立体几何专题复习二：平行证明
1. 证明空间平行基本思路：
①由已知想性质结论，由求证想判定条件，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
2. 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明基本方法： 1) 通过“平移”
2) 利用三角形中位线的性质 3) 利用平行四边形的性质 4) 利用对应线段成比例 总之，利用平行转化：线线平行
线面平行
面面平行
一、 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD的中点．求证：AF ∥平面PCE 。 分析：取PC 的中点G ，连EG. ，FG ，则易证AEGF 是平行四边形
（第1题
2. 如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋， 过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE沿AE 折叠，使得DE⊥EC.
（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD 。
分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
1
3. 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F分别为AA 1, CC1, AB的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D⊥BC；（Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA B
F
A 1
D
A
4. 如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, BA ⊥AD , CD ⊥AD , CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: EB //平面PAD ;
分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形
二、 利用三角形中位线的性质
5. 如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线
6. 如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE
2
7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；
分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是
△B 1AC 的中位线
8、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，
∠BAD =∠FAB =900, BC
//=
1
AD ，BE 2
//=
1
AF ，G , H 分别为FA , FD 的中点 2
（Ⅰ）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （Ⅱ）C , D , F , E 四点是否共面？为什么？
三、 利用平行四边形的性质
9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O//平面A 1BC 1;
分析：连D 1B 1交A 1C 1于O 1点，易证四边形OBB 1O 1是平行四边形
1
10. 在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=DC ，E
2
求证：AE ∥平面PBC ；
分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形
3
四、利用对应线段成比例
11. 如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，
AM BN
M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且=，
SM ND 求证：MN ∥平面SDC
分析：过M 作ME//AD，过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形
12. 如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN求证：MN ∥平面BEC
分析：过M 作MG//AB，过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形
4
立体几何专题复习二：平行证明
1. 证明空间平行基本思路：
①由已知想性质结论，由求证想判定条件，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
2. 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明基本方法： 1) 通过“平移”
2) 利用三角形中位线的性质 3) 利用平行四边形的性质 4) 利用对应线段成比例 总之，利用平行转化：线线平行
线面平行
面面平行
一、 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD的中点．求证：AF ∥平面PCE 。 分析：取PC 的中点G ，连EG. ，FG ，则易证AEGF 是平行四边形
（第1题
2. 如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋， 过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE沿AE 折叠，使得DE⊥EC.
（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD 。
分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
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3. 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F分别为AA 1, CC1, AB的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D⊥BC；（Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA B
F
A 1
D
A
4. 如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, BA ⊥AD , CD ⊥AD , CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: EB //平面PAD ;
分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形
二、 利用三角形中位线的性质
5. 如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线
6. 如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE
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7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；
分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是
△B 1AC 的中位线
8、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，
∠BAD =∠FAB =900, BC
//=
1
AD ，BE 2
//=
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AF ，G , H 分别为FA , FD 的中点 2
（Ⅰ）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （Ⅱ）C , D , F , E 四点是否共面？为什么？
三、 利用平行四边形的性质
9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O//平面A 1BC 1;
分析：连D 1B 1交A 1C 1于O 1点，易证四边形OBB 1O 1是平行四边形
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10. 在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=DC ，E
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求证：AE ∥平面PBC ；
分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形
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四、利用对应线段成比例
11. 如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，
AM BN
M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且=，
SM ND 求证：MN ∥平面SDC
分析：过M 作ME//AD，过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形
12. 如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN求证：MN ∥平面BEC
分析：过M 作MG//AB，过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形
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