=t, DG=t,
2
∴t. ∵△OPD ,
1∴ t (2, ) =2解得t 1= , t 2= ( 舍去) .
33
∴点P 1的坐标为 , 0 )
②当t≤0时,如图,BD=OP=-t, BG=
∴DH=GF=2)
∵△OPD ,
, ) =
解得
t 1=
, t 2=
∴点P 2的坐标为
(,点P 3的坐标为
(③当
t≤时,如图,BD=OP=-t, DG=
∴DH=
t -2.
∵△OPD
,
1∴t (2+ ,
) =224
解得t 1= (舍去
), t 2=
∴点P 4的坐标为
, 0)
∴
-t (21
2
综上所述, 点P 的坐标分别为P 1
、P 2
(, 0)、P 3
(, 0) 、
P 4
, 0) 本题属于代数与几何相结合的综合题,涉及的知识点多,主要考查了平面直角坐标系,一次函数,勾股定理,图形的旋转变换及三角形的面积公式等知识的综合应用和学生分类讨论的数学思想,一定要关注分类的切入点。
关于几何变换的几道综合题
【与旋转有关的几何证明题】 1.(05北京)已知∆ABC ,分别以AB 、BC 、CA 为边向外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF .
(1)如图1,当∆ABC 是等边三角形时,请你写出满足图中条件,四个成立的结论; (2)如图2,当∆ABC 中只有∠ACB =60︒时,请你证明S ∆ABC 与S ∆ABD 的和等于S ∆BCE 与
S ∆ACF 的和.
(2)解法二:
过A 作垂线,利用∠ACB =60︒将BC 用AC 、BC 表示 D
出来,进而将每部分的面积和都表示出来,即可得证。
此题目中包含了基本图形变换,其本质是旋转问题, 但也体现了一些求面积的方法。
【变化过程中不变的量及关系】 2. (2008年广东省中山市)(1)如图7,点O 是线段AD 的中点,分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ,连结AC 和BD ,相交于点E ,连结BC .求∠AEB 的大小;
B B C
D A O
图7 图8
(2)如图8,ΔOAB固定不动,保持ΔOCD的形状和大小不变,将ΔOCD绕着点O 旋转(ΔOAB和ΔOCD不能重叠),求∠AEB 的大小. 解:(1)如图7.
C ∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形,
且点O 是线段AD 的中点,
∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ∴ ∠4=∠5.
又∵∠4+∠5=∠2=60°, D
A ∴ ∠4=30°. O
图7
同理,∠6=30°.
∵ ∠AEB=∠4+∠6,
B ∴ ∠AEB=60°.
(2)如图8.
∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形, C
∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°,
E 又∵OD=OA, 8
2 ∴ OD=OB ,OA =OC , 1
O ∴ ∠4=∠5,∠6=∠7.
图8∵ ∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC. D ∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°,
A
∴ 2∠5=2∠6, ∴ ∠5=∠6.
又∵ ∠AEB=∠8-∠5, ∠8=∠2+∠6, ∴ ∠AEB =∠2+∠5-∠5=∠2, ∴ ∠AEB =60°.
这是一道变换条件但结论不变的变式题,纯几何图形的关于旋转的简单证明,注意图形之中有不变的量。其解法十分相似,第(1)题是第(2)题的特殊情形,第(2)题是第(1)题结论的推广,这体现了从特殊到一般的数学思想,利于培养学生思维的深刻性和灵活性。题目的图形可变,数字可变,条件可变,结论亦可变,充满着神奇,孕育着创造! 3.(2008湖北)
小华将一张矩形纸片(如图1)沿对角线CA 剪开,得到两张三角形纸片(如图2),其中
∠ACB =α,然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放,∆EFD 纸片的直角顶
点D 落在∆ACB 纸片的斜边AC 上,直角边DF 落在AC 所在的直线上.
(1)若ED 与BC 相交于点G ,取AG 的中点M ,连接MB 、MD ,当∆EFD 纸片沿CA 方向平移时(如图3),请你观察、测量MB 、MD 的长度,猜想并写出MB 与MD 的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)在(1)的条件下,求出∠BMD 的大小(用含α的式子表示),并说明当α=45°时,
∆BMD 是什么三角形?
(3)在图3的基础上,将∆EFD 纸片绕点C 逆时针旋转一定的角度(旋转角度小于90°),此时∆CGD 变成∆CHD ,同样取AH 的中点M ,连接MB 、MD (如图4),请继续探究MB 与MD 的数量关系和∠BMD 的大小,直接写出你的猜想,不需要证明,并说明α为何值时,∆BMD 为等边三角形.
A
A F
D
B 图1
B 图2
C
A E
A M B E D
M
C
B C
图4
H E
图3
解:(1)MB =MD
证明:∵AG 的中点为M ∴在Rt ∆ABG 中, MB =
1
AG 2
在Rt ∆ADG 中,MD =
∴MB =MD
1
AG 2
(2)∵∠BMG =∠BAM +∠ABM =2∠BAM
同理∠DMG =∠DAM +∠ADM =2∠DAM ∴∠BMD =2∠BAM +2∠DAM =2∠BAC 而∠BAC =90-α
∴∠BMD =180-2α
00
∴当α=45时,∠BMD =90,此时∆BMD 为等腰直角三角形
(3)当∆CGD 绕点C 逆时针旋转一定的角度,仍然存在MB =MD , ∠BMD =180-2α
故当α=60时,∆BMD 为等边三角形。 包含平移与旋转及图形中的不变的相等关系。
【阅读题类】
4.请阅读下列材料:
P 是线段DF 问题:如图1,在菱形ABCD 和菱形BEFG 中,点A ,B ,E 在同一条直线上,的中点,连结PG ,PC .若∠ABC =∠BEF =60,探究PG 与PC 的位置关系及
00
PG
的PC
值.
小聪同学的思路是:延长GP 交DC 于点H ,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决. C
D
F P
F
A E
B
图1 图2
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
PG
的值; PC
(2)将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转,使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到
(1)写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. 解:(1)线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ;
PG
=PC
D H
A
P
E
F
(2)猜想:(1)中的结论没有发生变化.
证明:如图,延长GP 交AD 于点H ,连结CH ,CG . P 是线段DF 的中点, ∴FP =DP .
由题意可知AD ∥FG . ∴∠GFP =∠HDP .
∠GPF =∠HPD , ∴△GFP ≌△HDP . ∴GP =HP ,GF =HD .
四边形ABCD 是菱形,∴CD =CB ,∠HDC =∠ABC =60 .
由∠ABC =∠BEF =60,且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上,可得∠GBC =60.
∴∠HDC =∠GBC . 四边形BEFG 是菱形,
∴GF =GB . ∴HD =GB .∴△HDC ≌△GBC . ∴CH =CG ,∠DCH =∠BCG .
∴∠DCH +∠HCB =∠BCG +∠HCB =120 .
即∠HCG =120.
CH =CG ,PH =PG ,
∴PG ⊥PC ,∠GCP =∠HCP =60 .
∴
PG
= PC
本题为阅读理解题,阅读材料,从中获取解题方法与思路,并运用这种方法解决问题
【变化中的探究】 5.(2008盐城)如图甲,在△ABC 中,∠ACB 为锐角.点D 为射线BC 上一动点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF . 解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90º.
①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),如图乙,线段CF 、BD 之间的位置关系为 ,数量关系为 . ②当点D 在线段BC 的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
F
E
A F
B
图甲
E C
B
图乙 第28题图
E
C
图丙
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90º,点D 在线段BC 上运动.
试探究:当△ABC 满足一个什么条件时,CF ⊥BC (点C 、F 重合除外)?画出
相应图形,并说明理由.(画图不写作法) 解:(1)①CF 与BD 位置关系是 垂 直、数量关系是相 等;
②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立. 由正方形ADEF 得 AD=AF ,∠DAF=90º. ∵∠BAC=90º,∴∠DAF=∠BAC , ∴∠DAB=∠FAC , 又AB=AC ,∴△DAB ≌△FAC , ∴CF=BD ∠ACF=∠ABD . ∵∠BAC=90º, AB=AC ,∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º, ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º.即 CF ⊥BD (2)画图正确
A 当∠BCA=45º时,CF ⊥BD (如图丁).
F
理由是:过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ,∴AC=AG 可证:△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º
C B G E ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º. 即CF ⊥BD
图丁
更开放,难度更大,在探究的过程中发现我们要寻找的结论。
【坐标系中的变换——与代数的结合】 6.(2008苏州)课堂上,老师将图①中△AOB 绕O 点逆时针旋转,在旋转中发现图形的
2) ,形状和大小不变,但位置发生了变化.当△AOB 旋转90时,得到∠AOB 已知A (4,11.B (3,0) .
(1)△AOB 11的面积是;
;B 1点的坐标为(); A 1点的坐标为()
1) 逆(2)课后,小玲和小惠对该问题继续进行探究,将图②中△AOB 绕AO 的中点C (2,
时针旋转90得到△A 'O 'B ',设O 'B '交OA 于D ,O 'A '交x 轴于E .此时A ',O '和B '的
-1) 和(3,2) ,且O 'B '经过B 点.在刚才的旋转过程中,小玲和小惠,3) ,(3,坐标分别为(1
发现旋转中的三角形与△AOB 重叠部分的面积不断变小,旋转到90时重叠部分的面积(即四边形CEBD 的面积)最小,求四边形CEBD 的面积.
(3)在(2)的条件下,△AOB 外接圆的半径等于 .
图①
图②
证明:(1)3.A 1(-2,3) 4) ,B 1(0,
(2)作CG ⊥BD 于G ,CH ⊥x 轴于H , B ',B 的横坐标相等,
∴B 'B ⊥x 轴,∴四边形CHBG 为矩形.
又 CG =CH =1,∴矩形CHBG 为正方形.
∴∠HCG =90 . ∠ECD =90 ,∴∠HCE =∠GCD .
在△HCE 和△GCD 中,
⎧∠CHE =∠CGD =90 ⎪
⎨CH =CG
⎪∠HCE =∠GCD ⎩
∴△HCE ≌△GCD .
(第28题)
∴S 四边形CEBD =S 正方形CHBG =1.
(3)
5. 2
这是一道坐标几何题,中考中的坐标几何题,融丰富的几何图象于一题,包含的知识点较多;代数变换(包括数式变换、方程变换、不等式变换)与几何推理巧妙融合,交相辉映,数形结合思想和方法得到充分运用. 本题(2)中的面积的计算是根据旋转不变性,构造全等三角形,将四边形的面积进行转化,这是一种重要的数学思想方法. 7.(金华)如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB 是等边三角形, 点A 的坐标是(0,4),点B 在第一象限,点P 是x 轴上的一个动点,连结AP ,并把△AOP 绕着点A 按逆时针方向旋转,使边AO 与AB 重合,得到△ABD . (1)求直线AB 的解析式;
(2)当点P 运动到点(3,0)时,求此时DP 的长及点D 的坐标;
(3)是否存在点P , 使△OPD 的面积等于不存在,请说明理由.
, 若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若4
解:(1)如图,过点B 作BE ⊥y 轴于点E ,作BF ⊥x 轴于点F. 由已知得
∴点B 的坐标是
(,2)
⎧⎧⎪4=b ⎪k =-
设直线AB 的解析式是y=kx+b
,则有⎨ 解得
⎨3
⎪⎩2=+b ⎪b =4
⎩
∴直线AB 的解析式是
y= +4
BF=OE=2, OF=
(2) 如图,∵△ABD 由△AOP 旋转得到, ∴△ABD ≌△AOP , ∴AP=AD, ∠DAB=∠PAO ,∴∠DAP=∠BAO=600, ∴△ADP 是等边三角形, ∴
=.
如图,过点D 作DH ⊥x 轴于点H ,延长EB 交DH 于点G , 则BG ⊥DH.
在Rt △BDG 中,∠BGD=900, ∠DBG=600.
1∴BG=BD•cos60
2
3
DG=BD•sin600
= .
22
7 ∴
2
7
, ) ∴点D 的坐标为
2
(3)假设存在点P, 在它的运动过程中, 使△OPD
的面积等于设点P 为(t ,0),下面分三种情况讨论:
. ①当t >0时,如图,
BD=OP=t, DG=t,
2
∴t. ∵△OPD ,
1∴ t (2, ) =2解得t 1= , t 2= ( 舍去) .
33
∴点P 1的坐标为 , 0 )
②当t≤0时,如图,BD=OP=-t, BG=
∴DH=GF=2)
∵△OPD ,
, ) =
解得
t 1=
, t 2=
∴点P 2的坐标为
(,点P 3的坐标为
(③当
t≤时,如图,BD=OP=-t, DG=
∴DH=
t -2.
∵△OPD
,
1∴t (2+ ,
) =224
解得t 1= (舍去
), t 2=
∴点P 4的坐标为
, 0)
∴
-t (21
2
综上所述, 点P 的坐标分别为P 1
、P 2
(, 0)、P 3
(, 0) 、
P 4
, 0) 本题属于代数与几何相结合的综合题,涉及的知识点多,主要考查了平面直角坐标系,一次函数,勾股定理,图形的旋转变换及三角形的面积公式等知识的综合应用和学生分类讨论的数学思想,一定要关注分类的切入点。