华南师范大学学报(自然科学版)
2003年8月J OURNA L OF SO UTH CHINA NOR MAL UNIVERSITY 2003年第3期
(NATURAL SCIENCE EDI TION) Aug. 2003 No. 3, 2003文章编号:1000-5463(2003) 03-0069-06
单轴晶体中三阶非线性自作用极化强度矢量的计算
江秀娟, 谢逸群, 郭 旗
(华南师范大学量子电子学研究所, 广东广州510631)
摘要:讨论单轴晶体中三阶非线性自作用极化强度矢量的计算. 在主轴坐标系下对6/mmm 和6/m 点群晶体中由o 光和e 光激发的极化强度矢量作了具体分析, 并且通过坐标变换得出其在传输坐标系下的表达式. 该矢量变换方法可直接用于计算3和3m, 以及4/m 和4/m mm 4类单轴晶体中的非线性极化强度矢量, 并可推广应用于各向异性介质中其他非线性光学过程中的非线性极化强度矢量的计算.
关键词:三阶非线性极化强度矢量; 克尔自作用; 单轴晶体; 坐标变换中图分类号:O437 文献标识码:A
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THE EX PRESSION OF THE THIRD -OR DER NONLINEAR POLAR IZATION OF
SELF -INTERACTION IN UNIAXIAL C RYSTALS
JIANG Xiu-juan, XIE Yi-qun, GUO Qi
(Ins ti tute of Quantum Electronics, South China Normal Universi ty, Guangzhou 510631, China)
Abstract:The third-order nonlinear polarization for self-interaction in uniaxial crystals is dealt with. The e xpressions of P (3) for 6/mmmand 6/mcrystals are obtained in the principal coordinate system. Furthermore, transformation of P (3) is made from the principal coordinate system to the propagation c oordinate system. The calculations can be extended to the crystals of
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3, 3m, 4/m, and 4/mmm,and be applied to the other nonlinear optical processes in anisotropic media.
Key words:third-order nonlinear polarization; kerr effect; uniaxial crystals; coordination transformation
从宏观角度讨论电磁场与物质的相互作用时, 极化强度矢量P 扮演着极其重要的角色,
收稿日期:2002-09-13
基金项目:国家自然科学基金资助项目(19674015) ; 广东省自然科学基金资助项目(011455) ; 高等学校骨干教师资助计划和广东省 千百十工程 优秀人才培养基金资助项目
作者简介:江秀娟(1974-) , 女, 广东广州人, 华南师范大学2001级硕士研究生; 郭旗(1958-) , 男, 四川内江人, 博士, 华南师范大学教授, 博士生导师.
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70华南师范大学学报(自然科学版) 2003年
因此非线性极化强度矢量的计算, 在非线性光学现象的讨论中有举足轻重的作用. 对于具有中心对称性的介质而言, 最低阶的非线性极化强度是三阶非线性极化强度P (3) , 其具体表达式与电磁场的极化方式和所取的坐标系有关. 已经证明:某些非线性光学问题在传输坐标系! ! ! 某一坐标轴(如z 轴) 与光波矢k 的方向重合的坐标系! ! ! 中讨论会变得简单, 否则问题会复杂得难以处理. 因为一般情况下光波在晶体中的传播因子为exp(i k ∀r ) =exp[i(k x x +k y y +k z z ) ], 而在传输坐标系下可将其表示成exp(i kz ) , 使光束演化方程大大简化. 极化率张量 (3) 是在晶体的主轴坐标系下确定的, 为了得到传输坐标系中的P (3) , 可将 (3) 从主轴坐标系变换到传输坐标系, 然后在后者做张量与矢量的点乘运算. 但这种方法要进行四阶张量变换, 非常繁复. 因此, 本文首先在主轴坐标系下完成张量与矢量的点乘, 得出P (3) 的表达式, 再将其转换到传输坐标系. 这样只需做矢量变换, 比文献[1]中的方法简单得多. 三阶非线性作用相位匹配条件通常不易满足, 故本文只对自作用的情况(kerr 效应) 进行讨论, 不考虑其他频率改变的三阶非线性过程. 对六角晶系6/mm m 和6/m两点群晶体中的P 的晶体可如法炮制. 文中采用国际单位制.
(3)
[1][1]
作了具体的计算, 其他类似
1 P
(3)
的一般表达式
三阶非线性极化强度P (3) 定义为[2]
(3)
P (3) (R, t ) = :E(R, t ) E(R, t) E(R, t ) , 0
(1)
式中 (3) 是三阶非线性极化率(四阶) 张量, 其分量均为常数(忽略了 (3) 的色散效应, 并假设其不随空间坐标改变) ; E 是电场强度矢量. E 和P
如下形式
E(R, t ) =
(3)
一般是时间和空间的函数, 设其分别具有
E 1(R ) e -i t +c. c. , 2P(R, t ) =P 1(R, ) e -i t +c. c. ,
2
把(2) 式代入(1) 式, 可得: P
(3)
(3)
(2) (3)
(R , t ) = 0 :
-E 1e 2
i t
*i t
+2E 1e =
3
-i3 t *-i t **i t ***i3 t (3)
:E 1E 1E 1e +3E 1E 1E 1e +3E 1E 1E 1e +E 1E 1E 1e . (4a) 0 8
在自作用情况下, 3倍频的极化强度成分不出现, (4a) 式可简化成:
(3) *-i t
+c. c. . :E 1E 1E 1e 0 8
考虑到(3) 式的表示形式, 可将与时间无关的极化强度的分量式写为:
P
(3)
(R , t) =(4b)
(3) * E 1j E 1k E 1(5) 0 ijkl l (i, j , k , l =x , y , z ). 4
上式E 1j 表示电场强度矢量的直角坐标分量, ijkl (3) 表示极化率张量的分量(一般情况下该张
P 1i (3) =
量有81个分量, 但考虑到晶体的对称性, 独立分量的数目会大为减少) . 易见, 只要求出P 1j (3) , 代入(3) 式, 就可得含时的三阶非线性极化强度矢量. 因此下文集中讨论P 1i (3) 的具体计算, 而且为了描述简洁起见, 把与时间无关的量E 1i (3) , 统一表示成E i , P (i 3) .
第3期江秀娟等:单轴晶体中三阶非线性自作用极化强度矢量的计算71
2 主轴坐标系下P (i 3) 的表达式
无损互易介质的线性本构矩阵是实对称矩阵, 总可以通过正交变换选择适当的坐标系使之成为对角矩阵, 该坐标系称为主轴坐标系. 在以下讨论中, 把单轴晶体的光轴取为主轴坐标系的z #轴, 由于这类晶体的介电张量相对光轴具有旋转对称性, x #和y #主轴可以任意选取, 于是不失一般性地, 使x #-z #面与入射光的主面(光波矢和晶体光轴所成的平面) 重合, 如图1所示. 2 1
电场分布情况
图1 电场各矢量的方向
光波矢k 在x #-z #平面内, 与z #轴(晶体光轴) 成! 角. o 光的电位移矢量D 0与电场强度矢量E 0平行于y #轴. e 光的D e , E e 在x #-z #平面内, D e 与E e 成∀角. D 0, D e 与k 两两垂直且满足右手螺旋关系.
平面波在单轴晶体中传输时一般会有两个正交的本征模式:垂直于主面的寻常光(o 光) 及平行于主面的非寻常光(e 光) , 当光波矢k 的方向确定后, o 光与e 光的电磁场方向也随之确定, 见图1[3]. 据此, o 光和e 光的电场强度矢量的3个直角坐标分量分别为
E 0x #=0, E 0y #=-E 0, E 0z #=0,
E ex #=E e cos(∀-! ) , E ey #=0, E ez #=E e sin(∀-! ).
(6) (7)
式中! 是光轴和入射光波矢k 的夹角, 取值范围为[0, #], ∀是非寻常光电位移矢量D e 和电场强度矢量E e 的夹角, 由下式决定
[1, 4, 5]
2
(n 2) e -n o ) sin(2!
∀=arctan , 2
2(n 2os 2! +n 2) e c 0sin !
(8)
其中n o 是寻常光线折射率, n e 是非寻常光线折射率.
非线性是对线性情况的微扰, 不会改变模式场的分布, 因此可分别给出由o 光或e 光激发的P (i 3) 的表达式.
2 2 非线性极化强度的计算
!
单轴晶体中具有中心对称性的点群有6种:六角晶系中的6/m和6/mmm, 三角晶系中的3和3m, 以及四角晶系中的4/m 和4/mm m. 下面考虑6/mmm 和6/m点群的情况, 其他4类晶体的计算可类似进行.
2 2 1 6/m mm 点群 该点群的三阶极化率张量有21个非零分量, 其中只有10个是独立的
[2]
!
, 将其列出如下(在不致于引起混淆的情况下, 用张量分量 i jkl 的下标ijkl 来表示该张量分
z #z #z #z #, x #x #x #x #=y #y #y #y #=x #x #y #y #+x #y #y #x #+x #y #x #y #,
量)
72华南师范大学学报(自然科学版) 2003年
x #x #y #y #=y #y #x #x #x #y #x #y #=y #x #y #x y #y #z #z #=x #x #z #z #, y #z #z #y #=x #z #z #x #,
(9)
z #y #y #z #=z #x #x #z #, z #y #z #y #=z #x #z #x #. 2
0 x #y #y #y #|E oy #|E o y #=0, 4
x #y #y #x #=y #x #x #y #, z #z #y #y #=z #z #x #x #, y #z #y #z #=x #z #x #z #,
在(9) 式的基础上, 把(6) 式代入(5) 式, 得由o 光激发的非线性极化强度分量为
P (o x 3) #=
P (o 3) y #=
22
0 y #y #y #y #|E o y #|E oy #=-0 y #y #y #y #|E 0|E 0, 44
(3) 2P oz #=4 0 z #x #y #y #y #|E oy #|E oy #=0.
(10)
同样地, 把(7) 式代入(5) 式, 可得由e 光激发的非线性极化强度各分量
(3) 33) (3) (3) 22
) +( (-! ) cos (∀-! , x #x #x #cos (∀-! x #x #z #z #+ x #z #x #z #+ x #z #z #x #) sin (∀0|E e |E e x #
43) P (ey #=0,
3) P (ex #=3) P (ez #=
(3) 3(3) (3) (3) 22
z #z #sin (∀-! ) +( z #z #x #x #+ z #x #z #x #+ z #x #x #z #) sin (∀-! ) c os (∀-! ) . 0|E e |E e z #z #4
(11)
[1]
2 2 2 6/m 点群 该点群的三阶极化率张量有41个非零分量, 其中只有19个是独立的们是
z #z #z #z #, x #x #x #x #=y #y #y #y #=x #x #y #y #+x #y #y #x #+x #y #x #y #,
x #x #y #y #=y #y #x #x #, y #y #z #z #=x #x #z #z #, y #z #z #y #=x #z #z #x #, x #y #y #x #=y #x #x #y #, z #z #y #y #=z #z #x #x #, y #z #y #z #=x #z #x #z #, x #y #x #y #=y #x #y #x #, z #y #y #z #=z #x #x #z #, z #y #z #y #=z #x #z #x #, x #y #z #z #=-y #x #z #z #, x #z #z #y #=-y #z #z #x #, z #z #x #y #=-z #z #y #x #, x #z #y #x #=-y #z #x #y #, z #x #y #z #=-z #y #x #z #, z #x #z #y #=-z #y #z #x #, 所以P (3) 的各个直角坐标分量为
y #y #x #y #=-x #x #y #x #, y #x #y #y #=-x #y #x #x #, x #y #y #y #=-y #x #x #x #,
, 它
x #x #x #y #=-y #y #y #x #=y #y #x #y #+y #x #y #y #+x #y #y #y #. (12)
(3) 22 P o x #=4 0 x #y #y #y #|E o y #|E oy #= 0 x #y #y #y #|E 0|E 0, 4
(3) 22P o y #= 0 y #y #y #y #|E o y #|E oy #= 0 y #y #y #y #|E 0|E 0,
44) 2
P (o 3 (13) z #=0 z #y #y #y #|E oy #|E o y #=0, 4
3) 2(3) 3) (3) (3) 2
P (ex os 3(∀-! ) +( (-! ) cos (∀-! ) ], #=0|E e |E e [ x #x #x #x #c x #x #z #z #+ x #z #x #z #+ x #z #z #x #) sin (∀4
(3) 2(3) 3(3) (3) (3) 2 P ey #=4 0|E e |E e [ y #x #x #x #c os (∀-! ) +( y #x #z #z #+ y #z #x #z #+ y #z #z #x #) sin (∀-! ) cos (∀-! ) ],
3) 2(3) 33) (3) (3)
P (ez -! ) +( (-! ) cos 2(∀-! ) ]. #=0|E e |E e [ z #z #z #z #sin (∀z #z #x #x #+ z #x #z #x #+ z #x #x #z #) sin (∀4
(14)
第3期江秀娟等:单轴晶体中三阶非线性自作用极化强度矢量的计算73
3 传输坐标系(x , y , z ) 下P (i 3) 的表达式
传输坐标系(x , y , z ) 与主轴坐标系(x #, y #, z #) 的关系如图2所示. x -z 面与x #-z #面重合, z 轴与k 的方向重合, z 轴与z #轴
的夹角(即光波矢k 与晶体光轴的夹角) 为! , 于是两坐标系相应坐标轴单位矢量的关系如下:
x =x #cos ! -z #sin ! , y =y #, z =x #sin ! +z #cos ! .
(15) 由此可得极化强度矢量的传输坐标系分量与主轴坐标系分量的变换关系为
:
P (
x 3) P (y 3) =P (z 3)
3 1 6/mmm 点群
P ox =0,
3) 3) |E |2E (3) , P (oy =P (oy #=-o y #y #y #y #
40o 3) P (oz =0, (3)
图2 坐标系与光波矢的关系
光波矢k 与光轴成! 角, 传输坐标系(x , y , z ) 由主轴坐标系(x #, y #, z #) 绕y #轴逆时针旋转! 角而得.
(3)
-sin P x #
P (y 3) 0 #. 3)
cos P (z #
cos ! 0sin !
010
(16)
把(10) , (11) , (13) 和(14) 式代入(16) 式, 可得传输坐标系下P (i 3) 的计算表达式.
(17)
P ex =
(3)
2(3) 3 0|E e |E e [ x #x #x #x #c os (∀-! ) cos ! +4(3) (3) (3) 2(3) 3( x #x #z #z #+ x #z #x #z #+ x #z #z #x #) sin (∀-! ) cos(∀-! ) cos ! - z #z #z #z #sin (∀-! ) sin ! -3) (3) (3) ( (z #) cos 2(∀-! ) sin ! ], z #x #x #+ z #x #z #x #+ z #x #x #z #) sin(∀-!
3)
P (ey =0,
3) 2(3) P (ez = os 3(∀-! ) sin ! +0|E e |E e [ x #x #x #x #c 4
(3) (3) 23) 3
( (x 3) -! ) cos(∀-! ) sin ! + (z #-! ) cos ! +#x #z #z #+ x #z #x #z #+ x #z #z #x #) sin (∀z #z #z #sin (∀
3) (3) (3) ( (z #) cos 2(∀-! ) cos ! ].z #x #x #+ z #x #z #x #+ z #x #x #z #) sin(∀-!
(18)
3 2 6/m 点群
(3) 2
, 0 x #y #y #y #|E o |E o cos ! 43) (3) 2
P (oy =- 0 y #y #y #y #|E o |E o , 4
(3) 2
P (o 3) , z =-0 x #y #y #y #|E o |E o sin ! 4
3) P (ox =-
(19)
P (ex 3) =
2(3) 3(3) (3) 2
-! ) cos ! +( (x 3) ) cos(∀-! ) ∀0|E e |E e [ x #x #x #x #cos (∀#x #z #z #+ x #z #x #z #+ x #z #z #x #) sin (∀-! 4
74华南师范大学学报(自然科学版) 2003年
3) 33) (3) (3)
cos ! - (z #-! ) sin ! -( (z #-! ) cos 2(∀-! ) sin ! ], z #z #z #sin (∀z #x #x #+ z #x #z #x #+ z #x #x #z #) sin(∀(3) 2(3) 3(3) (3) (3) 2
P ey =4 0|E e |E e [ y #x #x #x #c os (∀-! ) +( y #x #z #z #+ y #z #x #z #+ y #z #z #x #) sin (∀-! ) cos(∀-! ) ], (20)
2(3) 3) (3) (3) 2
P (ez 3) = os 3(∀-! )sin ! +( (x #) cos(∀-! ) sin ! 0|E e |E e [ x #x #x #x #c x #z #z #+ x #z #x #z #+ x #z #z #x #)sin (∀-! 4
3) 33) (3) (3) + (z #-! ) c os ! +( (z #-! ) cos 2(∀-! ) cos ! ].z #z #z #sin (∀z #x #x #+ z #x #z #x #+ z #x #x #z #) sin(∀
由计算结果可以看出, 6/m 晶体中, x 与z 方向的电场会激发y 轴方向的极化强度, 同时y 方向的电场也会激发x 与z 轴方向的极化强度, 即沿y 方向极化的o 光与在x -z 面上极化的e 光之间存在非线性耦合; 而6/mmm 晶体则不然, y 方向的电场只引起y 方向的极化强度, x -z 面上的电场只引起x -z 面上的极化强度, o 光与e 光之间没有非线性耦合.
4 结论
对单轴晶体中自作用情况下三阶非线性极化强度进行了讨论, 以6/mmm和6/m 两点群的晶体为例, 分别在主轴坐标系和传输坐标系下得出了由o 光或e 光激发的极化强度的具体计算表达式. 首先在主轴坐标系下完成张量与矢量的点乘, 得出P 的表达式后再将其转换到传输坐标系. 由于这样只需做坐标系间的矢量变换而不是张量变换, 因此本文的方法比文献[1]中的简单得多. 计算所得的非线性极化强度可应用于非线性波动方程, 以分析光波在单轴晶体中的传输演化过程. 该方法可直接用来计算三角晶系中的3和3m, 以及四角晶系中的4/m 和4/mmm4类单轴晶体中的非线性极化强度矢量, 并可推广应用于各向异性介质中的其他非线性光学过程中的非线性极化强度矢量的计算. 参考文献:
[1] GUO Qi, CHI S. Nonlinear li ght beam propagation in uniaxial crystals:nonlinear refractive i ndex, self-trapping and
sel f-focusing[J].J Op t A:Pure Appl Opt, 2000(2) :5-15.
[2] B OYD R W. Nonlinear Optics[M].New York:Academic Press, 1992:1-62.
[3] 张克潜, 李德杰. 微波与光电子学中的电磁理论(第2版) [M]. 北京:电子工业出版社, 2001:1-16;
477-502.
[4] 蒋民华. 晶体物理[M]. 济南:山东科学技术出版社, 1980:202-224. [5] 金石琦. 晶体光学[M]. 北京:科学出版社, 1995:29-143.
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∃责任编辑 黄玉萍%
华南师范大学学报(自然科学版)
2003年8月J OURNA L OF SO UTH CHINA NOR MAL UNIVERSITY 2003年第3期
(NATURAL SCIENCE EDI TION) Aug. 2003 No. 3, 2003文章编号:1000-5463(2003) 03-0069-06
单轴晶体中三阶非线性自作用极化强度矢量的计算
江秀娟, 谢逸群, 郭 旗
(华南师范大学量子电子学研究所, 广东广州510631)
摘要:讨论单轴晶体中三阶非线性自作用极化强度矢量的计算. 在主轴坐标系下对6/mmm 和6/m 点群晶体中由o 光和e 光激发的极化强度矢量作了具体分析, 并且通过坐标变换得出其在传输坐标系下的表达式. 该矢量变换方法可直接用于计算3和3m, 以及4/m 和4/m mm 4类单轴晶体中的非线性极化强度矢量, 并可推广应用于各向异性介质中其他非线性光学过程中的非线性极化强度矢量的计算.
关键词:三阶非线性极化强度矢量; 克尔自作用; 单轴晶体; 坐标变换中图分类号:O437 文献标识码:A
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THE EX PRESSION OF THE THIRD -OR DER NONLINEAR POLAR IZATION OF
SELF -INTERACTION IN UNIAXIAL C RYSTALS
JIANG Xiu-juan, XIE Yi-qun, GUO Qi
(Ins ti tute of Quantum Electronics, South China Normal Universi ty, Guangzhou 510631, China)
Abstract:The third-order nonlinear polarization for self-interaction in uniaxial crystals is dealt with. The e xpressions of P (3) for 6/mmmand 6/mcrystals are obtained in the principal coordinate system. Furthermore, transformation of P (3) is made from the principal coordinate system to the propagation c oordinate system. The calculations can be extended to the crystals of
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3, 3m, 4/m, and 4/mmm,and be applied to the other nonlinear optical processes in anisotropic media.
Key words:third-order nonlinear polarization; kerr effect; uniaxial crystals; coordination transformation
从宏观角度讨论电磁场与物质的相互作用时, 极化强度矢量P 扮演着极其重要的角色,
收稿日期:2002-09-13
基金项目:国家自然科学基金资助项目(19674015) ; 广东省自然科学基金资助项目(011455) ; 高等学校骨干教师资助计划和广东省 千百十工程 优秀人才培养基金资助项目
作者简介:江秀娟(1974-) , 女, 广东广州人, 华南师范大学2001级硕士研究生; 郭旗(1958-) , 男, 四川内江人, 博士, 华南师范大学教授, 博士生导师.
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70华南师范大学学报(自然科学版) 2003年
因此非线性极化强度矢量的计算, 在非线性光学现象的讨论中有举足轻重的作用. 对于具有中心对称性的介质而言, 最低阶的非线性极化强度是三阶非线性极化强度P (3) , 其具体表达式与电磁场的极化方式和所取的坐标系有关. 已经证明:某些非线性光学问题在传输坐标系! ! ! 某一坐标轴(如z 轴) 与光波矢k 的方向重合的坐标系! ! ! 中讨论会变得简单, 否则问题会复杂得难以处理. 因为一般情况下光波在晶体中的传播因子为exp(i k ∀r ) =exp[i(k x x +k y y +k z z ) ], 而在传输坐标系下可将其表示成exp(i kz ) , 使光束演化方程大大简化. 极化率张量 (3) 是在晶体的主轴坐标系下确定的, 为了得到传输坐标系中的P (3) , 可将 (3) 从主轴坐标系变换到传输坐标系, 然后在后者做张量与矢量的点乘运算. 但这种方法要进行四阶张量变换, 非常繁复. 因此, 本文首先在主轴坐标系下完成张量与矢量的点乘, 得出P (3) 的表达式, 再将其转换到传输坐标系. 这样只需做矢量变换, 比文献[1]中的方法简单得多. 三阶非线性作用相位匹配条件通常不易满足, 故本文只对自作用的情况(kerr 效应) 进行讨论, 不考虑其他频率改变的三阶非线性过程. 对六角晶系6/mm m 和6/m两点群晶体中的P 的晶体可如法炮制. 文中采用国际单位制.
(3)
[1][1]
作了具体的计算, 其他类似
1 P
(3)
的一般表达式
三阶非线性极化强度P (3) 定义为[2]
(3)
P (3) (R, t ) = :E(R, t ) E(R, t) E(R, t ) , 0
(1)
式中 (3) 是三阶非线性极化率(四阶) 张量, 其分量均为常数(忽略了 (3) 的色散效应, 并假设其不随空间坐标改变) ; E 是电场强度矢量. E 和P
如下形式
E(R, t ) =
(3)
一般是时间和空间的函数, 设其分别具有
E 1(R ) e -i t +c. c. , 2P(R, t ) =P 1(R, ) e -i t +c. c. ,
2
把(2) 式代入(1) 式, 可得: P
(3)
(3)
(2) (3)
(R , t ) = 0 :
-E 1e 2
i t
*i t
+2E 1e =
3
-i3 t *-i t **i t ***i3 t (3)
:E 1E 1E 1e +3E 1E 1E 1e +3E 1E 1E 1e +E 1E 1E 1e . (4a) 0 8
在自作用情况下, 3倍频的极化强度成分不出现, (4a) 式可简化成:
(3) *-i t
+c. c. . :E 1E 1E 1e 0 8
考虑到(3) 式的表示形式, 可将与时间无关的极化强度的分量式写为:
P
(3)
(R , t) =(4b)
(3) * E 1j E 1k E 1(5) 0 ijkl l (i, j , k , l =x , y , z ). 4
上式E 1j 表示电场强度矢量的直角坐标分量, ijkl (3) 表示极化率张量的分量(一般情况下该张
P 1i (3) =
量有81个分量, 但考虑到晶体的对称性, 独立分量的数目会大为减少) . 易见, 只要求出P 1j (3) , 代入(3) 式, 就可得含时的三阶非线性极化强度矢量. 因此下文集中讨论P 1i (3) 的具体计算, 而且为了描述简洁起见, 把与时间无关的量E 1i (3) , 统一表示成E i , P (i 3) .
第3期江秀娟等:单轴晶体中三阶非线性自作用极化强度矢量的计算71
2 主轴坐标系下P (i 3) 的表达式
无损互易介质的线性本构矩阵是实对称矩阵, 总可以通过正交变换选择适当的坐标系使之成为对角矩阵, 该坐标系称为主轴坐标系. 在以下讨论中, 把单轴晶体的光轴取为主轴坐标系的z #轴, 由于这类晶体的介电张量相对光轴具有旋转对称性, x #和y #主轴可以任意选取, 于是不失一般性地, 使x #-z #面与入射光的主面(光波矢和晶体光轴所成的平面) 重合, 如图1所示. 2 1
电场分布情况
图1 电场各矢量的方向
光波矢k 在x #-z #平面内, 与z #轴(晶体光轴) 成! 角. o 光的电位移矢量D 0与电场强度矢量E 0平行于y #轴. e 光的D e , E e 在x #-z #平面内, D e 与E e 成∀角. D 0, D e 与k 两两垂直且满足右手螺旋关系.
平面波在单轴晶体中传输时一般会有两个正交的本征模式:垂直于主面的寻常光(o 光) 及平行于主面的非寻常光(e 光) , 当光波矢k 的方向确定后, o 光与e 光的电磁场方向也随之确定, 见图1[3]. 据此, o 光和e 光的电场强度矢量的3个直角坐标分量分别为
E 0x #=0, E 0y #=-E 0, E 0z #=0,
E ex #=E e cos(∀-! ) , E ey #=0, E ez #=E e sin(∀-! ).
(6) (7)
式中! 是光轴和入射光波矢k 的夹角, 取值范围为[0, #], ∀是非寻常光电位移矢量D e 和电场强度矢量E e 的夹角, 由下式决定
[1, 4, 5]
2
(n 2) e -n o ) sin(2!
∀=arctan , 2
2(n 2os 2! +n 2) e c 0sin !
(8)
其中n o 是寻常光线折射率, n e 是非寻常光线折射率.
非线性是对线性情况的微扰, 不会改变模式场的分布, 因此可分别给出由o 光或e 光激发的P (i 3) 的表达式.
2 2 非线性极化强度的计算
!
单轴晶体中具有中心对称性的点群有6种:六角晶系中的6/m和6/mmm, 三角晶系中的3和3m, 以及四角晶系中的4/m 和4/mm m. 下面考虑6/mmm 和6/m点群的情况, 其他4类晶体的计算可类似进行.
2 2 1 6/m mm 点群 该点群的三阶极化率张量有21个非零分量, 其中只有10个是独立的
[2]
!
, 将其列出如下(在不致于引起混淆的情况下, 用张量分量 i jkl 的下标ijkl 来表示该张量分
z #z #z #z #, x #x #x #x #=y #y #y #y #=x #x #y #y #+x #y #y #x #+x #y #x #y #,
量)
72华南师范大学学报(自然科学版) 2003年
x #x #y #y #=y #y #x #x #x #y #x #y #=y #x #y #x y #y #z #z #=x #x #z #z #, y #z #z #y #=x #z #z #x #,
(9)
z #y #y #z #=z #x #x #z #, z #y #z #y #=z #x #z #x #. 2
0 x #y #y #y #|E oy #|E o y #=0, 4
x #y #y #x #=y #x #x #y #, z #z #y #y #=z #z #x #x #, y #z #y #z #=x #z #x #z #,
在(9) 式的基础上, 把(6) 式代入(5) 式, 得由o 光激发的非线性极化强度分量为
P (o x 3) #=
P (o 3) y #=
22
0 y #y #y #y #|E o y #|E oy #=-0 y #y #y #y #|E 0|E 0, 44
(3) 2P oz #=4 0 z #x #y #y #y #|E oy #|E oy #=0.
(10)
同样地, 把(7) 式代入(5) 式, 可得由e 光激发的非线性极化强度各分量
(3) 33) (3) (3) 22
) +( (-! ) cos (∀-! , x #x #x #cos (∀-! x #x #z #z #+ x #z #x #z #+ x #z #z #x #) sin (∀0|E e |E e x #
43) P (ey #=0,
3) P (ex #=3) P (ez #=
(3) 3(3) (3) (3) 22
z #z #sin (∀-! ) +( z #z #x #x #+ z #x #z #x #+ z #x #x #z #) sin (∀-! ) c os (∀-! ) . 0|E e |E e z #z #4
(11)
[1]
2 2 2 6/m 点群 该点群的三阶极化率张量有41个非零分量, 其中只有19个是独立的们是
z #z #z #z #, x #x #x #x #=y #y #y #y #=x #x #y #y #+x #y #y #x #+x #y #x #y #,
x #x #y #y #=y #y #x #x #, y #y #z #z #=x #x #z #z #, y #z #z #y #=x #z #z #x #, x #y #y #x #=y #x #x #y #, z #z #y #y #=z #z #x #x #, y #z #y #z #=x #z #x #z #, x #y #x #y #=y #x #y #x #, z #y #y #z #=z #x #x #z #, z #y #z #y #=z #x #z #x #, x #y #z #z #=-y #x #z #z #, x #z #z #y #=-y #z #z #x #, z #z #x #y #=-z #z #y #x #, x #z #y #x #=-y #z #x #y #, z #x #y #z #=-z #y #x #z #, z #x #z #y #=-z #y #z #x #, 所以P (3) 的各个直角坐标分量为
y #y #x #y #=-x #x #y #x #, y #x #y #y #=-x #y #x #x #, x #y #y #y #=-y #x #x #x #,
, 它
x #x #x #y #=-y #y #y #x #=y #y #x #y #+y #x #y #y #+x #y #y #y #. (12)
(3) 22 P o x #=4 0 x #y #y #y #|E o y #|E oy #= 0 x #y #y #y #|E 0|E 0, 4
(3) 22P o y #= 0 y #y #y #y #|E o y #|E oy #= 0 y #y #y #y #|E 0|E 0,
44) 2
P (o 3 (13) z #=0 z #y #y #y #|E oy #|E o y #=0, 4
3) 2(3) 3) (3) (3) 2
P (ex os 3(∀-! ) +( (-! ) cos (∀-! ) ], #=0|E e |E e [ x #x #x #x #c x #x #z #z #+ x #z #x #z #+ x #z #z #x #) sin (∀4
(3) 2(3) 3(3) (3) (3) 2 P ey #=4 0|E e |E e [ y #x #x #x #c os (∀-! ) +( y #x #z #z #+ y #z #x #z #+ y #z #z #x #) sin (∀-! ) cos (∀-! ) ],
3) 2(3) 33) (3) (3)
P (ez -! ) +( (-! ) cos 2(∀-! ) ]. #=0|E e |E e [ z #z #z #z #sin (∀z #z #x #x #+ z #x #z #x #+ z #x #x #z #) sin (∀4
(14)
第3期江秀娟等:单轴晶体中三阶非线性自作用极化强度矢量的计算73
3 传输坐标系(x , y , z ) 下P (i 3) 的表达式
传输坐标系(x , y , z ) 与主轴坐标系(x #, y #, z #) 的关系如图2所示. x -z 面与x #-z #面重合, z 轴与k 的方向重合, z 轴与z #轴
的夹角(即光波矢k 与晶体光轴的夹角) 为! , 于是两坐标系相应坐标轴单位矢量的关系如下:
x =x #cos ! -z #sin ! , y =y #, z =x #sin ! +z #cos ! .
(15) 由此可得极化强度矢量的传输坐标系分量与主轴坐标系分量的变换关系为
:
P (
x 3) P (y 3) =P (z 3)
3 1 6/mmm 点群
P ox =0,
3) 3) |E |2E (3) , P (oy =P (oy #=-o y #y #y #y #
40o 3) P (oz =0, (3)
图2 坐标系与光波矢的关系
光波矢k 与光轴成! 角, 传输坐标系(x , y , z ) 由主轴坐标系(x #, y #, z #) 绕y #轴逆时针旋转! 角而得.
(3)
-sin P x #
P (y 3) 0 #. 3)
cos P (z #
cos ! 0sin !
010
(16)
把(10) , (11) , (13) 和(14) 式代入(16) 式, 可得传输坐标系下P (i 3) 的计算表达式.
(17)
P ex =
(3)
2(3) 3 0|E e |E e [ x #x #x #x #c os (∀-! ) cos ! +4(3) (3) (3) 2(3) 3( x #x #z #z #+ x #z #x #z #+ x #z #z #x #) sin (∀-! ) cos(∀-! ) cos ! - z #z #z #z #sin (∀-! ) sin ! -3) (3) (3) ( (z #) cos 2(∀-! ) sin ! ], z #x #x #+ z #x #z #x #+ z #x #x #z #) sin(∀-!
3)
P (ey =0,
3) 2(3) P (ez = os 3(∀-! ) sin ! +0|E e |E e [ x #x #x #x #c 4
(3) (3) 23) 3
( (x 3) -! ) cos(∀-! ) sin ! + (z #-! ) cos ! +#x #z #z #+ x #z #x #z #+ x #z #z #x #) sin (∀z #z #z #sin (∀
3) (3) (3) ( (z #) cos 2(∀-! ) cos ! ].z #x #x #+ z #x #z #x #+ z #x #x #z #) sin(∀-!
(18)
3 2 6/m 点群
(3) 2
, 0 x #y #y #y #|E o |E o cos ! 43) (3) 2
P (oy =- 0 y #y #y #y #|E o |E o , 4
(3) 2
P (o 3) , z =-0 x #y #y #y #|E o |E o sin ! 4
3) P (ox =-
(19)
P (ex 3) =
2(3) 3(3) (3) 2
-! ) cos ! +( (x 3) ) cos(∀-! ) ∀0|E e |E e [ x #x #x #x #cos (∀#x #z #z #+ x #z #x #z #+ x #z #z #x #) sin (∀-! 4
74华南师范大学学报(自然科学版) 2003年
3) 33) (3) (3)
cos ! - (z #-! ) sin ! -( (z #-! ) cos 2(∀-! ) sin ! ], z #z #z #sin (∀z #x #x #+ z #x #z #x #+ z #x #x #z #) sin(∀(3) 2(3) 3(3) (3) (3) 2
P ey =4 0|E e |E e [ y #x #x #x #c os (∀-! ) +( y #x #z #z #+ y #z #x #z #+ y #z #z #x #) sin (∀-! ) cos(∀-! ) ], (20)
2(3) 3) (3) (3) 2
P (ez 3) = os 3(∀-! )sin ! +( (x #) cos(∀-! ) sin ! 0|E e |E e [ x #x #x #x #c x #z #z #+ x #z #x #z #+ x #z #z #x #)sin (∀-! 4
3) 33) (3) (3) + (z #-! ) c os ! +( (z #-! ) cos 2(∀-! ) cos ! ].z #z #z #sin (∀z #x #x #+ z #x #z #x #+ z #x #x #z #) sin(∀
由计算结果可以看出, 6/m 晶体中, x 与z 方向的电场会激发y 轴方向的极化强度, 同时y 方向的电场也会激发x 与z 轴方向的极化强度, 即沿y 方向极化的o 光与在x -z 面上极化的e 光之间存在非线性耦合; 而6/mmm 晶体则不然, y 方向的电场只引起y 方向的极化强度, x -z 面上的电场只引起x -z 面上的极化强度, o 光与e 光之间没有非线性耦合.
4 结论
对单轴晶体中自作用情况下三阶非线性极化强度进行了讨论, 以6/mmm和6/m 两点群的晶体为例, 分别在主轴坐标系和传输坐标系下得出了由o 光或e 光激发的极化强度的具体计算表达式. 首先在主轴坐标系下完成张量与矢量的点乘, 得出P 的表达式后再将其转换到传输坐标系. 由于这样只需做坐标系间的矢量变换而不是张量变换, 因此本文的方法比文献[1]中的简单得多. 计算所得的非线性极化强度可应用于非线性波动方程, 以分析光波在单轴晶体中的传输演化过程. 该方法可直接用来计算三角晶系中的3和3m, 以及四角晶系中的4/m 和4/mmm4类单轴晶体中的非线性极化强度矢量, 并可推广应用于各向异性介质中的其他非线性光学过程中的非线性极化强度矢量的计算. 参考文献:
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(3)
∃责任编辑 黄玉萍%