2010年云南昆明中考题

昆明市2010年高中（中专）招生统一考试

数 学 试 卷

（本试卷共三大题25小题，共6页. 考试时间120分钟，满分120分） 参考公式：

nR21

① 扇形面积公式 SRl，其中，R是半径，n是圆心角的度数，l是弧长

3602

b4acb2

② 二次函数yaxbxc(a0)图象的顶点坐标是(

2a4a

2

一、选择题（每小题3分，满分27分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的；

每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑）

1．3的倒数是（ ） A．3

B．3

C．

1 3

D．

1 3

2．若右图是某个几何体的三视图，则该几何体是( ) A．长方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆台

3．某班六名同学在一次知识抢答赛中，他们答对的题数分别是：7，5，6，8，7，9. 这组数据的平均数和众数分别是( ) A．7，7

B．6，8

C．6，7

D．7，2

主视图

左视图 第2题图

俯视图

4．据2010年5月11日云南省委、省政府召开的通报会通报，全省各级各部门已筹集抗旱救灾救济资金32亿元，32亿元用科学记数法表示为( ) A．3.210元

28

B．0.3210元

10

C．3.210元

9

D．3210元

8

5．一元二次方程xx20的两根之积是（ ）

A．-1

B．-2

C．1

D．2

A

第6题图

6．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A = 80°，∠ACB=60°，那么∠BDC=（ ）

C

A．80° C．100°

B．90° D．110°

7．下列各式运算中，正确的是( )

222 A．(ab)ab B

3

C．aaa

3412

D．()2

3

a6

(a0) a2

2

8．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65cm，扇形的弧长为10cm，则圆锥母线长是( )

第8题图

A．5cm C．12cm

B．10cm D．13cm

9．如图，在△ABC中，AB = AC，AB = 8，BC = 12，分别以 AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）

A

．64C

．16

B．1632 D

．16

第9题图

二、填空题（每小题3分，满分18分．请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后

的横线上）

10．－6的相反数是 ．

11．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，

若△ABC的周长为10 cm，则△DEF的周长是 cm．

A

第11题图

E

B

D

1

12．化简：(1)a .

a113

．

14．半径为r的圆内接正三角形的边长为 .（结果可保留根号） 15． 如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线y

k

(x0) x

上，且x2x14，y1y22；分别过点A、B向

x

轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与

BF

G

第15题图

相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为 ．

三、解答题（共10题，满分75分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 16．(5分)

计算：(

17．(6分)如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC = FD，AB = EF.

（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使

△ABC≌△EFD，你添加的条件是 ；

（2）添加了条件后，证明△ABC≌△EFD.

E

F

A

11

)3201002 4

x3≤ 018．(5分) 解不等式组：

x12x1

1 32

…………① …………②

19．（7分）某校对九年级学生进行了一次数学学业水平测试，成绩评定分为A、B、C、D四

个等级（注：等级A、B、C、D分别代表优秀、良好、合格、不合格），学校从九年级学

生中随机抽取50名学生的数学成绩进行统计分析，并绘制成扇形统计图（如图所示）. 根据图中所给的信息回答下列问题：

（1）随机抽取的九年级学生数学学业水平测试中，D等级人数的百分率和D等级学生人

数分别是多少?

（2）这次随机抽样中，学生数学学业水平测试成绩的中位数落在哪个等级？

（3）若该校九年级学生有800名，请你估计这次数学学业水平测试中，成绩达合格以上

(含合格)的人数大约有多少人？

A

30%

18%

C

B

48%

20．（8分）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：

（1）分别写出A、B两点的坐标；

（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；

（3）求出线段B1A所在直线 l 的函数解析式，并写出在直线l上从B1到A的自变量x

的取值范围.

21．（8分）热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高

楼底部的俯角为60°，A处与高楼的水平距离为60m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m

1.732）

22．（8分）如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1、3、

6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）.

（1）请用画树形图或列表的方法(只选其中一种)，表示出分别转动转盘两次转盘自由停

止后，指针所指扇形数字的所有结果；

（2）求分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无

理数的概率.

23．（7分）去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务. 问原计划每天修水渠多少米？

24．（9分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P

是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O. （1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，

四边形ABPE是什么四边形？①当k= 1时，是 ；②当k= 2时，是 ；③当k= 3时，是 . 并证明．．．k= 2时的结论.

A

E P

D

25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3

，

点.

（1）求此抛物线的解析式；

）三3

（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的

点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

昆明市2010年高中（中专）招生统一考试

数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，满分27分. 每小题只有一个正确答案，错选、不选、多选均得零分）

二、填空题（每小题3分，满分18分）

三、解答题（满分75分）

16. （5分） 解：原式 = 4312

= 6

(说明：第一步计算每对一项得1分)

17. （6分）（1）∠B = ∠F 或 AB∥EF 或 AC = ED.

A

………………4分 ………………5分

………………2分

（2）证明：当∠B = ∠F时 在△ABC和△EFD中

B

C

D

F

ABEF

BF ……………5分

BCFD

∴△ABC≌△EFD (SAS) …………………6分

E

（本题其它证法参照此标准给分）

18. （5分）解：解不等式①得：x≤3 ………………1分 由②得：3(x1)2(2x1)6 化简得：x7

解得: x7

………………2分 ………………3分 ………………4分

∴ 原不等式组的解集为: x7

………………5分

19．（7分）解：（1）∵1-30%-48%-18% = 4%，∴D等级人数的百分率为4%

∵4%×50 = 2，∴D等级学生人数为2人

………1分

………………2分

(2) ∵A等级学生人数30%×50 = 15人，B等级学生人数48%×50 = 24人, C等级学生人数18%×50 = 9人, D等级学生人数4%×50 = 2人……………3分 ∴中位数落在B等级. ………………4分 (3)合格以上人数 = 800×（30%+48%+18%）= 768 ………………6分 ∴ 成绩达合格以上的人数大约有768人. ………………7分

20. （8分） 解：（1）A(2，0)，B(-1,-4) （2）画图正确

(3)设线段B1A所在直线 l 的解析式为：ykxb(k0) ∵B1(-2,3),A(2,0)

C1 B………………2分

……………………4分

2kb3

∴

2kb0

………………5分

33k,b

42

………………6分

∴线段B1A所在直线 l 的解析式为：y

33

x ……………7分 42

线段B1A的自变量 x 的取值范围是：-2 ≤ x ≤ 2 …………8分

21．（8分） 解：过点A作BC的垂线，垂足为D点 …………1分

由题意知：∠CAD = 45°, ∠BAD = 60°, AD = 60m

在Rt△ACD中，∠CAD = 45°, AD⊥BC ∴ CD = AD = 60 在Rt△ABD中， ∵tanBAD

…………………3分

BD

……………………4分 AD

∴ BD = AD·tan∠BAD

∴BC = CD+BD

……………………6分 ≈ 163.9 (m) …………………7分

答：这栋高楼约有163.9m． （本题其它解法参照此标准给分）

22．（8分） 解：（1）

列表如下： 树形图如下：

备注：此小题4分，画对表1（或图1）得2分，结果写对得2分. 表1: 图1:

1 3 6 1

开始

……………………5分

…………………8分

1 （1，1） 3） 3 （1，6） 6 （1，

1） 1 （3，

3

3） 3 （3，6） 6 （3，

1 （6，1） 3）

3 （6，6） 6 （6，

开始

6

3

3

（2）数字之和分别为：2，4，7，4，6，9，7，9，12.

，2

，2

，3

3

，分

设两数字之和的算术平方根为无理数是事件A

∴P(A)

5

9

23．(7分)解：设原计划每天修水渠 x 米. 根据题意得：

3600x3600

1.8x

20 解得：x = 80 经检验：x = 80是原分式方程的解

答：原计划每天修水渠80米.

24．（9分） （1）证明：∵AD∥BC ∴∠OBP = ∠ODE 在△BOP和△DOE中 ∠OBP = ∠ODE

∠BOP = ∠DOE ∴△BOP∽△DOE (有两个角对应相等的两

………………5………………8分………………1分 ………………3分

………………5分 ………………6分 ………………7分

…………1分 ………………2分

三角形相似) ……………3分

（2）① 平行四边形 ………………4分

② 直角梯形 ………………5分

③ 等腰梯形 ………………6分

证明：∵k = 2时，

BP

2 DE

3AD 2

∴ BP = 2DE = AD

又∵AD︰BC = 2︰3 BC = PC = BC - BP =

31

AD - AD =AD = ED 22

ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形 ∵∠DCB = 90°

∴四边形PCDE是矩形 ………………7分 ∴ ∠EPB = 90° ……………8分 又∵ 在直角梯形ABCD中 AD∥BC, AB与DC不平行 ∴ AE∥BP, AB与EP不平行

四边形ABPE是直角梯形 ………………………9分

（本题其它证法参照此标准给分）

25．(12分) 解：（1）设抛物线的解析式为：yaxbxc(a0)



c0

由题意得：16a4bc0



9a3bc

2

……………1分

解得：a

bc0 ……………2分

2xx ……………3分 ∴抛物线的解析式为：y

（2）存在 ………………4分

抛物线y

l′

2x

x的顶点坐标是(2,，作抛物线和⊙M（如图）， 999

设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D

∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC

∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°

∴D

∴

设切线 l 的解析式为:y=kx+b(k 0)，点B、C在 l 上，可得：

kb

kb 解得：



2kb0

∴切线BC

的解析式为：y

x ∵点P为抛物线与切线的交点

y由y

2xx99x33

1

xx2612

解得： y2y1



2

∴点P

的坐标为：P1(

1,，

P2(6, …………8分 223

∵

抛物线y

2xx的对称轴是直线x2 99

此抛物线、⊙M都与直线x2成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线x2的对称直线 l′(如图) 得到B、C关于直线x2的对称点B1、C1

l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x2的对称点：

9P3(

，P4(即为所求的点. 2∴这样的点P共有4

个：P1(

19,，P

2(6,，P

3(,，P4(2, ……12分 223223

（本题其它解法参照此标准给分）

昆明市2010年高中（中专）招生统一考试

数 学 试 卷

（本试卷共三大题25小题，共6页. 考试时间120分钟，满分120分） 参考公式：

nR21

① 扇形面积公式 SRl，其中，R是半径，n是圆心角的度数，l是弧长

3602

b4acb2

② 二次函数yaxbxc(a0)图象的顶点坐标是(

2a4a

2

一、选择题（每小题3分，满分27分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的；

每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑）

1．3的倒数是（ ） A．3

B．3

C．

1 3

D．

1 3

2．若右图是某个几何体的三视图，则该几何体是( ) A．长方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆台

3．某班六名同学在一次知识抢答赛中，他们答对的题数分别是：7，5，6，8，7，9. 这组数据的平均数和众数分别是( ) A．7，7

B．6，8

C．6，7

D．7，2

主视图

左视图 第2题图

俯视图

4．据2010年5月11日云南省委、省政府召开的通报会通报，全省各级各部门已筹集抗旱救灾救济资金32亿元，32亿元用科学记数法表示为( ) A．3.210元

28

B．0.3210元

10

C．3.210元

9

D．3210元

8

5．一元二次方程xx20的两根之积是（ ）

A．-1

B．-2

C．1

D．2

A

第6题图

6．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A = 80°，∠ACB=60°，那么∠BDC=（ ）

C

A．80° C．100°

B．90° D．110°

7．下列各式运算中，正确的是( )

222 A．(ab)ab B

3

C．aaa

3412

D．()2

3

a6

(a0) a2

2

8．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65cm，扇形的弧长为10cm，则圆锥母线长是( )

第8题图

A．5cm C．12cm

B．10cm D．13cm

9．如图，在△ABC中，AB = AC，AB = 8，BC = 12，分别以 AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）

A

．64C

．16

B．1632 D

．16

第9题图

二、填空题（每小题3分，满分18分．请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后

的横线上）

10．－6的相反数是 ．

11．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，

若△ABC的周长为10 cm，则△DEF的周长是 cm．

A

第11题图

E

B

D

1

12．化简：(1)a .

a113

．

14．半径为r的圆内接正三角形的边长为 .（结果可保留根号） 15． 如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线y

k

(x0) x

上，且x2x14，y1y22；分别过点A、B向

x

轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与

BF

G

第15题图

相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为 ．

三、解答题（共10题，满分75分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 16．(5分)

计算：(

17．(6分)如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC = FD，AB = EF.

（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使

△ABC≌△EFD，你添加的条件是 ；

（2）添加了条件后，证明△ABC≌△EFD.

E

F

A

11

)3201002 4

x3≤ 018．(5分) 解不等式组：

x12x1

1 32

…………① …………②

19．（7分）某校对九年级学生进行了一次数学学业水平测试，成绩评定分为A、B、C、D四

个等级（注：等级A、B、C、D分别代表优秀、良好、合格、不合格），学校从九年级学

生中随机抽取50名学生的数学成绩进行统计分析，并绘制成扇形统计图（如图所示）. 根据图中所给的信息回答下列问题：

（1）随机抽取的九年级学生数学学业水平测试中，D等级人数的百分率和D等级学生人

数分别是多少?

（2）这次随机抽样中，学生数学学业水平测试成绩的中位数落在哪个等级？

（3）若该校九年级学生有800名，请你估计这次数学学业水平测试中，成绩达合格以上

(含合格)的人数大约有多少人？

A

30%

18%

C

B

48%

20．（8分）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：

（1）分别写出A、B两点的坐标；

（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；

（3）求出线段B1A所在直线 l 的函数解析式，并写出在直线l上从B1到A的自变量x

的取值范围.

21．（8分）热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高

楼底部的俯角为60°，A处与高楼的水平距离为60m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m

1.732）

22．（8分）如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1、3、

6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）.

（1）请用画树形图或列表的方法(只选其中一种)，表示出分别转动转盘两次转盘自由停

止后，指针所指扇形数字的所有结果；

（2）求分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无

理数的概率.

23．（7分）去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务. 问原计划每天修水渠多少米？

24．（9分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P

是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O. （1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，

四边形ABPE是什么四边形？①当k= 1时，是 ；②当k= 2时，是 ；③当k= 3时，是 . 并证明．．．k= 2时的结论.

A

E P

D

25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3

，

点.

（1）求此抛物线的解析式；

）三3

（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的

点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

昆明市2010年高中（中专）招生统一考试

数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，满分27分. 每小题只有一个正确答案，错选、不选、多选均得零分）

二、填空题（每小题3分，满分18分）

三、解答题（满分75分）

16. （5分） 解：原式 = 4312

= 6

(说明：第一步计算每对一项得1分)

17. （6分）（1）∠B = ∠F 或 AB∥EF 或 AC = ED.

A

………………4分 ………………5分

………………2分

（2）证明：当∠B = ∠F时 在△ABC和△EFD中

B

C

D

F

ABEF

BF ……………5分

BCFD

∴△ABC≌△EFD (SAS) …………………6分

E

（本题其它证法参照此标准给分）

18. （5分）解：解不等式①得：x≤3 ………………1分 由②得：3(x1)2(2x1)6 化简得：x7

解得: x7

………………2分 ………………3分 ………………4分

∴ 原不等式组的解集为: x7

………………5分

19．（7分）解：（1）∵1-30%-48%-18% = 4%，∴D等级人数的百分率为4%

∵4%×50 = 2，∴D等级学生人数为2人

………1分

………………2分

(2) ∵A等级学生人数30%×50 = 15人，B等级学生人数48%×50 = 24人, C等级学生人数18%×50 = 9人, D等级学生人数4%×50 = 2人……………3分 ∴中位数落在B等级. ………………4分 (3)合格以上人数 = 800×（30%+48%+18%）= 768 ………………6分 ∴ 成绩达合格以上的人数大约有768人. ………………7分

20. （8分） 解：（1）A(2，0)，B(-1,-4) （2）画图正确

(3)设线段B1A所在直线 l 的解析式为：ykxb(k0) ∵B1(-2,3),A(2,0)

C1 B………………2分

……………………4分

2kb3

∴

2kb0

………………5分

33k,b

42

………………6分

∴线段B1A所在直线 l 的解析式为：y

33

x ……………7分 42

线段B1A的自变量 x 的取值范围是：-2 ≤ x ≤ 2 …………8分

21．（8分） 解：过点A作BC的垂线，垂足为D点 …………1分

由题意知：∠CAD = 45°, ∠BAD = 60°, AD = 60m

在Rt△ACD中，∠CAD = 45°, AD⊥BC ∴ CD = AD = 60 在Rt△ABD中， ∵tanBAD

…………………3分

BD

……………………4分 AD

∴ BD = AD·tan∠BAD

∴BC = CD+BD

……………………6分 ≈ 163.9 (m) …………………7分

答：这栋高楼约有163.9m． （本题其它解法参照此标准给分）

22．（8分） 解：（1）

列表如下： 树形图如下：

备注：此小题4分，画对表1（或图1）得2分，结果写对得2分. 表1: 图1:

1 3 6 1

开始

……………………5分

…………………8分

1 （1，1） 3） 3 （1，6） 6 （1，

1） 1 （3，

3

3） 3 （3，6） 6 （3，

1 （6，1） 3）

3 （6，6） 6 （6，

开始

6

3

3

（2）数字之和分别为：2，4，7，4，6，9，7，9，12.

，2

，2

，3

3

，分

设两数字之和的算术平方根为无理数是事件A

∴P(A)

5

9

23．(7分)解：设原计划每天修水渠 x 米. 根据题意得：

3600x3600

1.8x

20 解得：x = 80 经检验：x = 80是原分式方程的解

答：原计划每天修水渠80米.

24．（9分） （1）证明：∵AD∥BC ∴∠OBP = ∠ODE 在△BOP和△DOE中 ∠OBP = ∠ODE

∠BOP = ∠DOE ∴△BOP∽△DOE (有两个角对应相等的两

………………5………………8分………………1分 ………………3分

………………5分 ………………6分 ………………7分

…………1分 ………………2分

三角形相似) ……………3分

（2）① 平行四边形 ………………4分

② 直角梯形 ………………5分

③ 等腰梯形 ………………6分

证明：∵k = 2时，

BP

2 DE

3AD 2

∴ BP = 2DE = AD

又∵AD︰BC = 2︰3 BC = PC = BC - BP =

31

AD - AD =AD = ED 22

ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形 ∵∠DCB = 90°

∴四边形PCDE是矩形 ………………7分 ∴ ∠EPB = 90° ……………8分 又∵ 在直角梯形ABCD中 AD∥BC, AB与DC不平行 ∴ AE∥BP, AB与EP不平行

四边形ABPE是直角梯形 ………………………9分

（本题其它证法参照此标准给分）

25．(12分) 解：（1）设抛物线的解析式为：yaxbxc(a0)



c0

由题意得：16a4bc0



9a3bc

2

……………1分

解得：a

bc0 ……………2分

2xx ……………3分 ∴抛物线的解析式为：y

（2）存在 ………………4分

抛物线y

l′

2x

x的顶点坐标是(2,，作抛物线和⊙M（如图）， 999

设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D

∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC

∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°

∴D

∴

设切线 l 的解析式为:y=kx+b(k 0)，点B、C在 l 上，可得：

kb

kb 解得：



2kb0

∴切线BC

的解析式为：y

x ∵点P为抛物线与切线的交点

y由y

2xx99x33

1

xx2612

解得： y2y1



2

∴点P

的坐标为：P1(

1,，

P2(6, …………8分 223

∵

抛物线y

2xx的对称轴是直线x2 99

此抛物线、⊙M都与直线x2成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线x2的对称直线 l′(如图) 得到B、C关于直线x2的对称点B1、C1

l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x2的对称点：

9P3(

，P4(即为所求的点. 2∴这样的点P共有4

个：P1(

19,，P

2(6,，P

3(,，P4(2, ……12分 223223

（本题其它解法参照此标准给分）