第34卷第5期
2009年9月
测绘科学
Science of Surveying and M app ing
Vol 134No 15
Sep 1
缓和曲线坐标计算新法
殷海峰, 白征东, 程伯辉
①
①
②
(①清华大学土木工程系地球空间信息研究所, 北京 100084; ②中国测绘科学研究院, 北京 100039)
【摘 要】在近几年的公路建设中, 各种复杂的缓和曲线越来越多, 如:匝道、C 型曲线、S 型曲线等, 传统的计算方法在处理这类曲线时非常繁琐, 在实际应用中有相当的困难。通过研究, 本文介绍一种新的计算方法, 它与传统的计算方法相比, 新方法主要优点有两个:一是可以从任意一点开始起算, 具有很大的方便性; 二是计算项数可以进行灵活扩充, 使之满足要求的计算精度。新方法的这些优点使其能够轻松处理各种复杂的缓和曲线, 对实际的计算工作有一定的指导意义。【关键词】缓和曲线; 道路正算; 道路反算【中图分类号】P23115 【文献标识码】A 【】22203
1 引言
, 不(直缓点或缓直点) ; , 一般最高展到第11次项, 如:参考文献[1]的公式(4) 和参考文献[3]的公式(1) 。这种传统方法的特点决定了它只适合于铁路和部分公路的缓和曲线计算。
近几年, 随着高速公路、立交桥建设的逐渐增多, 各种复杂的缓和曲线也越来越多, 如:匝道, 其特点是曲率半径很小, 仅仅展到第11次项是不能满足设计、施工要求的; 还有C 型曲线(即卵形曲线) 、S 型曲线, 使用传统方法完成这类曲线的计算首先要把曲率为零的点计算出来, 这个步骤是比较繁琐的。
因此, 研究新的计算方法是很有必要的。为了方便后面的叙述, 有必要对一些基本概念进行阐明、约定。
1) 道路方向
约定道路方向为:前———与道路中心线相切, 桩号增加的方向; 后———“前”的反方向; 左, 右———假设一个人沿着道路中心线由“后”向“前”走, 他左边的部分叫“左”, 反之叫“右”。规定道路前进方向的方位角为T 。
2) 距中
点到道路中心线的距离就是距中。因为中心线有两侧, 所以距中的描述一般为“左5m ”“右6m ”等。为了便于叙述, 特做如下约定:在道路左边的距中为负, 在道路右边的距中为正, 简称“左负右正”。本文以JZ 表示“距中”。
3) 坐标系统
测量使用的坐标系统与数学使用的坐标系统是不同的, 原因在于:数学系中的方位角是逆时针旋转增大的, 这与测量习惯不相符。因此在测量中引入了“测量系”, 解决了上述问题。测量系相当于从背后观看数学系, 所以数学系
。不过它们并, 尤其涉及到方向的问题。许多参考文献上推导缓和曲线计算公式时, 都是以数学系为准的, 测量计算的时候必须要考虑方向、坐标的转换问题。为了省去这种不必要的麻烦, 本文将全部以测量系为准。
实际测量时的坐标系———施工坐标系大部分都是“测量系”。施工坐标系重点用来描述各元素之间的相对位置, 所以它的原点一般意义不大。
4) 曲率、曲率半径
按照数学上的定义, 曲线上某点的曲率M =
, 曲dL
率半径R 是曲率M 的倒数。公式中L
图1 数学与测量坐标系是桩号, T 是道路
前进方向, T 是L
的函数。需要注意的是, 曲率和曲率半径是有符号的:根据曲率计算公式, 当dL >0(沿道路向前走) , dT >0(右转弯) 时曲率>0。所以规定曲率和曲率半径的符号:沿道路前进方向走, 左转为负, 右转为正。
5) 道路正反算规定:①根据桩号L 、距中JZ 计算该点平面坐标x 、y 和道路前进方向T 的步骤为正算; ②根据平面坐标x 、y 计算该点桩号L 、距中JZ 和道路前进方向T 的步骤为反算。
2 缓和曲线正算
缓和曲线最本质的特点就是为一常数。
=M R a te , 公式中dL
M Rate 是一个常数。即:缓和曲线上曲率随桩号的变化率
因为M =, 所以有=2=M R a te 。可以得到:
dL dL dL
2
M =MR a te (L -L 0) +M0; T =a (L -L 0) +M0(L -L 0) +T 0
2
作者简介:殷海峰(19772) , 男, 安徽枞阳, 在读工程硕士, 清华大学土木工程系地球空间信息研究所, 研究方向:GPS 接收机的二次开发(软件) 。E 2mail:I ntelYin@1261com 收稿日期:2008206203
。L 0、M 0、T 0是起算点的桩号、曲
2
率、前进方向, 均为已知量。令s =L -L 0, 则有:M =
M R a te ×s +M0; T =as +M0s +T 0
2
公式中a =
第5期 殷海峰等 缓和曲线坐标计算新法 令缓和曲线上的坐标为x c , y c , 则dx c =ds ×cos T ; dy c =ds ×sin T
所以dx c +idy c =(cos T +i sin T ) ds =e iT ds 式中 i =
-1, 可知:x c
i sin T 0)
-s
239
2) 计算最下边那行数据。记第i 列数据为col (i ) , 则col (0) =s; col (1) (i -1)
=col (0)
M s
1
; col (i ) =col
M s i
() ()
2i +j +1
x 0+i (y c ds
-y 0) =
e ds ∫
iT
s
=(cos T 0+(1)
3) 计算矩阵内的元素a ij =
∫
e e
i (as 2+M 0s )
上式中(x 0, y 0) 是桩号L 0处的坐标, 即起算点坐标而
n!
s n
n
i (as 2+M 0s )
=
n =0
∑
n
+∞
n 2n
i (as +Ms )
n!
=
n =0
∑
+∞
r =0i (as 2+M 0s )
C n a M 0s
r r n -r n 所以:
∫
e
ds =u c +iv c =
n
n =0
+∞
n!
n
r =0
C a M 0
r n
r n -r
n +r +n +r+1
=s
n =0r =0
∑+∞
n 2r n -r i (as ) (M s )
r! (n -r ) ! (n +r +1)
4) 将i +j =n 的元素相加。如:n =2时应该加a 20、a 11、a 02这n +1=3个元素。记这个和为S (n ) 。如:S (2) =a 20+a 11+a 02
5) 计算u c 、v c 请将u c 、v c
的初始值赋为零, 完成一项S (n ) 的计算后, n (VC
(2)
(2) 式代入(1) 式可得道路中心(标为:
=c
0-sin T u v T 0
+
x 0y (3)
π
, 也就是法2
方向) 移动JZ 才能得到最终要求的边桩坐标:
π) x c +J Z cos (T +
x c -J Z sin 2
(4) ==
πy c +J Z cos ) y c +J Z sin (T +2
将道路中心点沿右方向(方位角=T +
3 计算技巧及计算实例
使用(2) 式进行编程计算时请不要使用幂函数(即计算x y ) 。因为它的计算效率是比较低的, 另外它可能造成数据溢出, 要么无法运行(如:VB 中) , 要么计算结果不可靠(如:VC 中) 。下面介绍一种方法:确定(2) 式中最大的n, 这里假定n 从0算到3, 请做一个4×4的上三角矩阵。下文中称该矩阵为计算矩阵。
表1 计算矩阵
n =0
n =1
n =2
第0行
(2) 0
=10!
2
1
a03
n 4n VB 以n AND 3表示) 。余图2 缓和曲线计算数=0时u c =u c
+S (n ) ; 余数=1时v c =v c +S (n ) ; 余数=2时u c =u c -S (n ) ; 余数=3时v c =v c -S (n ) ;
最终:u c =S (0) -S (2) +S (4) -S (6) +111; v c =S (1) -S (3) +S (5) -S (7) +111下面举例来说明如何计算:如图2所
表2 已知一段S 型缓和曲线的信息
示, 已知一段
桩号x y 前进方向T
S 型缓和曲线
90°的信息如表2。K0+[**************]1
请计算桩K0+[***********]2°58′1816047′号K 0+100,
距中-10的坐标。
以K 0+150为起算点, 则:L 0=150; T 0=132°58′1816047′=[**************]6(弧度) ; M 0=1/50=0102(右转所以为正) ; x 0=811570; y 0=5141588; s =L -L 0=100-150=-50;
L =L 1=0时, 曲率M 1=-1/100(左转所以为负) ; L =L 2=150时, 曲率M 2=1/50, --M -M 50=010002; a =M R a te ==
L 2-L 1150-0
第1行
1!
2
=010001;
2
第2行第3行
222! 233!
K0+100处的T =as +M0s +T 0=[**************]6(弧度) =90°
计算矩阵如下:
表3 计算矩阵
第1列
(M 0s ) 1
第0列
n =3
(M 0s ) 0
第2列
s
(M 0s ) 2
第3列
s
(M 0s ) 3
-[**************]0
s
-8133333-1125000-0111161-0100723
[***********]255
-[1**********]944-0107440
0!
s =s
-4116667-0131250-0101860-0100090-0100004
[***********]6280100081
1! 2! 3!
计算步骤:
1) 计算最左边那列数据。记第i 行数据为r ow (i ) , 则
r ow (0) =1; r ow (1) =r ow (0) (i
-1)
i
2
2
1
; r ow (i ) =r ow
S (0) =-50100000 S (1) =20183333
240测绘科学 第34卷
行计算, 计算步骤比较繁琐。新公式规定了“左转为负,
右转为正”的原则, 分段、判断的工作变成了简单的曲率取正负号。
4) 对于曲率及曲率变化都很大的缓和曲线计算(如:匝道的计算) , 只需提高计算矩阵的阶数即可。这种算法特别适合在微机上使用VB 、VC 等高级语言编程实现, 编程时计算矩阵是完全可以省略掉的。
5) 公式(2) 不仅适用于缓和曲线, 还适用于圆曲线和直线。当a 和M 0都为零时, 就是直线; 当a =0, M 0≠0时就是圆曲线。对于圆曲线(2) 式可简化:
s
sin (M s ) 1-cos (M s ) M i 0s
u c +iv c =
S (2) =-5152083 S (3) =1107515
S (4) =-0116568 S (5) =0102113u c =S (0) -S (2) +S (4) =-441645; v c =S (1) -S (3) +S (5) =191779;
根据(3) 式可得道路中心坐标x c =971529, y c =4681440, 根据(4) 式可得最终要求的坐标(1071529, 4681440) 。
使用相同的方法, 也可以以K 0+000为起算点进行计算, 这里就不赘述了。
4 计算精度
上面的例子中, 无法确切的知道桩号K0+100, 距中-10的坐标。比较有效的方法就是不断增大计算用到的n 值, 看计算结果(x, y ) 随n 的变化趋势, 见表4。
表4 计算结果(x, y ) 随n 的变化趋势
n
x
y
x n -x n +1
y n -y n +1
e ds =
∫
M 0
+i
M 0
[***********]415
[***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********]
[***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********]2
-[***********][1**********]1-0-[1**********]88-[1**********]860-[***********][***********]000238-[1**********]014-[***********]0000000000
[***********][***********]-[1**********]079-[***********][***********]004103-[1**********]256-[***********][***********]000000
这也是计算矩阵第0行所有元素的和, 当M 0很大时就可以省去计算第0行的步骤; 512 (2) , :C O fx , 最好还是从曲率0=0, 即起算点曲率为零时,
) u c +iv c =s
n =0
+∞
n 2n () n! (2n +1)
下面介绍一下将起算点移至曲率为零点的方法:假定起算点的桩号为L 1, 其曲率和前进方向分别为M 1、T 1, 则
22
T =a (L -L 1) +M1(L -L 1) +T 1=a (L -L 0) +T 0, 式中L 0=L 1-为
2M R a te
L 0对应的前进方向, 在计算实例中:L 1=150; T 1=132°58′1816047″; M 1=0102; M R a te =010002代入上式, 可算得:L 0=50; T 0=75°40′3317984″
在微机、掌上电脑等计算平台高速发展的今天, 新公式的缺点已经不是什么问题, 相信在缓和曲线相关计算领域它会有更广阔的利用空间。
M R a te M 为曲率为零的桩号; T 0=T 1-
M 2
可见:计算结果随着n 的增大迅速收敛。对于一般的缓和曲线, 如:铁路上的缓和曲线, n 取到5一般就能满足计算要求。
5 结束语
511 新公式的优点
1) 推导时就以测量系为准, 实际测量计算时不需要在数学系、测量系之间来回转换。
2) 可以从缓和曲线上任一点起算, 具有很大的灵活性。如:计算实例中, 采用传统公式计算, 需要计算S 型曲线曲率为零的点, 然后以该点开始起算。新公式没有这个束缚。
3) 传统公式对曲率、曲率半径的符号没有明确的定义, 实际应用时需要人工进行分段、判断。如:计算实例中, 采用传统公式计算, 需要将S 型曲线分成两段分别进
[1][2][3][4][5]
参考文献
李全信1缓和曲线平行线弓形面积的计算方法[J ].勘察科学技术, 2006, (1) :292331
李全信1缓和曲线平行线的通用参数方程及应用[J ]1铁道勘察, 2004, (6) :4261
高淑照, 史东晏1缓和曲线非线性方程的快速解算[J ]1测绘通报, 2006, (3) :282301
刘朝辉1匝道施工中缓和曲线大地坐标计算的统一数学模型[J ]1测绘通报, 2006, (10) :432451宁津生, 等1测绘科学发展综述[J ]1测绘科学, 2006, 31(1) 1
New m ethod of sp i ra l curve coord i n a te ca lcul a ti on
Abstract:On high way constructi on in last few years, many kinds of comp licated s p iral curve are used more commonly, such as ramp, C 2type curve, S 2type curve, etc 1It πs very comp licated in p r ocessing these curves with traditi onal calculati on method and hard t o app ly actually 1Thr ough research, a kind of new calculati on method is f ound now 1Compared with the traditi onal calculati on method, it has t w o maj or advantages 1Firstly, it can start counting at random point, which is very convenient 1Secondly, its nu mber of ter m s can be extended flexibly t o meet the accuracy 1These advantages of the ne w method make it handling many kinds of comp licated s p iral curve easily and have s ome guide significance in actual calculati on 1
Key words:s p iral curve; r oad positive calculati on; r oad inverse calculati on
①①②
YI N Hai 2feng , BA I Zheng 2dong , CHEN G B o 2hui (①The university of Tsinghua, Beijing 100084, China; ②Chinese Acad 2e my of Surveying And Mapp ing, Beijing 100039, China )
第34卷第5期
2009年9月
测绘科学
Science of Surveying and M app ing
Vol 134No 15
Sep 1
缓和曲线坐标计算新法
殷海峰, 白征东, 程伯辉
①
①
②
(①清华大学土木工程系地球空间信息研究所, 北京 100084; ②中国测绘科学研究院, 北京 100039)
【摘 要】在近几年的公路建设中, 各种复杂的缓和曲线越来越多, 如:匝道、C 型曲线、S 型曲线等, 传统的计算方法在处理这类曲线时非常繁琐, 在实际应用中有相当的困难。通过研究, 本文介绍一种新的计算方法, 它与传统的计算方法相比, 新方法主要优点有两个:一是可以从任意一点开始起算, 具有很大的方便性; 二是计算项数可以进行灵活扩充, 使之满足要求的计算精度。新方法的这些优点使其能够轻松处理各种复杂的缓和曲线, 对实际的计算工作有一定的指导意义。【关键词】缓和曲线; 道路正算; 道路反算【中图分类号】P23115 【文献标识码】A 【】22203
1 引言
, 不(直缓点或缓直点) ; , 一般最高展到第11次项, 如:参考文献[1]的公式(4) 和参考文献[3]的公式(1) 。这种传统方法的特点决定了它只适合于铁路和部分公路的缓和曲线计算。
近几年, 随着高速公路、立交桥建设的逐渐增多, 各种复杂的缓和曲线也越来越多, 如:匝道, 其特点是曲率半径很小, 仅仅展到第11次项是不能满足设计、施工要求的; 还有C 型曲线(即卵形曲线) 、S 型曲线, 使用传统方法完成这类曲线的计算首先要把曲率为零的点计算出来, 这个步骤是比较繁琐的。
因此, 研究新的计算方法是很有必要的。为了方便后面的叙述, 有必要对一些基本概念进行阐明、约定。
1) 道路方向
约定道路方向为:前———与道路中心线相切, 桩号增加的方向; 后———“前”的反方向; 左, 右———假设一个人沿着道路中心线由“后”向“前”走, 他左边的部分叫“左”, 反之叫“右”。规定道路前进方向的方位角为T 。
2) 距中
点到道路中心线的距离就是距中。因为中心线有两侧, 所以距中的描述一般为“左5m ”“右6m ”等。为了便于叙述, 特做如下约定:在道路左边的距中为负, 在道路右边的距中为正, 简称“左负右正”。本文以JZ 表示“距中”。
3) 坐标系统
测量使用的坐标系统与数学使用的坐标系统是不同的, 原因在于:数学系中的方位角是逆时针旋转增大的, 这与测量习惯不相符。因此在测量中引入了“测量系”, 解决了上述问题。测量系相当于从背后观看数学系, 所以数学系
。不过它们并, 尤其涉及到方向的问题。许多参考文献上推导缓和曲线计算公式时, 都是以数学系为准的, 测量计算的时候必须要考虑方向、坐标的转换问题。为了省去这种不必要的麻烦, 本文将全部以测量系为准。
实际测量时的坐标系———施工坐标系大部分都是“测量系”。施工坐标系重点用来描述各元素之间的相对位置, 所以它的原点一般意义不大。
4) 曲率、曲率半径
按照数学上的定义, 曲线上某点的曲率M =
, 曲dL
率半径R 是曲率M 的倒数。公式中L
图1 数学与测量坐标系是桩号, T 是道路
前进方向, T 是L
的函数。需要注意的是, 曲率和曲率半径是有符号的:根据曲率计算公式, 当dL >0(沿道路向前走) , dT >0(右转弯) 时曲率>0。所以规定曲率和曲率半径的符号:沿道路前进方向走, 左转为负, 右转为正。
5) 道路正反算规定:①根据桩号L 、距中JZ 计算该点平面坐标x 、y 和道路前进方向T 的步骤为正算; ②根据平面坐标x 、y 计算该点桩号L 、距中JZ 和道路前进方向T 的步骤为反算。
2 缓和曲线正算
缓和曲线最本质的特点就是为一常数。
=M R a te , 公式中dL
M Rate 是一个常数。即:缓和曲线上曲率随桩号的变化率
因为M =, 所以有=2=M R a te 。可以得到:
dL dL dL
2
M =MR a te (L -L 0) +M0; T =a (L -L 0) +M0(L -L 0) +T 0
2
作者简介:殷海峰(19772) , 男, 安徽枞阳, 在读工程硕士, 清华大学土木工程系地球空间信息研究所, 研究方向:GPS 接收机的二次开发(软件) 。E 2mail:I ntelYin@1261com 收稿日期:2008206203
。L 0、M 0、T 0是起算点的桩号、曲
2
率、前进方向, 均为已知量。令s =L -L 0, 则有:M =
M R a te ×s +M0; T =as +M0s +T 0
2
公式中a =
第5期 殷海峰等 缓和曲线坐标计算新法 令缓和曲线上的坐标为x c , y c , 则dx c =ds ×cos T ; dy c =ds ×sin T
所以dx c +idy c =(cos T +i sin T ) ds =e iT ds 式中 i =
-1, 可知:x c
i sin T 0)
-s
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2) 计算最下边那行数据。记第i 列数据为col (i ) , 则col (0) =s; col (1) (i -1)
=col (0)
M s
1
; col (i ) =col
M s i
() ()
2i +j +1
x 0+i (y c ds
-y 0) =
e ds ∫
iT
s
=(cos T 0+(1)
3) 计算矩阵内的元素a ij =
∫
e e
i (as 2+M 0s )
上式中(x 0, y 0) 是桩号L 0处的坐标, 即起算点坐标而
n!
s n
n
i (as 2+M 0s )
=
n =0
∑
n
+∞
n 2n
i (as +Ms )
n!
=
n =0
∑
+∞
r =0i (as 2+M 0s )
C n a M 0s
r r n -r n 所以:
∫
e
ds =u c +iv c =
n
n =0
+∞
n!
n
r =0
C a M 0
r n
r n -r
n +r +n +r+1
=s
n =0r =0
∑+∞
n 2r n -r i (as ) (M s )
r! (n -r ) ! (n +r +1)
4) 将i +j =n 的元素相加。如:n =2时应该加a 20、a 11、a 02这n +1=3个元素。记这个和为S (n ) 。如:S (2) =a 20+a 11+a 02
5) 计算u c 、v c 请将u c 、v c
的初始值赋为零, 完成一项S (n ) 的计算后, n (VC
(2)
(2) 式代入(1) 式可得道路中心(标为:
=c
0-sin T u v T 0
+
x 0y (3)
π
, 也就是法2
方向) 移动JZ 才能得到最终要求的边桩坐标:
π) x c +J Z cos (T +
x c -J Z sin 2
(4) ==
πy c +J Z cos ) y c +J Z sin (T +2
将道路中心点沿右方向(方位角=T +
3 计算技巧及计算实例
使用(2) 式进行编程计算时请不要使用幂函数(即计算x y ) 。因为它的计算效率是比较低的, 另外它可能造成数据溢出, 要么无法运行(如:VB 中) , 要么计算结果不可靠(如:VC 中) 。下面介绍一种方法:确定(2) 式中最大的n, 这里假定n 从0算到3, 请做一个4×4的上三角矩阵。下文中称该矩阵为计算矩阵。
表1 计算矩阵
n =0
n =1
n =2
第0行
(2) 0
=10!
2
1
a03
n 4n VB 以n AND 3表示) 。余图2 缓和曲线计算数=0时u c =u c
+S (n ) ; 余数=1时v c =v c +S (n ) ; 余数=2时u c =u c -S (n ) ; 余数=3时v c =v c -S (n ) ;
最终:u c =S (0) -S (2) +S (4) -S (6) +111; v c =S (1) -S (3) +S (5) -S (7) +111下面举例来说明如何计算:如图2所
表2 已知一段S 型缓和曲线的信息
示, 已知一段
桩号x y 前进方向T
S 型缓和曲线
90°的信息如表2。K0+[**************]1
请计算桩K0+[***********]2°58′1816047′号K 0+100,
距中-10的坐标。
以K 0+150为起算点, 则:L 0=150; T 0=132°58′1816047′=[**************]6(弧度) ; M 0=1/50=0102(右转所以为正) ; x 0=811570; y 0=5141588; s =L -L 0=100-150=-50;
L =L 1=0时, 曲率M 1=-1/100(左转所以为负) ; L =L 2=150时, 曲率M 2=1/50, --M -M 50=010002; a =M R a te ==
L 2-L 1150-0
第1行
1!
2
=010001;
2
第2行第3行
222! 233!
K0+100处的T =as +M0s +T 0=[**************]6(弧度) =90°
计算矩阵如下:
表3 计算矩阵
第1列
(M 0s ) 1
第0列
n =3
(M 0s ) 0
第2列
s
(M 0s ) 2
第3列
s
(M 0s ) 3
-[**************]0
s
-8133333-1125000-0111161-0100723
[***********]255
-[1**********]944-0107440
0!
s =s
-4116667-0131250-0101860-0100090-0100004
[***********]6280100081
1! 2! 3!
计算步骤:
1) 计算最左边那列数据。记第i 行数据为r ow (i ) , 则
r ow (0) =1; r ow (1) =r ow (0) (i
-1)
i
2
2
1
; r ow (i ) =r ow
S (0) =-50100000 S (1) =20183333
240测绘科学 第34卷
行计算, 计算步骤比较繁琐。新公式规定了“左转为负,
右转为正”的原则, 分段、判断的工作变成了简单的曲率取正负号。
4) 对于曲率及曲率变化都很大的缓和曲线计算(如:匝道的计算) , 只需提高计算矩阵的阶数即可。这种算法特别适合在微机上使用VB 、VC 等高级语言编程实现, 编程时计算矩阵是完全可以省略掉的。
5) 公式(2) 不仅适用于缓和曲线, 还适用于圆曲线和直线。当a 和M 0都为零时, 就是直线; 当a =0, M 0≠0时就是圆曲线。对于圆曲线(2) 式可简化:
s
sin (M s ) 1-cos (M s ) M i 0s
u c +iv c =
S (2) =-5152083 S (3) =1107515
S (4) =-0116568 S (5) =0102113u c =S (0) -S (2) +S (4) =-441645; v c =S (1) -S (3) +S (5) =191779;
根据(3) 式可得道路中心坐标x c =971529, y c =4681440, 根据(4) 式可得最终要求的坐标(1071529, 4681440) 。
使用相同的方法, 也可以以K 0+000为起算点进行计算, 这里就不赘述了。
4 计算精度
上面的例子中, 无法确切的知道桩号K0+100, 距中-10的坐标。比较有效的方法就是不断增大计算用到的n 值, 看计算结果(x, y ) 随n 的变化趋势, 见表4。
表4 计算结果(x, y ) 随n 的变化趋势
n
x
y
x n -x n +1
y n -y n +1
e ds =
∫
M 0
+i
M 0
[***********]415
[***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********]
[***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********]2
-[***********][1**********]1-0-[1**********]88-[1**********]860-[***********][***********]000238-[1**********]014-[***********]0000000000
[***********][***********]-[1**********]079-[***********][***********]004103-[1**********]256-[***********][***********]000000
这也是计算矩阵第0行所有元素的和, 当M 0很大时就可以省去计算第0行的步骤; 512 (2) , :C O fx , 最好还是从曲率0=0, 即起算点曲率为零时,
) u c +iv c =s
n =0
+∞
n 2n () n! (2n +1)
下面介绍一下将起算点移至曲率为零点的方法:假定起算点的桩号为L 1, 其曲率和前进方向分别为M 1、T 1, 则
22
T =a (L -L 1) +M1(L -L 1) +T 1=a (L -L 0) +T 0, 式中L 0=L 1-为
2M R a te
L 0对应的前进方向, 在计算实例中:L 1=150; T 1=132°58′1816047″; M 1=0102; M R a te =010002代入上式, 可算得:L 0=50; T 0=75°40′3317984″
在微机、掌上电脑等计算平台高速发展的今天, 新公式的缺点已经不是什么问题, 相信在缓和曲线相关计算领域它会有更广阔的利用空间。
M R a te M 为曲率为零的桩号; T 0=T 1-
M 2
可见:计算结果随着n 的增大迅速收敛。对于一般的缓和曲线, 如:铁路上的缓和曲线, n 取到5一般就能满足计算要求。
5 结束语
511 新公式的优点
1) 推导时就以测量系为准, 实际测量计算时不需要在数学系、测量系之间来回转换。
2) 可以从缓和曲线上任一点起算, 具有很大的灵活性。如:计算实例中, 采用传统公式计算, 需要计算S 型曲线曲率为零的点, 然后以该点开始起算。新公式没有这个束缚。
3) 传统公式对曲率、曲率半径的符号没有明确的定义, 实际应用时需要人工进行分段、判断。如:计算实例中, 采用传统公式计算, 需要将S 型曲线分成两段分别进
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参考文献
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刘朝辉1匝道施工中缓和曲线大地坐标计算的统一数学模型[J ]1测绘通报, 2006, (10) :432451宁津生, 等1测绘科学发展综述[J ]1测绘科学, 2006, 31(1) 1
New m ethod of sp i ra l curve coord i n a te ca lcul a ti on
Abstract:On high way constructi on in last few years, many kinds of comp licated s p iral curve are used more commonly, such as ramp, C 2type curve, S 2type curve, etc 1It πs very comp licated in p r ocessing these curves with traditi onal calculati on method and hard t o app ly actually 1Thr ough research, a kind of new calculati on method is f ound now 1Compared with the traditi onal calculati on method, it has t w o maj or advantages 1Firstly, it can start counting at random point, which is very convenient 1Secondly, its nu mber of ter m s can be extended flexibly t o meet the accuracy 1These advantages of the ne w method make it handling many kinds of comp licated s p iral curve easily and have s ome guide significance in actual calculati on 1
Key words:s p iral curve; r oad positive calculati on; r oad inverse calculati on
①①②
YI N Hai 2feng , BA I Zheng 2dong , CHEN G B o 2hui (①The university of Tsinghua, Beijing 100084, China; ②Chinese Acad 2e my of Surveying And Mapp ing, Beijing 100039, China )