经典几何平面图形面积
1、几何模型1
三角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2，CD ＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN （阴影部分）的面积为多少？
[解：] 因为缺少尾巴，所以连接BN 如下，
∆ABC 的面积为3×2÷2=3
ACN ANB 这样我们可以根据燕尾定理很容易发现∆：∆=CD：BD=2：1； CBN ACN 同理∆：∆=BM：AM=1：1；
AMN MNB ANB 设∆面积为1份，则∆的面积也是1份，所以∆得面积就是1+1=2份，而∆ACN ANB ACN CBN ACN ：∆=CD：BD=2：1，所以∆得面积就是4份；∆：∆=BM：AM=1：
CBN 1，所以∆也是4份，这样∆ABC 的面积总共分成4+4+1+1=10份，所以阴影面积为3×
13
10=10。
2. 几何模型2
如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。
【解法1】如图，阴影部分的面积可以“等积变形”为下图中的深色三角形的面积。
已知等宽的长方形面积之比就是相对的底边之比，所以，设大长方形的长为a 厘米，
宽为b 厘米，则有：
GH 的长度为：
312a a a 3+41+221
121210
a
所以，阴影部分的面积为 ×21×b=×21×10=21(平方厘米)
【解法2】如图，
11
S 阴影=S△ABH -S △ABG =S 长方形ABFP -S 长方形ABOE
3长方形ABFP=×长方形ABCD=×10 1
长方形ABOE=1 2×长方形ABCD=×10
A
E P
G H
1310
S 阴影=×（×10-×10）=21(平方厘米)
B
F
【点评】本题除了体现等积变形的思想，另外主要运用了长方形等宽时，面积与长的正比关系。学生因为才上六年级，缺乏这样的基础，可以铺垫一下，讲解为两个长方形宽相等，面积之间的倍数等于长之间的倍数。
3. 几何模型3
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线ACBD 分成四个部分，△AOB 面积为1平
方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
【解】根据“等高的两三角形面积比等于底之比”，有：
所以，S 人工湖=S总-S 陆地
＝0.58（平方千米）
【点评】本题应用模型二“蝴蝶定理”。 4. 几何模型4
如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E, 求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。
E
A
B
C
D
为F 是AD 中点，所以三角形AEC 的面积和三角形EDC 的面积相等，设S ∆BDE 为1份, 则E
A
【解】：连接DE, 于是三角形AEF 的面积=三角形EFD 的面积，所求被转化为三角形EDC 的面积。因
13
S ∆AEC=S∆EDC 为3份 因此S ∆ABC 一共7份， 每份面积为 所以S ∆EDC 占3份为。
【点评】本题还可用“燕尾定理”来解：
B
C
D
连接BF ，设S ∆BDF 为1份，则S ∆DFC 为3份，S ∆ACF 为3份，所以AE ︰EB=3︰4。
5. 几何模型5
如图，BD 是梯形ABCD 的一条对角线，线段AE 与梯形的一条腰DC 平行，AE 与BD 相交于O 点. 已知三
2
角形BOE 的面积比三角形AOD 的面积大4平方米，并且EC= BC. 求梯形ABCD 的面积.
【解】 三角形ABE 的面积比三角形ABD 大4平方米，而三角形ABD 与三角形ACD 面积相等(同底等高) ，因此也与三角形ACE 面积相等，从而三角形ABE 的面积比三角形ACE 大4平方米.
22
=
但EC= BC，所以三角形ACE 的面积是三角形ABE 的5-23，从而三角形ABE 的面积是 4÷(1－)=12(平方米) ，
梯形ABCD 的面积=12×(1+×2)=28(平方米）
6.
几何模型6
在右图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积。
解析：
因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD 的面积等于10×8÷2+10=50厘米2 。
7. 几何模型7
如图，三角形ABC 中 BD=2DA ,CE =2EB ， AF=2FC 那么 三角形ABC 的面积是阴影三角形面积的 倍．
7. 解析：
因，所以中间阴影面积等于三个小三角形的面积，如下图：
，连接BG ，如上图，设
=
；因CE=2EB，则
，所以
；则
因此△ABC 的面积是阴影三角形面积的7倍。
8. 几何模型8
如图，长方形ABCD 的面积是12，CE = 2DE，F 是DG 的中点，那么图中阴影部分面积是________。
，因BD=2DA，所以有
，因此知
8. 解析：
利用燕尾定理，连接FC ，BFD 面积 /BFC面积=DE/EC=1/2，如果BFD 面积为1份的话，BFC 为2份；又DF=FG，所以BFG 面积与BFD 面积相等也是1份，故FGC 面积是2-1=1份，那么BG=GC；再利用燕尾定理，DFC 的面积与DFB 相等也是1份，BDC 的面积是4份=6，故一份面积是6/4=1.5，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是1.5×5/3=2.5。
9. 几何模型
如下图，在梯形 ABCD 中，AB 与CD 平行，且CD=2AB，点E ，F 分别是AD 和BC 的中点，已知阴影四边形EMFN 的面积是54平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米．
9. 解析：
如图所示，设上底为a ，则下底为2a ，梯形的高为h ，则EF=
。所以
（a+2a）=
，所以，
阴影部分
=的面积
=
即，梯形ABCD
10几何模型
图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
方法一：如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．
因为△ADE 、△DEC 高相同，所以面积比为底的比，有=，所以
=×6. 同
理有=，所以=×7． 所以有△ADE 与△ABE 的面积比为6：7．又有它们
=
×39=18(公顷)
，
=
×39=21(公
的面积和为52-(6+7)=39(公顷.) 所以顷.)
显然，最大的三角形的面积为21公顷．
方法二：直接运用例2评注中的重要原则，在△ABE ，△CDE 中有∠AEB=∠CED ，所以△ABE ，△CDE 的面积比为(AE×EB) ：(CE×DE) ．同理有△ADE ，△BCE 的面积比为(AE×DE) ：(BE×EC) ． 所以有
×
=×，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．
即
=
×6=×7，所以有△ABE 与△ADE 的面积比为7：6，×39=18公顷． 显然，最大的三角形的面积为21公顷．
=×39=21公顷，
经典几何平面图形面积
1、几何模型1
三角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2，CD ＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN （阴影部分）的面积为多少？
[解：] 因为缺少尾巴，所以连接BN 如下，
∆ABC 的面积为3×2÷2=3
ACN ANB 这样我们可以根据燕尾定理很容易发现∆：∆=CD：BD=2：1； CBN ACN 同理∆：∆=BM：AM=1：1；
AMN MNB ANB 设∆面积为1份，则∆的面积也是1份，所以∆得面积就是1+1=2份，而∆ACN ANB ACN CBN ACN ：∆=CD：BD=2：1，所以∆得面积就是4份；∆：∆=BM：AM=1：
CBN 1，所以∆也是4份，这样∆ABC 的面积总共分成4+4+1+1=10份，所以阴影面积为3×
13
10=10。
2. 几何模型2
如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。
【解法1】如图，阴影部分的面积可以“等积变形”为下图中的深色三角形的面积。
已知等宽的长方形面积之比就是相对的底边之比，所以，设大长方形的长为a 厘米，
宽为b 厘米，则有：
GH 的长度为：
312a a a 3+41+221
121210
a
所以，阴影部分的面积为 ×21×b=×21×10=21(平方厘米)
【解法2】如图，
11
S 阴影=S△ABH -S △ABG =S 长方形ABFP -S 长方形ABOE
3长方形ABFP=×长方形ABCD=×10 1
长方形ABOE=1 2×长方形ABCD=×10
A
E P
G H
1310
S 阴影=×（×10-×10）=21(平方厘米)
B
F
【点评】本题除了体现等积变形的思想，另外主要运用了长方形等宽时，面积与长的正比关系。学生因为才上六年级，缺乏这样的基础，可以铺垫一下，讲解为两个长方形宽相等，面积之间的倍数等于长之间的倍数。
3. 几何模型3
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线ACBD 分成四个部分，△AOB 面积为1平
方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
【解】根据“等高的两三角形面积比等于底之比”，有：
所以，S 人工湖=S总-S 陆地
＝0.58（平方千米）
【点评】本题应用模型二“蝴蝶定理”。 4. 几何模型4
如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E, 求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。
E
A
B
C
D
为F 是AD 中点，所以三角形AEC 的面积和三角形EDC 的面积相等，设S ∆BDE 为1份, 则E
A
【解】：连接DE, 于是三角形AEF 的面积=三角形EFD 的面积，所求被转化为三角形EDC 的面积。因
13
S ∆AEC=S∆EDC 为3份 因此S ∆ABC 一共7份， 每份面积为 所以S ∆EDC 占3份为。
【点评】本题还可用“燕尾定理”来解：
B
C
D
连接BF ，设S ∆BDF 为1份，则S ∆DFC 为3份，S ∆ACF 为3份，所以AE ︰EB=3︰4。
5. 几何模型5
如图，BD 是梯形ABCD 的一条对角线，线段AE 与梯形的一条腰DC 平行，AE 与BD 相交于O 点. 已知三
2
角形BOE 的面积比三角形AOD 的面积大4平方米，并且EC= BC. 求梯形ABCD 的面积.
【解】 三角形ABE 的面积比三角形ABD 大4平方米，而三角形ABD 与三角形ACD 面积相等(同底等高) ，因此也与三角形ACE 面积相等，从而三角形ABE 的面积比三角形ACE 大4平方米.
22
=
但EC= BC，所以三角形ACE 的面积是三角形ABE 的5-23，从而三角形ABE 的面积是 4÷(1－)=12(平方米) ，
梯形ABCD 的面积=12×(1+×2)=28(平方米）
6.
几何模型6
在右图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积。
解析：
因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD 的面积等于10×8÷2+10=50厘米2 。
7. 几何模型7
如图，三角形ABC 中 BD=2DA ,CE =2EB ， AF=2FC 那么 三角形ABC 的面积是阴影三角形面积的 倍．
7. 解析：
因，所以中间阴影面积等于三个小三角形的面积，如下图：
，连接BG ，如上图，设
=
；因CE=2EB，则
，所以
；则
因此△ABC 的面积是阴影三角形面积的7倍。
8. 几何模型8
如图，长方形ABCD 的面积是12，CE = 2DE，F 是DG 的中点，那么图中阴影部分面积是________。
，因BD=2DA，所以有
，因此知
8. 解析：
利用燕尾定理，连接FC ，BFD 面积 /BFC面积=DE/EC=1/2，如果BFD 面积为1份的话，BFC 为2份；又DF=FG，所以BFG 面积与BFD 面积相等也是1份，故FGC 面积是2-1=1份，那么BG=GC；再利用燕尾定理，DFC 的面积与DFB 相等也是1份，BDC 的面积是4份=6，故一份面积是6/4=1.5，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是1.5×5/3=2.5。
9. 几何模型
如下图，在梯形 ABCD 中，AB 与CD 平行，且CD=2AB，点E ，F 分别是AD 和BC 的中点，已知阴影四边形EMFN 的面积是54平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米．
9. 解析：
如图所示，设上底为a ，则下底为2a ，梯形的高为h ，则EF=
。所以
（a+2a）=
，所以，
阴影部分
=的面积
=
即，梯形ABCD
10几何模型
图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
方法一：如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．
因为△ADE 、△DEC 高相同，所以面积比为底的比，有=，所以
=×6. 同
理有=，所以=×7． 所以有△ADE 与△ABE 的面积比为6：7．又有它们
=
×39=18(公顷)
，
=
×39=21(公
的面积和为52-(6+7)=39(公顷.) 所以顷.)
显然，最大的三角形的面积为21公顷．
方法二：直接运用例2评注中的重要原则，在△ABE ，△CDE 中有∠AEB=∠CED ，所以△ABE ，△CDE 的面积比为(AE×EB) ：(CE×DE) ．同理有△ADE ，△BCE 的面积比为(AE×DE) ：(BE×EC) ． 所以有
×
=×，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．
即
=
×6=×7，所以有△ABE 与△ADE 的面积比为7：6，×39=18公顷． 显然，最大的三角形的面积为21公顷．
=×39=21公顷，