第二章
第1节
m 22
。由m =6n ，可知m 是偶n m 22
数，设m =2k ，于是有3n =2k ，从而得到n 是偶数，这与是既约分数矛盾.
n
1．（1）反证法。若6是有理数，则可写成既约分数= （2）提示：利用（1）的结论.
第2节
n 2n 2n 2
3(1+2) 2C n
3n 35⎛1⎞
（6）提示：当n >5，有 ≤⋅⎜⎟
n ! 5! ⎝2⎠
n −5
；
m
n ! ⎛1⎞n
（7）提示：记的整数部分为m ，则有n
2n ⎝2⎠
（8）提示：证明不等式0
11111
−+−" +(−1) n
x −a ≤x −a .
（2）1；（3）2；（4）0，提示：应用不等式2k >8．（1）1；9．（1）3；（2）
(2k −1)(2k +1) .
11111
；（3）；（4）0；（5）；（6）−；（7）0；（8）；（9）1； 23222
（10）3，提示：设 x n =
1352n −1352n −1
+2+3+" +n ，则 2x n =1++2" +n −1，2222222112n −1
+" +−.
222n −12n
两式相减，得到 x n =1+2(+
12
11．提示：a n =a 1⋅
a a a ⋅⋅" ⋅. a 1a 2a n −1
n
n −1
12．（1）提示：设a 1+a 2+" +a n =S n ，则∑ka k =nS n −∑S k ，再利用例2.2.6的结论；
k =1
k =1
（2）提示：利用定理1.2.2与（1）. 13．提示：令a n =a +αn , b n =b +βn .
1
14．提示：注意有lim
a 1+a 2+" +a n −1
=a .
n →∞n
第3节
2．（1）提示：设lim a n =+∞，则∀G >0, ∃N 1>0, ∀n >N 1:a n >3G 。对固定的N 1，
n →∞
∃N >2N 1, ∀n >N :
a 1+a 2+" +a N 1
n
G
，于是 2
a 1+a 2+" +a N 13G G a N 1+1+a N 1+2+" +a n a 1+a 2+" +a n
−>−=G 。≥
n 22n n k n a n +k n −1a n −1+" +a 0
，再利用Stolz 7．提示：记k =λ，则a n +λa n −1+" +λa 0=n
k
−1
n
定理.
8．提示：作代换a k =A k −A k −1，得到
p 1a 1+p 2a 2+" +p n a n A (p −p 1) +A 2(p 3−p 2) +" +A n −1(p n −p n −1)
， =A n −12
p n p n
再对后一分式应用Stolz 定理.
第4节
1．（1）
1
；（2）e ；（3）e ；（4）1；（5）e ；提示：当n ≥2时，有 e
1⎞⎛1⎞⎛11⎞⎛⎜1+⎟≤⎜1+−2⎟
⎝n ⎠⎝n n ⎠⎝n +2⎠
n
n
n
2．（1）依次证明x n
n →∞
（2）依次证明x n
n →∞
（3）依次证明x n >−1，{x n }单调减少，lim x n =−1；
n →∞
（4）依次证明x n
n →∞
（5）依次证明0
n →∞
（6）依次证明0
n →∞
4．
2, −2; 提示：对x 1=1，依次证明对任意n 有x n >0，当n ≥2时x n ≥2及
2
x n +1−x n =−
x n 1+≤0，即{x n }单调减少有下界；对x 1=−2，依次证明对任意n 有2x n
x n 1+≥0，即{x n }单调增加有上界. 2x n
n −1
x n ≤−2及x n +1−x n =−
a +2b ⎛1⎞5．; 提示：先求数列{x n +1−x n }的通项公式x n +1−x n =⎜−⎟
3⎝2⎠
(b −a ) ，再利用
x n =x 1+(x 2−x 1) +(x 3−x 2) +" +(x n −x n −1) .
6．（1）提示：a ≤x n
2ab a +b
. ≤y n
a +b 2
7．2−1; 提示：数列{x 2k }单调增加，数列{x 2k +1}单调减少. 13．（2）提示：证明不等式
k =n +1
∑
m
(−1) k +1
11
.
k n +1
14．（1）反例：x n =1+
111
++" +；
n 23
（2）提示：∀m >n ，利用不等式x m −x n ≤x m −x m −1+x m −1−x m −2+" +x n +1−x n . 15．提示：利用Cauchy 收敛原理.
16．提示：采用反证法。不妨设{x n }是单调增加的有界数列。假设它不收敛，则
∃ε0>0，∀N >0，∃m , n >N ：x m −x n >ε0.
取N 1=1, ∃m 1>n 1>N 1:x m 1−x n 1>ε0;
取N 2=m 1, ∃m 2>n 2>N 2:x m 2−x n 2>ε0; " "
取N k =m k −1, ∃m k >n k >N k :x m k −x n k >ε0; " " .
于是x m k −x n 1>k ε0→+∞(k →∞) ，与数列{x n }有界矛盾.
3
第二章
第1节
m 22
。由m =6n ，可知m 是偶n m 22
数，设m =2k ，于是有3n =2k ，从而得到n 是偶数，这与是既约分数矛盾.
n
1．（1）反证法。若6是有理数，则可写成既约分数= （2）提示：利用（1）的结论.
第2节
n 2n 2n 2
3(1+2) 2C n
3n 35⎛1⎞
（6）提示：当n >5，有 ≤⋅⎜⎟
n ! 5! ⎝2⎠
n −5
；
m
n ! ⎛1⎞n
（7）提示：记的整数部分为m ，则有n
2n ⎝2⎠
（8）提示：证明不等式0
11111
−+−" +(−1) n
x −a ≤x −a .
（2）1；（3）2；（4）0，提示：应用不等式2k >8．（1）1；9．（1）3；（2）
(2k −1)(2k +1) .
11111
；（3）；（4）0；（5）；（6）−；（7）0；（8）；（9）1； 23222
（10）3，提示：设 x n =
1352n −1352n −1
+2+3+" +n ，则 2x n =1++2" +n −1，2222222112n −1
+" +−.
222n −12n
两式相减，得到 x n =1+2(+
12
11．提示：a n =a 1⋅
a a a ⋅⋅" ⋅. a 1a 2a n −1
n
n −1
12．（1）提示：设a 1+a 2+" +a n =S n ，则∑ka k =nS n −∑S k ，再利用例2.2.6的结论；
k =1
k =1
（2）提示：利用定理1.2.2与（1）. 13．提示：令a n =a +αn , b n =b +βn .
1
14．提示：注意有lim
a 1+a 2+" +a n −1
=a .
n →∞n
第3节
2．（1）提示：设lim a n =+∞，则∀G >0, ∃N 1>0, ∀n >N 1:a n >3G 。对固定的N 1，
n →∞
∃N >2N 1, ∀n >N :
a 1+a 2+" +a N 1
n
G
，于是 2
a 1+a 2+" +a N 13G G a N 1+1+a N 1+2+" +a n a 1+a 2+" +a n
−>−=G 。≥
n 22n n k n a n +k n −1a n −1+" +a 0
，再利用Stolz 7．提示：记k =λ，则a n +λa n −1+" +λa 0=n
k
−1
n
定理.
8．提示：作代换a k =A k −A k −1，得到
p 1a 1+p 2a 2+" +p n a n A (p −p 1) +A 2(p 3−p 2) +" +A n −1(p n −p n −1)
， =A n −12
p n p n
再对后一分式应用Stolz 定理.
第4节
1．（1）
1
；（2）e ；（3）e ；（4）1；（5）e ；提示：当n ≥2时，有 e
1⎞⎛1⎞⎛11⎞⎛⎜1+⎟≤⎜1+−2⎟
⎝n ⎠⎝n n ⎠⎝n +2⎠
n
n
n
2．（1）依次证明x n
n →∞
（2）依次证明x n
n →∞
（3）依次证明x n >−1，{x n }单调减少，lim x n =−1；
n →∞
（4）依次证明x n
n →∞
（5）依次证明0
n →∞
（6）依次证明0
n →∞
4．
2, −2; 提示：对x 1=1，依次证明对任意n 有x n >0，当n ≥2时x n ≥2及
2
x n +1−x n =−
x n 1+≤0，即{x n }单调减少有下界；对x 1=−2，依次证明对任意n 有2x n
x n 1+≥0，即{x n }单调增加有上界. 2x n
n −1
x n ≤−2及x n +1−x n =−
a +2b ⎛1⎞5．; 提示：先求数列{x n +1−x n }的通项公式x n +1−x n =⎜−⎟
3⎝2⎠
(b −a ) ，再利用
x n =x 1+(x 2−x 1) +(x 3−x 2) +" +(x n −x n −1) .
6．（1）提示：a ≤x n
2ab a +b
. ≤y n
a +b 2
7．2−1; 提示：数列{x 2k }单调增加，数列{x 2k +1}单调减少. 13．（2）提示：证明不等式
k =n +1
∑
m
(−1) k +1
11
.
k n +1
14．（1）反例：x n =1+
111
++" +；
n 23
（2）提示：∀m >n ，利用不等式x m −x n ≤x m −x m −1+x m −1−x m −2+" +x n +1−x n . 15．提示：利用Cauchy 收敛原理.
16．提示：采用反证法。不妨设{x n }是单调增加的有界数列。假设它不收敛，则
∃ε0>0，∀N >0，∃m , n >N ：x m −x n >ε0.
取N 1=1, ∃m 1>n 1>N 1:x m 1−x n 1>ε0;
取N 2=m 1, ∃m 2>n 2>N 2:x m 2−x n 2>ε0; " "
取N k =m k −1, ∃m k >n k >N k :x m k −x n k >ε0; " " .
于是x m k −x n 1>k ε0→+∞(k →∞) ，与数列{x n }有界矛盾.
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