摘要：本文吸取灰色预测方法和马尔可夫预测方法的优点，将两种方法结合起来，建立灰色-马尔可夫预测模型，并选取广发稳健增长一段时期内的基金净值数据作为样本进行预测分析。研究发现，利用灰色―马尔可夫预测模型预测基金净值具有较高的预测精度。
关键词：基金净值预测；灰色GM（1，1）模型；马尔可夫链
一、引言
近年来随着我国证券市场的快速发展，证券投资基金受到了越来越多投资者的关注。基金净值是广大投资者能够最为直接接触到的有关基金运作情况的数据，合理预测基金净值对于广大投资者做出科学合理的投资决策具有重要意义。但是基金净值的变动受多种因素的影响，如大盘指数波动、国家政策调控、基金经理的投资能力以及其他的不确定因素等等，其对基金净值的影响机理各不相同。可以将基金净值的变动过程看作一个灰色系统,利用系统中少量的已知信息来生成、开发、提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控，从而达到对未来事物进行准确预测的目的。
灰色系统模型已经被广泛用于时间序列数据的拟合与预测。冉茂盛等（1997）用灰色模型方法预测我国物价变动趋势；陈海明、段进东（2002）运用灰色马尔可夫模型来预测股票价格；杨楠等（2006）用灰色马尔可夫模型预测房价指数。灰色预测理论的GM（1，1）模型所描述的灰色量，其白化微分方程解为指数型曲线，主要适应于时间短、数据少、波动小、具有长期趋势的预测对象,马尔可夫理论根据状态之间的转移概率来预测系统未来的发展，适合于随机波动性较大的预测问题。本文基于灰色系统预测和马尔可夫预测的特点，将两种预测方法结合，利用GM（1，1）模型来揭示经济现象长期发展变化的趋势，利用马尔可夫预测模型来确定现象状态之间的转移，建立灰色-马尔可夫预测模型，对基金净值走势进行预测。
二、灰色GM(1,1)-马尔可夫模型预测过程
（一）GM（1，1）模型
设原始序列为�X��（0）�={x��（0）�（1），x��(0)�(2),……，x��(0)�(n-1),x��(0)�(n)}，首先对X��(0)�作一次累加生成，得到新数列：X��(1)�={X��(1)�(1),x��(1)�(2),……，x��(1)�(n-1),x��(1)�(n)}，
详细的,有x��(1)�(1)=x��(0)�(1)x��(1)�(k)=x��(0)�(k)+x��(1)�(k-1),k=2,3,…，n。一次累加生成序列{x��(1)�(k)|=1,2,3，……n}的规律可以通过求解一阶线性微分方程：dX��(1)�dt+aX��(1)�=u的解得到，a为发展灰数，u称内生控制数。
设为待估参数向量，=au，利用最小二乘法求解可得=(B�TB)��-1�B�Tyn，通过上式可得a和u。
其中，B=-12(x��(1)�(1)+x��(1)�(2))1
-12(x��(1)�(2)+x��(1)�(3))1
-12(x��(1)�(n-1)+x��(1)�(n))1,yn=[x��(0)�(2),x��(0)�(3)……，x��(0)�(n)]�T。�
得到GM（1,1）模型：���(1)�(k+1)=[x��(0)�(1)-ua]e��-ai�+ua。
其中k=0,1,2,……,n。�可以利用GM（1,1）模型对�X��(1)�做出预测，并由累减生成得到原始数据数列X��(0)�的模拟序列值，并令(t)=��(0)�(k+1)即：
��(0)�(k+1)=��(1)�(k+1)-��(1)�(k)，��(0)�(1)=��(1)�(1),（k=1,2,……,n），�
（二）GM（1，1）模型检验
灰色预测模型的检验方法有残差检验、关联度检验和后验差检验法。
1.残差检验
残差检验有两种：绝对误差和相对误差检验。
绝对误差：�ε��(0)�(k)=x��(0)�(k)-(k)；相对误差：Ω��(0)�(k)=ε��(0)�(k)x��(0)�(k)×100%,式中，��(0)�(k)=��(1)�(k)-��(1)�(k-1)，��(0)�(1)=��(1)�(1)，（k=2,3,……,n）。
2.关联度检验
关联系数定义为：ξ(k)=�min�(Δ(k))+ρ�max�(Δ(k))Δ(k)+ρ�max�(Δ(k))，式中，ξ(k)为第k个数据的关联系数；ρ为取定的最大差百分比，一般取ρ=0.5；Δ(k)=|���(0)�(k)-x��(0)�(k)|,最后计算关联度ξ，关联度ξ定义为：�ξ=1n-1∑nk=1ξ(k)。�
3.后验差检验
首先计算原始数列x��(0)�的均方差s0，s0定义为：
s0=s0�2n-1，�s0�2=∑nk=1[x��(0)�(k)-x��(0)�]�2，x��(0)�=1n∑nk=1x��(0)�(k)�；
计算残差数列ε��(0)�的均方差s1，s1定义为：
s1=s1�2n-1，�s1�2=∑nk=1[ε��(0)�(k)-ε��(0)�]�2，ε��(0)�=1n∑nk=1ε��(0)�(k)�；
由此计算方差比：c=s1/s0；最后计算小误差概率p：p={|ε��(0)�-ε��(0)�|＜0.6745s0}�。
（三）马尔可夫状态转移概率矩阵
�将符合n阶马尔可夫非平稳的随机序列划分为m个状态，状态区间为Ei∈[E�1i�,E�2i�]，其中E�1i�=(t)+Ai,E�2i�=(t)+Bi,Ai=ai,Bi=bi，为原始数据的均值。状态划分数目m和常数ai，bi的确定，可以依据研究对象的实际意义、样本数据的多少选取。状态划分好后，就可以利用m步状态转移概率的计算公式p��(m)��i,j�=m��(m)��i,j�mi（式中p��(m)��i,j�、m��(m)��i,j�分别为状态Ei经m步转移到状态Ej的概率和次数，mi为状态Ei出现的次数）来构造m步状态转移概率矩阵。
如果状态划分不合适，以致某一状态中无原始数据落入时，则可令p��(m)��i,j�=0。p��(m)�反应了系统各状态之间转移的规律。通过考察p��(m)�和初始状态Ei，就可以预测系统未来的发展变化状况。在实际中一般只要考察一步转移概率矩阵。
（四）计算模拟值
设预测对象处于Ek状态，考察一步转移概率矩阵P中的第k行，若�max�jp�kj�=p�kl�，则可以认为下一时刻系统最有可能由状态Ek转向状态Ej。若遇到矩阵P中第k行有两个或两个以上概率相同或相近时，则状态的未来转向难以确定。此时，需要考察两步或n步状态转移概率矩阵P��(2)�或P��(n)�（其中n≥3）。确定了预测对象未来的状态转移后即确定了预测值变动的灰区间，然后就可以用该区间中位数�y(k)�＾得到系统的模拟值，其中�y(k)�＾=12(E�1i�+E�2i�)=y()+12(Ai+Bi)。�
三、基金净值预测的灰色GM(1,1)-马尔可夫方法
本文选取开放式基金―广发稳健增长（270002）2007年12月14日至2008年1月4日16天的基金净值作为样本进行预测。
（一）GM（1，1）模型
根据前述方法，利用16个原始样本数据，求解出�=(B�TB)��-1�B�Tyn=-0.00662.1656，从而得到a=-0.0066，u=2.1656�，进而得到GM（1,1）模型：���(1)�(k+1)=x��(0)�(1)-uae��-ak�+ua=330.3448e��0.0066k�-328.1212。模拟预测序列：��(0)�(k+1)=��(1)�(k+1)-��(1)�(k)=2.1731e��0.0066k�，即(k)==2.1731e��0.0066k�。
（二）模型检验
1.残差检验
利用公式经过计算得到残差检验表（表1）：
表1 残差检验表
序号x��(0)�(i)��(0)�(i)ε��(0)�(i)=x��(0)�(i)-��(0)�(i)相对误差（%）
12.22362.223600
22.17402.1875-0.0135-0.6210
32.16482.2020-0.0372-1.7184
42.20062.2166-0.0160-0.7271
52.23902.23120.00780.3484
62.24772.24600.00170.0756
72.28102.26090.02010.8812
82.28882.27580.01300.5680
92.29992.29090.00900.3913
102.34302.30610.03691.5749
112.34852.32140.02711.1539
122.34842.33670.01170.4982
132.34832.3522-0.0039-0.1661
142.35882.3678-0.0090-0.3816
152.34502.3835-0.0385-1.6418
162.37992.3992-0.0193-0.8110
由误差计算结果可以看到，相对误差不超过2%，可以认为模型精度是很高的。
2.关联度检验
经过计算得到如下关联系数表（表2）：
表2 关联系数表
序号（k）ε(k)序号（k）ε(k)序号（k）ε(k)序号（k）ε(k)
1150.7190.68130.83
20.9560.92100.34140.68
30.3470.49110.42150.33
40.5580.60120.62160.50
表3 净值预测表
项目GM(1,1)模型灰色-马尔可夫模型
编号日期实际值预测值残差相对误差预测值残差相对误差
171月5日2.37992.4311-0.051-2.1523%2.37110.00880.0370%
181月8日2.42212.4472-0.025-1.037%2.38720.03490.4972%
191月9日2.41372.4634-0.050-2.06%2.40340.01030.4271%
关联度ξ计算：本例中，�ξ=1n-1∑nk=1ξ(k)=ξ=116-1∑16k=1ξ(k)=0.6399。一般来说，在ρ=0.5，ξ=0.6399时是令人满意的。
3.后验差检验
根据前述:x��(0)�=1n∑nk=1x��(0)�(k)=2.2870，s0�2=∑nk=1[x��(0)�(k)-x��(0)�]�2=0.0748，从而求出原始数列x��(0)�的均方差s0=s0�2n-1=0.0706，ε��(0)�1n∑nk=1ε��(0)�(k)=0.000631，s1�2=∑nk=1[ε��(0)�(k)-ε��(0)�]�2=0.006717，残差数列ε��(0)�的均方差s1=s1�2n-1=0.021162；
由此计算方差比：c=s1/s0=0.2996；小误差概率p：p={|ε��(0)�-ε��(0)�|＜0.6745s0}。
P={|ε��(0)�-0.000631|＜0.6745×0.0706}={|ε��(0)�-0.000631|＜0.04764}=1�
由预测精度等级划分表：当小误差概率p值＞0.95、方差比c值＜0.35,则预测精度等级为“好”，可知前面得到的模型有较好的预测精度，并可用于预测。
（三）马尔可夫状态转移概率矩阵
根据广发稳健增长（270002）16个样本数据的分布状况，经过多次试验将其划分成四个状态,即：
E1:E�11�=(t)-0.03;E�21�=(t)-0.0225
E2:E�12�=(t)-0.0225;E�22�=(t)-0.01
E3:E�13�=(t)-0.01;E�23�=(t)+
E4:E�14�=(t)+;E�24�=(t)+0.01
其中，=2.2870，状态划分好后，计算一步转移概率矩阵。经计算，落入四个状态的原始样本数据分别为：M1=2，M2=4，M3=6，M4=4。由状态E1转移到状态E1:E4的原始数据样本点数分别为M�11�(1)=2，M�12�(1)=0，M�13�(1)=0，M�14�(1)=0。类似的方法可以求解M�ij�，进而得到一步转移概率矩阵为：
P��（1）�=1000
230130
0161213
0141214
（四）计算模拟值
根据上面P��（1）�的矩阵就可以预测基金净值的未来转移状态。2008年1月4日的基金净值处于E2状态，那么接下来就考察P��（1）�矩阵的第二行，可以得到�max�p�2j�=p�21�=23，因此可以预测2008年1月5日的广发基金净值最有可能处于E1状态，则基金净值可能落在灰区间[(17)-0.03,(17)-0.0225]�,即[2.362513，2.379663],得到最有可能的预测值为：2.3711。实际上广发稳健下一个交易日的基金净值为2.3799，灰色-马尔可夫模型的预测误差为0.0088，相对误差率为0.3703%；而通过灰色GM(1,1)模型计算得到的预测值为2.4311，预测误差为0.0512，相对误差率为2.1523%。同样的方法预测出接下来的两个交易日即2008年1月8日和9日的基金净值。具体数据见表3：
从以上表中数据比较可以看出，灰色-马尔可夫模型的预测精度较高，对于随机波动性大的数据预测效果较好，各项预测指数都要优于灰色GM（1，1）模型。
四、结论
基金净值受多种因素影响，其不确定因素难以准确把握，基金净值的预测问题是一个典型的
灰色系统。而合理准确地预测基金净值走势，对于投资者把握投资机会，做出适时的投资决策，具有重要的现实意义。本文吸取了灰色预测方法和马尔可夫预测方法的优点，将两种方法结合起来，建立灰色-马尔可夫预测模型，并选取广发稳健增长2007年12月14日至2008年1月4日16天的基金净值数据作为样本进行了预测分析。预测结果显示，灰色-马尔可夫模型的预测精度较高，各项预测指数都要优于灰色GM（1，1）模型，可见灰色－马尔可夫模型具有较好的预测应用价值。
参考文献:
[1]李工农，阮晓青，徐晨.经济预测与决策及其Matlab实现[M].北京:清华大学出版社,2007.8:46-63.
[2]伍海华，杨德平.随机过程[M].北京：中国金融出版社，2002：37-69.
[3]李曜.证券投资基金学[M].上海：上海财经大学出版社,2002:13-14.
[4]邓聚龙.灰理论基础[M].武汉:华中科技大学出版社,2002:102-220.
[5]程亚鹏，张虎，张庆宏.GM(1.1)模型在房地产价格指数预测中的应用[J]河北农业大学学报,1999(7):90-93.
[6]陈海明，段进东.灰色-马尔可夫模型在股票价格预测中的应用[J].经济问题,2002(8):37-39.
[7]唐娜，桂预风，李宝.灰色马尔可夫模型应用于股指分析[J].第五届不确定系统年会论文集,2007(8):195-198.
（作者单位：青岛大学经济学院）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
摘要：本文吸取灰色预测方法和马尔可夫预测方法的优点，将两种方法结合起来，建立灰色-马尔可夫预测模型，并选取广发稳健增长一段时期内的基金净值数据作为样本进行预测分析。研究发现，利用灰色―马尔可夫预测模型预测基金净值具有较高的预测精度。
关键词：基金净值预测；灰色GM（1，1）模型；马尔可夫链
一、引言
近年来随着我国证券市场的快速发展，证券投资基金受到了越来越多投资者的关注。基金净值是广大投资者能够最为直接接触到的有关基金运作情况的数据，合理预测基金净值对于广大投资者做出科学合理的投资决策具有重要意义。但是基金净值的变动受多种因素的影响，如大盘指数波动、国家政策调控、基金经理的投资能力以及其他的不确定因素等等，其对基金净值的影响机理各不相同。可以将基金净值的变动过程看作一个灰色系统,利用系统中少量的已知信息来生成、开发、提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控，从而达到对未来事物进行准确预测的目的。
灰色系统模型已经被广泛用于时间序列数据的拟合与预测。冉茂盛等（1997）用灰色模型方法预测我国物价变动趋势；陈海明、段进东（2002）运用灰色马尔可夫模型来预测股票价格；杨楠等（2006）用灰色马尔可夫模型预测房价指数。灰色预测理论的GM（1，1）模型所描述的灰色量，其白化微分方程解为指数型曲线，主要适应于时间短、数据少、波动小、具有长期趋势的预测对象,马尔可夫理论根据状态之间的转移概率来预测系统未来的发展，适合于随机波动性较大的预测问题。本文基于灰色系统预测和马尔可夫预测的特点，将两种预测方法结合，利用GM（1，1）模型来揭示经济现象长期发展变化的趋势，利用马尔可夫预测模型来确定现象状态之间的转移，建立灰色-马尔可夫预测模型，对基金净值走势进行预测。
二、灰色GM(1,1)-马尔可夫模型预测过程
（一）GM（1，1）模型
设原始序列为�X��（0）�={x��（0）�（1），x��(0)�(2),……，x��(0)�(n-1),x��(0)�(n)}，首先对X��(0)�作一次累加生成，得到新数列：X��(1)�={X��(1)�(1),x��(1)�(2),……，x��(1)�(n-1),x��(1)�(n)}，
详细的,有x��(1)�(1)=x��(0)�(1)x��(1)�(k)=x��(0)�(k)+x��(1)�(k-1),k=2,3,…，n。一次累加生成序列{x��(1)�(k)|=1,2,3，……n}的规律可以通过求解一阶线性微分方程：dX��(1)�dt+aX��(1)�=u的解得到，a为发展灰数，u称内生控制数。
设为待估参数向量，=au，利用最小二乘法求解可得=(B�TB)��-1�B�Tyn，通过上式可得a和u。
其中，B=-12(x��(1)�(1)+x��(1)�(2))1
-12(x��(1)�(2)+x��(1)�(3))1
-12(x��(1)�(n-1)+x��(1)�(n))1,yn=[x��(0)�(2),x��(0)�(3)……，x��(0)�(n)]�T。�
得到GM（1,1）模型：���(1)�(k+1)=[x��(0)�(1)-ua]e��-ai�+ua。
其中k=0,1,2,……,n。�可以利用GM（1,1）模型对�X��(1)�做出预测，并由累减生成得到原始数据数列X��(0)�的模拟序列值，并令(t)=��(0)�(k+1)即：
��(0)�(k+1)=��(1)�(k+1)-��(1)�(k)，��(0)�(1)=��(1)�(1),（k=1,2,……,n），�
（二）GM（1，1）模型检验
灰色预测模型的检验方法有残差检验、关联度检验和后验差检验法。
1.残差检验
残差检验有两种：绝对误差和相对误差检验。
绝对误差：�ε��(0)�(k)=x��(0)�(k)-(k)；相对误差：Ω��(0)�(k)=ε��(0)�(k)x��(0)�(k)×100%,式中，��(0)�(k)=��(1)�(k)-��(1)�(k-1)，��(0)�(1)=��(1)�(1)，（k=2,3,……,n）。
2.关联度检验
关联系数定义为：ξ(k)=�min�(Δ(k))+ρ�max�(Δ(k))Δ(k)+ρ�max�(Δ(k))，式中，ξ(k)为第k个数据的关联系数；ρ为取定的最大差百分比，一般取ρ=0.5；Δ(k)=|���(0)�(k)-x��(0)�(k)|,最后计算关联度ξ，关联度ξ定义为：�ξ=1n-1∑nk=1ξ(k)。�
3.后验差检验
首先计算原始数列x��(0)�的均方差s0，s0定义为：
s0=s0�2n-1，�s0�2=∑nk=1[x��(0)�(k)-x��(0)�]�2，x��(0)�=1n∑nk=1x��(0)�(k)�；
计算残差数列ε��(0)�的均方差s1，s1定义为：
s1=s1�2n-1，�s1�2=∑nk=1[ε��(0)�(k)-ε��(0)�]�2，ε��(0)�=1n∑nk=1ε��(0)�(k)�；
由此计算方差比：c=s1/s0；最后计算小误差概率p：p={|ε��(0)�-ε��(0)�|＜0.6745s0}�。
（三）马尔可夫状态转移概率矩阵
�将符合n阶马尔可夫非平稳的随机序列划分为m个状态，状态区间为Ei∈[E�1i�,E�2i�]，其中E�1i�=(t)+Ai,E�2i�=(t)+Bi,Ai=ai,Bi=bi，为原始数据的均值。状态划分数目m和常数ai，bi的确定，可以依据研究对象的实际意义、样本数据的多少选取。状态划分好后，就可以利用m步状态转移概率的计算公式p��(m)��i,j�=m��(m)��i,j�mi（式中p��(m)��i,j�、m��(m)��i,j�分别为状态Ei经m步转移到状态Ej的概率和次数，mi为状态Ei出现的次数）来构造m步状态转移概率矩阵。
如果状态划分不合适，以致某一状态中无原始数据落入时，则可令p��(m)��i,j�=0。p��(m)�反应了系统各状态之间转移的规律。通过考察p��(m)�和初始状态Ei，就可以预测系统未来的发展变化状况。在实际中一般只要考察一步转移概率矩阵。
（四）计算模拟值
设预测对象处于Ek状态，考察一步转移概率矩阵P中的第k行，若�max�jp�kj�=p�kl�，则可以认为下一时刻系统最有可能由状态Ek转向状态Ej。若遇到矩阵P中第k行有两个或两个以上概率相同或相近时，则状态的未来转向难以确定。此时，需要考察两步或n步状态转移概率矩阵P��(2)�或P��(n)�（其中n≥3）。确定了预测对象未来的状态转移后即确定了预测值变动的灰区间，然后就可以用该区间中位数�y(k)�＾得到系统的模拟值，其中�y(k)�＾=12(E�1i�+E�2i�)=y()+12(Ai+Bi)。�
三、基金净值预测的灰色GM(1,1)-马尔可夫方法
本文选取开放式基金―广发稳健增长（270002）2007年12月14日至2008年1月4日16天的基金净值作为样本进行预测。
（一）GM（1，1）模型
根据前述方法，利用16个原始样本数据，求解出�=(B�TB)��-1�B�Tyn=-0.00662.1656，从而得到a=-0.0066，u=2.1656�，进而得到GM（1,1）模型：���(1)�(k+1)=x��(0)�(1)-uae��-ak�+ua=330.3448e��0.0066k�-328.1212。模拟预测序列：��(0)�(k+1)=��(1)�(k+1)-��(1)�(k)=2.1731e��0.0066k�，即(k)==2.1731e��0.0066k�。
（二）模型检验
1.残差检验
利用公式经过计算得到残差检验表（表1）：
表1 残差检验表
序号x��(0)�(i)��(0)�(i)ε��(0)�(i)=x��(0)�(i)-��(0)�(i)相对误差（%）
12.22362.223600
22.17402.1875-0.0135-0.6210
32.16482.2020-0.0372-1.7184
42.20062.2166-0.0160-0.7271
52.23902.23120.00780.3484
62.24772.24600.00170.0756
72.28102.26090.02010.8812
82.28882.27580.01300.5680
92.29992.29090.00900.3913
102.34302.30610.03691.5749
112.34852.32140.02711.1539
122.34842.33670.01170.4982
132.34832.3522-0.0039-0.1661
142.35882.3678-0.0090-0.3816
152.34502.3835-0.0385-1.6418
162.37992.3992-0.0193-0.8110
由误差计算结果可以看到，相对误差不超过2%，可以认为模型精度是很高的。
2.关联度检验
经过计算得到如下关联系数表（表2）：
表2 关联系数表
序号（k）ε(k)序号（k）ε(k)序号（k）ε(k)序号（k）ε(k)
1150.7190.68130.83
20.9560.92100.34140.68
30.3470.49110.42150.33
40.5580.60120.62160.50
表3 净值预测表
项目GM(1,1)模型灰色-马尔可夫模型
编号日期实际值预测值残差相对误差预测值残差相对误差
171月5日2.37992.4311-0.051-2.1523%2.37110.00880.0370%
181月8日2.42212.4472-0.025-1.037%2.38720.03490.4972%
191月9日2.41372.4634-0.050-2.06%2.40340.01030.4271%
关联度ξ计算：本例中，�ξ=1n-1∑nk=1ξ(k)=ξ=116-1∑16k=1ξ(k)=0.6399。一般来说，在ρ=0.5，ξ=0.6399时是令人满意的。
3.后验差检验
根据前述:x��(0)�=1n∑nk=1x��(0)�(k)=2.2870，s0�2=∑nk=1[x��(0)�(k)-x��(0)�]�2=0.0748，从而求出原始数列x��(0)�的均方差s0=s0�2n-1=0.0706，ε��(0)�1n∑nk=1ε��(0)�(k)=0.000631，s1�2=∑nk=1[ε��(0)�(k)-ε��(0)�]�2=0.006717，残差数列ε��(0)�的均方差s1=s1�2n-1=0.021162；
由此计算方差比：c=s1/s0=0.2996；小误差概率p：p={|ε��(0)�-ε��(0)�|＜0.6745s0}。
P={|ε��(0)�-0.000631|＜0.6745×0.0706}={|ε��(0)�-0.000631|＜0.04764}=1�
由预测精度等级划分表：当小误差概率p值＞0.95、方差比c值＜0.35,则预测精度等级为“好”，可知前面得到的模型有较好的预测精度，并可用于预测。
（三）马尔可夫状态转移概率矩阵
根据广发稳健增长（270002）16个样本数据的分布状况，经过多次试验将其划分成四个状态,即：
E1:E�11�=(t)-0.03;E�21�=(t)-0.0225
E2:E�12�=(t)-0.0225;E�22�=(t)-0.01
E3:E�13�=(t)-0.01;E�23�=(t)+
E4:E�14�=(t)+;E�24�=(t)+0.01
其中，=2.2870，状态划分好后，计算一步转移概率矩阵。经计算，落入四个状态的原始样本数据分别为：M1=2，M2=4，M3=6，M4=4。由状态E1转移到状态E1:E4的原始数据样本点数分别为M�11�(1)=2，M�12�(1)=0，M�13�(1)=0，M�14�(1)=0。类似的方法可以求解M�ij�，进而得到一步转移概率矩阵为：
P��（1）�=1000
230130
0161213
0141214
（四）计算模拟值
根据上面P��（1）�的矩阵就可以预测基金净值的未来转移状态。2008年1月4日的基金净值处于E2状态，那么接下来就考察P��（1）�矩阵的第二行，可以得到�max�p�2j�=p�21�=23，因此可以预测2008年1月5日的广发基金净值最有可能处于E1状态，则基金净值可能落在灰区间[(17)-0.03,(17)-0.0225]�,即[2.362513，2.379663],得到最有可能的预测值为：2.3711。实际上广发稳健下一个交易日的基金净值为2.3799，灰色-马尔可夫模型的预测误差为0.0088，相对误差率为0.3703%；而通过灰色GM(1,1)模型计算得到的预测值为2.4311，预测误差为0.0512，相对误差率为2.1523%。同样的方法预测出接下来的两个交易日即2008年1月8日和9日的基金净值。具体数据见表3：
从以上表中数据比较可以看出，灰色-马尔可夫模型的预测精度较高，对于随机波动性大的数据预测效果较好，各项预测指数都要优于灰色GM（1，1）模型。
四、结论
基金净值受多种因素影响，其不确定因素难以准确把握，基金净值的预测问题是一个典型的
灰色系统。而合理准确地预测基金净值走势，对于投资者把握投资机会，做出适时的投资决策，具有重要的现实意义。本文吸取了灰色预测方法和马尔可夫预测方法的优点，将两种方法结合起来，建立灰色-马尔可夫预测模型，并选取广发稳健增长2007年12月14日至2008年1月4日16天的基金净值数据作为样本进行了预测分析。预测结果显示，灰色-马尔可夫模型的预测精度较高，各项预测指数都要优于灰色GM（1，1）模型，可见灰色－马尔可夫模型具有较好的预测应用价值。
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（作者单位：青岛大学经济学院）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文