1.1正弦定理和余弦定理

第一章 解三角形

正弦定理

(一)创设情景,导入课题

我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系。我们是否能够得到这个边、角关系准确量化的表示呢?

在ABC中,A、B、C所对的边分别为BC、AC、AB,它们的长分别为a、b、c,这节课我们研究A、B、C、 a、b、c之间有怎样的数量关系?

(二)师生互动,探究新知

在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如右图,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有

ab

sinA,sinB,又b

c B sinC1,

从而在RtABC中,

c

c

a

sinA

b

sinB

c

sinC

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析)

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:

当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=asinBbsinA,则同理可得

从而

a

sinA

b

sinB

, C

c

sinC



b

sinB

,a

sinA

b

sinB

c

sinC

A c B

类似地,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.

从上面的研探过程,可得以下定理

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a

sinA

b

sinB

c

sinC

引导同学探究正弦定理的其它证法:如外接圆法或向量法.

(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使aksinA,bksinB,cksinC;

(2)

a

sinA

b

sinB

c

sinC

等价于

a

sinA

b

sinB

c

sinC

b

sinB

a

sinA

c

sinC

(三) 定理应用,练习巩固

思考:一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形,利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢

正弦定理的基本作用:

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如a

bsinA

; sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如

sinAsinB.

例1.在ABC中,已知A32.00,B81.80,a42.9cm,解三角形. 解:根据三角形内角和定理,

ab

C1800(AB)

1800(32.0081.80) 66.20;

根据正弦定理,

asinB42.9sin81.80b80.1(cm);

sin32.00

根据正弦定理,

asinC42.9sin66.20c74.1(cm).

sin32.00

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2.在ABC中,已知a20cm,b28cm,A400,解三角形(角度精确到10,边长精确到1cm)。

解:根据正弦定理,

bsinA28sin400sinB0.8999.

因为00<B<1800,所以B640,或B1160. ⑴ 当B640时,

C1800(AB)1800(400640)760,

asinC20sin760

c30(cm).

sin400

⑵ 当B1160时,

C1800(AB)1800(4001160)240,

asinC20sin240c13(cm).

sin400

评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形. [补充练习]已知ABC中,sinA:sinB:sinC4:2:3,求a:b:c

例3:在ABC中,已知a22cm,b25cm,A1330,解三角形. (题解见书P8)

从此题的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些条件下会出现无解的情形.下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题. [探索结论]

b,A,讨论三角形解的情况 基本问题:在ABC中,已知a,

教师引导同学一起探究结论. 分析:先由sinB

bsinA

可进一步求出B; 则C1800(AB) 从而c

asinC

A

1.当A为钝角或直角时,必须ab才能有且只有一解;否则无解。 2.当A为锐角时,

如果a≥b,那么只有一解;

如果ab,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若absinA,则有两解; (2)若absinA,则只有一解; (3)若absinA,则无解。

评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当A为锐角且

bsinAab时,有两解;其它情况时则只有一解或无解.

引导同学画图解释上述各种情况.

第4页练习第1(1)、2(1)题。 (四)小结

(1)正弦定理的表示形式:

a

sinA

b

sinB

c

sinC

abc

kk0;

sinAsinBsinC

或aksinA,bksinB,cksinC(k0)

(2)正弦定理的应用范围:

①已知两角和任一边,求其它两边及另一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。

(五)作业 P4 练习 1, 2 P10习题 1.1 A组 1, 2

1.1.2余弦定理

一、教学目标 1.知识与技能

掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法

利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

3.情感态度与价值观

培养学生的合情推理意识,欣赏正弦定理的对称美感和应用价值. 二、教学重点、难点

重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; 难点:在余弦定理的发现和证明。 三、教学方法 探究,讲练结合 四、教学方法

(一)创设情景,导入课题

思考:如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.

我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和另两个角的问题.

(二)师生互动,探究新知

已知三角形的两边的长BC=a, AC=b,边BC和边AC所夹的角是C,我们设法找出一个已知的边 a、b和角C与第三条边c之间的一个关系式,或用已知的边a、b和角C表示第三边c的一个公式.

引导学生联系已经学过的知识和方法,用向量来解决这个问题. 设CBa,CAb,ABc,那么cab,则C 2

ccabab

 abb2ab

2a2

ab2ab

A





从而 c2a2b22abcosC 同理可证 a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

于是得到以下定理

余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB c2a2b22abcosC

思考1:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?

(由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:

b2c2a2

cosA

a2c2b2

cosB

b2a2c2

cosC

思考2:用坐标法怎样证明余弦定理?还有其他方法吗? (三)定理辨析,应用提高

师生共同讨论,根据余弦定理可以解决以下三角形问题:

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?

(由学生总结)若ABC中,C=900,则cosC0,这时c2a2b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。

例1.在ABC

中,已知a

cB600,求b及A 解:∵b2a2c22accosB

=222cos45

0=1221)=8

∴b

求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:

b2c2a21解法一:因为

cosA,

所以A600.

3asin450, sinA解法二:∵

sinAsinB

2

2.41.4

3.8, 21.83.6, 所以a<c,即00<A<900, 所以A600.

说明:解法二应注意确定A的取值范围。

例2.在ABC中,已知a134.6cm,b87.8cm,c161.7cm,解三角形 解:由余弦定理的推论得:

b2c2a287.82161.72134.62

0.5543, cosA 

A56020;

c2a2b2134.62161.7287.82

cosB 0.8398, 

B32053;

90047/ C1800(AB)1800(5602032053)

例3.在ABC中,已知a7,b5,c3,判断ABC的类型。

b2c2a2

解:753,即abc,cosA

2

2

2

2

2

2

所以ABC是钝角三角形.

补充练习:ABC三个顶点坐标为A(6,5)、B(-2,8)、C(4,1),求角A. 课堂练习.第8页练习第1, 2. (四) 小结

(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; (2)余弦定理的应用范围:

①.已知三边求三角,判断三角形的形状 ②.已知两边及它们的夹角,求第三边. (五)作业 习题P10. 3,4

第一章 解三角形

正弦定理

(一)创设情景,导入课题

我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系。我们是否能够得到这个边、角关系准确量化的表示呢?

在ABC中,A、B、C所对的边分别为BC、AC、AB,它们的长分别为a、b、c,这节课我们研究A、B、C、 a、b、c之间有怎样的数量关系?

(二)师生互动,探究新知

在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如右图,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有

ab

sinA,sinB,又b

c B sinC1,

从而在RtABC中,

c

c

a

sinA

b

sinB

c

sinC

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析)

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:

当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=asinBbsinA,则同理可得

从而

a

sinA

b

sinB

, C

c

sinC



b

sinB

,a

sinA

b

sinB

c

sinC

A c B

类似地,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.

从上面的研探过程,可得以下定理

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a

sinA

b

sinB

c

sinC

引导同学探究正弦定理的其它证法:如外接圆法或向量法.

(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使aksinA,bksinB,cksinC;

(2)

a

sinA

b

sinB

c

sinC

等价于

a

sinA

b

sinB

c

sinC

b

sinB

a

sinA

c

sinC

(三) 定理应用,练习巩固

思考:一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形,利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢

正弦定理的基本作用:

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如a

bsinA

; sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如

sinAsinB.

例1.在ABC中,已知A32.00,B81.80,a42.9cm,解三角形. 解:根据三角形内角和定理,

ab

C1800(AB)

1800(32.0081.80) 66.20;

根据正弦定理,

asinB42.9sin81.80b80.1(cm);

sin32.00

根据正弦定理,

asinC42.9sin66.20c74.1(cm).

sin32.00

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2.在ABC中,已知a20cm,b28cm,A400,解三角形(角度精确到10,边长精确到1cm)。

解:根据正弦定理,

bsinA28sin400sinB0.8999.

因为00<B<1800,所以B640,或B1160. ⑴ 当B640时,

C1800(AB)1800(400640)760,

asinC20sin760

c30(cm).

sin400

⑵ 当B1160时,

C1800(AB)1800(4001160)240,

asinC20sin240c13(cm).

sin400

评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形. [补充练习]已知ABC中,sinA:sinB:sinC4:2:3,求a:b:c

例3:在ABC中,已知a22cm,b25cm,A1330,解三角形. (题解见书P8)

从此题的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些条件下会出现无解的情形.下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题. [探索结论]

b,A,讨论三角形解的情况 基本问题:在ABC中,已知a,

教师引导同学一起探究结论. 分析:先由sinB

bsinA

可进一步求出B; 则C1800(AB) 从而c

asinC

A

1.当A为钝角或直角时,必须ab才能有且只有一解;否则无解。 2.当A为锐角时,

如果a≥b,那么只有一解;

如果ab,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若absinA,则有两解; (2)若absinA,则只有一解; (3)若absinA,则无解。

评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当A为锐角且

bsinAab时,有两解;其它情况时则只有一解或无解.

引导同学画图解释上述各种情况.

第4页练习第1(1)、2(1)题。 (四)小结

(1)正弦定理的表示形式:

a

sinA

b

sinB

c

sinC

abc

kk0;

sinAsinBsinC

或aksinA,bksinB,cksinC(k0)

(2)正弦定理的应用范围:

①已知两角和任一边,求其它两边及另一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。

(五)作业 P4 练习 1, 2 P10习题 1.1 A组 1, 2

1.1.2余弦定理

一、教学目标 1.知识与技能

掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法

利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

3.情感态度与价值观

培养学生的合情推理意识,欣赏正弦定理的对称美感和应用价值. 二、教学重点、难点

重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; 难点:在余弦定理的发现和证明。 三、教学方法 探究,讲练结合 四、教学方法

(一)创设情景,导入课题

思考:如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.

我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和另两个角的问题.

(二)师生互动,探究新知

已知三角形的两边的长BC=a, AC=b,边BC和边AC所夹的角是C,我们设法找出一个已知的边 a、b和角C与第三条边c之间的一个关系式,或用已知的边a、b和角C表示第三边c的一个公式.

引导学生联系已经学过的知识和方法,用向量来解决这个问题. 设CBa,CAb,ABc,那么cab,则C 2

ccabab

 abb2ab

2a2

ab2ab

A





从而 c2a2b22abcosC 同理可证 a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

于是得到以下定理

余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB c2a2b22abcosC

思考1:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?

(由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:

b2c2a2

cosA

a2c2b2

cosB

b2a2c2

cosC

思考2:用坐标法怎样证明余弦定理?还有其他方法吗? (三)定理辨析,应用提高

师生共同讨论,根据余弦定理可以解决以下三角形问题:

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?

(由学生总结)若ABC中,C=900,则cosC0,这时c2a2b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。

例1.在ABC

中,已知a

cB600,求b及A 解:∵b2a2c22accosB

=222cos45

0=1221)=8

∴b

求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:

b2c2a21解法一:因为

cosA,

所以A600.

3asin450, sinA解法二:∵

sinAsinB

2

2.41.4

3.8, 21.83.6, 所以a<c,即00<A<900, 所以A600.

说明:解法二应注意确定A的取值范围。

例2.在ABC中,已知a134.6cm,b87.8cm,c161.7cm,解三角形 解:由余弦定理的推论得:

b2c2a287.82161.72134.62

0.5543, cosA 

A56020;

c2a2b2134.62161.7287.82

cosB 0.8398, 

B32053;

90047/ C1800(AB)1800(5602032053)

例3.在ABC中,已知a7,b5,c3,判断ABC的类型。

b2c2a2

解:753,即abc,cosA

2

2

2

2

2

2

所以ABC是钝角三角形.

补充练习:ABC三个顶点坐标为A(6,5)、B(-2,8)、C(4,1),求角A. 课堂练习.第8页练习第1, 2. (四) 小结

(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; (2)余弦定理的应用范围:

①.已知三边求三角,判断三角形的形状 ②.已知两边及它们的夹角,求第三边. (五)作业 习题P10. 3,4


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