§3.1.1空间向量及其运算
1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 难点：应用向量解决立体几何问题． 【知识链接】 一、课前准备
（预习教材P 84~ P86，找出疑惑之处） 复习1：平面向量基本概念：
具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）；
单位向量. 相反向量， a 的相反向量记着. 叫相等向量.
向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和.
2. 实数与向量的积：
实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝ (2)当λ＞0时，λa 与A.
当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a ＋b ＝b ＋a
加法结合律：(a ＋b ) ＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b ) ＝λa ＋λb
【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的相关概念
问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？ 新知：空间向量的加法和减法运算：
空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB =， AB =
试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求a +b , a -b . a . b
AC 5
2. 点C 在线段AB 上，且=, 则AC =AB , BC =AB .
CB 2
反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ ⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ；
⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c ) ； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb．
※ 典型例题
例1 已知平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： ⑴AB +BC ；
1⑵AB +AD +AA ' ；⑶AB +AD +CC '
2
1
⑷(AB +AD +AA ' ) ．
2
'
变式：在上图中，用AB , AD , AA ' 表示AC , BD ' 和DB ' .
小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：
⑴ AB +BC +CA ; ⑵AB +MB +BO +OM ; ⑶AB -AC +BD -CD ; ⑷ OA -OD -DC .
变式：化简下列各式：
⑸ OA +OC +BO +CO ; ⑹ AB -AD -DC ; ⑺ NQ +QP +MN -MP .
小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.
※ 动手试试
练1. 已知平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' , M为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式：
1111
⑴ AA 1+A 1B 1; ⑵ A 1B 1+A 1D 1; ⑶ AA 1+A 1B 1+A 1D 1⑷ AB +BC +CC 1+C 1A 1+A 1A .
2222
三、【学习反思】 ※ 学习小结
1. 空间向量基本概念；
2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律
※ 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同
;
B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣; C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC .
2. 长方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，化简AA ' +A ' B ' +A ' D ' 3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，a 0, b 0是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ） A. a 0=b 0 B. a 0=b 0或a 0=-b 0 C. a 0=1 D. ∣a 0∣=∣b 0∣ 4. 在四边形ABCD 中，若AC =AB +AD , 则四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
1. 在三棱柱ABC-A'B'C' 中，M, N 分别为BC , B'C' 的中点，化简下列式子：
'
⑴ AM + BN ⑵A ' N －MC + BB
'
2. 如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB =a ，AD =b ，A 1A =c ， 则下列向量中与B 1M 相等的是（ ）
1111
A. -a +b +c B. a +b +c
22221111
C. a -b +c D. -a -b +c
2222
§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 共线、共面定理及其应用 【知识链接】 一、课前准备
（预习教材P 86~ P87，找出疑惑之处） 复习1：化简：
⑴ 5（3a -2b ）+4（2b -3a ）；
⑵ 6a -3b +c --a +b -c .
()()
复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？
在平面上有两个向量a , b ， 若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是
【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的共线
问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？
新知：空间向量的共线：
1. 如果表示空间向量的或向量.
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量a , b （b ≠0）， a //b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得
推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是
试试：已知AB =a +5b , BC =-2a +8b , CD =3a -b ，求证: A,B,C 三点共线.
()
反思：充分理解两个向量a , b 共线向量的充要条件中的b ≠0，注意零向量与任何向量共线.
※ 典型例题
例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP =xOA +yOB ，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？
1
变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若OP =OA +tOB ，那么t ＝
2
例2 已知平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' ，点M 是棱AA ' 的中点，点G 在对角线A ' C 上，且CG:GA' =2:1,设CD =a ，
CB =b , CC ' =c ，试用向量a , b , c 表示向量CA , CA ' , CM , CG .
变式1：已知长方体ABCD -A ' B ' C ' D ' ，M 是对角线AC ' 中点，化简下列表达式：
111
⑴ AA ' -CB ; ⑵ AB ' +B ' C ' +C ' D ' ⑶ AD +AB -A ' A
222
变式2：如图，已知A , B , C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点P , Q , R , S , 使得： ⑴OP =OA +2AB +2AC ⑵OQ =OA -3AB -2AC ⑶OR =OA +3AB -2AC ⑷OS =OA +2AB -3AC .
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※ 动手试试
练1. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等； D. 若向量a 与b 共线，则a =λb .
2. 已知a =3m -2n , b =(x +1) m +8n ，a ≠0，若a //b ，求实数x . 三、【学习反思】 ※ 学习小结
1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
※ 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）
A. a 与非零向量b 共线, b 与c 共线，则a 与c 共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等
D. 若向量a 与b 共线，则a =λb
2. 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，点E 是上底面A ' B ' C ' D ' BB ' =xAD +yAB +zAA ' , 则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .
3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP
4. 平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' , O为A 1C 与B 1D 的交点, 则(AB +AD +AA ' ) =AO
3
5. 已知平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' ，M 是AC 与BD 交点，若AB =a , AD =b , AA ' =c ，则与B ' M 相等的向量是（ ）
11111111
A. -a +b +c ； B. a +b +c ； C. a -b +c ； D. -a -b +c .
22222222
§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
空间数向量数乘运算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 【知识链接】 一、课前准备
（预习教材P 86~ P87，找出疑惑之处）
复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量a , b ， 若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是
12
复习2：已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP =OA +OB ，试判断A,B,P 三点是否共线？
33
【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的共面
问题：空间任意两个向量不共线的两个向量a , b 有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？
新知：共面向量： 同一平面的向量.
2. 空间向量共面：
定理：对空间两个不共线向量a , b ，向量p 与向量a , b 共面的充要条件是存在 ， 使得 .
推论：空间一点P 与不在同一直线上的三点A,B,C 共面的充要条件是： ⑴ 存在 ，使
⑵ 对空间任意一点O ，有
111
试试：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OP =OA +OB +OC , 则点P 与 A,B,C 共面吗？
236
反思：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OP =xOA +yOB +zOC , 且点P 与 A,B,C 共面，则
x +y +z =.
※ 典型例题
例1 下列等式中，使M , A , B , C 四点共面的个数是（ ）
111
①OM =OA -OB -OC ; ②OM =OA +OB +OC ; ③MA +MB +MC =0; ④OM +OA +OB +OC =0.
532
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
17
变式：已知A,B,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若向量OP =OA +OB +λOC (λ∈R ),
53
则P ,A,B,C 四点共面的条件是λ=
例2：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F ,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F ,G,H 四点共面.
E H
D B
F
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※ 动手试试
122
练1. 已知A , B , C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP =OA +OB +OC ，试判断：点P 与A , B , C 是
555
否一定共面？
练2. 已知a =3m -2n , b =(x +1) m +8n ，a ≠0，若a //b ，求实数x . 三、【学习反思】 ※ 学习小结
1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
※ 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A 、D 1C 、AC 11
A. 有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量.
是（ ）
2. 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，点E 是上底面A ' B ' C ' D ' 的中心，若BB ' =xAD +yAB +zAA ' , 则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .
3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP
OB .
4. 平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' , O为A 1C 与B 1D 的交点, 则(AB +AD +AA ' ) =AO .
3
5. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）. A ．0 B.1 C. 2 D. 3 课后作业：
1. 若a =3m -2n -4p , b =(x +1) m +8n +2yp ，a ≠0，若a //b ，求实数x , y .
2. 已知两个非零向量e 1, e 2不共线, AB =e 1+e 2, AC =2e 1+8e 2, AD =3e 1-3e 2. 求证：A , B , C , D 共面．
§3.1.3．空间向量的数量积（1）
1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题． 空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 【知识链接】 一、课前准备
（预习教材P 90~ P92，找出疑惑之处）
复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？
复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB ∙BC .
【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的数量积定义和性质
问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段
的长度问题？
新知：
1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a , b ，在空间O ，作OA =a , OB =b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作 .
试试：
⑴ 范围: ≤≤ 〈a , b 〉=0时, a 与b ; 〈a , b 〉=π时, a 与b
⑵ =成立吗？
⑶= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .
2) 向量的数量积：
已知向量a , b ，则 叫做a , b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b = .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 反思：
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0∙a = （选0还是0） ⑶ 你能说出a ⋅b 的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量e ，则a ⋅e =|a |cos ．
（2）a ⊥b ⇔a ⋅b = ． （3）a ⋅a = ＝ .
4) 空间向量数量积运算律：
（1）(λa ) ⋅b =λ(a ⋅b ) =a ⋅(λb ) ． （2）a ⋅b =b ⋅a （交换律）． （3）a ⋅(b +c ) =a ⋅b +a ⋅c （分配律
反思：
⑴ （a ⋅b ) ⋅c =a ⋅(b ⋅c ) 吗？举例说明.
⑵ 若a ⋅b =a ⋅c ，则b =c 吗？举例说明.
⑶ 若a ⋅b =0，则a =0或b =0吗？为什么？
※ 典型例题
例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
变式1：用向量方法证明：已知：m , n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且l ⊥m , l ⊥n . 求证：l ⊥α．
例2 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =2，BC =
3，BD =，CD =3，∠ABD =30，∠ABC =60，求AB 与CD
变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB
BB 1, 则AB 1与C 1B 所成的角为（ ） A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°
例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB =4, AD =3, AA ' =5, ∠BAD =90︒, ∠BAA ' = ∠DAA ' =60°, 求AC ' 的长.
※ 动手试试 练1. 已知向量
练2.
已知a =, b =
, a ⋅b =则a 与b 的夹角大小为_____. a , b 满足a
=1，b =2，a +b =3，则a -b =____.
三、【学习反思】 ※ 学习小结
1.. 向量的数量积的定义和几何意义.
2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.
※ 知识拓展
向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题中：
①若a ∙b =0，则a ，b 中至少一个为0②若a ≠0且a ∙b =a ∙c ，则b =c ③(a ∙b ) ∙c =a ∙(b ∙c )
④(3a +2b ) ∙(3a -2b ) =9a -4b
正确有个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
π
2. 已知e 1和e 2是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与2e 2-e 1垂直的是（ ）
3
A. e 1+e 2 B. e 1-e 2 C. e 1 D. e 2
3. 已知∆ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 所对的边为a , b , c ，且a =3, b =1, ∠C =30︒, 则BC ∙CA = 4. 已知a =4，b =2，且a 和b 不共线，当 a +λb 与a -λb 的夹角是锐角时，λ的取值范围是5. 已知向量
2
2
a , b 满足a
=4，b =2，a -b =3，则a +b =____
课后作业：
1. 已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC .
2. 已知线段AB 、BD 在平面α内, BD ⊥AB , 线段AC ⊥α, 如果AB ＝a , BD ＝b , AC ＝c , 求C 、D 间的距离.
§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示； 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律； 1．投影定理 2．分向量
3．方向余弦的坐标表示 【知识链接】 一、课前准备
（预习教材P 92-96找出疑惑之处） 复习1：平面向量基本定理：
对平面上的任意一个向量P ，a , b 是平面上两个 向量，总是存在 实数对(x , y )，使得向量P 可以用
a , b 来表示，表达式为，其中a , b 叫做. 若a ⊥b ，则称向量P 正交分解. 复习2：平面向量的坐标表示：
平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量i , j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a =xi +y j ，，则称有序对(x , y )为向量a 的 ，即a ＝ .
【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的正交分解
问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？
新知：
⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量λ1a 1、λ2a 2、λ3a 3，使
a =λ1a 1+λ2a 2+λ3a . 3如果a 1, a 2, a 3两两.
(2)空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c ，
对空间任一向量p ，存在有序实数组{x , y , z }，使得p =xa +yb +zc . 把 的一个基底，a , b , c 都叫做基向量.
反思：空间任意一个向量的基底有 个.
⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i , j , k ｝表示.
⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x , y , z }，使得a =xi +y j +zk ，则称有序实数组{x , y , z }为向量a 的坐标，记着
p =.
⑸设A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则AB ＝.
⑹向量的直角坐标运算： 设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则
⑴a ＋b ＝(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ；⑵a －b ＝(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ；⑶λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R ) ； ⑷a ·b ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3.
试试：
1. 设a =2i -j +3k ，则向量a 的坐标为2. 若A (1,0,2)，B (3,1,-1) ，则AB ＝.
3. 已知a ＝(2,-3,5) ，b ＝(-3,1, -4) ，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b
※ 典型例题
例1 已知向量a , b , c 是空间的一个基底，从向量a , b , c 中选哪一个向量，一定可以与向量p =a +b , q =a -b 构成空间的另一个基底？
变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量OA , OB , OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？
小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.
例2：已知平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' ，点G
是侧面BB ' C ' C 的中心，且OA =a ，OC =b , OO ' =c ，试用向量a , b , c 表示下列向量: ⑴OB ' , BA ' , CA ' ; ⑵ OG .
※ 动手试试
练1. 已知a =(2, -3,1), b =(2,0,3), c =(0,0,2)，求：⑴a ∙b +c ； ⑵a +6b -8c .
()
练2. 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 的棱长为2，以A 为坐标原点，以AB,AD,AA ' 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点D 1，AC , AC ' 的坐标分别是，. 三、【学习反思】 ※ 学习小结
1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；
2. 空间向量坐标表示及其运算
※ 知识拓展
建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若a, b , c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）
A. a , a +b , a -b B. b , a +b , a -b C. c , a +b , a -b D. a +2b , a +b , a -b
2. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB =-i +j -k ，则点B 的坐标是
{}
3. 在三棱锥OABC 中，G 是∆ABC 的重心（三条中线的交点），选取OA , OB , OC 为基底，试用基底表示OG ＝
4. 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 的棱长为2，以A 为坐标原点，以AB,AD,AA ' 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 .
5. 已知关于x 的方程x 2-(t -2)x +t 2+3t +5=0有两个实根，c =a +tb ，且a =(-1,1,3), b =(1,0, -2)， 当t ＝ 时，c 的模取得最大值.
1. 已知A =(3,5, -7), B =(-2,4,3), 求AB , BA , 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.
2. 已知a , b , c 是空间的一个正交基底，向量a +b , a -b , c 是另一组基底，若p 在a , b , c 的坐标是(1,2,3)，求p 在
a +b , a -b , c 的坐标.
§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式； 2. 会用这些公式解决有关问题. 1．投影定理 2．分向量
3．方向余弦的坐标表示 【知识链接】 一、课前准备
（预习教材P 95~ P97，找出疑惑之处）
复习1：设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B (-1,2) ，则线段︱AB ︱＝ .
复习2：已知a =(-3,2,5), b =(1,5, -1)，求：
⑴a ＋B. ⑵3a －b ； ⑶6A. ； ⑷a ·b .
【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式
问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：
1. 向量的模：设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，则｜a ｜＝
2. 两个向量的夹角公式：
设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，
由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos＜a , b ＞，
又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此可以得出：cos ＜a , b ＞＝
试试：
① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 .
反思：
设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则
⑴ a //B. ⇔ a 与b a 与b 的坐标关系为 ； ⑵ a ⊥b ⇔a 与b ；
3. 两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z
2) ，则线段AB 的长度为：
AB .
4. 线段中点的坐标公式：
在空间直角坐标系中，已知点A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则线段AB 的中点坐标为
※ 典型例题
A B
例1：如上图, 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1E 1=D 1F 1=11，求BE 1与DF 1所成角的余弦值．
3
例2：如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是AB 的中点，求DB 1与CM 所成角的余弦值.
小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算.
※ 动手试试
练1. 已知A (3,3,1)、
B (1，0，5) ，求：
⑴线段AB 的中点坐标和长度；
⑵到A 、B 两点距离相等的点P (x , y , z ) 的坐标x 、y 、z 满足的条件．
练2. 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流.
三、【学习反思】 ※ 学习小结
1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算.
※ 知识拓展
在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
a a a
1. 若a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则1=2=3是a //b 的（ ）
b 1b 2b 3
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不不要条件 2. 已知a =(2, -1,3), b =(-4,2, x )，且a ⊥b ，则x ＝
3. 已知A (1,0,0), B (0, -1,1), OA +λOB 与OB 的夹角为120°，则λ的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 若a =(x ,2,0), b =3,2-x , x 2，且a , b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ） A. x 4 5. 已知 a =(1,2, -y ), b =(x ,1,2)， 且(a +2b )//(2a -b ) ，则（ ）
111
A. x =, y =1 B. x =, y =-4 C. x =2, y =- D. x =1, y =-1
324
()
1. 如图，正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 棱长为a ，
⑴ 求A ' B , B ' C 的夹角；⑵求证：A ' B ⊥AC ' .
2. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M,N 分别为棱A 1A , B 1B 的中点，求CM 和D 1N 所成角的余弦值.
§3.1 空间向量及其运算（练习）
1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；
2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.
一、课前准备：（阅读课本p 115） 复习：
1. 具有和向量，叫向量的模；叫零向量，记着 具有 叫单位向量.
2. 向量的加法和减法的运算法则有法则.
3. 实数λ与向量a 的积是一个量，记作 (1)|λa |＝ (2)当λ＞0时，λa 与A.
当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ . 4. 向量加法和数乘向量运算律：
交换律：a ＋b ＝ 结合律：(a ＋b ) ＋c ＝ 数乘分配律：λ(a ＋b ) ＝
5. ① 表示空间向量的或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
②空间向量共线定理：对空间任意两个向量a , b （b ≠0）， a //b 的充要条件是存在唯一实数λ， 使得 ；
③ 推论： l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是
6. 空间向量共面：
①共面向量： 同一平面的向量.
②定理：对空间两个不共线向量a , b ，向量p 与向量a , b 共面的充要条件是存在 ， 使得 .
③推论：空间一点P 与不在同一直线上的三点A , B , C 共面的充要条件是： ⑴ 存在 ，使
⑵ 对空间任意一点O ，有 7. 向量的数量积：a ⋅b =8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i , j , k ｝表示.
9. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x , y , z }，使得a =xi +y j +zk ，则称有序实数组{x , y , z }为向量a 的坐标，记着
p =.
10. 设A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则AB ＝11. 向量的直角坐标运算：
设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则
⑴a ＋b ＝ ； ⑵a －b ＝ ；⑶λa ＝ ； ⑷a ·b ＝ ※ 动手试试
1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B. 1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A 、D 1C 、AC 是（ ） 11
A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=（ ）
62636465A. B. C. D.
7777
4．若a 、b 均为非零向量，则a ⋅b =|a ||b |是a 与b 共线的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
6. a =3i +2j -k , b =i -j +2k , 则5a ∙3b =（ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1 ※ 典型例题
例1 如图，空间四边形OABC 中，OA =a , OB =b ，
OC =c ，点M 在OA 上，且OM =2MA , 点N 为BC 的中点，则MN =
变式：如图，平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，AB =a , AD =b ，AA ' =c , 点P , M , N 分别是CA ' , CD ' , C ' D ' 的中点，
CQ 4
=, 用基底a , b , c 表示下列向量： 点Q 在CA ' 上，且
QA ' 1⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .
例2 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1
中，∠ABC =90︒, CB =1, CA =2, AA 点M 是CC 1的中点，求证：1AM ⊥BA 1.
变式：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，点M 是BC 的中点，在直线CC 1上求一点N ，使得MN ⊥
AB 1
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，CC 1=c ， 则A 1B =（ ） A. a +b -c B. a -b +c C. -a +b +c D. -a +b -c 2. m ⊥a , m ⊥b , 向量n =λa +μb (λ, μ∈R 且λ、μ≠0) 则（ ）
A ．m //n B ． m 与n 不平行也不垂直 C. m ⊥n ， D ．以上情况都可能. 3. 已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |
＝a 与b 之间的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对
4. 已知a =(1,1,0), b =(-1,0,2), 且ka +b 与2a -b 互相垂直，则k 的值是（ ）
137 C. D.
555
5. 若A (m ＋1，n －1,3) ， B. (2m , n , m －2n ) ，C (m ＋3, n －3,9) 三点共线，则m +n =
如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E , F , G 分别是DD 1, BD , BB 1的中点. ⑴ 求证：EF ⊥CF ；
⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦； ⑶ 求CE 的长.
A. .1 B.
§3.1.1空间向量及其运算
1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 难点：应用向量解决立体几何问题． 【知识链接】 一、课前准备
（预习教材P 84~ P86，找出疑惑之处） 复习1：平面向量基本概念：
具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）；
单位向量. 相反向量， a 的相反向量记着. 叫相等向量.
向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和.
2. 实数与向量的积：
实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝ (2)当λ＞0时，λa 与A.
当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a ＋b ＝b ＋a
加法结合律：(a ＋b ) ＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b ) ＝λa ＋λb
【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的相关概念
问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？ 新知：空间向量的加法和减法运算：
空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB =， AB =
试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求a +b , a -b . a . b
AC 5
2. 点C 在线段AB 上，且=, 则AC =AB , BC =AB .
CB 2
反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ ⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ；
⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c ) ； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb．
※ 典型例题
例1 已知平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： ⑴AB +BC ；
1⑵AB +AD +AA ' ；⑶AB +AD +CC '
2
1
⑷(AB +AD +AA ' ) ．
2
'
变式：在上图中，用AB , AD , AA ' 表示AC , BD ' 和DB ' .
小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：
⑴ AB +BC +CA ; ⑵AB +MB +BO +OM ; ⑶AB -AC +BD -CD ; ⑷ OA -OD -DC .
变式：化简下列各式：
⑸ OA +OC +BO +CO ; ⑹ AB -AD -DC ; ⑺ NQ +QP +MN -MP .
小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.
※ 动手试试
练1. 已知平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' , M为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式：
1111
⑴ AA 1+A 1B 1; ⑵ A 1B 1+A 1D 1; ⑶ AA 1+A 1B 1+A 1D 1⑷ AB +BC +CC 1+C 1A 1+A 1A .
2222
三、【学习反思】 ※ 学习小结
1. 空间向量基本概念；
2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律
※ 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同
;
B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣; C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC .
2. 长方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，化简AA ' +A ' B ' +A ' D ' 3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，a 0, b 0是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ） A. a 0=b 0 B. a 0=b 0或a 0=-b 0 C. a 0=1 D. ∣a 0∣=∣b 0∣ 4. 在四边形ABCD 中，若AC =AB +AD , 则四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
1. 在三棱柱ABC-A'B'C' 中，M, N 分别为BC , B'C' 的中点，化简下列式子：
'
⑴ AM + BN ⑵A ' N －MC + BB
'
2. 如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB =a ，AD =b ，A 1A =c ， 则下列向量中与B 1M 相等的是（ ）
1111
A. -a +b +c B. a +b +c
22221111
C. a -b +c D. -a -b +c
2222
§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 共线、共面定理及其应用 【知识链接】 一、课前准备
（预习教材P 86~ P87，找出疑惑之处） 复习1：化简：
⑴ 5（3a -2b ）+4（2b -3a ）；
⑵ 6a -3b +c --a +b -c .
()()
复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？
在平面上有两个向量a , b ， 若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是
【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的共线
问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？
新知：空间向量的共线：
1. 如果表示空间向量的或向量.
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量a , b （b ≠0）， a //b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得
推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是
试试：已知AB =a +5b , BC =-2a +8b , CD =3a -b ，求证: A,B,C 三点共线.
()
反思：充分理解两个向量a , b 共线向量的充要条件中的b ≠0，注意零向量与任何向量共线.
※ 典型例题
例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP =xOA +yOB ，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？
1
变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若OP =OA +tOB ，那么t ＝
2
例2 已知平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' ，点M 是棱AA ' 的中点，点G 在对角线A ' C 上，且CG:GA' =2:1,设CD =a ，
CB =b , CC ' =c ，试用向量a , b , c 表示向量CA , CA ' , CM , CG .
变式1：已知长方体ABCD -A ' B ' C ' D ' ，M 是对角线AC ' 中点，化简下列表达式：
111
⑴ AA ' -CB ; ⑵ AB ' +B ' C ' +C ' D ' ⑶ AD +AB -A ' A
222
变式2：如图，已知A , B , C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点P , Q , R , S , 使得： ⑴OP =OA +2AB +2AC ⑵OQ =OA -3AB -2AC ⑶OR =OA +3AB -2AC ⑷OS =OA +2AB -3AC .
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※ 动手试试
练1. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等； D. 若向量a 与b 共线，则a =λb .
2. 已知a =3m -2n , b =(x +1) m +8n ，a ≠0，若a //b ，求实数x . 三、【学习反思】 ※ 学习小结
1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
※ 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）
A. a 与非零向量b 共线, b 与c 共线，则a 与c 共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等
D. 若向量a 与b 共线，则a =λb
2. 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，点E 是上底面A ' B ' C ' D ' BB ' =xAD +yAB +zAA ' , 则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .
3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP
4. 平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' , O为A 1C 与B 1D 的交点, 则(AB +AD +AA ' ) =AO
3
5. 已知平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' ，M 是AC 与BD 交点，若AB =a , AD =b , AA ' =c ，则与B ' M 相等的向量是（ ）
11111111
A. -a +b +c ； B. a +b +c ； C. a -b +c ； D. -a -b +c .
22222222
§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
空间数向量数乘运算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 【知识链接】 一、课前准备
（预习教材P 86~ P87，找出疑惑之处）
复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量a , b ， 若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是
12
复习2：已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP =OA +OB ，试判断A,B,P 三点是否共线？
33
【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的共面
问题：空间任意两个向量不共线的两个向量a , b 有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？
新知：共面向量： 同一平面的向量.
2. 空间向量共面：
定理：对空间两个不共线向量a , b ，向量p 与向量a , b 共面的充要条件是存在 ， 使得 .
推论：空间一点P 与不在同一直线上的三点A,B,C 共面的充要条件是： ⑴ 存在 ，使
⑵ 对空间任意一点O ，有
111
试试：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OP =OA +OB +OC , 则点P 与 A,B,C 共面吗？
236
反思：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OP =xOA +yOB +zOC , 且点P 与 A,B,C 共面，则
x +y +z =.
※ 典型例题
例1 下列等式中，使M , A , B , C 四点共面的个数是（ ）
111
①OM =OA -OB -OC ; ②OM =OA +OB +OC ; ③MA +MB +MC =0; ④OM +OA +OB +OC =0.
532
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
17
变式：已知A,B,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若向量OP =OA +OB +λOC (λ∈R ),
53
则P ,A,B,C 四点共面的条件是λ=
例2：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F ,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F ,G,H 四点共面.
E H
D B
F
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※ 动手试试
122
练1. 已知A , B , C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP =OA +OB +OC ，试判断：点P 与A , B , C 是
555
否一定共面？
练2. 已知a =3m -2n , b =(x +1) m +8n ，a ≠0，若a //b ，求实数x . 三、【学习反思】 ※ 学习小结
1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
※ 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A 、D 1C 、AC 11
A. 有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量.
是（ ）
2. 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，点E 是上底面A ' B ' C ' D ' 的中心，若BB ' =xAD +yAB +zAA ' , 则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .
3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP
OB .
4. 平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' , O为A 1C 与B 1D 的交点, 则(AB +AD +AA ' ) =AO .
3
5. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）. A ．0 B.1 C. 2 D. 3 课后作业：
1. 若a =3m -2n -4p , b =(x +1) m +8n +2yp ，a ≠0，若a //b ，求实数x , y .
2. 已知两个非零向量e 1, e 2不共线, AB =e 1+e 2, AC =2e 1+8e 2, AD =3e 1-3e 2. 求证：A , B , C , D 共面．
§3.1.3．空间向量的数量积（1）
1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题． 空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 【知识链接】 一、课前准备
（预习教材P 90~ P92，找出疑惑之处）
复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？
复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB ∙BC .
【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的数量积定义和性质
问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段
的长度问题？
新知：
1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a , b ，在空间O ，作OA =a , OB =b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作 .
试试：
⑴ 范围: ≤≤ 〈a , b 〉=0时, a 与b ; 〈a , b 〉=π时, a 与b
⑵ =成立吗？
⑶= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .
2) 向量的数量积：
已知向量a , b ，则 叫做a , b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b = .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 反思：
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0∙a = （选0还是0） ⑶ 你能说出a ⋅b 的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量e ，则a ⋅e =|a |cos ．
（2）a ⊥b ⇔a ⋅b = ． （3）a ⋅a = ＝ .
4) 空间向量数量积运算律：
（1）(λa ) ⋅b =λ(a ⋅b ) =a ⋅(λb ) ． （2）a ⋅b =b ⋅a （交换律）． （3）a ⋅(b +c ) =a ⋅b +a ⋅c （分配律
反思：
⑴ （a ⋅b ) ⋅c =a ⋅(b ⋅c ) 吗？举例说明.
⑵ 若a ⋅b =a ⋅c ，则b =c 吗？举例说明.
⑶ 若a ⋅b =0，则a =0或b =0吗？为什么？
※ 典型例题
例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
变式1：用向量方法证明：已知：m , n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且l ⊥m , l ⊥n . 求证：l ⊥α．
例2 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =2，BC =
3，BD =，CD =3，∠ABD =30，∠ABC =60，求AB 与CD
变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB
BB 1, 则AB 1与C 1B 所成的角为（ ） A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°
例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB =4, AD =3, AA ' =5, ∠BAD =90︒, ∠BAA ' = ∠DAA ' =60°, 求AC ' 的长.
※ 动手试试 练1. 已知向量
练2.
已知a =, b =
, a ⋅b =则a 与b 的夹角大小为_____. a , b 满足a
=1，b =2，a +b =3，则a -b =____.
三、【学习反思】 ※ 学习小结
1.. 向量的数量积的定义和几何意义.
2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.
※ 知识拓展
向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题中：
①若a ∙b =0，则a ，b 中至少一个为0②若a ≠0且a ∙b =a ∙c ，则b =c ③(a ∙b ) ∙c =a ∙(b ∙c )
④(3a +2b ) ∙(3a -2b ) =9a -4b
正确有个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
π
2. 已知e 1和e 2是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与2e 2-e 1垂直的是（ ）
3
A. e 1+e 2 B. e 1-e 2 C. e 1 D. e 2
3. 已知∆ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 所对的边为a , b , c ，且a =3, b =1, ∠C =30︒, 则BC ∙CA = 4. 已知a =4，b =2，且a 和b 不共线，当 a +λb 与a -λb 的夹角是锐角时，λ的取值范围是5. 已知向量
2
2
a , b 满足a
=4，b =2，a -b =3，则a +b =____
课后作业：
1. 已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC .
2. 已知线段AB 、BD 在平面α内, BD ⊥AB , 线段AC ⊥α, 如果AB ＝a , BD ＝b , AC ＝c , 求C 、D 间的距离.
§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示； 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律； 1．投影定理 2．分向量
3．方向余弦的坐标表示 【知识链接】 一、课前准备
（预习教材P 92-96找出疑惑之处） 复习1：平面向量基本定理：
对平面上的任意一个向量P ，a , b 是平面上两个 向量，总是存在 实数对(x , y )，使得向量P 可以用
a , b 来表示，表达式为，其中a , b 叫做. 若a ⊥b ，则称向量P 正交分解. 复习2：平面向量的坐标表示：
平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量i , j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a =xi +y j ，，则称有序对(x , y )为向量a 的 ，即a ＝ .
【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的正交分解
问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？
新知：
⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量λ1a 1、λ2a 2、λ3a 3，使
a =λ1a 1+λ2a 2+λ3a . 3如果a 1, a 2, a 3两两.
(2)空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c ，
对空间任一向量p ，存在有序实数组{x , y , z }，使得p =xa +yb +zc . 把 的一个基底，a , b , c 都叫做基向量.
反思：空间任意一个向量的基底有 个.
⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i , j , k ｝表示.
⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x , y , z }，使得a =xi +y j +zk ，则称有序实数组{x , y , z }为向量a 的坐标，记着
p =.
⑸设A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则AB ＝.
⑹向量的直角坐标运算： 设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则
⑴a ＋b ＝(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ；⑵a －b ＝(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ；⑶λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R ) ； ⑷a ·b ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3.
试试：
1. 设a =2i -j +3k ，则向量a 的坐标为2. 若A (1,0,2)，B (3,1,-1) ，则AB ＝.
3. 已知a ＝(2,-3,5) ，b ＝(-3,1, -4) ，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b
※ 典型例题
例1 已知向量a , b , c 是空间的一个基底，从向量a , b , c 中选哪一个向量，一定可以与向量p =a +b , q =a -b 构成空间的另一个基底？
变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量OA , OB , OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？
小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.
例2：已知平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' ，点G
是侧面BB ' C ' C 的中心，且OA =a ，OC =b , OO ' =c ，试用向量a , b , c 表示下列向量: ⑴OB ' , BA ' , CA ' ; ⑵ OG .
※ 动手试试
练1. 已知a =(2, -3,1), b =(2,0,3), c =(0,0,2)，求：⑴a ∙b +c ； ⑵a +6b -8c .
()
练2. 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 的棱长为2，以A 为坐标原点，以AB,AD,AA ' 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点D 1，AC , AC ' 的坐标分别是，. 三、【学习反思】 ※ 学习小结
1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；
2. 空间向量坐标表示及其运算
※ 知识拓展
建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若a, b , c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）
A. a , a +b , a -b B. b , a +b , a -b C. c , a +b , a -b D. a +2b , a +b , a -b
2. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB =-i +j -k ，则点B 的坐标是
{}
3. 在三棱锥OABC 中，G 是∆ABC 的重心（三条中线的交点），选取OA , OB , OC 为基底，试用基底表示OG ＝
4. 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 的棱长为2，以A 为坐标原点，以AB,AD,AA ' 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 .
5. 已知关于x 的方程x 2-(t -2)x +t 2+3t +5=0有两个实根，c =a +tb ，且a =(-1,1,3), b =(1,0, -2)， 当t ＝ 时，c 的模取得最大值.
1. 已知A =(3,5, -7), B =(-2,4,3), 求AB , BA , 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.
2. 已知a , b , c 是空间的一个正交基底，向量a +b , a -b , c 是另一组基底，若p 在a , b , c 的坐标是(1,2,3)，求p 在
a +b , a -b , c 的坐标.
§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式； 2. 会用这些公式解决有关问题. 1．投影定理 2．分向量
3．方向余弦的坐标表示 【知识链接】 一、课前准备
（预习教材P 95~ P97，找出疑惑之处）
复习1：设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B (-1,2) ，则线段︱AB ︱＝ .
复习2：已知a =(-3,2,5), b =(1,5, -1)，求：
⑴a ＋B. ⑵3a －b ； ⑶6A. ； ⑷a ·b .
【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式
问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：
1. 向量的模：设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，则｜a ｜＝
2. 两个向量的夹角公式：
设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，
由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos＜a , b ＞，
又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此可以得出：cos ＜a , b ＞＝
试试：
① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 .
反思：
设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则
⑴ a //B. ⇔ a 与b a 与b 的坐标关系为 ； ⑵ a ⊥b ⇔a 与b ；
3. 两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z
2) ，则线段AB 的长度为：
AB .
4. 线段中点的坐标公式：
在空间直角坐标系中，已知点A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则线段AB 的中点坐标为
※ 典型例题
A B
例1：如上图, 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1E 1=D 1F 1=11，求BE 1与DF 1所成角的余弦值．
3
例2：如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是AB 的中点，求DB 1与CM 所成角的余弦值.
小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算.
※ 动手试试
练1. 已知A (3,3,1)、
B (1，0，5) ，求：
⑴线段AB 的中点坐标和长度；
⑵到A 、B 两点距离相等的点P (x , y , z ) 的坐标x 、y 、z 满足的条件．
练2. 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流.
三、【学习反思】 ※ 学习小结
1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算.
※ 知识拓展
在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
a a a
1. 若a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则1=2=3是a //b 的（ ）
b 1b 2b 3
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不不要条件 2. 已知a =(2, -1,3), b =(-4,2, x )，且a ⊥b ，则x ＝
3. 已知A (1,0,0), B (0, -1,1), OA +λOB 与OB 的夹角为120°，则λ的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 若a =(x ,2,0), b =3,2-x , x 2，且a , b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ） A. x 4 5. 已知 a =(1,2, -y ), b =(x ,1,2)， 且(a +2b )//(2a -b ) ，则（ ）
111
A. x =, y =1 B. x =, y =-4 C. x =2, y =- D. x =1, y =-1
324
()
1. 如图，正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 棱长为a ，
⑴ 求A ' B , B ' C 的夹角；⑵求证：A ' B ⊥AC ' .
2. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M,N 分别为棱A 1A , B 1B 的中点，求CM 和D 1N 所成角的余弦值.
§3.1 空间向量及其运算（练习）
1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；
2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.
一、课前准备：（阅读课本p 115） 复习：
1. 具有和向量，叫向量的模；叫零向量，记着 具有 叫单位向量.
2. 向量的加法和减法的运算法则有法则.
3. 实数λ与向量a 的积是一个量，记作 (1)|λa |＝ (2)当λ＞0时，λa 与A.
当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ . 4. 向量加法和数乘向量运算律：
交换律：a ＋b ＝ 结合律：(a ＋b ) ＋c ＝ 数乘分配律：λ(a ＋b ) ＝
5. ① 表示空间向量的或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
②空间向量共线定理：对空间任意两个向量a , b （b ≠0）， a //b 的充要条件是存在唯一实数λ， 使得 ；
③ 推论： l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是
6. 空间向量共面：
①共面向量： 同一平面的向量.
②定理：对空间两个不共线向量a , b ，向量p 与向量a , b 共面的充要条件是存在 ， 使得 .
③推论：空间一点P 与不在同一直线上的三点A , B , C 共面的充要条件是： ⑴ 存在 ，使
⑵ 对空间任意一点O ，有 7. 向量的数量积：a ⋅b =8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i , j , k ｝表示.
9. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x , y , z }，使得a =xi +y j +zk ，则称有序实数组{x , y , z }为向量a 的坐标，记着
p =.
10. 设A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则AB ＝11. 向量的直角坐标运算：
设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则
⑴a ＋b ＝ ； ⑵a －b ＝ ；⑶λa ＝ ； ⑷a ·b ＝ ※ 动手试试
1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B. 1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A 、D 1C 、AC 是（ ） 11
A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=（ ）
62636465A. B. C. D.
7777
4．若a 、b 均为非零向量，则a ⋅b =|a ||b |是a 与b 共线的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
6. a =3i +2j -k , b =i -j +2k , 则5a ∙3b =（ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1 ※ 典型例题
例1 如图，空间四边形OABC 中，OA =a , OB =b ，
OC =c ，点M 在OA 上，且OM =2MA , 点N 为BC 的中点，则MN =
变式：如图，平行六面体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，AB =a , AD =b ，AA ' =c , 点P , M , N 分别是CA ' , CD ' , C ' D ' 的中点，
CQ 4
=, 用基底a , b , c 表示下列向量： 点Q 在CA ' 上，且
QA ' 1⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .
例2 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1
中，∠ABC =90︒, CB =1, CA =2, AA 点M 是CC 1的中点，求证：1AM ⊥BA 1.
变式：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，点M 是BC 的中点，在直线CC 1上求一点N ，使得MN ⊥
AB 1
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，CC 1=c ， 则A 1B =（ ） A. a +b -c B. a -b +c C. -a +b +c D. -a +b -c 2. m ⊥a , m ⊥b , 向量n =λa +μb (λ, μ∈R 且λ、μ≠0) 则（ ）
A ．m //n B ． m 与n 不平行也不垂直 C. m ⊥n ， D ．以上情况都可能. 3. 已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |
＝a 与b 之间的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对
4. 已知a =(1,1,0), b =(-1,0,2), 且ka +b 与2a -b 互相垂直，则k 的值是（ ）
137 C. D.
555
5. 若A (m ＋1，n －1,3) ， B. (2m , n , m －2n ) ，C (m ＋3, n －3,9) 三点共线，则m +n =
如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E , F , G 分别是DD 1, BD , BB 1的中点. ⑴ 求证：EF ⊥CF ；
⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦； ⑶ 求CE 的长.
A. .1 B.