第15炼 函数的单调区间
单调性是函数的一个重要性质,对函数作图起到决定性的作用,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领,在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。 一、基础知识:
1、函数的单调性:设fx的定义域为D,区间ID,若对于x1,x2I,x1x2,有
fx1fx2,则称fx在I上单调递增,I称为单调递增区间。若对于
x1,x2I,x1x2,有fx1fx2,则称fx在I上单调递减,I称为单调递减区
间。
2、导数与单调区间的联系
(1)函数fx在a,b可导,那么fx在a,b上单调递增xa,b,f(x)0
'
此结论可以这样理解:对于递增的函数,其图像有三种类型:,无论是哪种图形,其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况:一是单调区间分界点导数有可能为零,例如:fxx的单调递增区间
2
为0,+,而f
'
00,另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点,典型的一个例
3
子为fxx在x0处的导数为0,但是0,0位于单调区间内。
(2)函数fx在a,b可导,则fx在a,b上单调递减xa,b,f(x)0
'
(3)前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号,那么由xa,b,f(x)的
'
符号能否推出fx在a,b的单调性呢?如果fx不是常值函数,那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。(这也是求函数单调区间的理论基础) 3、利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求出fx的导函数f(x)
'
'
(3)令f(x)0(或0),求出x的解集,即为fx的单调增(或减)区间
(4)列出表格
4、求单调区间的一些技巧
(1)强调先求定义域,一方面定义域对单调区间有限制作用(单调区间为定义域的子集)。另一方面通过定义域对x取值的限制,对解不等式有时会起到简化的作用,方便单调区间的求解
(2)在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式,以简化不等式
(3)一般可令f'(x)0,这样解出的解集就是单调增区间(方便记忆),若fx不存在常值函数部分,那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤) (4)若f'(x)0的解集为定义域,那么说明fx是定义域上的增函数,若f'(x)0的解集为,那么说明没有一个点切线斜率大于零,那么fx是定义域上的减函数 (5)导数只是求单调区间的一个有力工具,并不是唯一方法,以前学过的一些单调性判断方法也依然好用,例如:增+增→增,减+减→减,1增→减,复合函数单调性同增异减等。如果能够通过结论直接判断,那么就无需用导数来判定。 5、求单调区间的一些注意事项
(1)单调区间可以用开区间来进行表示,如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例如函数y内)
(2)如果增(或减)区间有多个,那么在书写时用逗号隔开,一定不要用并集的符号。有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接,那么区间也一样,这个观点是错误的。并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合,用在单调区间上会出现问题。
1
的单调减区间为0,,,0,若写成0,就出错了(0不在定义域x
1
为例,如果写成0,,0,那么就意味着从合并在一起的集合中任x
1
取两个变量,满足单调减的条件。由y性质可知,如果在0,,,0两个区间里
x
依然以y
各取一个,是不满足单调减的性质的。 6、二阶导函数的作用:
①几何意义:导数的符号决定原函数的单调性,对于f性。当f
''
"
x而言,决定的是f'x的单调
x0时,f'x单调递增,意味着f'x随x的增大而增大,由于导数的几何
''
意义为切线斜率,故切线斜率k随x的增大而增大;同理,当f
x0时,f'x单调递
减,则切线斜率k随x的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢?
单调增有三种:
其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同,所以如果说f'x是决定函数单调性的,那么f''x在已知单调性的前提下,能够告诉我们是怎样增,怎样减的,进而对作图的精细化提供帮助。
(1)当f"x0,其图像特点为:我们称这样的函数为下凸函数 (2)当f"x0,其图像特点为:我们称这样的函数为上凸函数 ②代数意义:当通过f'x无法直接判断符号时,可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单调性,再看能否利用条件判断符号。 二、典型例题:
例1:下列函数中,在0,上为增函数的是( )
A. fxsin2x B. fxxe C. fxxx D. fxxlnx
x
3
思路:本题只需分析各个函数在0,上的单调性即可。A选项fxsin2x通过其图像可知显然在0,不单调;B选项f
'
'
xexxexx1ex,当x0,时,
‘
2
所以fx在0,单调递增;C选项fx3x1=3xfx0,x
可得fx在11x'
单调递减,在,单调递增;D选项fx1
xx
可得fx在0,1单调递增,在1,单调递减。综上,B符合条件 答案:B
例2:函数fxlog1x24的单调递增区间是( )
2
A. 0, B. ,0 C. 2, D. ,2 思路:先分析fx的定义域:x40x,22,,再观察解析式可得
2
fx可视为函数ylog1t,tx24的复合函数,根据复合函数单调性同增异减的特点,
2
可分别分析两个函数的单调性,对于ylog1t而言,y对t是减函数。所以如要求得增区
2
间,则tx4中t对x也应为减函数。结合定义域可得fx的单调增区间为,2
2
答案:D
32x
例3:求函数fxx3x3x3e的单调区间(2009宁夏,21题(1))
思路:第一步:先确定定义域,fx定义域为R,
'2x32x第二步:求导:f(x)3x6x3ex3x3x3e 3xx
x9xexx3x3e,
第三步:令f'(x)0,即xx3x3e
x
0
第四步:处理恒正恒负的因式,可得xx3x30 第五步:求解x3,03,,列出表格
例
4:求函数fxlnxln2xx的单调区间 解:定义域x0,2
xxx2xx
x211x22
fx1=
xx2xx2xx2xx2'
x0,2 x20,x0
令导数f'x0解得:x0x
2例5:求函数f
x的单调区间
111
2lnxx2ln2x
1lnx4lnx'解:f
x 3
x2
x2
令f'x0,即解不等式lnxlnx40,解得0lnx41xe
4
fx的单调区间为
例6:求函数f(x)xlnx的单调区间
思路:函数还有绝对值,从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值,在求导进行单调性分析 解:fx
x1lnx,x1
,当x0,1时,fx1xlnx为减函数
1xlnx,0x1
'
当x1,时,fx1
1x1' x1 fx0 xx
fx在1,单调递增
综上所述:fx在0,1单调递减,在1,单调递增
小炼有话说:(1)对于含绝对值的函数,可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去掉绝对值,从而将函数转变为一个分段函数。
(2)本题在x0,1时,利用之前所学知识可直接判断出fx单调递减,从而简化步骤。导数只是分析函数单调性的一个工具,若能运用以前所学知识判断单调性,则直接判断更为简便
例7:(1)若函数fxlnax1取值集合是__________ (2)若函数fxlnax1
1x
x0,a0在区间1,+单调递增,则a的1x
1x
x0,a0的递增区间是1,+,则a的取值集1x
合是___________
a2ax2a2
解:(1)思路:fx,由fx在1,+单调递
ax1x1ax1x1'
增可得:x1,f
'
x
22
。a0ax1221 2
x1maxax1x1
ax2a2
a1
(2)思路:fx的递增区间为1,+,即fx仅在1,+单调递增。 令f
'
x0ax2a20x2
2a
,若a1,则fx单调递增区间为0,a
不符题意,若0a
1,则x答案:(1)a1,(2)a1
时,f'x
01a1 小炼有话说:注意两问的不同之处,在(1)中,只是说明fx在区间1,+单调递增,那么fx也可以在其他区间单调递增,即1,+是增区间的子集。而(2)明确提出单调增区间为1,+,意味着fx不再含有其他增区间,x1为单调区间的分界点,从而满足条件的a只有一个值。要能够区分这两问在叙述上的不同。 例8:fx范围是_______ 思路:f
'
13122
xx2ax,若fx在,上存在单调递增区间,则a的取值323
xx2x2a,有已知条件可得:x
2
,+,使得f'x0,即3
21
,所39
2
12121212
axx,只需axx,而yxx
2222min3
以a
1
9
1 9
答案:a
小炼有话说:(1)已知在某区间的单调性求参数范围问题,其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能成立问题,进而求解,要注意已知函数fx单调递增(减)时,
其导函数f'x0(0),勿忘等号。
(2)在转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别,例如:若把例6的条件改为“在
2
,则在求解的过程中,靠不等式能成立问题的,上存在单调递增区间”3
112
,但当a时,满足不等式的x的解仅有x,不能99311
成为单调区间,故a舍去,答案依然为a
99p
例9:设函数fxpx2lnx(其中e是自然对数的底数),若fx在其定义域内
x
为单调函数,求实数p的取值范围
解法解出的a的范围时a
思路:条件中只是提到fx为单调函数,所以要分单调增与单调减两种情况考虑。无非就是f
'
x0恒成立或f'x0恒成立,进而求出p的范围即可
'
解: f
xp
p2 x2x
'
若fx在0,单调递增,则fxp
p2
0恒成立 x2x
122x22x
即p12p 22
xxx1x1x
2x2x
hx ,设 p221x1xmax
则h
x
2x21
1x2x1xp1
若fx在0,单调递减,则f即p1
'
xp
p2
0恒成立 2xx
122x
p
x2x1x2
2x2x
hx ,设 p221x1xmin
则hx
2x2
0,且当x0或x时,hx0
1x2x1
x
p0
综上所述:p1或p0
3
例10:若函数fxlogaxax
1,0内单调递增,则a取值a0,a1在区间2
范围是( )
A.,1 B.,1 C., D.1,
14349494
思路:先看函数fx的定义域,则xax0在
3
11
,0恒成立,ax2a
42
fx可看成是由ylogau,ux3ax的复合函数,故对a进行分类讨论。当a1时,
3
u'3x2a0a3x20,所以uxax需单调递增,ylogau单调递增,
min
3
uxax需单调递减,与a1矛盾;当0a1时,ylog单调递减,所以ua
u'3x2a0a3x2
答案:B 小炼有话说:
min
33
a,1 44
(1)在本题中要注意参数对定义域的影响。单调区间是定义域的子集,所以在求参数范围时要满足定义域包含所给区间。这可能会对参数的取值有所限制。也是本题的易错点 (2)对于指数结构与对数结构的函数(如本题中的fx),可分别分析底数与1的大小(对数的增减性)与真数的单调性,然后判断整个函数的单调性。理论依据为复合函数的单调性特点(同增异减),故本题对底数a以1为分界点分类讨论,并依此分析真数的情况。
第15炼 函数的单调区间
单调性是函数的一个重要性质,对函数作图起到决定性的作用,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领,在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。 一、基础知识:
1、函数的单调性:设fx的定义域为D,区间ID,若对于x1,x2I,x1x2,有
fx1fx2,则称fx在I上单调递增,I称为单调递增区间。若对于
x1,x2I,x1x2,有fx1fx2,则称fx在I上单调递减,I称为单调递减区
间。
2、导数与单调区间的联系
(1)函数fx在a,b可导,那么fx在a,b上单调递增xa,b,f(x)0
'
此结论可以这样理解:对于递增的函数,其图像有三种类型:,无论是哪种图形,其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况:一是单调区间分界点导数有可能为零,例如:fxx的单调递增区间
2
为0,+,而f
'
00,另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点,典型的一个例
3
子为fxx在x0处的导数为0,但是0,0位于单调区间内。
(2)函数fx在a,b可导,则fx在a,b上单调递减xa,b,f(x)0
'
(3)前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号,那么由xa,b,f(x)的
'
符号能否推出fx在a,b的单调性呢?如果fx不是常值函数,那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。(这也是求函数单调区间的理论基础) 3、利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求出fx的导函数f(x)
'
'
(3)令f(x)0(或0),求出x的解集,即为fx的单调增(或减)区间
(4)列出表格
4、求单调区间的一些技巧
(1)强调先求定义域,一方面定义域对单调区间有限制作用(单调区间为定义域的子集)。另一方面通过定义域对x取值的限制,对解不等式有时会起到简化的作用,方便单调区间的求解
(2)在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式,以简化不等式
(3)一般可令f'(x)0,这样解出的解集就是单调增区间(方便记忆),若fx不存在常值函数部分,那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤) (4)若f'(x)0的解集为定义域,那么说明fx是定义域上的增函数,若f'(x)0的解集为,那么说明没有一个点切线斜率大于零,那么fx是定义域上的减函数 (5)导数只是求单调区间的一个有力工具,并不是唯一方法,以前学过的一些单调性判断方法也依然好用,例如:增+增→增,减+减→减,1增→减,复合函数单调性同增异减等。如果能够通过结论直接判断,那么就无需用导数来判定。 5、求单调区间的一些注意事项
(1)单调区间可以用开区间来进行表示,如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例如函数y内)
(2)如果增(或减)区间有多个,那么在书写时用逗号隔开,一定不要用并集的符号。有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接,那么区间也一样,这个观点是错误的。并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合,用在单调区间上会出现问题。
1
的单调减区间为0,,,0,若写成0,就出错了(0不在定义域x
1
为例,如果写成0,,0,那么就意味着从合并在一起的集合中任x
1
取两个变量,满足单调减的条件。由y性质可知,如果在0,,,0两个区间里
x
依然以y
各取一个,是不满足单调减的性质的。 6、二阶导函数的作用:
①几何意义:导数的符号决定原函数的单调性,对于f性。当f
''
"
x而言,决定的是f'x的单调
x0时,f'x单调递增,意味着f'x随x的增大而增大,由于导数的几何
''
意义为切线斜率,故切线斜率k随x的增大而增大;同理,当f
x0时,f'x单调递
减,则切线斜率k随x的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢?
单调增有三种:
其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同,所以如果说f'x是决定函数单调性的,那么f''x在已知单调性的前提下,能够告诉我们是怎样增,怎样减的,进而对作图的精细化提供帮助。
(1)当f"x0,其图像特点为:我们称这样的函数为下凸函数 (2)当f"x0,其图像特点为:我们称这样的函数为上凸函数 ②代数意义:当通过f'x无法直接判断符号时,可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单调性,再看能否利用条件判断符号。 二、典型例题:
例1:下列函数中,在0,上为增函数的是( )
A. fxsin2x B. fxxe C. fxxx D. fxxlnx
x
3
思路:本题只需分析各个函数在0,上的单调性即可。A选项fxsin2x通过其图像可知显然在0,不单调;B选项f
'
'
xexxexx1ex,当x0,时,
‘
2
所以fx在0,单调递增;C选项fx3x1=3xfx0,x
可得fx在11x'
单调递减,在,单调递增;D选项fx1
xx
可得fx在0,1单调递增,在1,单调递减。综上,B符合条件 答案:B
例2:函数fxlog1x24的单调递增区间是( )
2
A. 0, B. ,0 C. 2, D. ,2 思路:先分析fx的定义域:x40x,22,,再观察解析式可得
2
fx可视为函数ylog1t,tx24的复合函数,根据复合函数单调性同增异减的特点,
2
可分别分析两个函数的单调性,对于ylog1t而言,y对t是减函数。所以如要求得增区
2
间,则tx4中t对x也应为减函数。结合定义域可得fx的单调增区间为,2
2
答案:D
32x
例3:求函数fxx3x3x3e的单调区间(2009宁夏,21题(1))
思路:第一步:先确定定义域,fx定义域为R,
'2x32x第二步:求导:f(x)3x6x3ex3x3x3e 3xx
x9xexx3x3e,
第三步:令f'(x)0,即xx3x3e
x
0
第四步:处理恒正恒负的因式,可得xx3x30 第五步:求解x3,03,,列出表格
例
4:求函数fxlnxln2xx的单调区间 解:定义域x0,2
xxx2xx
x211x22
fx1=
xx2xx2xx2xx2'
x0,2 x20,x0
令导数f'x0解得:x0x
2例5:求函数f
x的单调区间
111
2lnxx2ln2x
1lnx4lnx'解:f
x 3
x2
x2
令f'x0,即解不等式lnxlnx40,解得0lnx41xe
4
fx的单调区间为
例6:求函数f(x)xlnx的单调区间
思路:函数还有绝对值,从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值,在求导进行单调性分析 解:fx
x1lnx,x1
,当x0,1时,fx1xlnx为减函数
1xlnx,0x1
'
当x1,时,fx1
1x1' x1 fx0 xx
fx在1,单调递增
综上所述:fx在0,1单调递减,在1,单调递增
小炼有话说:(1)对于含绝对值的函数,可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去掉绝对值,从而将函数转变为一个分段函数。
(2)本题在x0,1时,利用之前所学知识可直接判断出fx单调递减,从而简化步骤。导数只是分析函数单调性的一个工具,若能运用以前所学知识判断单调性,则直接判断更为简便
例7:(1)若函数fxlnax1取值集合是__________ (2)若函数fxlnax1
1x
x0,a0在区间1,+单调递增,则a的1x
1x
x0,a0的递增区间是1,+,则a的取值集1x
合是___________
a2ax2a2
解:(1)思路:fx,由fx在1,+单调递
ax1x1ax1x1'
增可得:x1,f
'
x
22
。a0ax1221 2
x1maxax1x1
ax2a2
a1
(2)思路:fx的递增区间为1,+,即fx仅在1,+单调递增。 令f
'
x0ax2a20x2
2a
,若a1,则fx单调递增区间为0,a
不符题意,若0a
1,则x答案:(1)a1,(2)a1
时,f'x
01a1 小炼有话说:注意两问的不同之处,在(1)中,只是说明fx在区间1,+单调递增,那么fx也可以在其他区间单调递增,即1,+是增区间的子集。而(2)明确提出单调增区间为1,+,意味着fx不再含有其他增区间,x1为单调区间的分界点,从而满足条件的a只有一个值。要能够区分这两问在叙述上的不同。 例8:fx范围是_______ 思路:f
'
13122
xx2ax,若fx在,上存在单调递增区间,则a的取值323
xx2x2a,有已知条件可得:x
2
,+,使得f'x0,即3
21
,所39
2
12121212
axx,只需axx,而yxx
2222min3
以a
1
9
1 9
答案:a
小炼有话说:(1)已知在某区间的单调性求参数范围问题,其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能成立问题,进而求解,要注意已知函数fx单调递增(减)时,
其导函数f'x0(0),勿忘等号。
(2)在转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别,例如:若把例6的条件改为“在
2
,则在求解的过程中,靠不等式能成立问题的,上存在单调递增区间”3
112
,但当a时,满足不等式的x的解仅有x,不能99311
成为单调区间,故a舍去,答案依然为a
99p
例9:设函数fxpx2lnx(其中e是自然对数的底数),若fx在其定义域内
x
为单调函数,求实数p的取值范围
解法解出的a的范围时a
思路:条件中只是提到fx为单调函数,所以要分单调增与单调减两种情况考虑。无非就是f
'
x0恒成立或f'x0恒成立,进而求出p的范围即可
'
解: f
xp
p2 x2x
'
若fx在0,单调递增,则fxp
p2
0恒成立 x2x
122x22x
即p12p 22
xxx1x1x
2x2x
hx ,设 p221x1xmax
则h
x
2x21
1x2x1xp1
若fx在0,单调递减,则f即p1
'
xp
p2
0恒成立 2xx
122x
p
x2x1x2
2x2x
hx ,设 p221x1xmin
则hx
2x2
0,且当x0或x时,hx0
1x2x1
x
p0
综上所述:p1或p0
3
例10:若函数fxlogaxax
1,0内单调递增,则a取值a0,a1在区间2
范围是( )
A.,1 B.,1 C., D.1,
14349494
思路:先看函数fx的定义域,则xax0在
3
11
,0恒成立,ax2a
42
fx可看成是由ylogau,ux3ax的复合函数,故对a进行分类讨论。当a1时,
3
u'3x2a0a3x20,所以uxax需单调递增,ylogau单调递增,
min
3
uxax需单调递减,与a1矛盾;当0a1时,ylog单调递减,所以ua
u'3x2a0a3x2
答案:B 小炼有话说:
min
33
a,1 44
(1)在本题中要注意参数对定义域的影响。单调区间是定义域的子集,所以在求参数范围时要满足定义域包含所给区间。这可能会对参数的取值有所限制。也是本题的易错点 (2)对于指数结构与对数结构的函数(如本题中的fx),可分别分析底数与1的大小(对数的增减性)与真数的单调性,然后判断整个函数的单调性。理论依据为复合函数的单调性特点(同增异减),故本题对底数a以1为分界点分类讨论,并依此分析真数的情况。